Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân với đối số lệch

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:76

Thêm vào BST

Báo xấu

58
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn tham khảo luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân với đối số lệch sau đây để nắm bắt những nội dung về nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch; nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc hai loại trung hòa với đối số và một số nội dung khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân với đối số lệch

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ------------------------------------ Lê Thị Hằng NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI ĐỐI SỐ LỆCH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ------------------------- Lê Thị Hằng NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI ĐỐI SỐ LỆCH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS Lê Hoàn Hóa Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng tri ân sâu sắc đến PGS. TS Lê Hoàn Hóa, người đã tận tình hướng dẫn, dạy bảo tôi phương pháp nghiên cứu khoa học, và tạo mọi điều kiện để tôi có thể hoàn thành luận văn cao học. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy, Cô trong hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và cho tôi những nhận xét quý báu để cuốn luận văn được hoàn thiện. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Quý Thầy Cô trong khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã truyền thụ kiến thức trong suốt thời gian tôi học tại trường. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, phòng Sau Đại học đã hỗ trợ tôi trong suốt khóa học và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn cao học. Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự góp ý, nhận xét của Quý Thầy Cô để luận văn hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn! Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2012 Lê Thị Hằng
MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn ....................................................................................................................... 2 Mục lục ............................................................................................................................. 3 Mở đầu ............................................................................................................................. 5 Kiến thức chuẩn bị ........................................................................................................... 7 Chương 1: Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch n −1 ( ) x( ) ( t ) =∑ ai x( ) ( t ) + f t , x ( t ) , x ( t − τ1 ( t ) ) ,...x ( t − τ m ( t ) ) ......................................... 9 n i i =1 1.1 Giới thiệu ............................................................................................................... 9 1.2 Ký hiệu ................................................................................................................... 9 1.3 Các bổ đề ............................................................................................................. 10 1.4 Các định lý ........................................................................................................... 14 Chương 2: Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch n −1 x (n) ( t=) ∑ bi x(i ) ( t ) + f ( t , x ( t ) , x ( t − τ1 ( t ) ) ,..., x ( t − τ m ( t ) ) ) + p ( t ) .......................... 27 i =1 2.1 Giới thiệu ............................................................................................................. 27 2.2 Ký hiệu ................................................................................................................. 28 2.3 Các bổ đề ............................................................................................................. 28 2.4 Các định lý ........................................................................................................... 29
