Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phân loại các đại số Lie toàn phương giải được đến 6 chiều và chiều toàn phương

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:55

Thêm vào BST

Báo xấu

79
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phân loại các đại số Lie toàn phương giải được đến 6 chiều và chiều toàn phương trình bày thêm một cách tiếp cận khác đến các đại số Lie toàn phương thông qua việc nghiên cứu 3 dạng liên kết với chúng. Từ phân loại 3 dạng liên kết này trong các không gian đến 5 chiều chứng minh được rằng mọi đại số Lie toàn phương giải được không giao hoán đến 6 chiều đều là các đại số Lie toàn phương kì dị.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phân loại các đại số Lie toàn phương giải được đến 6 chiều và chiều toàn phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Bình PHÂN LOẠI CÁC ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG GIẢI ĐƯỢC ĐẾN 6 CHIỀU VÀ CHIỀU TOÀN PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Bình PHÂN LOẠI CÁC ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG GIẢI ĐƯỢC ĐẾN 6 CHIỀU VÀ CHIỀU TOÀN PHƯƠNG Chuyên ngành : Hình học và tôpô Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. Lê Anh Vũ Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
3 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Lê Anh Vũ và TS. Dương Minh Thành. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến quý Thầy. Quý Thầy đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi tiếp xúc với các nguồn tài liệu quý trong và ngoài nước, giảng giải và chỉ dẫn tận tình, đầy trách nhiệm cho tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Hơn nữa, Thầy đã dành nhiều thời gian và công sức để đọc và chỉnh sửa luận văn cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là quý Thầy Cô tổ Hình học. cũng như quý Thầy Cô giảng dạy lớp cao học khóa 21 trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã cung cấp những kiến thức chuyên môn cần thiết cho tôi để làm nền tảng cho việc hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô thuộc Ban phản biện đã đọc và cho tôi nhiều nhận xét, đánh giá bổ ích về luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Tổ chức Hành chính, Phòng Sau đại học, Phòng Kế hoạch - tài chính trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Huệ cùng toàn thể các đồng nghiệp và bạn bè đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn những ý kiến trao đổi từ các bạn đồng nghiệp trong Seminar định kì của nhóm nghiên cứu chuyên ngành Hình học - Tôpô trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh. Luận văn không thể hoàn thành nếu thiếu sự chia sẻ, khích lệ, động viên của gia đình tôi. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn của mình đến gia đình. Tôi xin chân thành cảm ơn. Tp. Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2012 Tác giả Nguyễn Văn Bình
4 Bảng chỉ dẫn các kí hiệu  Tập hợp các số tự nhiên  Trường số thực  Trường số phức End(V ) Không gian các toán tử tuyến tính trên không gian vector V Mat(n) Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên trường  gl (n) Đại số Lie các ma trận vuông cấp n trên trường số phức Đại số Lie các ma trận vuông cấp n có vết bằng 0 trên trường số sl ( n ) phức Đại số Lie các ma trận X vuông cấp n trên trường số phức thỏa o( n ) mãn X t = − X Đại số Lie các ma trận X vuông cấp 2n trên trường số phức thỏa so(2n)  0 In  mãn X t J + JX = 0 với J =   , I n là ma trận đơn vị cấp n  In 0  Đại số Lie các ma trận X vuông cấp 2n + 1 trên trường số phức 1 0 0  so(2n + 1) thỏa mãn X J + JX = t 0 với J =  0 0 I n  , I n là ma trận đơn vị 0 I 0   n  cấp n Đại số Lie các ma trận X vuông cấp 2n trên trường số phức thỏa sp(2n)  0 In  mãn X t J + JX = 0 với J =   , I n là ma trận đơn vị cấp n −  n I 0  Der( A) Đại số các ánh xạ đạo hàm trên A Rad(g) Căn của đại số Lie g Span( A) Không gian con nhỏ nhất chứa A tr( A) Vết của ma trận A dim(g) Chiều của không gian vector g d q (g) Chiều toàn phương của đại số Lie toàn phương g ⊕ Tổng trực tiếp ⊥ ⊕ Tổng trực tiếp trực giao ∧ 3 (g* ) Không gian các 3-dạng phản xứng trên g* dup(g) Số dup của một đại số Lie toàn phương không giao hoán rank( A) Hạng của ma trận A Ker( A) Hạt nhân của toán tử tuyến tính A Im( A) Ảnh của toán tử tuyến tính A Cen(g) Không gian các centromorphism của g
