Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phân bố giá trị đối với các L-hàm thuộc lớp Selberg

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn có mục tiêu trình bày một số kết quả gần đây trong hướng nghiên cứu phân bố giá trị của các L-hàm thuộc lớp Selberg và ứng dụng, cụ thể là: sự xác định của L-hàm qua nghịch ảnh của một điểm, tính cả bội; sự xác định của L-hàm qua nghịch ảnh một tập hợp, tính cả bội; sự xác định của L-hàm qua nghịch ảnh một tập hợp, không tính bội; những điều kiện để L-hàm trùng với hàm zeta Riemann.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phân bố giá trị đối với các L-hàm thuộc lớp Selberg

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– NGUYỄN TRUNG KIÊN PHÂN BỐ GIÁ TRỊ ĐỐI VỚI CÁC L-hàm THUỘC LỚP SELBERG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– NGUYỄN TRUNG KIÊN PHÂN BỐ GIÁ TRỊ ĐỐI VỚI CÁC L-hàm THUỘC LỚP SELBERG Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 8 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH. Hà Huy Khoái THÁI NGUYÊN - 2020
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu khoa học độc lập của riêng bản thân tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TSKH. Hà Huy Khoái. Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong luận văn này là trung thực và chưa từng công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước đây. Ngoài ra, trong luận văn tôi có sử dụng một số kết quả của các tác giả khác đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc. Nếu phát hiện bất kỳ sự gian lận nào tôi xin chịu trách nhiệm về nội dung luận văn của mình. Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2020 Tác giả Nguyễn Trung Kiên Xác nhận Xác nhận của khoa chuyên môn của người hướng dẫn GS.TSKH. Hà Huy Khoái i
Lời cảm ơn Trong quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn tôi đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của người hướng dẫn, GS.TSKH. Hà Huy Khoái. Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn bộ môn Giải tích, Khoa Toán, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn này. Do thời gian có hạn, bản thân tác giả còn hạn chế nên luận văn có thể có những thiếu sót. Tác giả mong muốn nhận được ý kiến phản hồi, đóng góp và xây dựng của các thầy cô, và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2020 Tác giả Nguyễn Trung Kiên ii
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Lời mở đầu 1 1 Phân bố giá trị đối với các L-hàm 2 1.1 Hàm zeta Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Phân bố giá trị các L-hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Vấn đề xác định duy nhất đối với các L-hàm lớp Selberg 17 2.1 Xác định L-hàm qua nghịch ảnh các điểm riêng rẽ . . . . . . . . . . 17 2.2 Xác định L-hàm qua nghịch ảnh tập con . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 iii