Chương 3: Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc hai loại trung hòa với đối số lệch ( x′′ ( t ) + cx′′ ( t − τ ) + a ( t ) x ( t ) + g t , x ( t − τ1 ( t ) ) ,..., x ( t − τ n ( t ) ) = ) p ( t ) ............... 44 3.1 Giới thiệu .............................................................................................................. 44 3.2 Các bổ đề ............................................................................................................. 44 3.3 Các định lý ........................................................................................................... 47 Chương 4: Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân phi tuyến bậc hai loại trung hòa với đối số lệch ( ) x′′ ( t ) + cx′′ ( t − τ ) + p ( t ) x′ ( t ) + q ( t ) x ( t ) + f t , x ( t − τ1 ( t ) ) ,..., x ( t − τn ( t ) ) = g ( t ) .... 60 4.1 Giới thiệu .............................................................................................................. 60 4.2 Các bổ đề .............................................................................................................. 60 4.3 Định lý ................................................................................................................. 64 Kết luận và kiến nghị ..................................................................................................... 73 Tài liệu tham khảo .......................................................................................................... 75
MỞ ĐẦU Bài toán về nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân với đối số lệch có ứng dụng rất lớn trong vật lý, trong khoa học nghiên cứu về ứng dụng của người máy… Trong thời gian gần đây đã và đang có rất nhiều nhà toán học trên thế giới nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc nhất hoặc bậc cao với đối số lệch. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài này làm nội dung nghiên cứu của luận văn nhằm học tập và phát triển đề tài của mình theo hướng của các nhà khoa học trong và ngoài nước. Ngoài phần kiến thức chuẩn bị, nội dung chính của luận văn gồm bốn chương, trong đó chương 4 là kết quả mới của chúng tôi, cụ thể như sau: Chương 1: Sử dụng thuyết trùng bậc của Mawhin để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch sau n −1 ( ) x n ( t ) =∑ ai x( ) ( t ) + f t , x ( t ) , x ( t − τ1 ( t ) ) ,...x ( t − τ m ( t ) ) , t ∈  . Trong đó các ai i i =1 là hằng số và τ i′ ( t ) < 1 . Chương 2 : Cũng sử dụng thuyết trùng bậc của Mawhin để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch sau n −1 x (n) ( t=) ∑ bi x(i ) ( t ) + f ( t , x ( t ) , x ( t − τ1 ( t ) ) ,..., x ( t − τ m ( t ) ) ) + p ( t ) , t ∈  . Trong i =1 đó các bi cũng là hằng số nhưng không đòi hỏi giả thiết τ i′ ( t ) < 1 . Chương 3 : Trình bày hai kết quả về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc hai với đối số lệch sau đây ( ) x′′ ( t ) + cx′′ ( t − τ ) + a ( t ) x ( t ) + g t , x ( t − τ1 ( t ) ) ,..., x ( t − τ n ( t ) ) =p (t ) , t ∈ 
Trong đó một kết quả sử dụng định lý điểm bất động Krasnoselskii để chứng minh và một kết quả sử dụng thuyết trùng bậc của Mawhin. Trong cả hai kết quả đó, trước tiên chúng tôi đều tìm hàm Green của phương trình có dạng x′′ ( t ) + Mx ( t ) = ϕ ( t ) với một vài điều kiện cho trước rồi mới tiến hành đặt các ánh xạ thích hợp để sử dụng định lý Krasnoselskii hoặc thuyết trùng bậc của Mawhin. Phương trình được xét ở chương 3 không chứa đạo hàm cấp một x′ ( t ) , do đó chúng tôi đã mở rộng kết quả nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình trên khi có chứa x′ ( t ) . Đó là nội dung của chương 4. Chương 4: Trình bày một kết quả của chúng tôi, đó là sử dụng định lý điểm bất động Krasnoselskii để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc hai với đối số lệch sau: ( ) x′′ ( t ) + cx′′ ( t − τ ) + p ( t ) x′ ( t ) + q ( t ) x ( t ) + f t , x ( t − τ1 ( t ) ) ,..., x ( t − τn ( t ) ) = g ( t ) Trước tiên chúng tôi cũng tìm hàm Green của phương trình trên để biến đổi phương trình về phương trình tích phân, sau đó tiếp tục biến đổi đưa về dạng tổng của một ánh xạ co và một ánh xạ compact, từ đó áp dụng định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii. Để tìm hàm Green cho phương trình trên chúng tôi dựa vào kết quả tìm hàm Green của Y. Wang, H. Lian và W. Ge [5] cho phương trình có dạng x′′ ( t ) + p ( t ) x′ ( t ) + q ( t ) x ( t ) = ϕ(t ) Kết quả này chúng tôi đã gửi đến Tạp chí khoa học, Phòng Khoa học công nghệ và môi trường của trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh và đã được duyệt đăng.
