Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ổn định mũ hệ phương trình vi phân suy biến dương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

25
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một trong lớp các hệ suy biến hiện nay cũng đang được quan tâm nghiên cứu là hệ suy biến dương có trễ, mà bài toán ổn định cho các hệ này phức tạp hơn đối với các hệ thông thường. Hệ dương là các hệ xuất phát từ các điều kiện ban đầu dương có nghiệm luôn dương. Đối với các hệ dương, đặc biệt là hệ suy biến dương, đòi hỏi các kỹ thuật đặc biệt mà đối với các hệ thông thường không thể áp dụng được.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ổn định mũ hệ phương trình vi phân suy biến dương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— NGUYỄN VĂN NHƯNG ỔN ĐỊNH MŨ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN SUY BIẾN DƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— NGUYỄN VĂN NHƯNG ỔN ĐỊNH MŨ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN SUY BIẾN DƯƠNG Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH VŨ NGỌC PHÁT Thái Nguyên - Năm 2017
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trong luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "ỔN ĐỊNH MŨ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN SUY BIẾN DƯƠNG" được hoàn thành bởi nhận thức của tôi, không trùng lặp với luận văn, luận án và các công trình đã công bố. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Người viết Luận văn Nguyễn Văn Nhưng Xác nhận Xác nhận Trưởng khoa chuyên môn Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH Vũ Ngọc Phát i
Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS. TSKH Vũ Ngọc Phát, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, cho tôi những nhận xét quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Người viết luận văn Nguyễn Văn Nhưng ii
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Một số ký hiệu viết tắt 3 1 Cơ sở toán học 4 1.1 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Hệ phương trình vi phân có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Bài toán ổn định Lyapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Hệ phương trình tuyến tính suy biến dương . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến dương . . 9 1.4.2 Hệ phương trình rời rạc tuyến tính suy biến dương . . . 11 1.5 Các bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 iii
2 Tính dương của hệ suy biến có trễ 19 2.1 Hệ vi phân tuyến tính suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Hệ rời rạc tuyến tính suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Tính ổn định mũ của hệ suy biến 26 3.1 Hệ vi phân tuyến tính suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Hệ rời rạc tuyến tính suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Tài liệu tham khảo 40 iv
