Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp chiếu giải bài toán cân bằng hai cấp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:79

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằng giả đơn điệu và áp dụng vào một lớp bài toán cân bằng hai cấp. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp chiếu giải bài toán cân bằng hai cấp

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM D÷ìng V«n Thi PH×ÌNG PHP CHIU GII BI TON CN BNG HAI CP LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n, n«m 2016
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM D÷ìng V«n Thi PH×ÌNG PHP CHIU GII BI TON CN BNG HAI CP Chuy¶n ng nh: Gi£i T½ch M¢ sè: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: GS.TSKH NGUYN XUN TN Th¡i Nguy¶n, n«m 2016
Líi cam oan Tæi xin cam oan r¬ng nëi dung tr¼nh b y trong luªn v«n n y l trung thüc, khæng tròng l°p vîi c¡c · t i kh¡c v c¡c thæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2016 Ng÷íi vi¸t luªn v«n D÷ìng V«n Thi i
Líi c£m ìn Luªn v«n ÷ñc ho n th nh trong khâa 22 o t¤o Th¤c s¾ cõa tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, d÷îi sü h÷îng d¨n cõa GS.TS Nguy¹n Xu¥n T§n, Vi»n To¡n håc. Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi th¦y h÷îng d¨n, ng÷íi ¢ t¤o cho tæi mët ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu khoa håc, tinh th¦n l m vi»c nghi¶m tóc v ¢ d nh nhi·u thíi gian, cæng sùc h÷îng d¨n tæi ho n th nh luªn v«n. Tæi công xin b y tä láng c£m ìn s¥u sc tîi c¡c th¦y cæ gi¡o cõa tr÷íng ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Vi»n To¡n håc, nhúng ng÷íi ¢ tªn t¼nh gi£ng d¤y, kh½ch l», ëng vi¶n tæi v÷ñt qua nhúng khâ kh«n trong håc tªp. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban l¢nh ¤o Khoa Sau ¤i håc, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi, gióp ï tæi trong suèt thíi gian tæi håc tªp. Cuèi còng, tæi xin c£m ìn gia ¼nh, ng÷íi th¥n v b¤n b± ¢ ëng vi¶n, õng hë tæi º tæi câ thº ho n th nh tèt khâa håc v luªn v«n cõa m¼nh. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2016 Ng÷íi vi¸t luªn v«n D÷ìng V«n Thi ii
Möc löc Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Möc löc iii Mët sè kþ hi»u vi¸t tt v Mð ¦u 1 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 4 1.1 Mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ cì b£n cõa gi£i t½ch lçi . . . . . 4 1.1.1 Kh¡i ni»m v· tªp lçi v h m lçi . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 ¤o h m v d÷îi vi ph¥n cõa h m lçi . . . . . . . . . 8 1.2 B i to¡n c¥n b¬ng v c¡c tr÷íng hñp ri¶ng . . . . . . . . . . 11 1.2.1 B i to¡n tèi ÷u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n . . . . . . . . . . . 12 1.2.3 B i to¡n iºm b§t ëng . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.4 B i to¡n c¥n b¬ng Nash trong trá chìi khæng hñp t¡c 15 iii