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1. Bất đẳng thức Holder Giả sử X là một tập đo được Lebesgue trong  n . Ký hiệu Lp ( X ) là K - không p gian vectơ tất cả các hàm đo được f từ X vào K sao cho f khả tích Lebesgue. 1 1 Cho p > 1, q > 1 là các số thực thỏa mãn + =1 . Nếu f ∈ Lp ( X ) , p q 1 1  p p q q g ∈ Lq ( X ) thì fg ∈ L1 ( X ) và ∫ fg ≤  ∫ f  ∫ g  .     X X  X  2. Định lý Azela – Ascoli Cho X là không gian compact, . Khi đó tập con H ⊂ C ( X , K ) là compact tương đối nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau i) H bị chặn theo điểm ii) H đồng liên tục 3. Toán tử Fredholm Cho E , X là hai không gian định chuẩn. T : E → X là ánh xạ tuyến tính, liên tục. T là toán tử Fredholm nếu T −1 ( 0 ) hữu hạn chiều, T ( E ) đóng, và = codimT ( E ) dim ( X / T ( E ) ) < +∞ . Chỉ số của T là ind T dimT −1 ( 0 ) − codimT ( E ) . = 4. Thuyết trùng bậc Mawhin Cho X và Y là các không gian Banach. L : D ( L ) ⊂ X → Y là toán tử Fredholm với chỉ số là 0. P : X → X , Q : Y → Y là các ánh xạ chiếu sao cho ImP = KerL , KerQ = ImL= , X KerL ⊕ KerP = , Y ImL ⊕ ImQ . Dẫn đến L D( L )∩ KerP : D ( L ) ∩ KerP → ImL khả đảo, ký hiệu ánh xạ ngược là K P .
Giả sử Ω là tập con mở, bị chặn của X, D ( L ) ∩ Ω ≠ ∅ . ( ) Ánh xạ N : X → Y gọi là L – compact trên Ω nếu QN Ω bị chặn và K P ( I − Q ) N : Ω → X là ánh xạ compact. Định lý Mawhin Cho L là toán tử Fredholm với chỉ số là 0 và N là ánh xạ L- compact trên Ω . Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn i) Lx ≠ λ Nx, x ∈ ( D ( L ) / KerL ) ∩ ∂Ω, λ ∈ ( 0,1) ii) Nx ∉ ImL, x ∈ KerL ∩ ∂Ω ( ) iii) deg JQN KerL , Ω ∩ KerL,0 ≠ 0 , với J : Y / ImL → KerL là phép đẳng cấu. Khi đó phương trình Lx = Nx có nghiệm trong D ( L ) ∩ Ω . 5. Định lý Krasnoselskii Giả sử Ω là không gian Banach, X là tập con lồi, đóng, bị chặn của Ω . U , S : X → Ω là các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau i) Ux + Sy ∈ X , ∀x, y ∈ X ii) U là ánh xạ co. iii) S là ánh xạ compact. Khi đó U + S có điểm bất động trong X.
Chương 1 NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC CAO VỚI ĐỐI SỐ LỆCH n −1 ( ) x( ) ( t ) =∑ ai x( ) ( t ) + f t , x ( t ) , x ( t − τ1 ( t ) ) ,...x ( t − τ m ( t ) ) n i i =1 1.1 Giới thiệu Chương này trình bày kết quả về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch có dạng n −1 ( ) x( ) ( t ) =∑ ai x( ) ( t ) + f t , x ( t ) , x ( t − τ1 ( t ) ) ,...x ( t − τ m ( t ) ) , t ∈  (1.1) n i i =1 Trong đó • τ 1 ,τ 2 ,...,τ m là các hàm liên tục có chu kì ω • f liên tục và f ( ⋅ , x0 , x1 ,...xm ) là hàm tuần hoàn chu kì ω , tức là f ( t , x0 , x1 ,..., x= m) f ( t + ω , x0 , x1 ,..., xm ) ∀ ( x0 , x1 ,...xm ) ∈  m+1 1.2 Ký hiệu { X =Cωn−1 = x ∈ C n−1 (  ) , x ( t + ω ) = x ( t ) , t ∈  } Y =Cω0 ={ x ∈  (  ) : x ( t + ω ) = x ( t ) , t ∈ } { D ( L ) =domL =Cωn = x ∈  n (  ) : x ( t + ω ) = x ( t ) } Với x ∈ X , x = max x { ∞ , x′ ∞ ,..., x( ) n −1 ∞ } Trong đó x x( ) = max x ( t ) , = max x( ) = ( t ) ( i 1, 2,..., n − 1) i i ∞ t∈[ 0,ω ] t∈[ 0,ω ] ∞ Với y ∈ Y , y ∞ = t∈[ 0,ω ] ( ) max y ( t ) . Khi đó ( X , ⋅ ) , Y , ⋅ ∞ là các không gian Banach.