5 Cen I (g) Không gian các centromorphism khả nghịch của g det( A) Định thức của ma trận A
6 Mở đầu Trong luận văn các không gian vector chủ yếu được xét trên trường số phức  và hữu hạn chiều. Nghiên cứu về các đại số Lie, đặc biệt là những nghiên cứu về các đại số Lie nửa đơn, là một lĩnh vực nghiên cứu rộng trong toán học và có nhiều ứng dụng trong vật lí. Một trong những công cụ hữu hiệu được sử dụng khá nhiều trong nghiên cứu các đại số Lie nửa đơn là dạng Killing nhờ các tính chất đối xứng, bất biến và không suy biến của nó. Chẳng hạn tiêu chuẩn Cartan trong bài toán phân loại các đại số Lie nói rằng g là một đại số Lie nửa đơn nếu và chỉ nếu dạng Killing không suy biến trên g × g . Do đó người ta đặt ra một câu hỏi rằng, cho một đại số Lie g (không nhất thiết nửa đơn), liệu có tồn tại một dạng song tuyến tính có tính chất đối xứng, bất biến và không suy biến giống như dạng Killing trên g hay không? Trong trường hợp tồn tại một dạng song tuyến tính như thế thì g được gọi là một đại số Lie toàn phương. Đại số Lie toàn phương đã được nghiên cứu từ lâu nhưng gần đây mới được quan tâm nghiên cứu khi xuất hiện nhiều công cụ dành cho các đại số Lie toàn phương [6], [14], [16], [17] cũng như người ta thấy mối liên hệ của chúng với một số bài toán vật lí (xem [13] và các tài liệu trích dẫn trong đó). Bản thân khái niệm đại số Lie toàn phương và các công cụ của nó hoàn toàn có thể tổng quát lên cho trường hợp các siêu đại số Lie toàn phương (xem [5]) hoặc áp dụng cho nhiều đại số không kết hợp khác (xem [2], [6] và một số tài liệu trích dẫn trong đó). Chú ý rằng, các đại số Lie toàn phương vẫn được xem xét trong trường hợp vô hạn chiều [14]. Trong luận văn này chúng tôi sẽ tiếp cận các đại số Lie toàn phương theo hướng quen thuộc, đó là nghiên cứu các đại số Lie toàn phương thấp chiều. Cách tiếp cận này có lợi điểm ở chổ có thể xem xét nhiều khái niệm khá phức tạp của lớp các đại số Lie toàn phương trên những ví dụ cụ thể ở chiều thấp và sau đó tổng quát trở lại các khái niệm đó. Một lợi điểm khác là thông qua việc phân loại hoặc nghiên cứu các tính chất đáng chú ý trên các đại số Lie toàn
7 phương thấp chiều, chúng ta hi vọng sẽ phát hiện nhiều lớp con đặc biệt của lớp các đại số Lie toàn phương cũng như tìm thấy những công cụ nghiên cứu mới. Do đó chúng tôi cố gắng trình bày đầy đủ các khái niệm với nhiều ví dụ, các chứng minh được diễn giải chi tiết và các tính toán được mô tả cụ thể. Kết quả phân loại đến 4 chiều trong trường hợp giải được đã được thực hiện trong [18] nhưng ở đây chúng tôi sẽ tiến hành chứng minh lại kết quả đó bằng một cách ngắn gọn hơn nhờ áp dụng Phân tích Witt (xem [9]) và một kết quả trong [17]. Hơn nữa, kết quả này chúng tôi cũng kiểm chứng thông qua phương pháp mở rộng kép, một phương pháp khá hiệu quả trong nghiên cứu các đại số Lie toàn phương. Trường hợp này có thể xem như là ví dụ cơ bản đầu tiên cho các trường hợp còn lại trong các chương tiếp theo. Đối với việc phân loại trường hợp giải được 5 chiều, công việc này đã được thực hiện trong [11] bằng công cụ mở rộng kép. Trường hợp này đã được phân loại trong [11] bằng công cụ mở rộng kép. Hơn nữa chúng tôi cũng áp dụng chính phương pháp đó để phân loại các đại số Lie toàn phương cơ bản rút gọn và thu được kết quả giống như trong [17] khi sử dụng những ứng dụng của các đại số Lie phân bậc và tích super-Poisson. Qua cách làm của chúng tôi, độc giả có thể thấy những hạn chế của phương pháp sử dụng Phân tích Witt và do đó đòi hỏi phải sử dụng phương pháp phân loại tốt hơn, chẳng hạn bằng mở rộng kép, nếu muốn phân loại trong trường hợp số chiều lớn hơn 5. Cho đến nay, phân loại các đại số Lie toàn phương giải được đến 6 chiều vẫn là một bài toán mở. Bằng cách áp dụng các kết quả từ mở rộng kép trong [13] và [15] kết hợp với kết quả phân loại các quỹ đạo phụ hợp của đại số Lie cổ điển o(m) trong [10] và [11], chúng tôi chứng minh được rằng trong trường hợp bất khả phân, các đại số Lie toàn phương giải được 6 chiều vẫn còn là mở rộng kép một chiều của một đại số giao hoán và do đó ta nhận được một phân loại gồm 3 họ đại số Lie toàn phương giải được 6 chiều bất khả phân. Phân loại này đúng đến đẳng cấu đẳng cự. Kiểu mở rộng kép của một đại số Lie giao hoán là kiểu mở rộng kép đã được phân loại hoàn toàn. Các đại