Mở đầu Trong lý thuyết định tính các hệ động lực, bài toán ổn định và ổn định hóa có vai trò rất quan trọng. Sự nghiên cứu bài toán ổn định hệ thống đã trở thành một hướng nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết hệ thống và ứng dụng. Một trong lớp các hệ suy biến hiện nay cũng đang được quan tâm nghiên cứu là hệ suy biến dương có trễ, mà bài toán ổn định cho các hệ này phức tạp hơn đối với các hệ thông thường. Hệ dương là các hệ xuất phát từ các điều kiện ban đầu dương có nghiệm luôn dương. Đối với các hệ dương, đặc biệt là hệ suy biến dương, đòi hỏi các kỹ thuật đặc biệt mà đối với các hệ thông thường không thể áp dụng được. Bài toán ổn định cho các hệ dương không có trễ được nghiên cứu bởi nhiều tác giả trong và ngoài nước, tuy nhiên cho tới nay còn ít kết quả về ổn định cho các hệ suy biến dương có trễ. Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu bài toán ổn định của hệ tuyến tính suy biến dương có trễ. Trước tiên, chúng tôi trình bày các điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính suy biến là dương. Sau đó sử dụng phương pháp phân tích phổ, trình bày các điều kiện đủ để hệ là ổn định mũ, các điều kiện này được trình bày thông qua nghiệm của bất đẳng thức ma trận tuyến 1
tính. Chương 1 trình bày cơ sở toán học hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình vi phân suy biến, hệ suy biến dương. Bài toán ổn định Lyapunov, phương pháp hàm Lyapunov. Chương 2 trình bày các kết quả về tính dương của hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ vi phân tuyến tính suy biến, hệ rời rạc tuyến tính suy biến. Chương 3 trình bày về tính ổn định mũ của hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ rời rạc tuyến tính suy biến dương. 2
Một số ký hiệu viết tắt Rn0,+ Không gian véctơ không âm trong Rn . Rm×n Tập các ma trận cấp thực ( m × n.) N Tập các số nguyên không âm. C([−h, 0], Rn ) Không gian các hàm liên tục xác định trên [−h, 0]. In Là ma trận đơn vị cấp n. x0 Ký hiệu véctơ không âm. B ∈ Rn×n Được gọi là ma trận Matzler nếu các phần tử của đường chéo là không âm. B0 Ma trận không âm. ||A|| Ký hiệu chuẩn của ma trận A. |x| Ký hiệu module của véctơ x, |x| = (|x1 | , |x2 | , ..., |xn |) Q Kí hiệu ma trận đơn thức dương nếu các hàng, cột của ma trận chỉ có một phần tử dương còn lại bằng không. 3
Chương 1 Cơ sở toán học Chương này trình bày một số kiến thức cơ sở toán học về hệ phương trình vi phân điều khiển, phương pháp hàm Lyapunov, bài toán ổn định hóa và các bổ đề bổ trợ. Nội dung chương này được trình bày từ tài liệu [1-3]. 1.1 Hệ phương trình vi phân Xét hệ phương trình vi phân sau:   x˙ = f (t, x),  t ∈ I = [t0 − b, t0 + b], (1.1) n  x(t0 ) = x0 , x ∈ R , t0 ≥ 0,  trong đó I × D → Rn , D = {x ∈ Rn : kx − x0 k ≥ a}. Nghiệm x(t) của hệ phương trình vi phân sẽ là hàm số khả vi liên tục thỏa mãn: i) (t, x(t)) ∈ I × D, 4
