intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phép biến đổi Radon

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:59

Thêm vào BST
Báo xấu
113
lượt xem 11
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phép biến đổi Radon đưa ra các kiến thức cần dùng, giới thiệu phép biến đổi Radon, biến đổi Radon và các tính chất cơ bản, biến đổi ngược của biến đổi Radon. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phép biến đổi Radon

  1. BOÄ GIAÙO DUÏC – ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH ---oOo--- VUÕ THÒ HOÀNG HAÏNH PHEÙP BIEÁN ÑOÅI RADON LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC CHUYEÂN NGAØNH : TOAÙN GIAÛI TÍCH MAÕ SOÁ : 1.01.01 Thaønh phoá Hoà Chí Minh Thaùng 09 naêm 2003
  2. LÔØI CAÛM ÔN. Lôøi ñaàu tieân trong luaän vaên naøy, toâi xin kính göûi ñeán Thaày TS. Nguyeãn Cam–Khoa Toaùn Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Thaønh Phoá Hoà Chí Minh - ngöôøi ñaõ taän tình höôùng daãn, giuùp ñôõ toâi hoaøn thaønh luaän vaên, loøng bieát ôn chaân thaønh vaø saâu saéc nhaát. Chaân thaønh caûm ôn Quyù Thaày, Coâ thuoäc Khoa Toaùn,Khoa Taâm Lyù–Giaùo Duïc, Khoa Trieát, Khoa Phaùp, Phoøng Khoa hoïc–Coâng Ngheä–Sau Ñaïi Hoïc thuoäc Tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Thaønh Phoá Hoà Chí Minh, caùc Thaày thuoäc Khoa Toaùn-Tin Tröôøng Ñaïi Hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Thaønh Phoá Hoà Chí Minh, ñaõ taän tình truyeàn ñaït kieán thöùc cuõng nhö hoã trôï veà tö lieäu,thuû tuïc haønh chaùnh cho toâi trong suoát quaù trình hoïc taäp vaø laøm vieäc. Xin chaân thaønh caûm ôn TS.Chu Ñöùc Khaùnh-Tröôøng Döï Bò Ñaïi Hoïc Tp.Hoà Chí Minh, TS.Ñinh Ngoïc Thanh-Ñaïi Hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Tp.Hoà Chí Minh, ñaõ ñoïc vaø ñoùng goùp nhieàu yù kieán quí baùu cho luaän vaên ñöôïc hoaøn chænh. Xin caûm ôn caùc baïn cuøng khoùa Cao Hoïc Giaûi Tích 11 Tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Thaønh Phoá Hoà Chí Minh, caùc baïn trong Toå Toaùn tröôøng THPT Baø Ñieåm vaø Coâ Nguyeãn Leâ Thuùy Hoa, tröôøng THPT Chuyeân Leâ Hoàng Phong, ñaõ quan taâm, giuùp ñôõ toâi trong suoát thôøi gian toâi hoïc taäp vaø laøm luaän vaên. Moät laàn nöõa xin ñöôïc kính göûi ñeán Quyù Thaày, Coâ vaø caùc Baïn Höõu lôøi caûm ôn chaân thaønh,saâu saéc . Thaønh Phoá Hoà Chí Minh thaùng 09 naêm 2003. Vuõ Thò Hoàng Haïnh.