L : X ∩ domL → Y , L ( x ) = x( ) là ánh xạ tuyến tính. n n −1 ( N : X → Y , N ( x )( t ) =∑ ai x( ) ( t ) + f t , x ( t ) , x ( t − τ1 ( t ) ) ,..., x ( t − τ m ( t ) ) i ) i =1 1.3 Các bổ đề Bổ đề 1.3.1 Với các ánh xạ L, N định nghĩa ở trên, ta có các kết quả sau: {x (t ) = i) KerL = c, t ∈ [ 0, ω ] , c ∈ }  ω  ii) ImL = y ∈ Y : ∫ y ( u ) du = 0   0  iii) L là toán tử Fredholm với chỉ số là 0. iv) Tồn tại các ánh xạ chiếu P : X → X , Q : Y → Y sao cho: ImP = Ker L ; KerQ = Im L . Hơn nữa, với Ω là tập con mở, bị chặn của X, Ω ∩ domL ≠ ∅ thì N là ánh xạ L- compact trên Ω . v) x ( t ) là nghiệm tuần hoàn của phương trình (1.1) nếu và chỉ nếu x là nghiệm của phương trình Lx = Nx trong D ( L ) . Chứng minh { i) KerL = x ∈ X ∩ domL : L ( x ) = x( ) = 0 n } • Trước tiên ta chứng minh với x ∈ KerL thì x( ) ( t = + ω ) x( ) ( = t ) ( i 1, 2,..., n ) i i x ∈ KerL ⇒ x ( t + ω ) = x ( t ) , ∀t ∈  x ( t + ω + ∆t ) − x ( t + ω ) x ( t + ∆t ) − x ( t ) x′ ( t + ω ) = lim = lim = x′ ( t ) ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t ⇒ x′ ( t + ω ) = x′ ( t ) , ∀t ∈ 
x′ ( t + ω + ∆t ) − x′ ( t + ω ) x′ ( t + ∆t ) − x′ ( t ) x′′ ( t + ω ) = lim = lim = x′′ ( t ) ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t Tiếp tục ta chứng minh được x( ) ( t = + ω ) x( ) ( = t ) ( i 1, 2,..., n ) i i • x ∈ KerL ⇒ x ∈ Cωn và x( ) = 0 n ⇒ x n−1 ( t ) = c ∀t ∈  , c = const ⇒ x( n−2 ) (t ) = ct + α , α ∈  Ta có x( ) ( t + ω ) − x( ) ( t ) = n−2 n−2 cω ⇔ 0 =cω ⇔ c =0 Vậy x( ) ( t ) = 0 n −1 ∀t ∈  . Lập luận tương tự ta có x′ ( t ) = 0 ∀t ∈  ⇒ x ( t ) = c , ∀t ∈  .  ω  ii) ImL = y ∈ Y : ∫ y ( u ) du = 0   0  y ∈ ImL ⇒ ∃x ∈ domL ∩ X sao cho L ( x ) = y ⇒ ∃x ∈ Cωn : y = x( ) n x( ) ( u ) ⇒ y (u ) = n ∀u ∈  ω ω ⇒ ∫ y ( u ) du =∫ x( ) ( u ) du = x( ) (ω ) − x( ) ( 0 ) = 0 n n −1 n −1 0 0  ω  Vậy ImL = y ∈ Y : ∫ ( ) y u du = 0   0  iii) L là toán tử Fredholm với chỉ số là 0. Dễ kiểm tra L là ánh xạ tuyến tính. {x (t ) = KerL = c, t ∈ [ 0, ω ] , c ∈ } =  ⇒ dim KerL = 1