1.2.5 Sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng . . . . . . . 16 1.3 B i to¡n c¥n b¬ng t÷ìng ÷ìng . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 B i to¡n c¥n b¬ng hai c§p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.1 B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n hai c§p . . . . . . 22 1.4.2 B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Ph÷ìng ph¡p chi¸u gi£i b i to¡n c¥n b¬ng 24 2.1 Thuªt to¡n chi¸u cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n gi£ ìn i»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Thuªt to¡n chi¸u gi£i b i to¡n c¥n b¬ng gi£ ìn i»u . . . . 31 2.3 p döng gi£i mët sè b i to¡n hai c§p . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.1 T¼m cüc tiºu cõa h m chu©n Euclide tr¶n tªp nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng gi£ ìn i»u . . . . . . . . . . 42 2.3.2 Gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 K¸t luªn 69 T i li»u tham kh£o 70 iv
Mët sè kþ hi»u vi¸t tt R tªp sè thüc. N tªp sè tü nhi¶n. H khæng gian Hilbert thüc. Rn khæng gian Euclide n chi·u. hx, yi = xT y t½ch væ h÷îng cõa hai v²ctì x v y . chu©n cõa v²ctì x. p kxk = hx, xi domf mi·n húu hi»u cõa h m f . imF mi·n £nh cõa ¡nh x¤ F . epif tr¶n ç thà cõa h m f . ϕ0 (x) = 5ϕ(x) ¤o h m cõa ϕ t¤i x. ϕ0 (x; d) ¤o h m theo h÷îng d cõa ϕ t¤i x. ∂ϕ(x) d÷îi vi ph¥n cõa ϕ t¤i x. 5x f (x, y) ¤o h m cõa h m f (., y) t¤i x. 5y f (x, y) ¤o h m cõa h m f (x, .) t¤i y . ∂f (x, x) d÷îi vi ph¥n cõa f (x, .) t¤i x. intC ph¦n trong cõa tªp C . riC ph¦n trong t÷ìng èi cõa tªp C . xk → x d¢y xk hëi tö tîi x. PC (x) h¼nh chi¸u cõa x l¶n tªp C . v
NC (x) nân ph¡p tuy¸n ngo i cõa C t¤i x. B[a, r] qu£ c¦u âng t¥m a b¡n k½nh r. C bao âng cõa tªp C . lim = lim inf giîi h¤n d÷îi. lim = lim sup giîi h¤n tr¶n. EP (C, f ) b i to¡n c¥n b¬ng. V IP (C, f ) b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (ìn trà). Sf tªp nghi»m cõa b i to¡n EP (C, f ). SF tªp nghi»m cõa b i to¡n V IP (C, F ). BEP (C, f, g) b i to¡n c¥n b¬ng hai c§p. M N EP (C, f ) b i to¡n t¼m cüc tiºu cõa h m chu©n tr¶n tªp Sf . V IEP (C, f, F ) b i to¡n V IP (Sf , F ). BV IP (C, F, G) b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n hai c§p. vi
Mð ¦u 1. Lþ do chån · t i B i to¡n tèi ÷u: min f (x), (1) x∈D vîi D ⊂ Rn l b i to¡n âng vai trá quan trång trong vi»c ùng döng to¡n håc v o cuëc sèng. Khi f câ ¤o h m (1) li¶n quan tîi: hf 0 (x), x − xi ≥ 0, ∀x ∈ D. (2) N«m 1960 Stampacchia ÷a ra b i to¡n têng qu¡t. Cho F : D → Rn T¼m x ∈ D sao cho hF (x), x − xi ≥ 0, ∀x ∈ D. B i to¡n n y ÷ñc gåi l b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n. Cho D l tªp con kh¡c réng cõa khæng gian X , f : D × D → R l song h m c¥n b¬ng. X²t b i to¡n: T¼m x ∈ D sao cho f (x, x) ≥ 0, ∀x ∈ D. B i to¡n n y ÷ñc gåi l b i to¡n c¥n b¬ng. Ch½nh x¡c, b i to¡n c¥n b¬ng ÷ñc ÷a ra l¦n ¦u bði H. Nikaido v K. Isoda n«m 1955 khi têng qu¡t hâa b i to¡n c¥n Nash trong trá chìi khæng hñp t¡c v ÷ñc Ky Fan giîi 1