  3. MUÏC LUÏC. 1. CHÖÔNG I: Caùc kieán thöùc caàn duøng 1 I.Nhöõng nhaän xeùt sô boä 1 II.Caùc khoâng gian haøm thöû 1 III.Söï hoäi tuï trong khoâng gian caùc haøm thöû 1 IV.Caùc phieám haøm tuyeán tính 2 V.Söï phaân boá 2 VI.Ña thöùc Hermite Hl(x) 5 VII.Bieán ñoåi Fourier 6 VIII.Coâng thöùc Courant vaø Hilbert 6 2. CHÖÔNG II : Giôùi thieäu pheùp bieán ñoåi Radon 7 I.Giôùi thieäu 7 II.Bieán ñoåi Radon treân khoâng gian Euclide hai chieàu 7 III.Bieán ñoåi Radon treân khoâng gian Euclide ba chieàu 11 IV.Vaøi ví duï 14 3. CHÖÔNG III : Bieán ñoåi Radon vaø caùc tính chaát cô baûn 17 I.Tính thuaàn nhaát 17 II.Tính tuyeán tính 20 III.Bieán ñoåi Radon cuûa pheùp bieán ñoåi tuyeán tính 20 IV.Bieán ñoåi Radon cuûa ñaïo haøm 22 V.Bieán ñoåi Radon cuûa ña thöùc Hermite 29 VI.Ñaïo haøm cuûa bieán ñoåi Radon 35 VII.Bieán ñoåi cuûa tích chaäp 42 VIII.Lieân heä giöõa bieán ñoåi Radon vaø bieán ñoåi Fourier 43 4. CHÖÔNG IV : Bieán ñoåi ngöôïc cuûa bieán ñoåi Radon 45 I.Giôùi thieäu 45 II.Bieán ñoåi ngöôïc cuûa bieán ñoåi Radon treân khoâng gian Euclide hai chieàu 45 III.Söï thoáng nhaát vaø lieân hôïp giöõa bieán ñoåi Radon
  4. vaø bieán ñoåi ngöôïc cuûa noù treân khoâng gian Euclide hai chieàu 47 IV.Bieán ñoåi ngöôïc cuûa bieán ñoåi Radon treân khoâng gian Euclide ba chieàu 48 V.Söï thoáng nhaát vaø lieân hôïp giöõa bieán ñoåi Radon vaø bieán ñoåi ngöôïc cuûa noù treân khoâng gian vectô ba chieàu 51 VI.Söï lieân hôïp giöõa ℜ vaø ℜ + 55
  5. CHÖÔNG I:MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CAÀN DUØNG CHÖÔNG I: MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CAÀN DUØNG I.NHÖÕNG NHAÄN XEÙT SÔ BOÄ: Cho X = (x1,x2,…,xn)∈ Rn.Tích voâ höôùng cuûa hai vectô X,Y∈ Rn ñöôïc cho n bôûi coâng thöùc : X.Y = X, Y = ∑ x j y j j=1 1 Vaø ñoä lôùn cuûa vectô X laø X = X, X 2 F(x1,x2,…,xn) hay F(X) laø haøm cuûa n bieán soá thöïc. Trong haàu heát caùc tröôøng hôïp, F(X) coù giaù trò thöïc . Cho K laø bao ñoùng cuûa taäp hôïp caùc ñieåm X∈ Rn sao cho F(X) ≠ 0,ta goïi K laø giaù cuûa F. Neáu giaù K bò chaën, thì noù laø taäp compact (theo ñònh lí Heine-Borel trong khoâng gian Euclide Rn,ta coù : tính ñoùng vaø bò chaën cuûa moät taäp hôïp töông ñöông vôùi tính compact cuûa taäp hôïp ñoù). Giaù cuûa moät haøm trong Rn laø taäp con ñoùng beù nhaát trong Rn,maø beân ngoaøi noù, haøm bò trieät tieâu. Neáu F(X) khaû vi voâ haïn thì noù ñöôïc goïi laø thuoäc lôùp C∞. II.CAÙC KHOÂNG GIAN HAØM THÖÛ: 1)Khoâng gian DK : Khoâng gian caùc haøm C∞ treân Rn vôùi giaù compact K⊂Rn ñöôïc kí hieäu DK. 2)Khoâng gian D: Khoâng gian lôùp caùc haøm C∞ treân Rn vôùi giaù compact ñöôïc kí hieäu bôûi D. 3)Khoâng gian ϕ : Cho f: R ÆR goïi laø haøm giaûm nhanh veà 0 neáu ∀m∈N thì lim D k f ( x ).x m = 0 ,∀k. x →∞ Khoâng gian caùc haøm C∞ giaûm nhanh treân Rn ñöôïc kí hieäu laø ϕ. III.SÖÏ HOÄI TUÏ TRONG KHOÂNG GIAN CAÙC HAØM THÖÛ: 1)Khoâng gian DK : Cho { Fj} laø daõy caùc haøm trong DK :Fj→F ∈ DK hay lim Fj = F j→ ∞ Nghóa laø : daõy {Fj-F} hoäi tuï ñeàu veà 0 treân taäp compact K⊂ Rn. 1