Lời mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Các L-hàm luôn luôn là vấn đề trọng tâm của lý thuyết số và giải tích toán học. Trong các L-hàm thì các L-hàm thuộc lớp Selberg đóng vai trò hết sức quan trọng, vì nó chứa những hàm nổi tiếng của toán học như zeta hàm Riemann, L-hàm của các dạng modular. 2. Nội dung đề tài Luận văn có mục tiêu trình bày một số kết quả gần đây trong hướng nghiên cứu phân bố giá trị của các L-hàm thuộc lớp Selberg và ứng dụng, cụ thể là: - Sự xác định của L-hàm qua nghịch ảnh của một điểm, tính cả bội; - Sự xác định của L-hàm qua nghịch ảnh một tập hợp, tính cả bội; - Sự xác định của L-hàm qua nghịch ảnh một tập hợp, không tính bội; - Những điều kiện để L-hàm trùng với hàm zeta Riemann. Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1: Phân bố giá trị đối với các L-hàm Chương 2: Phân bố giá trị đối với các L-hàm thuộc lớp Selberg. 1
Chương 1 Phân bố giá trị đối với các L-hàm 1.1 Hàm zeta Riemann Hàm zeta Riemann là một hàm đặc biệt quan trọng của toán học và vật lý, xuất hiện trong tích phân xác định và có liên quan mật thiết đến các kết quả xung quanh định lý số nguyên tố. Hàm zeta Riemann là hàm của một biến phức s, là tổng của một chuỗi Dirichlet. P∞ 1 Các L-hàm là chuỗi Dirichlet, mà hàm zeta Riemann ζ(s) = n=1 ns là một ví dụ, là những đối tượng quan trọng trong lý thuyết số và đã được nghiên cứu rộng rãi. L-hàm là chuỗi Dirichlet ∞ X a(n) L(s) = ns n=1 của một biến phức s = σ + it, thỏa mãn các tiên đề sau: (i) Giả thiết Ramanujan: a(n) nε với mọi ε > 0; (ii) Thác triển giải tích: Có một số nguyên không âm k sao cho (s − 1)k L(s) là hàm nguyên có bậc hữu hạn. (iii) Phương trình hàm: L thỏa mãn phương trình hàm dạng ΛL (s) = ωΛL (1 − s¯), 2
trong đó K Y s ΛL (s) = L(s)Q Γ(λj s + µj ) j=1 với Q, λj , là số thực dương và các số phức µj , ω với Reµj ≥ 0 và |ω| = 1. PK Bậc dL của L-hàm L được xác định bởi dL = 2 j=1 λj , trong đó K, λj là những số thỏa mãn (iii). L-hàm thỏa mãn (i)-(ii) và đồng thời thoả mãn giả thiết tích Euler được gọi là L-hàm lớp Selberg S. Ta sẽ chỉ ra một L- hàm L thỏa mãn (i)-(iii) xác định duy nhất bởi các không điểm của L − c với hai số phức c phân biệt. Kết quả thu được áp dụng cho lớp Selberg. Từ (ii) L-hàm có thể được thác triển thành hàm phân hình trong mặt phẳng phức C. Tập hợp không điểm của hàm phân hình f , tập hợp không điểm f −1 (c) := {s ∈ C : f (c) = c} của f − c với c là giá trị phức, nghĩa là tập hợp các nghịch ảnh của c bởi f, hay là giá trị c của f là đối tượng chính của lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình. Sau đây là một định lý nổi tiếng của Nevanlinna, thường được gọi là định lý duy nhất (hoặc duy nhất Nevanlinna): hai hàm phân hình f, g trong C bằng nhau nếu f −1 (cj ) = g −1 (cj ), tức là f − cj và g − cj có chung các không điểm (không kể bội) với năm giá trị phân biệt cj ∈ C ∪ {∞}. Với các L-hàm, ta có kết quả tốt hơn. Cụ thể, hai L- hàm trong lớp