thi»u n«m 1972 (th÷íng ÷ñc gåi l b§t ¯ng thùc Ky Fan). B i to¡n c¥n b¬ng bao h m nhi·u lîp b i to¡n quen thuëc nh÷ b i to¡n tèi ÷u, b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, b i to¡n iºm b§t ëng, b i to¡n c¥n b¬ng Nash trong lþ thuy¸t trá chìi khæng hñp t¡c ... V¼ vªy, c¡c k¸t qu£ thu ÷ñc v· b i to¡n c¥n b¬ng ÷ñc ¡p döng trüc ti¸p cho c¡c b i to¡n °c bi»t cõa nâ. C¡c h÷îng nghi¶n cùu b i to¡n c¥n b¬ng r§t a d¤ng, trong â vi»c nghi¶n cùu x¥y düng c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i ¢ ÷a to¡n håc v o gi£i quy¸t nhi·u v§n · °t ra trong thüc t¸. Ph¦n trång t¥m cõa luªn v«n n y l tr¼nh b y mët ph÷ìng ph¡p chi¸u gi£i b i to¡n c¥n b¬ng gi£ ìn i»u v ¡p döng v o lîp b i to¡n c¥n b¬ng hai c§p. C§u tróc luªn v«n gçm 2 ch÷ìng: Ch÷ìng 1: Nhc l¤i c¡c ki¸n thùc cì b£n cõa gi£i t½ch lçi ÷ñc sû döng trong ch÷ìng sau. Ti¸p theo i giîi thi»u b i to¡n c¥n b¬ng, b i to¡n c¥n b¬ng t÷ìng ÷ìng v b i to¡n c¥n b¬ng hai c§p. Ch÷ìng 2: Tr¼nh b y thuªt to¡n chi¸u gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n gi£ ìn i»u, b i to¡n c¥n b¬ng gi£ ìn i»u v ¡p döng gi£i b i to¡n c¥n b¬ng hai c§p. 2. Möc ½ch nghi¶n cùu Möc ½ch cõa luªn v«n l x¥y düng ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n c¥n b¬ng gi£ ìn i»u v ¡p döng v o mët lîp b i to¡n c¥n b¬ng hai c§p. 2
3. èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n cùu Nghi¶n cùu v x¥y düng thuªt to¡n gi£i c¡c b i to¡n: b i to¡n c¥n b¬ng gi£ ìn i»u, b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n gi£ ìn i»u v ¡p döng gi£i b i to¡n hai c§p. 4. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu Tham kh£o c¡c t i li»u li¶n quan ¢ cæng bè tr¶n c¡c t¤p ch½ v s¡ch gi¡o khoa chuy¶n kh£o. Têng hñp, ph¥n t½ch, ¡nh gi¡ v sû döng c¡c k¸t qu£ li¶n quan ¸n ph÷ìng ph¡p chi¸u trong luªn v«n. 5. Dü ki¸n k¸t qu£ nghi¶n cùu Tr¼nh b y nhúng ki¸n thùc cì b£n v x¥y düng thuªt to¡n chi¸u gi£i b i to¡n c¥n b¬ng gi£ ìn i»u. 3
Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà º chu©n bà cho ch÷ìng sau, ph¦n thù nh§t tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ c¦n thi¸t v· gi£i t½ch h m, gi£i t½ch lçi, ph¦n thù hai giîi thi»u v· b i to¡n c¥n b¬ng v c¡c tr÷íng hñp ri¶ng cõa nâ còng mët sè i·u ki»n v· sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng. Ph¦n ti¸p theo tr¼nh b y v· b i to¡n c¥n b¬ng t÷ìng ÷ìng. Ph¦n cuèi còng tr¼nh b y v· b i to¡n c¥n b¬ng hai c§p v mët sè tr÷íng hñp ri¶ng cõa b i to¡n n y. Ki¸n thùc trong ch÷ìng n y ÷ñc l§y tø c¡c t i li»u tham kh£o [1], [2], [3], [7], [8], [11]. 1.1 Mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ cì b£n cõa gi£i t½ch lçi 1.1.1 Kh¡i ni»m v· tªp lçi v h m lçi Ta nhc l¤i mët sè kh¡i ni»m cì b£n cõa gi£i t½ch lçi. ành ngh¾a 1.1.1. Gi£ sû X l mët khæng gian v²c tì tr¶n R, tªp C ⊂ X ÷ñc gåi l : (a) Lçi n¸u ∀x, y ∈ C v 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C ; 4