  6. CHÖÔNG I:MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CAÀN DUØNG Hôn nöõa, daõy ñaïo haøm caáp baát kì cuûa Fj cuõng hoäi tuï ñeàu treân K, töông öùng vôùi ñaïo haøm caáp ñoù cuûa F, (DmFj – DmF) → 0 ,vôùi moãi soá coá ñònh m ≥ 0. 2)Khoâng gian D: Söï hoäi tuï theo nghóa trong D ñöôïc ñònh nghóa nhö trong DK nhöng ñaëc bieät taát caû caùc giaù cuûa caùc haøm soá trong daõy {Fj } ôû trong moät soá taäp compact coá ñònh K⊂ Rn . 3)Khoâng gian ϕ : Cho {Fj} laø daõy caùc haøm trong ϕ.Daõy naøy hoäi tuï veà 0 khi vaø chæ khi: i)Fj vaø DmFj hoäi tuï ñeàu veà 0 treân moãi taäp hôïp con compact K cuûa Rn. ii)Haèng soá C(l,m) trong bieåu thöùc⏐Xl Dm Fj⏐< C (l,m) ñoäc laäp ñoái vôùi j,∀j. Daõy {Fj} ñöôïc goïi laø hoäi tuï veà F∈ϕ neáu {Fj - F} hoäi tuï veà 0.Ta coù theå vieát : Fj → F hay lim Fj = F vaø ta goïi laø söï hoäi tuï theo nghóa cuûa ϕ. j→ ∞ IV. PHIEÁM HAØM TUYEÁN TÍNH: Moät phieám haøm tuyeán tính T treân khoâng gian tuyeán tính L thoaû maõn: = α + β vôùi F1,F2 baát kì ∈ L vaø 2 soá phöùc α,β. Taäp hôïp caùc phieám haøm tuyeán tính treân khoâng gian tuyeán tính L hình thaønh neân moät khoâng gian tuyeán tính goïi laø khoâng gian ñoái ngaãu L’. Xeùt daõy caùc haøm soá {Fj} trong khoâng gian tuyeán tính L, moät phieám haøm tuyeán tính laø lieân tuïc neáu vaø chæ neáu : lim < T,Fj > = < T, lim Fj > j→ ∞ j→ ∞ V.SÖÏ PHAÂN BOÁ: 1)Ñònh nghóa 1: Moät phieám haøm tuyeán tính lieân tuïc treân khoâng gian D ñöôïc goïi laø moät phaân boá. 2)Ñònh nghóa 2: Khoâng gian caùc phaân boá ñöôïc kí hieäu laø D’. 3)Ñònh nghóa 3: Moät phieám haøm tuyeán tính lieân tuïc treân khoâng gian ϕ ñöôïc goïi laø phaân boá tempered. 4)Ñònh nghóa 4: Khoâng gian cuûa caùc phaân boá tempered ñöôïc kí hieäu laø ϕ’. 2
  7. CHÖÔNG I:MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CAÀN DUØNG LÖU YÙ : Ñaúng thöùc, pheùp coâïng, pheùp nhaân voâ höôùng treân nhöõng khoâng gian L’ ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: (i)T1∈L’ vaø T2∈L’,ta coù: T1 = T2 ⇔ 〈T1,F〉 = 〈T2,F〉,∀F∈L (ii)(T1+T2)∈L’,ta coù: 〈T1+T2,F〉 = 〈T1,F〉 + 〈T2,F〉, ∀F∈L (iii)αT∈L’,α∈C,ta coù: 〈αT,F〉 = α*〈T,F〉, ∀F∈L Daõy caùc haøm suy roäng {Tj}∈L’ ñöôïc goïi laø hoäi tuï veà haøm suy roäng T∈L’khi: lim Tj , F = T, F , ∀F ∈ L j→ ∞ Baây giôø ta xeùt daõy caùc haøm soá sau : ⎧ ⎪0, x < 0 ⎪ ⎪ ∀ k ∈ N , S k ( x ) = ⎨ k ,0 ≤ x ≤ 1 ⎪ k ⎪ 1 ⎪⎩0, x > k Roõ raøng, daõy {Sk} khoâng coù moät giôùi haïn xaùc ñònh roõ (k→∞) trong pheùp tính giôùi haïn sô caáp.Xeùt daïng tích phaân sau : 1 +∞ k Sk , F = ∫ Sk (x )F(x )dx = k. ∫ F(x )dx vôùi F laø haøm thuoäc D. −∞ 0 j→ ∞ Cho moãi daõy {Fj}⊂D sao cho : Fj → F ∈ D , ta coù: lim S k , Fj = S k , F j→∞ Vì vaäy 〈Sk,F〉 ∀F∈D laø moät phieám haøm tuyeán tính lieân tuïc treân D. Khi ta noùi Sk laø moät phaân boá thì phaûi hieåu laø ñaõ ñoàng nhaát Sk vôùi phieám haøm tuyeán tính lieân tuïc: F 6 Sk , F .Vôùi T(x) khaû tích treân moïi ñoaïn [a,b] +∞ thì T laø moät phaân boá xaùc ñònh bôûi : ∀F ∈ D : T, F = ∫ T(x )F(x )dx −∞ Caùc phaân boá ñöôïc xaùc ñònh nhö trong ví duï 2 ñöôïc goïi laø phaân boá chính qui . Caùc phaân boá khoâng chính qui ñöôïc goïi laø phaân boá kì dò. 3
  8. CHÖÔNG I:MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CAÀN DUØNG Ta nhaän thaáy raèng daõy {Sk} khoâng coù giôùi haïn theo nghóa thoâng thöôøng. Nhöng 〈Sk,F〉 ,vôùi F∈D, coù moät giôùi haïn. Theo ñònh lí giaù trò trung bình: S k , F = k. F(η k ) = F(η k ), 0 < η k < . 1 1 k k Vì vaäy : lim S k , F = lim F(η k ) = F(0) . k →∞ k →∞ Xeùt phaân boá δ xaùc ñònh bôûi : δ, F = F(0 ) , ∀F∈D. +∞ Vaø ta thöôøng vieát: δ, F = ∫ δ(x )F(x )dx = F(0) −∞ +∞ Löu yù raèng caùch vieát : ∫ δ(x )F(x )dx −∞ hoaøn toaøn mang tính hình thöùc maø thoâi.Vaø ta xem nhö phaân boá δ xaùc ñònh bôûi : δ = lim S k theo nghóa giôùi haïn cuûa phaân boá. k →∞ Ñònh nghóa:Haøm Dirac δ ñöôïc vieát vôùi x∈R1 ,ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: +∞ δ(x ) = 0, ∀x ≠ 0, ∫ δ(x )dx = 1 −∞ ⎧ ⎪0, x < a ⎪ ⎪ Ñaët : Sk (x − a ) = ⎨k , a ≤ x ≤ a + 1 ⎪ k ⎪ 1 ⎪⎩0, x > a + k 1 1 a+ a+ k k 1 1 thì: Sk , F = ∫ S k ( x − a )F( x )dx = k . ∫ F( x )dx = k . F(η k ), a ≤ η k ≤ a + a a k k +∞ lim Sk , F = lim F(ηk ) = F(a ) ⇒ k →∞ k →∞ ∫ δ(x − a )F(x )dx = F(a ) −∞ +∞ Nhö vaäy: ∫ F(x )δ(x − a )dx = F(a ) −∞ ***Haøm Dirac δ laø haøm soá chaün, nghóa laø δ(-x) = δ(x), ∀x∈R. 4
  9. CHÖÔNG I:MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CAÀN DUØNG VI.ÑA THÖÙC HERMITE Hl(x) : a) Haøm soá toång quaùt: ∞ H (x )t l 2 xt − t 2 e = ∑ l l! l=0 b) Caùc giaù trò ñaëc bieät: H l (x ) = (− 1)l H l (− x ) H 2l (0 ) = (− 1)l (2l)! l! H 2l +1 (0 ) = 0 c) Coâng thöùc truy hoài vaø ñaïo haøm: H l +1 = 2 xH l − 2lH l −1 H 'l = 2lH l −1 H"l − 2 xH 'l + 2lH l = 0 d) Tính tröïc giao: +∞ H l (x )H m (x )e − x dx = π 2 l l!δ lm . 2 ∫ −∞ e) Coâng thöùc Rodrigues : l l x2 ⎛ d ⎞ −x 2 H l (x ) = (− 1) e ⎜ ⎟ e ⎝ dx ⎠ m ⎛ d ⎞ −x2 −x2 ⎜ − ⎟ e H n ( x ) = e H m + n (x ) ⎝ dx ⎠ f) Vaøi giaù trò ñaàu tieân cuûa coâng thöùc Rodrigues: H0 = 1 H1 = 2 x H 2 = 4x 2 − 2 H 3 = 8x 3 − 12 x H 4 = 16 x 4 − 48x 2 + 12 H 5 = 32 x 5 − 160 x 3 + 120 x g) Moät soá daïng khai trieån: x 0 = H0 1 x1 = H1 2 5