8 số Lie toàn phương thu được từ kiểu mở rộng kép này được gọi là các đại số Lie toàn phương kì dị. Trong luận văn này chúng tôi trình bày thêm một cách tiếp cận khác đến các đại số Lie toàn phương thông qua việc nghiên cứu 3-dạng liên kết với chúng. Từ phân loại 3-dạng liên kết này trong các không gian đến 5 chiều chúng tôi cũng chứng minh được rằng mọi đại số Lie toàn phương giải được không giao hoán đến 6 chiều đều là các đại số Lie toàn phương kì dị. Kết quả này trùng với kết quả thu được từ phương pháp mở rộng kép. Một trong những đặc trưng lí thú trong nghiên cứu các đại số Lie toàn phương là tính toán chiều toàn phương của chúng, tức là tính toán chiều của không gian sinh bởi các dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến trên một đại số Lie toàn phương cho trước. Cho đến nay, công thức tổng quát cho chiều toàn phương đối với một đại số Lie toàn phương bất kì vẫn là bài toán mở. Người ta chỉ mới tính toán công thức một cách chính xác cho chiều toàn phương của lớp các đại số Lie đơn, lớp các đại số Lie rút gọn và lớp các đại số Lie toàn phương kì dị hoặc chỉ thu được các chặn dưới và chặn trên của chiều toàn phương trong trường hợp tổng quát (xem [4], [11] và một số tài liệu trích dẫn trong đó). Trong Chương 3, chúng tôi sẽ trình bày một cách chi tiết cách tính chiều toàn phương của một đại số Lie toàn phương và áp dụng nó cho các đại số Lie toàn phương thu được từ phân loại trên. Kết quả chúng tôi nhận được là công thức tường minh cho từng đại số. Vì nội dung luận văn chỉ khảo sát bài toán phân loại các đại số Lie giải được đến 6 chiều và tính chiều toàn phương của chúng nên luận văn của chúng tôi có tên là “Phân loại các đại số Lie toàn phương giải được đến 6 chiều và chiều toàn phương”. Phần nội dung chính của luận văn được chia làm 3 chương. Chương đầu tiên dành chủ yếu để giới thiệu những định nghĩa và một số kết quả cơ bản trên đại số Lie và đại số Lie toàn phương. Vì đại số Lie toàn phương là đối tượng xuất hiện rất tự nhiên từ việc tổng quát trường hợp đại số Lie nửa đơn với dạng Killing nên chúng tôi chỉ tập trung giới thiệu những tính chất đặc
9 biệt của dạng Killing và một số kết quả quen thuộc liên quan đến đại số Lie nửa đơn liên quan đến việc tổng quát hóa này. Đối với đại số Lie toàn phương, chúng tôi chỉ giới thiệu những kiến thức cần thiết liên quan đến việc phân loại các đại số Lie toàn phương giải được và tính toán chiều toàn phương. Chương thứ hai chủ yếu dành để khảo sát các đại số Lie toàn phương cơ bản và tiến hành phân loại lại bằng phân tích Witt. Chương thứ ba trình bày chi tiết của việc phân loại và tính toán chiều toàn phương của các đại số Lie toàn phương đến 6 chiều. Chúng tôi cũng trình bày thêm cách tiếp cận đến các đại số Lie toàn phương thấp chiều thông qua 3-dạng liên kết với chúng. Phần cuối của luận văn là một số kết luận và kiến nghị.
10 Chương 1 Mở đầu về đại số Lie và đại số Lie toàn phương 1.1 Đại số Lie 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho g là một không gian vector trên trường  . Ta nói g là một đại số Lie nếu trên g được trang bị phép toán (gọi là tích Lie) [.,.]: g × g → g ( X ,Y )  [ X ,Y ] thỏa mãn các điều kiện sau: i) Phép toán [.,.] là một ánh xạ song tuyến tính; ii) Phép toán [.,.] là phản xứng, tức là [ X , X ] = 0 với mọi X ∈ g ; iii) [ X ,[Y , Z ]] + [Y ,[ Z , X ]] + [ Z ,[ X , Y ]] = 0 với mọi X , Y , Z ∈ g (đồng nhất thức Jacobi). Số chiều của đại số Lie g chính là số chiều của không gian vector g . 1.1.2 Đại số Lie con và các ideal Định nghĩa 1.2 Cho đại số Lie g . Một không gian vector con A của g được gọi là một đại số Lie con của g nếu [ X , Y ] ∈ A với mọi X , Y ∈ g . Định nghĩa 1.3 Cho đại số Lie g . Một không gian vector con I của g được gọi là một ideal của g nếu [ X , Y ] ∈ I với mọi X ∈ g, Y ∈ I . = Cho đại số Lie g ta kí hiệu [g, g] {[ X , Y ] | X , Y ∈ g} được gọi là đại số dẫn xuất của đại số Lie g và là một ideal của g . Kí hiệu Z (g) = { X ∈ g|[ X , Y ] = 0, ∀Y ∈ g} là ideal tâm của g . Định nghĩa 1.4 Cho đại số Lie g trên trường  . Ta kí hiệu = g(1) [g, g], g= ( 2) [g(1) , g(1) ],…, g= (n) [g( n −1) , g( n −1) ] . Khi đó đại số Lie g được gọi là giải được nếu tồn tại m ∈   {0} sao cho g( m ) = {0} .