(b) Nân câ ¿nh t¤i 0 n¸u ∀λ > 0, ∀x ∈ C ⇒ λx ∈ C ; (c) Nân lçi n¸u nâ vøa l nân câ ¿nh t¤i 0 vøa l mët tªp lçi. Ngh¾a l ∀x, y ∈ C, ∀λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ C. C¡c tªp lçi âng k½n èi vîi mët sè ph²p to¡n nh÷ ph²p giao, ph²p cëng, ph²p nh¥n vîi mët sè thüc. Tùc l , n¸u C v D l hai tªp lçi trong X th¼ C ∩ D, λC + βD công l c¡c tªp lçi vîi måi λ, β ∈ R. ành ngh¾a 1.1.2. Gi£ sû C l mët tªp lçi kh¡c réng trong khæng gian Hilbert thüc H v x0 ∈ C . Khi â tªp NC (x0 ) = {ω ∈ H : hω, x − x0 i ≤ 0, ∀x ∈ C}, ÷ñc gåi l nân ph¡p tuy¸n ngo i cõa C t¤i x0 v tªp −NC (x0 ) ÷ñc gåi l nân ph¡p tuy¸n (trong) cõa C t¤i x0 . Hiºn nhi¶n 0 ∈ NC (x0 ) v tø ành ngh¾a tr¶n ta th§y NC (x0 ) l mët nân lçi âng. ành ngh¾a 1.1.3. Gi£ sû C 6= ∅ (khæng nh§t thi¸t lçi) l mët tªp con cõa khæng gian Hilbert H v y ∈ H l mët v²c tì b§t ký, gåi dC (y) = inf kx − yk x∈C l kho£ng c¡ch tø y ¸n C . N¸u tçn t¤i PC (y) sao cho dC (y) = ky − PC (y)k, th¼ ta nâi PC (y) l h¼nh chi¸u cõa y tr¶n C . 5
Tø ành ngh¾a tr¶n ta th§y h¼nh chi¸u PC (y) cõa y tr¶n C l nghi»m cõa b i to¡n tèi ÷u 1 2 min kx − yk . x∈C 2 Nâi c¡ch kh¡c, vi»c t¼m h¼nh chi¸u cõa y tr¶n C câ thº ÷a v· vi»c t¼m cüc tiºu cõa h m kx − yk2 tr¶n C . ành lþ 1.1.4. (xem [2], M»nh · 5.1). Cho C l mët tªp lçi âng kh¡c réng cõa khæng gian Hilbert H. Khi â: (a) ∀x ∈ H h¼nh chi¸u PC (x) cõa x tr¶n C luæn tçn t¤i v duy nh§t; (b) ω = PC (x) khi v ch¿ khi hx − ω, y − ωi ≤ 0, ∀y ∈ C ; (c) nh x¤: x → PC (x) câ t½nh ch§t 1. kPC (x) − PC (y)k ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ H (t½nh khæng gi¢n); 2. kPC (x) − PC (y)k2 ≤ hPC (x) − PC (y), x − yi, ∀x, y ∈ H (t½nh çng bùc); 3. kx − PC (x)k2 ≤ hx − PC (x), x − yi, ∀y ∈ C . ành ngh¾a 1.1.5. Gi£ sû X l khæng gian v²c tì tæpæ lçi àa ph÷ìng thüc, C ⊂ X l mët tªp lçi v f : C −→ R ∪ {+∞}, khi â (a) H m f ÷ñc gåi l h m lçi tr¶n C n¸u f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1] ; (b) H m f ÷ñc gåi l h m lçi ch°t tr¶n C n¸u f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, x 6= y, ∀λ ∈ (0; 1) ; 6
(c) H m f ÷ñc gåi l h m lçi m¤nh tr¶n C vîi h» sè δ > 0 n¸u f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)δky − xk2 , ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1] ; (d) H m f ÷ñc gåi l h m lãm (lãm ch°t, lãm m¤nh) tr¶n C n¸u −f l lçi (lçi ch°t, lçi m¤nh) tr¶n C ; (e) H m f ÷ñc gåi l h m tüa lçi tr¶n C n¸u ∀λ ∈ R tªp mùc {x ∈ C : f (x) ≤ λ} l tªp lçi; (f) C¡c tªp domf = {x ∈ C : f (x) < +∞} , epif = {(x, t) ∈ C × R : f (x) ≤ t} , l¦n l÷ñt l mi·n húu hi»u v tr¶n ç thà cõa f ; (g) H m f ÷ñc gåi l ch½nh th÷íng n¸u domf 6= ∅ v f (x) > −∞ vîi måi x ∈ C . ành lþ 1.1.6. (xem [1], ành lþ 2.3). Gi£ sû f : C −→ R ∪ {+∞} l h m lçi v α ∈ [−∞, +∞]. Khi â c¡c tªp mùc L0α (f ) = {x ∈ X : f (x) < α} ; Lα (f ) = {x ∈ X : f (x) ≤ α} l c¡c tªp lçi. 7