Selberg phải bằng nhau nếu chúng có cùng không điểm kể cả bội. Hai L-hàm (không nhất thiết phải thuộc lớp Selberg) với a(1) = 1 bằng nhau nếu L1 − c và L2 − c có cùng không điểm kể cả bội, trong đó c là số phức. Khi bỏ qua bội, vấn đề trở nên tinh tế hơn. Ví dụ ζ và ζ 2 , có cùng không điểm (không kể bội), cho thấy kết quả trên không còn đúng khi bỏ qua bội. 1.2 Phân bố giá trị các L-hàm Định lý 1.1. [[2], T heorem A] Nếu hai L-hàm L1 và L2 thỏa mãn cùng phương trình hàm với a(1) = 1 và L−1 −1 1 (cj ) = L2 (cj ) với hai số phức khác nhau c1 và c2 3
sao cho N ˜ c2 (T ) ˜ c1 (T ) + N 1 Lj Lj lim infc c > + T →∞ NL1 (T ) + NL2 (T ) 2 j j trong đó là số dương bất kỳ, j = 1, 2 thì L1 ≡ L2 . Ở trên, NLc (T ) biểu thị số không điểm của L(σ + it) − c trong hình chữ nhất ˜ c (T ) số các không điểm như vậy, không kể cả 0 ≤ σ ≤ 1, |t| ≤ T (kể cả bội) và NL bội. Định lý 1.2. [[2], T heorem 1] Nếu hai L-hàm L1 và L2 thỏa mãn cùng phương trình hàm với a(1) = 1 và L−1 −1 1 (cj ) = L2 (cj ) cho hai số phức khác nhau c1 và c2 thì L1 ≡ L2 . Ta sử dụng lý thuyết Nevanlinna cùng với công cụ giải tích khác trong chứng minh Định lý 1.2, bằng cách phân tích cấp tăng và phân bố các không điểm của hàm. Do L-hàm là hàm phân hình và lý thuyết Nevanlinna được coi là công cụ quan trọng trong nghiên cứu hàm phân hình, ta sẽ chỉ ra các ứng dụng tiếp theo của lý thuyết Nevanlinna trong lý thuyết về các L-hàm. Cho f là hàm phân hình trong C. Khi đó, đặc trưng Nevanlinna T (r, f ) được định nghĩa như sau T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ), trong đó Z 2π 1 m(r, f ) = log+ |f (reiθ )|dθ; log+ |x| = max(0, log|x|), 2π 0 và Z r n(t, f ) − n(0, f ) N (r, f ) = dt + n(0, f ) log r, 0 t trong đó n(t, f ) là số cực của f (kể cả bội) trong |s| < t. Nhắc lại kết quả sau: (i) Các tính chất của T (r, f ) và m(r, f ): T (r, f g) ≤ T (r, f ) + T (r, g), T (r, f + g) ≤ T (r, f ) + T (r, g) + O(1). Các bất đẳng thức tương tự vẫn đúng với m(r, f ). 4
R+r (ii) log max|s|=r {|f (s)|} ≤ R−r T (R, f ) với R > r > 0 nếu f là hàm nguyên. (iii) Định lý cơ bản thứ nhất của Nevanlinna: T (r, f ) = T (r, f1 ) + O(1). 0 (iv) Bổ đề đạo hàm logarit: m(r, ff ) = O(log r) nếu giả thiết log T (r, f ) ρ(f ) := lim sup r→∞ log r của f là hữu hạn. Chứng minh. Ta chứng minh Định lý 1.1. Trường hợp 1: Một trong hai hàm L1 và L2 là hằng số, giả sử L1 là hàm hằng. Khi đó L1 = 1 từ giả thiết a(1) = 1. Do L2 − cj và L1 − cj có cùng không điểm, nên dễ thấy L2 ≡ 1 (trong đó c1 hoặc c2 bằng 1), hoặc L1 6= c1 , c2 trong C (trong đó c1 , c2 6= 1). Trường hợp 2: Lưu ý L-hàm có nhiều nhất một cực điểm, L2 phải là hàm hằng và do đó L2 ≡ 1 vì a(1) = 1, theo Định lý Picard cổ điển nói rằng một hàm phân hình siêu việt trong C nhận mỗi giá trị trong C ∪ {∞} vô hạn lần, với nhiều nhất hai trường hợp ngoại lệ (các L-hàm siêu việt nhận mọi số phức, theo công thức Riemann-von Mangoldt được