11 Định nghĩa 1.5 Cho đại số Lie g trên trường  . Ta kí hiệu g= 1 [g, g], g= 2 [g, g1 ],…, g= n [g, gn−1 ] . Khi đó đại số Lie g được gọi là lũy linh nếu tồn tại m ∈  \ {0} sao cho gm = {0} . Định nghĩa 1.6 Cho g1 và g2 là hai đại số Lie trên trường  . Khi đó ánh xạ tuyến tính ϕ : g1 → g2 được gọi là một đồng cấu đại số Lie nếu bảo toàn tích Lie, tức là ϕ ([ X , Y ]) = [ϕ ( X ),ϕ (Y )] , với mọi X , Y ∈ g1 . Cho đại số Lie g . Ta kí hiệu Rad(g) là ideal giải được lớn nhất của g . Định nghĩa 1.7 Một đại số Lie g ≠ {0} là nửa đơn nếu nó không có một ideal giải được khác {0} (hay Rad(g) = {0} ). Định nghĩa 1.8 Một đại số Lie không giao hoán g là đơn nếu nó không có một ideal nào ngoài {0} và g . 1.1.3 Dạng Killing Định nghĩa 1.9 Cho đại số Lie g trên trường số phức  . Dạng Killing trên g là một ánh xạ song tuyến tính, đối xứng xác định bởi κ = ( X , Y ) : tr(adX  adY ), ∀X , Y ∈ g. Bổ đề 1.10 a) Nếu φ : g → g là một tự đẳng cấu đại số Lie của g thì κ (φ ( X ),φ (Y )) = κ ( X , Y ) ; b) Dạng Killing thỏa mãn tính chất κ ([ X , Y ], Z ) = κ ( X ,[Y , Z ]) ; c) Nếu I là một ideal của g thì thu hẹp của κ trên I cũng là một dạng Killing. Chứng minh. Trước hết ta nhắc lại một tự đẳng cấu φ : g → g sẽ bảo toàn tích Lie. Ta có ad(φ ( X ))(Y ) = [φ ( X ), Y ] nên ad(φ ( X ))(Y ) = [φ ( X ), Y ] = φ[ X ,φ −1 (Y )] = (φ °ad( X )°φ −1 )(Y ). Ngoài ra, ad(φ ( X ))°ad(φ (Y )) = φ °ad( X )°φ −1 °φ °ad(Y )°φ −1 = φ °ad( X )°ad(Y )°φ −1 .
12 Ta đã biết vết của các ma trận tương đương thì bằng nhau vì vậy tr(ad(φ ( X ))°ad(φ (Y )))tr(φ °ad( X )°ad(Y )°φ −1 )tr(ad( X )°ad(Y )). Ta sẽ chứng minh vết của phép biến đổi tuyến tính ad([ X , Y ])°ad( Z ) − ad( X )°ad([Y , Z ]) = 0 . Ta có thể viết (ad( X )°ad(Y ) − ad( Z )°ad( X ))°ad( Z ) − ad( X )°(ad(Y )°ad( Z ) − ad( Z )°ad(Y )) = ad( X )°(ad( Z )°ad(Y )) − (ad(Y )°ad( X ))°ad( Z ). Từ tr( AB − BA) = 0 , nên phép biến đổi tuyến tính trên có vết bằng 0. Nếu I là ideal của g . Từ [ I , g] ⊂ I một biểu diễn phụ hợp thương của I trên g / I là tầm thường. Ngoài ra với X , Y ∈ I ta có κ g ( X , Y )= trg (ad( X )°ad(Y ))= trg (ad( X )°ad(Y )) + trg/ I (ad( X )°ad(Y ))= κ I ( X , Y ). □ Định lí 1.11 (Định lí Engel) Cho V là một không gian vector. Giả sử L là một đại số Lie con của gl (V ) thỏa mãn mọi phần tử của L là một phép biến đổi tuyến tính lũy linh của V . Khi đó tồn tại một cơ sở của V để mọi phần tử của L được biểu diễn bằng một ma trận tam giác trên nghiêm ngặt. Định lí 1.12 (Định lí Lie) Cho V là một không gian vector phức n − chiều và L là một đại số Lie con giải được của gl (V ) . Khi đó tồn tại một cơ sở của V để mọi phần tử của L được biểu điễn bởi một ma trận tam giác trên. Mệnh đề 1.13 Nếu g ⊂ gl (V ) là một đại số Lie con thỏa mãn tr( XY ) = 0 với mọi X , Y ∈ g thì [g, g] là lũy linh. Định lí 1.14 (Tiêu chuẩn Cartan thứ nhất) Đại số Lie g là giải được nếu và chỉ nếu κ (g,[g, g]) = 0 .