ành ngh¾a 1.1.7. Gi£ sû f : H → R. Khi â (a) H m f ÷ñc gåi l nûa li¶n töc d÷îi t¤i x0 ∈ H n¸u lim f (x) ≥ f (x0 ). x→x0 (b) H m f ÷ñc gåi l nûa li¶n töc d÷îi tr¶n C n¸u nâ l nûa li¶n töc d÷îi t¤i måi x ∈ C . H m f ÷ñc gåi l nûa li¶n töc tr¶n tr¶n C n¸u −f l nûa li¶n töc d÷îi tr¶n C . H m f ÷ñc gåi l li¶n töc tr¶n C n¸u nâ vøa nûa li¶n töc d÷îi v nûa li¶n töc tr¶n tr¶n C . ành lþ 1.1.8. (xem [1], ành lþ 2.9). Gi£ sû f l h m lçi ch½nh th÷íng tr¶n H v x0 ∈ H. Khi â c¡c kh¯ng ành sau l t÷ìng ÷ìng: (a) f li¶n töc t¤i iºm x0 ; (b) f bà ch°n tr¶n trong mët l¥n cªn mð cõa x0 ; (c) int(epif ) 6= ∅; (d) int(domf ) 6= ∅ v f li¶n töc tr¶n int(domf ), çng thíi int(epif ) = {(x, t) ∈ H × R : x ∈ int(domf ), f (x) < t}. 1.1.2 ¤o h m v d÷îi vi ph¥n cõa h m lçi ành ngh¾a 1.1.9. Gi£ sû f : H → R, x ∈ H v d ∈ H\{0}. Khi â h m f ÷ñc gåi l : (a) Kh£ vi (Fr²chet) t¤i x n¸u tçn t¤i v²ctì x∗ ∈ H sao cho f (y) − f (x) − hx∗ , y − xi lim = 0, y→x ky − xk 8
khi â x∗ ÷ñc gåi l ¤o h m cõa f t¤i x v ÷ñc kþ hi»u l Of (x) ho°c f 0 (x); (b) Câ ¤o h m theo h÷îng d t¤i x n¸u tçn t¤i giîi h¤n f (x + td) − f (x) f 0 (x; d) = lim+ . t→0 t Câ thº th§y r¬ng n¸u h m f kh£ vi t¤i x th¼ nâ câ ¤o h m theo måi h÷îng t¤i x v ta câ f 0 (x; d) = hOf (x), di, ∀d ∈ H. ành lþ 1.1.10. (xem [2], M»nh · 11.6). Cho f : Rn → R ∪ {+∞} kh£ vi, C ⊂ Rn l tªp lçi âng. Khi â c¡c i·u ki»n sau l t÷ìng ÷ìng: (a) f l h m δ lçi m¤nh tr¶n C ; (b) δky − xk2 ≤ hOf (y) − Of (x), y − xi, ∀x, y ∈ C; (c) f (y) − f (x) ≥ hOf (x), y − xi + δky − xk2 , ∀x, y ∈ C. ành ngh¾a 1.1.11. Gi£ sû f : H → R ∪ {+∞} l h m lçi ch½nh th÷íng tr¶n H, ω ∈ H ÷ñc gåi l d÷îi ¤o h m cõa f t¤i x n¸u f (y) ≥ hω, y − xi + f (x), ∀y ∈ H. Tªp t§t c£ c¡c d÷îi ¤o h m cõa f t¤i x ÷ñc gåi l d÷îi vi ph¥n cõa f t¤i x, k½ hi»u l ∂f (x). H m f ÷ñc gåi l kh£ d÷îi vi ph¥n t¤i x n¸u ∂f (x) 6= ∅. ành lþ 1.1.12. (xem [2], M»nh · 11.3). Cho f : Rn → R ∪ {+∞} l h m lçi ch½nh th÷íng. Khi â: (a) N¸u x ∈ / domf th¼ ∂f (x) = ∅. 9
(b) N¸u x ∈ int(domf ) th¼ ∂f (x) 6= ∅ v compact. ành lþ 1.1.13. (xem [1], ành lþ 4.3). Cho f l h m lçi ch½nh th÷íng tr¶n Rn . Khi â c¡c i·u ki»n sau t÷ìng ÷ìng (a) ω ∈ ∂f (x); (b) f 0 (x, d) ≥ hω, di. ành lþ 1.1.14. (xem [2], M»nh · 11.8 ). Gi£ sû f l h m lçi tr¶n Rn, câ gi¡ trà húu h¤n tr¶n tªp lçi mð C , {fk } l mët d¢y h m lçi húu h¤n tr¶n C sao cho lim fk (x) = f (x), ∀x ∈ C. k→∞ N¸u x ∈ C v {xk } ⊂ C sao cho limk→∞ xk = x, th¼ vîi b§t k¼ y ∈ Rn v b§t k¼ d¢y {y k } hëi tö v· y