đề cập bên dưới). Do đó, L1 ≡ L2 (≡ 1). Do đó, giả sử L1 và L2 không là hàm hằng. Giả sử ngược lại L1 6≡ L2 ,ta cần dẫn đến mâu thuẫn. Để thuận lợi, ta xét các hàm bổ trợ sau (s − 1)q L01 L02 (L1 − L2 )2 F (s) = , (1.1) (L1 − c1 )(L1 − c2 )(L2 − c1 )(L2 − c2 ) trong đó q là số nguyên sao cho F không có cực điểm hoặc không điểm tại s = 1. Rõ ràng, F không bằng không theo các giả thiết trên. Chứng minh dưới đây chỉ ra F bằng không, và ta có mâu thuẫn. Ta thấy F là hàm nguyên. Thực vậy, hai hàm L1 và L2 chỉ có một cực điểm tại s = 1, không thể là cực điểm của F, (xét hệ số của (s − 1)q . Do đó, các cực điểm có thể có của F chỉ có thể từ các không điểm của L1 − cj hoặc L2 − cj , j = 1, 2. 5
Nếu ω là một không điểm của L1 − cj với bậc m ≥ 1 và do đó, là không điểm của L2 − cj với bậc n ≥ 1 vì L1 − cj và L2 − cj có cùng không điểm (m khác với n), khi đó nó là không điểm của (L1 − L2 )2 bội ít nhất là 2. Lưu ý ω là không điểm của L01 với bậc m − 1 và không điểm của L02 với bậc n − 1. Do đó, tử số trong (1.1) triệt tiêu tại ω với bội ít nhất bằng (m − 1) + (n − 1) + 2 = m + n, là bậc tại ω của mẫu số trong (1.1). Do đó, ω không phải là cực điểm của F. Điều này cho thấy F không có cực điểm và do đó nó là hàm nguyên trong C. Tiếp theo ta kiểm tra không điểm của F trong hình tròn |s| < r bằng cách ước lượng hàm đếm N (r, F1 ). Từ (1.1) ta có 1 1 1 1 N r, +N r, +N r, +N r, L 1 − c1 L 1 − c2 L 2 − c1 L 2 − c2 1 =N r, (1.2) (L1 − c1 )(L1 − c2 )(L2 − c1 )(L2 − c2 ) F =N r, . (s − 1) L1 L02 (L1 − L2 )2 q 0 F Vì F là hàm nguyên, cực điểm của chỉ có từ không (s − 1)q L01 L02 (L1 − L2 )2 điểm của (s − 1)q L01 L02 (L1 − L2 )2 . Nhớ lại rằng F không có không điểm tại s = 1, cực điểm duy nhất có thể có của L1 và L2 . Do đó, nếu F (ω) = 0 tại ω , thì tử số (s − 1)q L01 L02 (L1 − L2 )2 trong (1.1) phải triệt tiêu tại ω với bội bằng hoặc cao hơn. Ta suy ra F N r, (s − 1) L1 L02 (L1 − L2 )2 q 0 1 1 ≤N r, − N r, (s − 1)q L1 L02 (L1 − L2 )2 0 F 1 1 1 1 1 (1.3) ≤N r, +N r, 0 +N r, 0 + 2N r, − N r, (s − 1)q L1 L2 L1 − L 2 F 1 1 1 1 =N r, 0 +N r, 0 + 2N r, − N r, + O(log r) L1 L2 L1 − L 2 F 1 Theo đó N r, = O(log r). Hơn nữa, theo Định lý cơ bản thứ nhất, ta (s − 1)q 6
suy ra 1 1 1 N r, 0 =T r, 0 − m r, 0 L1 L1 L1 1 = m(r, L01 ) + N (r, L01 ) + O(1) − m r, 0 L1 L01 1 = m r, L1 + N (r, L01 ) + O(1) − m r, 0 L1 L1 L0 1 ≤ m r, 1 + m(r, L1 ) + N (r, L01 ) + O(1) − m r, 0 . L1 L1 Lưu ý N (r, L01 ) = O(log r) trong đó L01 có nhiều nhất một cực điểm s = 1, và 0 m r, L L1 = O(log r) theo Bổ đề về đạo hàm logarit. Ta có 1 1 1 N r, 0 ≤ m(r, L1 ) − m r, 0 + O(log r). L1 L1 Áp dụng Định lý cơ bản thứ nhất và Bổ đề về đạo hàm logarit ta suy ra 1 1 N r, 0 ≤ T (r, L1 ) − m r, 0 + O(log r) L1 L1 1 ≤ T (r, L1 − cj) − m r, 0 + O(log r) L1 1 1 =T r, − m r, 0 + O(log r) L1 − cj L1 1 1 1 =N r, + m r, − m r, 0 + O(log r) L1 − cj L1 − cj L1 L01 1 1 1 =N r, + m r, − m r, 0 + O(log r) L1 − cj L1 − cj L01 L1 L01 1 1 1 ≤N r, + m r, + m r, 0 − m r, 0 + O(log r) L1 − cj L1 − cj L1 L1 1 =N r, + O(log r). L1 − cj Tương tự ta có 1 1 N r, 0 ≤N r, + O(log r). L2 L 2 − cj 7