13 Chứng minh. Xét ad(g) = g / Z ( g) , trong đó Z (g) = {a ∈ g|[ X , Y ] = 0, ∀Y ∈ g} là tâm của g . Hiển nhiên κ (g,[g, g]) = 0 suy ra κ ([g, g],[g, g]) = 0 , nên tr( XY ) = 0 với mọi X , Y ∈ [ad(g),ad(g)] = ad([ g, g]) . Từ Mệnh đề 1.13 [[ad(g),ad(g)],[ad(g),ad( g)]] là lũy linh, nên ad(g) giải được. Nên tồn tại một số r ∈ * sao cho ad(g)( r ) = 0 , nên g( r ) ⊂ Z (g) . Do đó g( r +1) = 0 nên g là giải được. Ngược lại, theo Định lí Lie 1.12 ta có thể chọn một cơ sở thích hợp để mọi phần tử X ∈ g thì ad( X ) là một ma trận tam giác trên. Ngoài ra mọi phần tử của ad([g, g]) đều là tổ hợp tuyến tính của các phần tử có dạng ad( X )°ad(Y ) − ad( X )°ad(Y ) với X , Y ∈ g nên là ma trận tam giác trên nghiêm ngặt. Do đó hiển nhiên ta có tr(ad( X )°ad(Y )) = 0 với mọi X ∈ g, Y ∈ [g, g] . Định lí 1.15 (Tiêu chuẩn Cartan thứ hai) Đại số Lie được gọi là nửa đơn nếu và chỉ nếu dạng Killing của nó là không suy biến. Chứng minh. Nếu g không là nửa đơn khi đó tồn tại một ideal không giao hoán I ≠ 0 . Chọn X ∈ I , X ≠ 0 . Ta cần ad( X ) là hạt nhận của dạng Killing. Thật vậy, với Y ∈ g là một phần tử bất kì. Từ I là một ideal, ad(Y )°ad( X ) biến g thành I và ad( X )°ad(Y )°ad( X ) biến g thành 0 . Ta có 0 hay (ad(Y )°ad( X )) 2 = ad(Y )°ad( X )°ad(Y )°ad( X ) = 0 , nên ad(Y )°ad( X ) là lũy linh. Mà vết của một phép biến đổi lũy linh bằng 0. Do đó κ= (Y , X ) tr(ad(Y )°ad( X )) với mọi Y ∈ g . Ngược lại, Nếu dạng Killing của g là suy biến, hạt nhân là một ideal khác 0. Thật vậy, nếu X ∈ g thỏa κ ( X , Y ) = 0, ∀Y ∈ g thì κ ([ Z , X ], Y ) = κ ( X ,[ Z , Y ]) theo Bổ đề 1.10 (ii). Gọi ideal này là I . Theo Bổ đề 1.10 (iii) dạng thu hẹp của g tới I là dạng Killing của I , vì vậy dạng
14 Killing của I là 0. Theo tiểu chuẩn Cartan thứ nhất thì I là giải được và vì vậy g là không nửa đơn. 1.2 Đại số Lie toàn phương 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.16 Cho một không gian vector phức g . Một dạng song tuyến tính B : g →  . Được gọi là i) đối xứng nếu B( X , Y ) = B(Y , X ) với mọi X , Y ∈ g ; ii) không suy biến nếu B( X , Y ) = 0 với mọi Y ∈ g thì X = 0 ; iii) bất biến (hay còn gọi là kết hợp) nếu B([ X , Y = ], Z ) B( X ,[Y , Z ]), ∀X , Y , Z ∈ g. Một đại số Lie g trên đó tồn tại một dạng song tuyến tính đối xứng, không suy biến và bất biến được gọi là một đại số Lie toàn phương. Đại số Lie toàn phương thường được kí hiệu là (g, B) . 1.2.2 Các ví dụ về đại số Lie toàn phương Ví dụ 1.17 Trong 3 với tích Lie là tích có hướng, dạng toàn phương là tích vô hướng. Ví dụ 1.18 Cho g = Span{ X , Y } trong đó tích Lie cho bởi [ X , Y ] = 0 . Dạng song tuyến tính đối xứng B cho bởi B( X , Y ) = 1 , các trường hợp còn lại bằng 0. Ví dụ 1.19 Cho g = Span { X , P, Q, Z } trong đó tích Lie cho bởi [ X , P] = P,[ X , Q] = Z , các trường hợp còn lại tầm thường. Dạng −Q,[ P, Q] = song tuyến tính đối xứng B cho bởi B= ( P, Q) 1 , các trường hợp còn ( X , Z ) B= lại bằng 0. Ngoài ra trong phần phân loại cũng chỉ ra các ví dụ về các đại số Lie toàn phương giải được 5, 6 chiều. 1.2.3 Một số kết quả về đại số Lie toàn phương Định nghĩa 1.20 Cho đại số Lie toàn phương (g, B) và V là một không gian vector con của g , khi đó ta định nghĩa thành phần trực giao của g là