ta câ: lim sup fk0 (xk ; y k ) ≤ f 0 (x; y). k→∞ Hìn núa, vîi b§t k¼ sè > 0, tçn t¤i ch¿ sè k0 sao cho ∂fk (xk ) ⊂ ∂f (x) + B[0; 1], ∀k ≥ k0 , vîi B[0; 1] l h¼nh c¦u ìn và âng trong Rn . ành lþ 1.1.15. (xem [2], M»nh · 9.1 ). Gi£ sû C ⊆ Rn, l mët lçi âng kh¡c réng v f : Rn → R ∪ {+∞} l h m lçi, khi â måi iºm cüc tiºu àa ph÷ìng cõa f tr¶n C ·u l iºm cüc tiºu to n cöc, ngo i ra tªp c¡c iºm cüc tiºu argminx∈C f (x) cõa f tr¶n C l mët tªp lçi. Hìn núa, n¸u f l lçi 10
ch°t th¼ h m sè câ khæng qu¡ mët iºm cüc tiºu tr¶n C . N¸u f l lçi m¤nh th¼ h m sè luæn câ duy nh§t mët iºm cüc tiºu to n cöc tr¶n C . ành lþ 1.1.16. (xem [2], M»nh · 11.12 ). Gi£ sû C khi ⊆ Rn, l mët lçi kh¡c réng v f : Rn → R ∪ {+∞} l h m lçi, kh£ d÷îi vi ph¥n tr¶n C . Khi â x0 l iºm cüc tiºu cõa f tr¶n C khi v ch¿ khi 0 ∈ ∂f (x0 ) + NC (x0 ). H» qu£ 1.1.17. Vîi c¡c gi£ thi¸t nh÷ trong ành lþ 1.1.15 th¼ iºm x0 ∈ intC l iºm cüc tiºu cõa f tr¶n C khi v ch¿ khi 0 ∈ ∂f (x0 ). °c bi»t, n¸u h m f kh£ vi th¼ i·u ki»n n y trð th nh Of (x0 ) = 0. 1.2 B i to¡n c¥n b¬ng v c¡c tr÷íng hñp ri¶ng Gi£ sû C l tªp lçi âng kh¡c réng trong khæng gian Hilbert H v f : C × C → R thäa m¢n f (x, x) = 0 vîi måi x ∈ C ; mët h m f nh÷ vªy ÷ñc gåi l song h m c¥n b¬ng. B i to¡n c¥n b¬ng nh÷ sau: T¼m x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C. Ta k½ hi»u b i to¡n n y l EP (C, f ) v tªp nghi»m cõa nâ l Sf . B i to¡n c¥n b¬ng câ d¤ng kh¡ ìn gi£n nh÷ng nâ bao h m ÷ñc nhi·u lîp b i to¡n quan trång thuëc nhi·u l¾nh vüc kh¡c nhau nh÷: b i to¡n tèi ÷u, b i to¡n iºm y¶n ngüa, b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, b i to¡n iºm b§t ëng, b i to¡n c¥n b¬ng Nash; nâ cho ta mët c¡ch nh¼n thèng nh§t, çng bë nhi·u b i to¡n kh¡c nhau bt nguçn tø nhi·u ng nh kh¡c 11
nhau, hñp nh§t chóng trong mët thº thèng nh§t chung r§t thuªn ti»n cho vi»c nghi¶n cùu. Sau ¥y l mët sè v½ dö v· nhúng b i to¡n quen thuëc câ thº ÷ñc mæ t£ d÷îi d¤ng b i to¡n c¥n b¬ng. 1.2.1 B i to¡n tèi ÷u Cho C l tªp lçi âng kh¡c réng trong khæng gian Hilbert thüc H v g : C → R l h m sè x¡c ành tr¶n C . Khi â b i to¡n tèi ÷u ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: T¼m x∗ ∈ C sao cho g(x∗ ) ≤ g(y), ∀y ∈ C. °t f (x, y) := g(y) − g(x) th¼ b i to¡n tèi ÷u tr¶n ÷ñc ÷a v· b i to¡n c¥n b¬ng EP (C, f ). 1.2.2 B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n Cho C ⊂ H l tªp âng kh¡c réng v F : C → H l mët ¡nh x¤ ìn trà. B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (ìn trà) V IP (C, F ) l b i to¡n:  T¼m x∗ ∈ C sao cho   hF (x∗ ), y − x∗ i ≥ 0, ∀y ∈ C.   Ta °t f (x, y) = hF (x), y − xi, th¼ ÷a ÷ñc b i to¡n V IP (C, F ) v· b i to¡n EP (C, f ). Mët tr÷íng hñp ri¶ng quan trång cõa b i to¡n V IP (C, F ) l khi C l mët nân lçi âng kh¡c réng trong Rn . Kþ hi»u C + = {x ∈ Rn : hx, yi ≥ 0, ∀y ∈ 12