ii) x(t) thỏa mãn phương trình vi phân. Giả sử f (t, x) liên tục trên I × D, khi đó nghiệm x(t) được cho bởi dạng tích phân sau: Zt x(t) = x0 + f (s, x(s))ds, x ≥ 0. t0 Định lý 1.1.1 (Định lý Picard-Lindeloff). Xét hệ phương trình vi phân, giả sử hàm f (t, x) : I × D : → Rn là liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x: ∃K > 0 : kf (t, x1 ) − f (t, x2 )k ≤ Kkx1 − x2 k, ∀t ≥ 0. Khi đó với mỗi (t0 , x0 ) ∈ I × D sẽ tìm được số b > d > 0 sao cho hệ (1.1) luôn có nghiệm duy nhất trên khoảng [t0 − d, t0 + d]. Định lý 1.1.2 ( Định lý Caratheodory). Giả sử f (t, x) là hàm đo được theo t ∈ I và liên tục theo x ∈ D. Nếu tồn tại hàm khả tích m(t) trên (t0 , t0 + b) sao cho kf (t, x)k ≤ m(t), ∀(t, x) ∈ I × D Khi đó hệ (1.1) có nghiệm trên khoảng [t0 , t0 + β] nào đó. Định lý (1.1.2) cho ta điều kiện tồn tại đủ nghiệm mà không duy nhất. 1.2 Hệ phương trình vi phân có trễ Chúng ta nhận thấy rằng các quá trình xảy ra trong tự nhiên thường có liên quan đến quá khứ. Các hệ phương trình có phụ thuộc trễ thể hiện được đặc 5
điểm phụ thuộc vào quá khứ này của hệ thống, phần dưới đây sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản cho hệ có trễ. Xét một hệ thống phụ thuộc vào quá khứ với độ trễ h (0 ≤ h < +∞) . Với x(t) : Rn → Rn là một hàm liên tục, đặt xt (δ) = x (t + δ) , ∀δ ∈ [−h, 0] và ký hiệu kxt k = sup kx (t + δ)k . δ∈[−h,0] Khi đó hệ phương trình vi phân có trễ được cho dưới dạng:  .  x(t) = f (t, xt ), t ≥ 0  (1.2)  x(t0 ) = ϕ (t) , t ∈ [−h, 0]  trong đó: f : D → Rn , D ⊂ R × C ([−h, 0] , Rn ) , ϕ ∈ C ([−h, 0] Rn ) , kϕk = sup kϕ (t)k . t∈[−h,0] Hàm x(t) được gọi là nghiệm của phương trình vi phân có trễ (1.2) trên [t0 − h, t0 + A] nếu tồn tại t0 ∈ R và A > 0 sao cho: i) x ∈ C ([t0 − h, t0 + A] , Rn ) , (t, x1 ) ∈ D ii) x(t) thỏa mãn phương trình (1.2) với t ∈ [t0 , t0 + A] . Hệ (1.1) được gọi là tuyến tính nếu f (t, ϕ) = L (t, ϕ) + h (t) , trong đó L (t, ϕ) là tuyến tính theo φ. Hệ (1.2) được gọi là hệ ôtônôm nếu f (t, ϕ) = g (ϕ) , trong đó g không phụ thuộc theo t. Giả sử t0 = 0, ϕ ∈ C ([−h, 0] , Rn ) cho trước và f (t, ϕ) liên tục trên D. Khi đó nghiệm x(t) của hệ (1.2) cho bởi dạng 6
tích phân:   x (t) = ϕ (t) , t ∈ [−h, 0]   Rt (1.3)    x(t) = ϕ (0) + f (s, x(s))ds, t ≥ 0. 0 Trong phần nghiên cứu này chúng tôi luôn giả thiết hàm f (.) của hệ (1.3) thỏa mãn một số điều kiện về tồn tại nghiệm trên toàn bộ đường thẳng [0, +∞]. (xem [3]). 1.3 Bài toán ổn định Lyapunov. Xét hệ phương trình vi phân (1.1) trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái của hệ. f : R+ × Rn → Rn là hàm véc tơ cho trước, giả sử f(t,x) thỏa mãn điều kiện bài toán Cauchy hệ (1.1) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , t0 > 0, luôn có nghiệm dạng tích phân cho bởi công thức: Zt x(t) = x0 + t f (s, x(s))ds, t ≥ t0 . t0 Bằng phép đổi biến x − y → z, t − t0 → τ, hệ (1.1) đưa về dạng: z˙ = F˙ (τ, z), (1.4) trong đó F (τ, 0) = 0 và khi đó sự ổn định của một nghiệm x(t) nào đó của hệ (1.1) sẽ được đưa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm 0 của hệ (1.4). Do đó 7
ta xét hệ (1.1) với giả thiết nghiệm 0 tức là f (t, 0) = 0, t ∈ R+ ta nói hệ (1.1) ổn định thay vì nói nghiệm 0 của hệ ổn định. Định nghĩa 1.3.1. Hệ (1.1) được gọi là ổn định nếu với ∀ε > 0, t0 ∈ R+ , ∃δ(ε, t0 ) > 0, sao cho bất kỳ nghiệm x(t) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 . thỏa mãn: kx0 k < δ, thì kx(t)k < ε, ∀t ≥ t0 . Định nghĩa 1.3.2. Hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu hệ ổn định và tồn tại số δ >0 sao cho nếu kx0 k < δ, thì lim kx(t)k = 0. x→∞ Định nghĩa 1.3.3. Hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại các số M>0, α > 0 sao cho mọi nghiệm của hệ (1.1) với x(t0 ) = x0 , thỏa mãn : kx(t)k ≤ M e−α(t−t0 ) kx0 k, t ≥ t0 . 8