15 V ⊥ = { X ∈ g| B ( X , Y ) = 0, ∀Y ∈ V }. Theo [6] cho V ,W là các không gian vector con của g . Khi đó ta có các tính chất sau: a) g⊥ = 0 ; b) Nếu V ⊂ W thì V ⊥ ⊃ W ⊥ ; c) (V + W ) ⊥ =V ⊥ ∩ W ⊥ và (V ∩ W ) ⊥ ⊃ V ⊥ + W ⊥ ; d) (V ⊥ )⊥ = V và dimV + dimV ⊥ = dimg . Một phần tử X ∈ g được gọi là tự đẳng hướng nếu B( X , X ) = 0 . Một không gian con V của g được gọi là tự đẳng hướng hoàn toàn nếu B( X , Y ) = 0 với mọi X , Y ∈ V . Trong trường hợp này, hiển nhiên ta có V ⊂ V ⊥ . Ta có một số tính chất khá lí thú của các đại số Lie toàn phương như sau: Mệnh đề 1.21 Cho (g, B) là một đại số Lie toàn phương. Định nghĩa ánh xạ φ : g → g* , φ ( X )(Y ) = B( X , Y ) với g* là không gian đối ngẫu của g . Khi đó φ là một đẳng cấu, đồng thời biểu diễn phụ hợp và đối phụ hợp của g tương đương với nhau bới φ . Chứng minh. Giả sử g là một đại số Lie trên g được trang bị một tích vô hướng bất biến B . Biểu diễn phụ hợp ad và đối phụ hợp ad* được định nghĩa như sau: ad : g → End(g) v?i ad( X )(Y ) = [ X , Y ] và ad* : g → End(g* ), ad* ( X )( f ) =− f °ad( X ) Cho φ : g → g* là ánh xạ được xác định bởi φ ( X ) = B( X ,.) . Do B không suy biến nên φ là một đẳng cấu. Hơn nữa ta có (φ °ad( X )(Y )) Z = B([ X , Y ], Z ) = (ad* ( X )°φ (Y )) Z , ∀X , Y , Z ∈ g. − B(Y ,[ X , Z ]) = Điều đó chứng tỏ φ °ad(= X ) ad* ( X )°φ , ∀X ∈ g , nghĩa là ad và ad* là tương đương. □ Nghiên cứu các đại số Lie toàn phương có thể quy về nghiên cứu các đại số Lie toàn phương bất khả phân nhờ phân tích sau:
16 Mệnh đề 1.22 Cho (g, B) là một đại số Lie toàn phương. a) Nếu I là một ideal của g . Khi đó I ⊥ cũng là một ideal của g . Hơn nữa, nếu thu hẹp của B trên I × I không suy biến thì thu hẹp của B trên I ⊥ × I ⊥ cũng không suy biến, [ I , I ⊥ ] = {0} và I ∩ I ⊥ ={0}, g =I ⊕ I ⊥ . b) Nếu Z (g) là tâm của g thì Z (g) ⊥ = [g, g] và dimZ (g) + dim[g, g] = dimg. Chứng minh. a) Nếu I là một ideal của g . Lấy A ∈ I ⊥ , X ∈ g , ta có B= ( A,[ X , Y ]) 0 với mọi Y ∈ I (do I là ideal của g ). Do đó ([ A, X ], Y ) B= [ A, X ] ∈ I ⊥ . Suy ra I ⊥ là một ideal của g . Giả sử B |I ×I không suy biến. Lấy X ∈ I ⊥ thỏa mãn B( X , I ⊥ ) = 0 thì X ∈ I và B( X , I ) = 0 . Do B |I × I không suy biến nên X = 0 . Suy ra B |I ⊥ × I ⊥ không suy biến. Nếu I , I ⊥ là các ideal của g thì B= ( I ,[ I ⊥ , X ]) 0 với mọi X ∈ g ([ I , I ⊥ ], X ) B= và do B không suy biến trên g nên [ I , I ⊥ ] = {0} . Nếu X ∈ I ∩ I ⊥ thì B( X , I ) = 0 . Do B không suy biến trên I nên X = 0 . Do đó I ∩ I ⊥ = {0} . Ta có {0} =I ∩ I ⊥ =( I ⊥ ) ⊥ ∩ I ⊥ =( I ⊥ ⊕ I ) ⊥ , suy ra 0⊥ = (( I ⊥ ⊕ I ) ⊥ ) ⊥ = I⊥ ⊕ I hay g= I ⊕ I ⊥ . b) Nếu X ∈ Z (g) ⇔ [ X , g] ={0} ⇔ B([ X , g], g) =0 ⇔ B( X ,[g, g]) =0 ⇔ X ∈ [g, g]⊥ . Nên Z (g) = [g, g]⊥ và dimZ (g) + dim[g, g] = dimg . □ Nếu thu hẹp của B trên I × I không suy biến thì ta gọi I là một ideal không suy biến của g và g= I ⊕ I ⊥ . Vì tổng trực tiếp là tổng trực tiếp trực ⊥ giao nên ta dùng kí hiệu sau: g= I ⊕ I ⊥ .