  10. CHÖÔNG I:MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CAÀN DUØNG x2 = 1 (2H0 + H 2 ) 4 x 3 = (H 3 + 6H1 ) 1 8 x 4 = (H 4 + 12H 2 + 12H 0 ) 1 16 x 5 = (H 5 + 20H3 + 60H1 ) 1 32 VII.BIEÁN ÑOÅI FOURIER : Cho haøm thöû F∈ϕ a)Bieán ñoåi Fourier : ~ +∞ − 2iπxt F(x ) = ∫e F(t )dt −∞ b)Bieán ñoåi ngöôïc cuûa bieán ñoåi Fourier : +∞ ~ F(t ) = ∫ e i 2πxt F(x )dx −∞ VIII.COÂNG THÖÙC COURANT VAØ HILBERT : Xeùt X,Y ∈ Rn ,ξ laø vecto ñôn vò, p laø moät voâ höôùng, vaø ΔX laø toaùn töû Laplacian. 1)n leû vaø n ≥ 3: n +1 n −1 4(2π) n −1 (− 1) 2 f (X ) = Δ X2 ∫ dξ∫ dYf (Y ) ξ.(Y − X ) ξ =1 2)n chaün vaø n ≥ 2: n n−2 (2π) (− 1) n 2 f (X ) = Δ2X ∫ dξ∫ dYf (Y )ln ξ.(Y − X ) ξ =1 6
  11. CHÖÔNG II:GIÔÙI THIEÄU PHEÙP BIEÁN ÑOÅI RADON CHÖÔNG II: GIÔÙI THIEÄU PHEÙP BIEÁN ÑOÅI RADON. I.GIÔÙI THIEÄU: Trong chöông naøy, pheùp bieán ñoåi Radon cuûa haøm f treân khoâng gian Euclide ñöôïc ñònh nghóa cho nhöõng haøm treân R2,R3, vaø ta laøm vieäc treân nhöõng lôùp haøm toát nhö lôùp ϕ cuûa nhöõng haøm giaûm nhanh khaû vi moïi caáp C∞ hay lôùp haøm D cuûa nhöõng haøm khaû vi moïi caáp C∞ vaø coù giaù compact. II.BIEÁN ÑOÅI RADON TREÂN KHOÂNG GIAN EUCLIDE HAI CHIEÀU: Cho (x,y) toaï ñoä cuûa nhöõng ñieåm trong maët phaúng , xeùt haøm f xaùc ñònh treân D ⊂ R2.Haøm f trieät tieâu beân ngoaøi mieàn D. Neáu L laø moät ñöôøng thaúng baát kyø trong maët phaúng , thì pheùp bieán ñoåi Radon cuûa f ñöôïc xaùc ñònh bôûi : ∨ f = ℜf = ∫ f (x, y )ds (2.1) L trong ñoù ds laø soá gia cuûa chieàu daøi doïc theo L.Mieàn D coù theå laø toaøn boä R2 hoaëc moät boä phaän cuûa R2 nhö trong hình : L y D O x Hình 2.1 Pheùp bieán ñoåi Radon xaùc ñònh bôûi (2.1) vaø pheùp bieán ñoåi ngöôïc cuûa noù ñaõ ñöôïc nghieân cöùu laàn ñaàu tieân bôûi Johann Radon (1917).Radon ñaõ chæ ra raèng neáu f lieân tuïc vaø coù giaù compact, thì ℜf ñöôïc xaùc ñònh duy nhaát bôûi tích phaân doïc theo moïi ñöôøng thaúng L. 7
  12. CHÖÔNG II:GIÔÙI THIEÄU PHEÙP BIEÁN ÑOÅI RADON y y I M P ϕ x x O L Hình 2.2 Xeùt phöông trình cuûa ñöôøng L ñöôïc cho nhö sau: p = x.cosφ + y.sinφ (2.2) Thaät vaäy, p = d(O,(L))=OM → L coù phaùp vectô n = (cos φ, sin φ) Cho I(x,y). Toaï ñoä M laø : M(p.cosφ,p.sinφ) → ⇒ IM = (p. cos φ − x , p.sin φ − y ) → → Ta coù: IM ⊥ n → → ⇔ IM . n = 0 ⇔ p = x. cos φ + y.sin φ Tích phaân ñöôøng (2.1) phuï thuoäc vaøo giaù trò cuûa p,φ . Ñieàu naøy ñöôïc xaùc ñònh bôûi bieåu thöùc sau: ∨ f (p, φ ) = ℜf = ∫ f (x , y )ds (2.3) L ∨ ∨ Neáu f (p, φ) xaùc ñònh vôùi moïi p vaø φ , thì f (p, φ) laø PHEÙP BIEÁN ÑOÅI RADON HAI CHIEÀU cuûa f(x,y) . ∨ Khi f chæ ñöôïc xaùc ñònh vôùi moät soá giaù trò φ , ta noùi ta coù MOÄT MAÃU cuûa pheùp bieán ñoåi Radon. Baây giôø giaû söû moät heä truïc toaï ñoäï môùi ñöôïc giôùi thieäu vôùi truïc quay goùc φ . Neáu heä truïc môùi ñöôïc kyù hieäu bôûi p vaø s nhö hình sau: 8