Tức là nghiệm 0 của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọi nghiệm của nó tiến tới 0 nhanh với tốc độ theo hàm số mũ. Định nghĩa 1.3.4. Cho số dương α > 0. Hệ (1.1) được gọi là α− ổn định nếu tồn tại số dương N > 0 sao cho với bất kì điều kiện đầu ϕ(t) nghiệm x(t, ϕ) thỏa mãn: ||x(t, ϕ)|| ≤ N.e−αt ||ϕ||, ∀t ≥ 0. Ví dụ 1. Xét hệ phương trình vi phân sau trong R: x(t) ˙ = ax(t), t ≥ 0, nghiệm x(t) với x(t0 ) = x0 cho bởi công thức x(t) = x0 eat , t ≥ 0. Khi đó: Nếu a0 hệ không ổn định. 1.4 Hệ phương trình tuyến tính suy biến dương 1.4.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến dương Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến dạng   E x(t)  ˙ = A0 x(t) + A1 x(t − h), t ≥ 0 (1.5)  x(t) = ϕ(t), t ∈ [−h, 0],  trong đó x(t) ∈ Rn là véctơ trạng thái, A0 , A1 ∈ Rn×n là các ma trận hằng số cho trước. Ma trận E ∈ Rn×n suy biến sao cho rankE = r ≤ n, h là hằng số trễ. Hàm điều kiện ban đầu ϕ(t) : [−h, 0] → C([−h, 0], Rn ). 9
Định nghĩa 1.4.1. i) Cặp (E, A0 ) được gọi là chính quy nếu det(sE−A0 ) 6= 0. ii) Cặp (E, A0 ) được gọi là xung tự do nếu deg(det(sE − A0 ) 6= 0)= rank E iii) Hệ (1.5) được gọi là chính quy và xung tự do nếu cặp (E, A0 ) là chính quy và xung tự do. Với các giả thiết chính quy và xung tự do hệ (1.5) luôn có duy nhất nghiệm. Như hệ phương trình vi phân các khái niệm về ổn định cho hệ (1.5) được định nghĩa tương tự: Định nghĩa 1.4.2. Hệ(1.5) được gọi là ổn định tiệm cận (ổn định mũ) nếu hệ là chính quy và xung tự do và ổn định tiệm cận (ổn định mũ) Ta có khái niệm hệ dương như sau: Định nghĩa 1.4.3. Hệ(1.5) được gọi là dương nếu với điều kiện đầu dương n ϕ : [−h, 0] → R0,+ thì nghiệm x(t) ≥ 0, ∀t ≥ 0 Ta biết rằng từ điều kiện chính qui và xung tự do sẽ tồn tại hai ma trận nghịch đảo P, Q sao cho       Ir 0  A01 A02  A11 A12  P EQ(t) =   , P A0 Q =   , P A1 Q =   0 0n−r A03 A04 A13 A14 Biến đổi tọa độ y1 (t) = Q−1 x(t) = [y1 (t), y2 (t)]. Trong đó y1 (t) ∈ Rr , y2 (t) ∈ Rn−r . Hệ (1.5) được đưa về hệ sau:   y˙ 1 (t) = A01 y1 (t) + A11 y1 (t − h) + A12 y2 (t − h), y1 (t) = ψ1 (t),  y2 (t) = −A−1  04 [A03 y1 (t) + A13 y1 (t − h) + A14 y2 (t − h)], y2 (t) = ψ2 (t),  (1.6) 10
trong đó: A01 = A01 − A02 A−1 04 A03 , A11 = A11 − A02 A−1 04 A13 , A12 = A12 − A02 A−1 04 A14 . Định nghĩa 1.4.4. Ma trận Q gọi là đơn thức dương nếu các hàng, cột của ma trận chỉ có 1 phần tử là dương, còn lại là bằng không. Mệnh đề 1.4.5. Giả sử rằng (E, A0 ) là chính quy và xung tự do Q là ma trận đơn thức dương và detA04 6= 0 khi đó hệ (1.5) dương khi và chỉ khi hệ (1.6) dương. Chứng minh. Giả sử hệ (1.5) dương thì ta có y(t) = Q−1 x(t) và từ hệ (1.5) Q−1 > 0 ⇔ Q là ma trận đơn thức khi đó y(t) ≥ 0, t ≥ 0. Ngược lại giả sử (1.5) là dương tức là y(t) ≥ 0, t ≥ 0 ta có x(t) = Qy(t) ≥ 0, t ≥ 0 vì Q > 0. 1.4.2 Hệ phương trình rời rạc tuyến tính suy biến dương Tương tự như hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến dương (1.5) ta xét hệ phương trình rời rạc tuyến tính suy biến dương sau:   Ex(k + 1) = A0 x(k) + A1 x(k − h(k)),  k ∈ N, (1.7)  x(k) = ϕ(k), k ∈ {−τ, −(τ − 1), ..., 0},  trong đó x(k) ∈ Rn , k ∈ N là véctơ trạng thái A0 , A1 ∈ Rn×n , ma trận E ∈ Rn×n là suy biến và rank E = r < n; h(k) là hàm trễ thỏa mãn điều kiện: 0 < h(k) ≤ τ, k ∈ N, 11