17 Định nghĩa 1.23 Một đại số Lie toàn phương g là bất khả phân nếu g ⊥ phân tích thành hai ideal g= g1 ⊕ g2 thì g1 = {0} hoặc g2 = {0} . Định nghĩa 1.24 Cho (g, B) và (g′, B′) là hai đại số Lie toàn phương. Ta nói (g, B) và (g′, B′) đẳng cấu đẳng cự nếu tồn tại một đẳng cấu đại số Lie A : g → g′ thỏa mãn B′( A( X ), A(Y= )) B( X , Y ), ∀X , Y ∈ g. Trong trường hợp này ta cũng nói A là một đẳng cấu đẳng cự. Như vậy, A là một đẳng cấu đẳng cự nếu và chỉ nếu A vừa là đẳng cấu vừa là đẳng cự. Chú ý rằng, tính chất đẳng cấu và tính chất đẳng cấu đẳng cự không tương đương nhau, ví dụ: Cho g = o(3) và κ là dạng Killing. Khi đó A là tự đẳng cấu đại số Lie của g nếu và chỉ nếu A ∈ O(g) . Do đó (g, κ ) và (g, λκ ) là không đẳng cấu đẳng cự khi λ ≠ 0 . Sau đây chúng tôi giới thiệu một cách phân tích khác được đưa ra trong [17], gọi là phân tích rút gọn. Phân tích này cho phép ta chuyển bài toán nghiên cứu các đại số Lie toàn phương về bài toán nghiên cứu các đại số Lie toàn phương có tâm tự đẳng hướng hoàn toàn (sai khác một ideal tâm không suy biến). Mệnh đề 1.25 ([17]) Cho (g, B) là một đại số Lie toàn phương không giao hoán. Khi đó tồn tại một ideal tâm z và một ideal l ≠ {0} sao cho ⊥ i) g= z ⊕ l, ở đây ( z, B |z×z ) và (l, B |l×l ) là các đại số Lie toàn phương và l không giao hoán. ii) Tâm Z (l) của l là tự đẳng hướng hoàn toàn, tức là Z (l) ⊂ [l, l] , và 1 dim( Z (l )) ≤ dim(l ) ≤ dim([l, l ]). 2 iii) Cho g′ là một đại số Lie toàn phương và A : g → g′ là một đẳng cấu đại số Lie. Khi đó ⊥ g= z′ ⊕ l′
18 ở đây z′ = A( z) thuộc tâm, l′ = A( z) ⊥ , Z (l′) tự đẳng hướng hoàn toàn, l và l′ đẳng cấu với nhau. Hơn nữa, nếu A là một đẳng cấu đẳng cự thì l và l′ đẳng cấu đẳng cự. Định nghĩa 1.26 Một đại số Lie toàn phương g khác {0} được gọi là một đại số Lie rút gọn nếu tâm tự đẳng hướng hoàn toàn. Từ tính chất bất biến và không suy biến của dạng song tuyến tính xác định trên g, ta dễ dàng chứng minh được [g, g] = Z (g) ⊥ . Do đó Z (g) tự đẳng hướng hoàn toàn khi và chỉ khi Z (g) ⊂ [g, g] . Sau đây chúng tôi xin giới thiệu phân tích Witt được trình bày trong [9] như sau: Mệnh đề 1.27 Cho V là một không gian vector phức được trang bị một dạng song tuyến tính không suy biến B . Giả sử U là một không gian con tự đẳng hướng hoàn toàn của V . Khi đó tồn tại một không gian con tự đẳng hướng hoàn toàn W và một không gian con F không suy biến của V sao cho ⊥ = (U ⊕ W ) ⊥ và V = F ⊕(U ⊕ W ) . = dimU , F dimW 1.2.4 3-dạng trên một đại số Lie toàn phương Cho (g, B) là một đại số Lie toàn phương không giao hoán. Khi đó dạng song tuyến tính B sẽ xác định một 3-dạng I ∈ Λ 3 (g* ) như sau: I ( X , Y= , Z ) : B([ X , Y ], Z ), ∀X , Y , Z ∈ g. Ta gọi I là 3-dạng liên kết với (g, B) . Gọi {.,.} là móc super-Poisson trên đại số các dạng phản xứng trên ∧(g* ) . Theo [17] thì 3-dạng I thỏa mãn {I , I } = 0 . Ngược lại, cho một không gian vector toàn phương (g, B) và một 3-dạng I ∈ Λ 3 (g* ) khác 0 thỏa mãn {I , I } = 0 thì có một cấu trúc đại số Lie toàn phương không giao hoán trên g sao cho I là 3-dạng liên kết với g (xem [17]). Kí hiệu VI = {α ∈ g* |α ∧ I = 0} . Khi đó số dup của một đại số Lie toàn phương không giao hoán g được định nghĩa bởi