Tù hai bất đằng thức trên kết hợp với (1.2), (1.3) ta thu được 1 1 1 1 N r, +N r, +N r, +N r, L 1 − c1 L 1 − c2 L 2 − c1 L 2 − c2 1 1 1 1 ≤N r, +N r, + 2N r, − N r, + O(log r) L 1 − c2 L 2 − c2 L1 − L 2 F hoặc 1 1 1 1 N r, ≤2N r, −N r, −N r, + O(log r) F L1 − L 2 L 1 − c1 L 2 − c1 Z r 1 1 1 = {2n t, − n t, − n t, 0 L1 − L 2 L 1 − c1 L 2 − c1 (1.4) 1 1 1 dt − 2n 0, + n 0, + n 0, } L1 − L 2 L 1 − c1 L 2 − c1 t + O(log r) theo định nghĩa của hàm đếm N (r, ·). Ta chuyển sang ước lượng các hàm đếm không tích phân n(t, ·) ở vế phải của (1.4). Theo giả thiết của định lý, L1 và L2 thỏa mãn cùng phương trình hàm và có cùng bậc. Ngoài ra, L1 − L2 rõ ràng thỏa mãn (i) - (ii) và (iii) với cùng phương trình hàm và có cùng bậc. Để thuận tiện, 1 đối với L-hàm L và số phức c, ta biểu thị qua n− t, L−c không điểm (kể cả bội) của L − c trong |s| < t và trên nửa mặt phẳng bên trái {σ ≤ 0}. Nó là các không điểm của L − c trên nửa mặt phẳng bên trái {σ ≤ 0} đã giới hạn các phần ảo và số lượng các không điểm này có phần thực trong [−t, 0] là 21 dL t + O(1) với t → +∞ trong đó dL là bậc của L. Như vậy 1 1 n− t, = dL t + O(1). L−c 2 Ta suy ra 1 1 1 2n− t, − n− t, − n− t, = O(1) (1.5) L1 − L 2 L 1 − c1 L 2 − c1 với t → ∞. Mặt khác theo Công thức Riemann– von Mangoldt của L-hàm, những không điểm (kể cả bội) của L(s) − c trong miền Res > 0, | Im s| ≤ T kí hiệu là 8
NLc (T ), được cho bởi dL T T NLc (T ) = T log + log(λQ2 ) + O(log T ), π e π QK 2λj trong đó λ = j=1 λj và λj , K, Q là các số trong (iii). (Điều này đã được chứng minh với c 6= 1. Giả sử c1 6= 1, thay c1 bởi c2 trong (1.4).) Mặt khác, L − c không có bất kỳ không điểm nào khi σ = Res lớn, chẳng hạn, σ ≥ α > 0, điều này suy ra từ chuỗi Dirichlet của L. [Thật vậy, dễ thấy nếu c 6= 1, thì L(s) = 1 + O(2−σ ) → 1 khi σ → +∞. Nếu c = 1, thì |L − c| = |L − 1| ≥ C nσ1 > 0 cho mọi số nguyên n1 ≥ 2 và 1 1 hằng số C1 > 0] Do đó nếu n+ t, L−c kí hiệu các không điểm của L − c với |s| < t nhưng ở nửa mặt phẳng bên phải {σ > 0}, thì 1 p n+ t, ≥ NLc ( t2 − α2 ) L−c với t đủ lớn, ta có 1 1 n+ t, + n+ t, L1 − c1 L 2 − c1 p √ √ (1.6) d t 2 − α2 t 2 − α2 p ≥2 t2 − α2 log + log(λQ2 ) + O(log t2 − α2 ) , π e π trong đó d = dL1 = dL2 là bậc của L1 và L2 . Ta nhớ lại L1 − L2 có cùng bậc d, ta có 1 2n+ t, ≤2NL0 1 −L2 (t) L1 − L 2 (1.7) d t t =2 t log + log(λQ2 ) + O(log t) . π e π 9