hàm ban đầu ϕ(·) : {−τ, · · · , 0} → Rn với chuẩn kϕk = max kϕ(k)k. k∈{−τ,−(τ −1),...,0} Tương tự như hệ vi phân (1.5) ta có các định nghĩa sau. Định nghĩa 1.4.6. (i) Hệ (1.7) là chính qui nếu det(zE − A0 ) 6= 0. (ii) là xung rời rạc nếu deg(det(zE − A0 )) = rank(E) = r. Định nghĩa 1.4.7. Hệ (1.7) là dương nếu với điều kiện ban đầu dương: ϕ(·) 0 thì nghiệm x(k; ϕ) 0, ∀k ∈ N. Với điều kiện chính qui và xung rời rạc sẽ tồn tại hai ma trận chính qui (khả nghịch) P, Q sao cho       Ir 0  A01 0  A11 A12  P EQ =   , P A0 Q =  , P A1 Q =  . 0 0n−r 0 In−r A13 A14 Và khi đó hệ (1.7) được phân tách về hệ dạng:   k k−1 P k−1−i ¯  x(k) = A01 P1 x(0) + A01 A1 x(i − h(i)) + A¯2 x(k − h(k)),   i=0 (1.8)   x(k) = ϕ(k), k ∈ {−τ, −(τ − 1), ..., 0},   trong đó     A01 0 −1 I 0 −1 A01 = Q   Q , P1 = Q  Q , 0 0 0 0     A11 A12  −1  0 0  −1 A¯1 = Q   Q , A¯2 = Q  Q . 0 0 −A13 −A14 Mệnh đề 1.4.8. Giả sử hệ (1.7) là chính qui và xung rời rạc với x(k; ϕ) là một nghiệm của hệ ta có các tính chất nghiệm sau: (i) P1 x(k; ϕ) = x(k; ϕ) − A¯2 x(k − h(k); ϕ), k ∈ N. 12
(ii) x(k+1; ϕ) = A01 x(k; ϕ)+A¯1 x(k−h(k); ϕ)+A¯2 x(k+1−h(k+1); ϕ), k ∈ N. (iii) x(k; αϕ) = αx(k; ϕ), ∀α > 0, k ∈ N. Chứng minh. (i) Ta sẽ chứng minh (i) bằng phương pháp qui nạp toán học. Để đơn giản ta ký hiệu x(k) := x(k; ϕ) cho k = 0 và sẽ chứng minh P1 x(0) = x(0) − A¯2 x(−h(0)). Theo phép đổi biến y(k) = Q−1 x(k) = [y1 (k), y2 (k)] trong đó y1 (k) ∈ Rr y2 (k) ∈ Rn−r , hệ (1.7) được đưa về hệ :    y1 (k + 1) = A01 y1 (k) + A11 y1 (k − h(k)) + A12 y2 (k − h(k)),  (1.9)   y2 (k) = −A13 y1 (k − h(k)) − A14 y2 (k − h(k)),  như vậy nghiệm của hệ (1.8) sẽ là   k−1 P k−1−i  y1 (k) = Ak01 y1 (0) + A01 A11 y1 (i − h(i)) + A12 y2 (i − h(i)) ,   i=0   y2 (k) = −A13 y1 (k − h(k)) − A14 y2 (k − h(k)).   (1.10) Ta có     Ir 0  0 0  y(0) =   y(0) +   y(−h(0)). (1.11) 0 0 −A13 −A14 Từ công thức y(k) = Q−1 x(k) và (1.11) suy ra     Ir 0 −1  0 0  −1 Q−1 x(0) =   Q x(0) +   Q x(−h(0)). 0 0 −A13 −A14 13
Vậy ta có     Ir 0 −1  0 0  −1 x(0) =Q   Q x(0) + Q   Q x(−h(0)) 0 0 −A13 −A14 = P1 x(0) + A¯2 x(−h(0)). Giả sử rằng (i) thỏa mãn với l ≤ k : P1 x(l) = x(l) − A¯2 x(l − h(l)), ∀l ≤ k, (1.12) ta sẽ chứng minh (i) sẽ thỏa mãn với k + 1 : P1 x(k + 1) = x(k + 1) − A¯2 x(k + 1 − h(k + 1)). Thật vậy sử dụng (1.8) ta có k k+1 X k−i x(k + 1) = A01 P1 x(0) + A01 A¯1 x(i − h(i)) + A¯2 x(k + 1 − h(k + 1)) i=0 k−1 k+1 X k−i = A01 P1 x(0) + A01 A¯1 x(i − h(i)) + A¯1 x(k − h(k)) i=0 + A¯2 x(k + 1 − h(k + 1)) k−1 k X k−1−i = A01 A01 P1 x(0) + A01 A¯1 x(i − h(i)) i=0 + A¯1 x(k − h(k)) + A¯2 x(k + 1 − h(k + 1)). (1.13) Vì k−1 k X k−1−i A01 P1 x(0) + A01 A¯1 x(i − h(i)) = x(k) − A¯2 x(k − h(k)), (1.14) i=0 14