 ω  ImL = y ∈ Y : ∫ y ( u ) du = 0  đóng  0  ω Thật vậy xét ánh xạ ϕ : Cω →  , ϕ ( y ) = ∫ y ( t ) dt 0 0 ϕ là ánh xạ liên tục ⇒ ϕ −1 {0} là tập đóng  ω  ⇒ ImL = y ∈ Y : ∫ y ( u ) du = 0  là tập đóng.  0  dim (Y / ImL ) = 1 ⇒ codim ImL= 1= dim KerL Vậy L là toán tử Fredholm với chỉ số là 0. iv) Tồn tại ánh xạ chiếu P : X → X , Q : Y → Y sao cho KerL = ImP ; ImL = KerQ Đặt P ( x )( t ) = x ( 0 ) , x ∈ X . Ta chứng minh KerL = ImP Với x ∈ KerL ⇒ x ( t )= c, ∀t ∈  ⇒ x ( 0 ) = c Khi đó x ( t )= c= x ( 0 )= P ( x )( t ) ⇒x=P ( x ) ⇒ x ∈ ImP ⇒ KerL ⊂ ImP . Mặt khác P ( x )( t ) = x ( 0 ) ⇒ ImP ⊂ KerL Vậy KerL = ImP . ω 1 Đặt Q ( y )( t ) = y ( s ) ds . Ta chứng minh ImL = KerQ ω ∫0 ω 1 Lấy y ∈ KerQ ⇒ Q ( y ) = 0 ⇒ Q ( y )( t )= y ( s ) ds= 0 ω ∫0 ω ⇒ ∫ y ( s ) ds = 0 ⇒ y ∈ Im L . Vậy KerQ ⊂ ImL . 0 ω ω 1 Lấy y ∈ ImL ⇒ ∫ y ( s ) ds = 0 ⇒ ∫ y ( s ) ds = 0 ⇒ y ∈ KerQ . Vậy ImL ⊂ KerQ 0 ω 0
Suy ra ImL = KerQ . {0} dẫn đến L|D( L )∩KerP : D ( L ) ∩ KerP → ImP là song ánh, ký hiệu KerL ∩ KerP = ánh xạ ngược là K P n −1 i n t s sn −1 s2 ( K P y )( t ) ∑ x(i ) ( 0 ) + ∫ ∫ t = i =1 i ! ∫ ... ∫ y ( s1 ) ds1ds2 ...dsn 0 0 0 0 Trong đó x(= i) ( 0 ) , i 1, 2,..., n − 1 được xác định bởi phương trình sau AX = B  x( n−1) ( 0 )  1 0 0 ... 0 0   b1  c  x ( ) b  ( 0) n − 2 1 1 0 ... 0 0    2  c2 0 0 A= c1 1 ...   ; X = x ( n − 3 ) ( 0 )  và B = b3            cn−3 cn−4 cn−5 ... 1 0    b     x′′ ( 0 )   n−2  cn−2 cn−3 cn−4  c1 1   x′ ( 0 )  bn−1    Ts s −1 i 1 −T i bi = ∫ ∫ ...∫ y ( s )ds...dsi và ci = T 00 0 ( i + 1)! Với Ω ⊂ X là tập mở, bị chặn và Ω ∩ domL ≠ ∅ , ta có QN Ω bị chặn và ( ) K P ( I − Q ) N : Ω → X là ánh xạ compact. Do đó N là ánh xạ L - compact trên Ω. v) Nếu x ∈ D ( L ) , Lx = Nx thì x là nghiệm tuần hoàn chu kỳ ω của phương trình (1.1) Bổ đề 1.3.2 Với x ∈ X ta có : x( ) ( t ) ≤ ω n−1−i x( i n −1) = , i 1,..., n − 1 ∞ Chứng minh