  13. CHÖÔNG II:GIÔÙI THIEÄU PHEÙP BIEÁN ÑOÅI RADON y S I N P M φ x O Hình 2.3 ⎛ x ⎞ ⎛ cos φ − sin φ ⎞ ⎛ p ⎞ Ta coù: ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟.⎜⎜ ⎟⎟ y ⎝ ⎠ ⎝ sin φ cos φ ⎠⎝s⎠ ⎧ x = p. cos φ − s.sin φ ⎨ laø coâng thöùc ñoåi truïc toaï ñoä. ⎩ y = p.sin φ + s. cos φ +∞ Vaäy: ∫ f (p. cos φ − s. sin φ, p. sin φ + s. cos φ)ds (2.4) −∞ Hieån nhieân, giôùi haïn coù theå höõu haïn neáu f trieät tieâu beân ngoaøi mieàn D. Cho X=(x,y) laø vectô vôùi thaønh phaàn x vaø y, thì : f(X)=f(x,y). Ngoaøi ra , ta coù caùc vectô ñôn vò sau : ξ = (cosφ, sinφ) vaø ξ⊥ = (-sinφ, cosφ) Nhö vaäy , seõ toàn taïi tham soá voâ höôùng t sao cho : X = p.ξ + t.ξ⊥ y (x, y) ξ ξ P φ x O L Hình 2.4 9
  14. CHÖÔNG II:GIÔÙI THIEÄU PHEÙP BIEÁN ÑOÅI RADON Theo bieán soá môùi thì (2.4) coù daïng : ∨ +∞ f (p, ξ ) = ∫ f ⎛⎜ p.ξ + t.ξ ⊥ ⎞⎟dt (2.5) ⎝ ⎠ −∞ Ta coù theâm moät daïng bieåu dieãn nöõa. Ñaàu tieân , xeùt phöông trình (2.2) coù theå ñöôïc vieát nhö sau : p = ξ.X = x.cosφ + y.sinφ Pheùp bieán ñoåi coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng tích phaân treân R2 bôûi haøm delta Dirac , choïn ñöôøng p = ξ.X trong R2 . ∨ Ta seõ chöùng minh : f (p, ξ) = ∫∫ f (X).δ(p − ξ.X)dxdy R2 Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán soá : ⎛ u ⎞ ⎛ cos φ sin φ ⎞ ⎛ x ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟.⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ v ⎠ ⎝ − sin φ cos φ ⎠ ⎝ y ⎠ ⎧ u = x. cos φ + y.sin φ ⇔⎨ ⎩ v = − x.sin φ + y. cos φ ⎧ x = u. cos φ − v.sin φ ⇔⎨ ⎩ y = u.sin φ + v. cos φ Ta coù : ∫∫ f (X )δ(p − ξ.X )dxdy R2 = ∫∫ f (x, y )δ(p − ξ.X )dxdy R2 = ∫∫ f (u.cos φ − v.sin φ, u.sin φ + v.cos φ).δ(p − u )dudv R2 = ∫∫ f (u.cos φ − v.sin φ, u.sin φ + v.cos φ).δ(u − p )dudv R2 = ∫ f (p.cos φ − v.sin φ, p.sin φ + v.cos φ)dv ∨ = f ( p, φ ) ∨ = f ( p, ξ ) ∨ Vaäy: f (p, ξ ) = ∫∫ f (X).δ(p − ξ.X)dxdy 2 (2.6) R Ñeå ñôn giaûn hôn ta coù theå vieát: ∨ f (p, ξ ) = ∫ f (X ).δ(p − ξ.X )dX (2.7) 10
  15. CHÖÔNG II:GIÔÙI THIEÄU PHEÙP BIEÁN ÑOÅI RADON III.BIEÁN ÑOÅI RADON TREÂN KHOÂNG GIAN EUCLIDE BA CHIEÀU: Cho (x,y,z) laø toaï ñoä nhöõng ñieåm trong khoâng gian R3 . Xeùt haøm f xaùc ñònh treân D ⊂ R3 vaø trieät tieâu beân ngoaøi mieàn D. Neáu (P) laø moät maët phaúng baát kyø trong khoâng gian, thì pheùp bieán ñoåi Radon cuûa f ñöôïc xaùc ñònh bôûi : ∨ f = ℜf = ∫ f (x, y , z )ds (2.8) (P ) Mieàn D coù theå laø toaøn boä R hoaëc moät boä phaän cuûa R3 . 3 Ta xeùt p = d(O,(P))=OM → (P) coù phaùp vectô n = (ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ) = ξ vôùi ξ = 1 Cho I(x,y,z),toïa ñoä ñieåm M laø : M(p.ξ1 , p.ξ 2 , p.ξ3 ) z I M ξ p y O x Hình 3.1 → IM = (p.ξ1 − x , p.ξ 2 − y, p.ξ3 − z ) → → Ta coù : IM ⊥ n → → ⇔ IM . n = 0 ⇔ p = x.ξ1 + y.ξ 2 + z.ξ 3 (2.9) Tích phaân maët (2.8) phuï thuoäc vaøo giaù trò cuûa p,ξ . Ñieàu naøy ñöôïc xaùc ñònh bôûi bieåu thöùc sau : ∨ f (p, ξ ) = ℜf = ∫ f (x, y, z )ds (2.10) (P ) 11