Theo kết quả (1.6) và (1.7) ta có 1 1 1 2n+ t, − n+ t, − n+ t, L1 − L 2 L 1 − c1 L 2 − c1 d t t ≤2 t log + log(λQ2 ) + O(log t) π e π p √ √ d 2 2 t2 − α2 t2 − α2 2 p 2 2 −2 t − α log + log(λQ ) + O(log t − α ) π e π √ d t dp 2 2 t2 − α 2 =2 t log − 2 t − α log + O(log t) π e π e d dp 2 p =2 t log t − 2 t − α2 log t2 − α2 + O(log t) π πr r ! 2d 2d α2 α2 = t log t − 1− 2 log t + log 1− 2 + O(log t) π π t t 2d 2d O(1) O(1) = t log t − 1− 2 log t + 2 + O(log t) π π t t =O(log t) với t → ∞. Kết hợp với (1.5) ta thu được 1 1 1 2n t, − n t, − n t, L1 − L2 L 1 − c1 L 2 − c1 1 1 1 =2n+ t, − n+ t, − n+ t, L1 − L 2 L 1 − c1 L 2 − c1 1 1 1 + 2n− t, − n− t, − n− t, L1 − L 2 L 1 − c1 L 2 − c1 =O(log t) ≤ C log t với mọi t ≥ r0 , trong đó C, r0 là hai số dương. Từ (1.4), ta thấy 1 Z r 1 1 1 N r, ≤ {2n t, − n t, − n t, F r0 L1 − L 2 L1 − c1 L2 − c1 1 1 1 dt − 2n 0, + n 0, + n 0, } L1 − L 2 L1 − c1 L2 − c1 t (1.8) + O(1) + O(log r) Z r C log t ≤ dt + O(log r) = O(log2 r). r0 t Tiếp theo ta đưa ra một đánh giá về mô đun của F, nó cần thiết cho việc chứng minh sau này, sử dụng đánh giá trên (1.8). Thật vậy, giả sử các không điểm khác 10
không của F là a1 , a2 , a3 , . . . , được sắp xếp theo thứ tự mô đun tăng dần và được tính lặp lại theo bội số, và s = 0 là không điểm của F với bậc l ≥ 0. Khi đó hàm F (s) sl ) không triệt tiêu tại s = 0 và các không điểm của nó đúng là a1 , a2 , a3 , . . . . Khi đó,ta có khẳng định (đối với bất kỳ hàm phân hình khác không F ) rằng ∞ Z ∞ sl X N (t, F ) |ak |−1 ≤ dt. 0 t2 k=1 Lưu ý, từ (1.8) ta có sl 1 N t, ≤ N (t, sl ) + N t, F F (1.9) ≤ O(log t) + O(log2 t) = O(log2 t). P∞ −1 hội tụ. Sự hội tụ kéo theo tích vô hạn P (s) := Q∞ s Như vậy, k=1 |ak | k=1 (1 − an ) l log N (r, sF ) là hàm nguyên bậc ρ(P ), bậc này bằng lim supt→∞ log r và bằng 0 bởi (1.9). Như vậy, theo định nghĩa của bậc, T (r, P ) = O(r ) với mọi 0 < < 1, điều đó có nghĩa là, bởi bất đẳng thức (ii) với R = 2r và r = |s|, ta có log |P (s)| ≤ 3T (2|s|, P ) = O(|s| ). (1.10) Ta biết rằng với L-hàm L, dL T (r, L) = r log r + O(r). π Ngoài ra, T (r, L0 ) = m(r, L0 ) + N (r, L0 ) L0 = m r, L + O(log r) L L0 ≤ m r, + m(r, L) + O(log r) ≤ T (r, L) + O(log r) L theo Bổ đề đạo hàm logarit. Do đó, từ các tính chất số học của hàm đặc trưng và Định lý cơ bản thứ nhất, từ (1.1), ta thu được T (r, F ) ≤T (r, (s − 1)q ) + T (r, L01 ) + T (r, L02 ) + 4T (r, L1 ) + 4T (r, L2 ) + O(1) d ≤10 r log r + O(r). π 11
Theo định nghĩa của bậc, F có bậc nhiều nhất là 1. Do đó, theo Định lý phân tích Hadamard cổ điển, F (s) = sl P (s)eAs+B , trong đó A, B là hai số phức. Từ (1.10), ta có đánh giá sau về môđun của F : F (s) = |sl P (s)eAs+B | = O(eα|s| ) (1.11) với α > 0 và với mọi |s| lớn. Tiếp theo, ta xét F (s) khi σ → +∞ và σ → −∞, trong đó s = σ + it. Vì L1 (s) = ∞ a(n) P n=1 ns với a(1) = 1, nên ta có C1 C2 1 σ ≤ |L1 − 1| ≤ σ1 và L01 = O , khi σ → +∞, (1.12) n1 n nσ1 với những hằng số dương C1 , C2 , nào đó, trong đó n1 là số nguyên nhỏ nhất n ≥ 2 sao cho a(n) 6= 0. Tương tự, tồn tại số nguyên n2 ≥ 2 sao cho C3 C4 1 σ ≤ |L2 − 1| ≤ σ và L02 = O , khi σ → +∞, (1.13) n2 n2 nσ2 với C3 , C4 > 0. Ta cũng có 1 L1 − L 2 = O . (1.14) 2σ Từ (1.1) nếu c1 , c2 6= 1,
(s − 1)q O( 1σ )O( 1σ )(O( 1σ ))2