Vì x (i ) (= t ), i 1,..., n − 1 là các hàm liên tục tuần hoàn với chu kì ω nên theo định lý Lagrang tồn tại ξi ∈ [ 0, ω ] sao cho x( ) (ω ) − x( ) ( 0 ) = ω x( i ) (ξi ) i −1 i −1 ⇒ x( ) (ξi ) = 0 , với ξi ∈ [ 0, ω= ] , i 1,..., n − 1 i Ta có x ( ) ( t ) ≤ x ( ) n −1 n −1 ∞ t ( n−2 ) ( n−2 ) x( n −1) = x (t ) x (ξ n−2 ) + ∫ ( s ) ds ξn−2 t ω ( n−2 ) ( n−2 ) ( n−1) ⇒ x (t ) ≤ x (ξ n−2 ) + ∫ x ( s ) ds ≤ ∫ x( n−1) ( s ) ds ≤ ω x( n −1) ∞ ξn−2 0 nạp ta chứng minh được: x ( ) ( t ) ≤ ω n−1−i x ( ) i n −1 Tiếp tục bằng quy , ∞ =i 1, 2,..., n − 1 1.4 Các định lý Định lý 1.4.1 n 4k + 2 là số nguyên dương. Giả sử = (A1) τ i khả vi trên  và τ i′ ( t ) < 1 , t ∈  , i = 1, 2, …, m Tồn tại M > 0 : f ( t , c,..., c ) > 0 ∀c > M và f ( t , c,..., c ) < 0 ∀c < − M n (A2) ( −1) a2i ≥ 0, i = 1,..., − 1 i 2 (A3) Tồn tại các hàm g và h liên tục sao cho ( t , x0 ,..., xm ) g ( t , x0 ,..., xm ) + h ( t , x0 ,..., xm ) f= Và tồn tại số β > 0, m > 0 sao cho m +1 g ( t , x0 ,..., xm ) x0 ≥ β x0 Và tồn tại các hàm liên tục gi , pi và e sao cho
m h ( t , x0 ,..., xm ) ≤ ∑ gi ( t , xi ) + e ( t ) i =0 gi ( t , x ) lim m = pi ( t ) , i = 0,..., m , t ∈  x→∞ x Tồn tại các hàm liên tục không âm qi , r sao cho m f ( t , x0 ,..., xm ) ≤ ∑ qi ( t ) xi + r (t ) m i =0 1 Ký hiệu hàm ngược của t − τ i ( t ) là µi . Đặt λi = max  1 − τ i′ ( µi ( t ) ) m m n −1 Khi đó (1.1) có nghiệm tuần hoàn nếu ∑ λi m +1 pi ∞ + p0 ∞ < β và ∑ ai ω n−i < 1 i =1 i =1 Chứng minh Để áp dụng thuyết trùng bậc Mawhin chúng ta sẽ định nghĩa một tập mở, bị chặn Ω ⊂ X sao cho các điều kiện i), ii), iii) của thuyết trùng bậc Mawhin được thỏa mãn. Để xác định được Ω cần qua 3 bước. Bước 1: Đặt Ω1 = { x ∈ domL KerL : L ( x ) = λ N ( x ) , λ ∈ ( 0,1)} Chứng minh Ω1 bị chặn. Với x ∈ Ω1 . Ta có  n−1  ( x( ) ( t ) = λ  ∑ ai x( ) ( t ) + f t , x ( t ) , x ( t − τ1 ( t ) ) ,..., x ( t − τ m ( t ) )  n i )  i =1  (1.2) ω n −1 ω (n) ⇒ −∫ x ( s ) x ( s ) ds + λ ∑ ai ∫ x(i ) ( s ) x ( s ) ds 0 i =1 0 ω ( + λ ∫ f s, x ( s ) , x ( s − τ1 ( s ) ) ,..., x ( s − τ m ( s ) ) x ( s ) ds = 0 ) 0