  16. CHÖÔNG II:GIÔÙI THIEÄU PHEÙP BIEÁN ÑOÅI RADON ∨ ∨ Neáu f (p, ξ ) xaùc ñònh vôùi moïi p,ξ , thì f (p, ξ ) laø PHEÙP BIEÁN ÑOÅI RADON BA CHIEÀU cuûa f(x,y,z) (vôùi ⏐ξ⏐=1). Giaû söû ta coù moät heä truïc toïa ñoä môùi vôùi moät truïc Ox vuoâng goùc vôùi (P). Ta kyù hieäu heä truïc môùi laø Opvw. ⎛ − ξ1ξ 2 − ξ3 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎜ ξ1 q ⎟ q ⎟ ⎛⎜ p ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Ta coù : ⎜ y ⎟ = ⎜ ξ 2 q 0 ⎟.⎜ v ⎟ ⎜z⎟ ⎜ − ξ 2 ξ3 ξ1 ⎟ ⎜ w ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ξ3 ⎟⎝ ⎠ ⎝ q q ⎠ 2 Vôùi : q = ξ12 + ξ 32 , ξ = ξ12 + ξ 22 + ξ 32 = 1 Vaäy : ∨ +∞ +∞ ⎛ ξ 1ξ 2 ξ3 ξ 2ξ 3 ξ1 ⎞ f (p, ξ ) =∫ ∫ ⎜⎝ 1 f ⎜ ξ p − v − w , ξ 2 p + qv , ξ 3 p − v + w ⎟⎟dvdw −∞ −∞ q q q q ⎠ (2.11) Giôùi haïn coù theå höõu haïn neáu f trieät tieâu beân ngoaøi mieàn D. Cho X = (x,y,z) laø vectô vôùi thaønh phaàn x,y,z thì : f(X) = f(x,y,z) Ngoaøi ra, ta coù caùc vectô ñôn vò sau vôùi q = ξ12 + ξ32 , ξ = (ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ) ⎛ ξξ ξ ξ ⎞ ξ v = ⎜⎜ − 1 2 , q,− 2 3 ⎟⎟ ⎝ q q ⎠ ⎛ ξ ξ ⎞ ξ w = ⎜⎜ − 3 ,0, 1 ⎟⎟ ⎝ q q⎠ Caùc vectô ξ, ξ v , ξ w ñoâi moät vuoâng goùc. Nhö vaäy seõ toàn taïi tham soá voâ höôùng v,w sao cho : X = p.ξ + v.ξ v + w.ξ w Theo bieán soá môùi thì (2.11) coù daïng : ∨ +∞ +∞ f (p, ξ ) = ∫ ∫ f (p.ξ + v.ξ v + w.ξ w )dvdw (2.12) −∞ −∞ Phöông trình (2.9) coù theå ñöôïc vieát nhö sau : p = ξ.X = x.ξ1 + y.ξ 2 + z.ξ 3 12
  17. CHÖÔNG II:GIÔÙI THIEÄU PHEÙP BIEÁN ÑOÅI RADON Pheùp bieán ñoåi radon coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng tích phaân treân R3 bôûi haøm delta Dirac. ∨ Ta seõ chöùng minh : f (p, ξ) = ∫∫∫ f (X).δ(p − ξ.X)dxdydz R3 Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán soá : ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ u ⎞ ⎜ ξ1 ξ2 ξ3 ⎟ ⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ξ1ξ 2 ξ ξ ⎟⎜ ⎟ ⎜ v ⎟ = ⎜− q − 2 3 ⎟.⎜ y ⎟ ⎜w⎟ ⎜ q q ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ − ξ3 ξ1 ⎟ ⎝ z ⎠ ⎜ 0 ⎟ ⎝ q q ⎠ ⎧ ⎪ u = x.ξ + y.ξ + z.ξ ⎪ 1 2 3 ⎪ ξξ ξ ξ ⇔ ⎨ v = − 1 2 .x + q.y − 2 3 .z ⎪ q q ⎪ ξ3 ξ1 ⎪w = − x + z ⎩ q q ⎧ ξ1ξ 2 ξ3 ⎪ x = ξ1u − q v − q w ⎪⎪ ⇔ ⎨ y = ξ 2 u + qv ⎪ ξ ξ ξ ⎪ z = ξ3u − 2 3 v + 1 w ⎪⎩ q q Ta coù : ∫∫∫ f (X )δ(p − ξ.X )dxdydz R3 = ∫∫∫ f (x , y, z )δ(p − ξ.X )dxdydz R3 ⎛ ξξ ξ ξ ξ ξ ⎞ = ∫∫∫ f ⎜⎜ ξ1u − 1 2 v − 3 w , ξ 2 u + qv, ξ3u − 2 3 v + 1 w ⎟⎟.δ(p − u )dudvdw 3 ⎝ q q q q ⎠ R ⎛ ξ1ξ 2 ξ3 ξ 2 ξ3 ξ1 ⎞ ∨ = ∫∫ ⎜⎝ 1 f ⎜ ξ p − v − w , ξ 2 p + qv, ξ 3 p − v + w ⎟ ⎟ dvdw = f ( p, ξ ) 2 q q q q ⎠ R 13