19 dup(g) := dim(VI ), trong đó I là 3-dạng liên kết với g . Mệnh đề 1.28 Cho g là một đại số Lie toàn phương không giao hoán và I là 3-dạng liên kết với g . Khi đó a) dup(I ) ∈ {0,1,3} và dim([g, g]) ≥ 3 . b) I khả phân nếu và chỉ nếu dim([g, g]) = 3 . Định nghĩa 1.29 Cho g là một đại số Lie toàn phương không giao hoán. a) g được gọi là đại số Lie toàn phương thông thường nếu dup(g) = 0 . b) g được gọi là đại số Lie toàn phương kì dị nếu dup(g) ≥ 1 . c) g là một đại số Lie toàn phương kì dị loại 1 nếu dup(g) = 1 . d) g là một đại số Lie toàn phương kì dị loại 3 nếu dup(g) = 3 . Mệnh đề 1.30 Cho g là một đại số Lie toàn phương kì dị. Khi đó g là rút gọn nếu và chỉ nếu g là bất khả phân. Các đại số Lie toàn phương kì dị có mối liên hệ chặt chẽ với khái niệm mở rộng kép (sẽ được định nghĩa trong phần tiếp theo) thông qua định lí sau. Định lí 1.31 a) Mọi đại số Lie toàn phương kì dị loại S1 là giải được và là một mở rộng kép. b) Đại số Lie toàn phương là kì dị và giải được khi và chỉ khi là một mở rộng kép. 1.2.5 Mở rộng kép của một đại số Lie toàn phương Định nghĩa 1.32 Cho (g, B) là một đại số Lie toàn phương. Ánh xạ tuyến tính D : g → g được gọi là một đạo hàm của g nếu D([ X ,= Y ]) [ D( X ), Y ] + [ X , D(Y )], ∀X , Y ∈ g. Nếu thêm điều kiện B( D( X ), Y ) = − B( X , D(Y )), ∀X , Y ∈ g thì ta nói D là một đạo hàm phản xứng của g .
20 Ta kí hiệu Dera (g) là không gian các đạo hàm phản xứng của g , hiển nhiên nó là đại số con của đại số Der (g) chứa các đạo hàm của g . Chú ý 1.33 Từ tính chất bất biến của dạng song tuyến tính, các đạo hàm trong của một đại số Lie toàn phương đều là đạo hàm phản xứng. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng. Định nghĩa 1.34 (xem [14] và [16]) Cho (g, B) là một đại số Lie toàn phương và C là một đạo hàm phản xứng của g . Trên không gian vector g =g ⊕ e ⊕ f ta định nghĩa phép toán [ X , Y ]g = [ X , Y ]g + B(C ( X ), Y ) f ,[e, X ] = C ( X ) và [ f , g] = 0 với mọi X , Y ∈ g . Khi đó g trở thành một đại số Lie, hơn nữa g còn là một đại số Lie toàn phương với dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến B được xác định B= (e, e) B (= f , f ) B= ( f , g) 0 , B ( X , Y ) = B ( X , Y ) và B (e, f ) = 1 với mọi (e, g) B= X , Y ∈ g . Trong trường hợp này, ta gọi g là Mở rộng kép của g bởi C . Người ta còn gọi g là mở rộng của g bởi đại số Lie một chiều thông qua đạo hàm C . Trường hợp mở rộng kép bởi một đại số Lie nhiều chiều có thể tìm thấy trong [16]. Tuy nhiên mở rộng kép một chiều là đủ để nghiên cứu trong trường hợp giải được bởi kết quả như sau (xem [12], [14] hoặc [16]). Mệnh đề 1.35 Cho (g, B) là một đại số Lie toàn phương giải được không giao hoán n chiều. Khi đó g là mở rộng kép một chiều của một đại số Lie toàn phương giải được n − 2 chiều. Chú ý 1.36 Một trường hợp đặc biệt của mở rộng kép một chiều là khi g giao hoán. Khi đó C là một ánh xạ phản xứng thuộc đại số o(g) và tích Lie trên g được định bởi [e, X ] = C ( X ) và [ X , Y ] = B(C ( X ), Y ) f với mọi X , Y ∈ g . Trường hợp này ta gọi g một cách đơn giản là một mở rộng kép. Các mở rộng kép đã được phân loại trong [11]. Mệnh đề 1.37 (xem Mệnh đề 2.3 trong [11] trang 16)