ω m +1 Bước 1.1: Chứng minh ∃M > 0 sao cho: ∫ x(s) ds ≤ M 0 Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có ω ω 2 ( 2i ) ∫x ( s ) x ( s ) ds = ( −1) ∫  x(i ) ( s ) i ds 0 0 ω ( 2i −1) ∫x ( s ) x ( s ) ds = 0 0 Từ (1.2) ta có 2 n −1 n ω     ω n 2 2 ( −1) 2 +1  ∫ x 2  ( s ) ds + λ ∑ ( −1) a2i ∫  x(i ) ( s ) ds  i  i =1 0   0 ω ( ) + λ ∫ f s, x ( s ) , x ( s − τ1 ( s ) ) ,..., x ( s − τ m ( s ) ) x ( s ) ds = 0 0 n n 4k + 2 , λ ∈ ( 0,1) , ( −1) a2i ≥= Với = 0, i 1,..., − 1 i 2 ω ( ) ⇒ ∫ f s, x ( s ) , x ( s − τ1 ( s ) ) ,..., x ( s − τ m ( s ) ) x ( s ) ds ≤ 0 0 Từ (A3) ta có ω ∫ g ( s, x ( s ) , x ( s − τ1 ( s ) ) ,..., x ( s − τ m ( s ) ) ) x ( s ) ds 0 ω ( ) + ∫ h s, x ( s ) , x ( s − τ1 ( s ) ) ,..., x ( s − τ m ( s ) ) x ( s ) ds ≤ 0 0 Cũng từ giả thiết (A3) ta có ω ω β ∫ x(s) m +1 ( ) ds ≤ ∫ g s, x ( s ) , x ( s − τ1 ( s ) ) ,..., x ( s − τ m ( s ) ) x ( s ) ds 0 0
ω ( ≤ − ∫ h s, x ( s ) , x ( s − τ1 ( s ) ) ,..., x ( s − τ m ( s ) ) x ( s ) ds ) 0 ω ≤ ∫ h ( s, x ( s ) , x ( s − τ1 ( s ) ) ,..., x ( s − τ m ( s ) ) ) x ( s ) ds 0 ω ( ≤ ∫ h s, x ( s ) , x ( s − τ1 ( s ) ) ,..., x ( s − τ m ( s ) ) x ( s ) ds ) 0 m ω ω ω ( ) ≤ ∑ ∫ gi s, x ( s − τ i ( s ) ) x ( s ) ds + ∫ g 0 ( s, x ( s ) ) x ( s ) ds + ∫ e ( s ) x ( s ) ds i =1 0 0 0 ( + ε ) + ( p0 +ε)< β m ∑λ m Chọn số ε > 0 sao cho: i m +1 pi ∞ ∞ i =1 gi ( t , x ) Với ε > 0 , do lim m = pi ( t ) nên tồn tại δ > 0 sao cho: x→∞ x gi ( t , x ) ≤ ( ε + pi ( t ) ) x với x ≥ δ , t ∈  . m Ký hiệu { ∆i ,1 = t ∈ [ 0, ω ] : x ( t − τ i ( t ) ) ≤ δ , i = 1,..., m } { ∆i ,2 = t ∈ [ 0, ω ] : x ( t − τ i ( t ) ) > δ , i = 1,..., m } { ∆ 0,1 = t ∈ [ 0, ω ] : x ( t ) ≤ δ } { ∆ 0,2 = t ∈ [ 0, ω ] : x ( t ) > δ } gi ,δ max { gi ( t , x ) , t ∈ [ 0, ω ] , x ≤ δ } , i = 0,1,..., m = Khi đó