  18. CHÖÔNG II:GIÔÙI THIEÄU PHEÙP BIEÁN ÑOÅI RADON ∨ Vaäy : f (p, ξ ) = ∫∫∫ f (X )δ(p − ξ.X )dxdydz (2.13) R3 Ñeå ñôn giaûn,ta thay ∫∫∫ baèng ∫ ta coù : R3 ∨ f (p, ξ ) = ∫ f (X )δ(p − ξ.X )dX (2.14) IV.VAØI VÍ DUÏ : 1.Ví duï 1 : 2 − y2 Cho f (x , y ) = e − x ∨ +∞ +∞ 2 2 f = ℜf = ∫ ∫ e − x − y δ(p − ξ1x − ξ 2 y )dxdy −∞ −∞ vôùi ξ = (ξ1 , ξ 2 ), ξ = ξ12 + ξ 22 = 1 2 Baèng pheùp bieán ñoåi tuyeán tính tröïc giao, ta coù : ⎛ u ⎞ ⎛⎜ ξ1 ξ2 ⎞⎟ ⎛ x ⎞ ⎜ ⎟=⎜ .⎜ ⎟ ⎝ v ⎠ ⎝ −ξ2 ξ1 ⎟⎠ ⎝ y ⎠ ⎧u = ξ1x + ξ 2 y ⇒⎨ ⎩ v = − ξ 2 x + ξ1y ⎛ ξ ξ2 ⎞ vôùi det ⎜⎜ 1 ⎟⎟ =1 , x2+y2 = u2+v2 ⎝ − ξ 2 ξ1 ⎠ ∨ +∞ +∞ ( ) 2 2 Nhö vaäy: f p, ξ = ∫ ∫ e − u − v .δ(p − u )dudv −∞ −∞ +∞ −p2 − v2 = ∫ e dv −∞ +∞ −p2 2 =e ∫ e − v dv −∞ 2 = π.e − p Vì vaäy, ta coù keát quaû quan troïng: ℜ ⎧⎨e − x 2 −y2 ⎫ = π .e − p 2 (2.15) ⎬ ⎩ ⎭ 14
  19. CHÖÔNG II:GIÔÙI THIEÄU PHEÙP BIEÁN ÑOÅI RADON 2.Ví duï 2 : Keát quaû ôû ví duï 1 coù theå ñöôïc môû roäng theo giaù trò cuûa n. Neáu n=3, ta 2 2 2 coù : f ( x, y) = e − x − y − x Thöïc hieän ñoåi bieán soá : ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎜ ξ1 u ξ2 ξ3 ⎟ ⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − ξ1ξ 2 − ξ 2ξ3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ v⎟=⎜ q .⎜ y ⎟ ⎜w⎟ ⎜ q q ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ − ξ3 ξ1 ⎟ ⎝ z ⎠ 0 ⎜ q ⎝ q ⎟⎠ vôùi q = ξ12 + ξ 32 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ξ1 ξ2 ξ3 ⎟ ⎜−ξ ξ − ξ 2ξ3 ⎟ det ⎜ 1 2 q =1 , ⎜ q q ⎟⎟ ⎜ − ξ3 0 ξ1 ⎟ ⎜ q q ⎟⎠ ⎝ 2 ξ = ξ12 + ξ 22 + ξ 32 = 1 ⎧ ⎪u = ξ x + ξ y + ξ z ⎪ 1 2 3 ⎪ ξξ ξ ξ ⇒ ⎨ v = − 1 2 x + qy − 2 3 z ⎪ q q ⎪ ξ3 ξ1 ⎪w = − x + z ⎩ q q ⎧u 2 = ξ 2 x 2 + ξ 2 y 2 + ξ 2 z 2 + 2ξ ξ xy + 2ξ ξ yz + 2ξ ξ zx 1 2 3 1 2 2 3 3 1 ⎪ ⎪ 2 ⎪v = 2 ξ12 ξ 22 2 ξ1 + ξ32 ( 2 x + ξ1 + ξ3 y + 2 2 )ξ 22 ξ32 2 ξ12 + ξ32 z − 2ξ1ξ 2 xy ⎪ ⎪ ⇒⎨ 2ξ1ξ 22 ξ3 ⎪− 2ξ 2 ξ3 yz + 2 2 zx ⎪ ξ1 + ξ 3 ⎪ 2 2 ⎪ w 2 = ξ3 x 2 + ξ1 z 2 − 2ξ1ξ 3 xz ⎪ ξ12 + ξ32 ξ12 + ξ32 ξ12 + ξ32 ⎩ 15
  20. CHÖÔNG II:GIÔÙI THIEÄU PHEÙP BIEÁN ÑOÅI RADON ⇒ u 2 + v2 + w 2 = x 2 + y2 + z2 ∨ +∞ +∞ +∞ 2 2 2 f = ℜf = ∫ ∫ ∫ e − x − y − z δ(p − ξ1x − ξ 2 y − ξ 3z )dxdydz −∞ −∞ −∞ ∨ +∞ +∞ +∞ 2 2 2 f (p, ξ ) = ∫ ∫ ∫ e − u − v − w δ(p − u )dudvdw −∞ −∞ −∞ +∞ +∞ 2 2 2 = ∫ ∫ e − p − v − w dvdw −∞ −∞ +∞ +∞ −p2 − v2 − w 2 =e ∫ ∫ e dvdw −∞ −∞ +∞ −p2 −w2 =e π ∫ e dw −∞ 2 = e− p π π 2 = π.e − p Vaäy: { ℜ e− x 2 −y 2 −z2 }= π.e −p 2 (2.16) 16
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

TL.01: Bộ Tiểu Luận Triết Học
207 tài liệu
1455 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2