ω m ∫ gi ( s, x ( s − τ i ( s ) ) ) x ( s ) ds + m +1 β ∫ x(s) ds ≤ ∑ 0 i =1 ∆i ,1 m ∑ ∫ gi ( s, x ( s − τ i ( s ) ) ) x ( s ) ds i =1 ∆i ,2 ω + ∫ g 0 ( s, x ( s ) ) x ( s ) ds + ∫ g 0 ( s, x ( s ) ) x ( s ) ds + ∫ e ( s ) x ( s ) ds ∆ 0,1 ∆ 0,2 0 m m ≤ ∑ gi ,δ x ( s ) ds + ∑ ∫ (ε + pi ( s ) ) x ( s − τ i ( s ) ) x ( s ) ds m ∫ =i 1 =i 1 ∆i ,1 ∆i ,2 ω (ε + p0 ( s ) ) x ( s ) m +1 + g 0,δ ∫ x ( s ) ds + ∫ ds + ∫ e ( s ) x ( s ) ds ∆ 0,1 ∆ 0,2 0 m ω m ω ≤ ∑ gi ,δ ∫ x ( s ) ds + ∑ ∫ ( ε + pi ( s ) ) x ( s − τ i ( s ) ) x ( s ) ds m =i 0 = 0 i 10 ω ω + ∫ ( ε + p0 ( s ) ) x ( s ) m +1 ds + ∫ e ( s ) x ( s ) ds 0 0 m ω m ω ≤ ∑ gi ,δ ∫ x ( s ) ds + ∑ ε + pi ( ) ∫ x ( s − τ i ( s )) x ( s ) ds m ∞ =i 0= 0 i 1 0 ω ω ( + ε + p0 ∞ ) ∫ x(s) m +1 ds + e ∞ ∫ x ( s ) ds 0 0 Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có 1 m 1 ω  m +1  ω m +1  m +1 ω m +1 ω m m +1  +1 m ∫ x ( s ) ds ≤  ∫ x ( s ) ds    m 1 ds ∫   = ∫  x s ( ) ds  ω m+1  0 0  0  0  m 1 ω ω  m+1  ω  m+1 m +1 x ( s − τ i ( s )) x ( s ) ds ≤  ∫ x ( s − τ i ( s ) ) m +1  ∫ x(s) m ∫  ds    ds   0 0  0  Dẫn đến ta có
1 ω m m ω  m+1 m +1 m +1 β ∫ x(s) ds ≤ ∑ gi ,δ ( ) ∫ ω  m +1 x s ds   0 i =0 0  m 1 m ω  m+1  ω  m+1 ( ) m +1  ∫ x ( s − τ i ( s )) m +1 + ∑ ε + pi ds   ∫ x ( s ) ds  ∞     i =1 0  0  1 1 ω  m+1 m ω  m+1 ( + ε + p0 ∞ )  ∫ x ( s ) m+1 ds  + e ∞ ω  m +1 ∫ x(s) m +1 ds   0  0  Vì τ i là các hàm tuần hoàn với chu kì ω và τ i′ ( t ) < 1 nên tồn tại µi là các hàm m +1 ω m +1 x(s) ω ngược của hàm t − τ i ( t ) . Khi đó ∫ x ( s − τ i ( s )) ∫ 1 − τ i′ ( µi ( s ) ) ds ds = 0 0 Thật vậy, đổi biến t= s − τ i ( s ) ⇒ s =µi ( t ) và dt= (1 − τ i′ ( s ) ) ds ω −τ i (ω ) m +1 m +1 ω m +1 x (t ) ω x(s) ∫ x ( s − τ i ( s )) ds = ∫ 1 − τ i′ ( µi ( t ) ) dt = ∫ 1 − τ i′ ( µi ( s ) ) ds 0 −τ ( 0 ) i 0 Do đó m 1 ω m ω  x(s) m +1   m+1  ω  m+1 β ∫ x(s) m +1 ds ≤ ∑ ε + pi ( ∞ )    ds   ∫  1 − τ i′ ( µi ( s ) )    ∫ x(s)  m +1 ds   + 0 i =1 0   0  1 ω m ω  m+1 ( + ε + p0 ∞ ) ∫ x(s) m +1 ds + ω +1 m e ∞  ∫ x(s)  m +1 ds   0 0 