Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

35
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn này là tập trung giới thiệu trình bày về bài toán bất đẳng thức biến phân, một số tính chất về tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ DUNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ GIẢI MỘT BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HỖN HỢP DC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ DUNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ GIẢI MỘT BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HỖN HỢP DC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Lê Dũng Mưu THÁI NGUYÊN - 2016
i Mục lục Lời mở đầu ii 1 Kiến thức cơ bản về hàm lồi và tập lồi 1 1.1 Tập lồi và tập lồi đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Tính đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 9 2.1 Phát biểu bài toán và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Môt số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.1 Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.2 Các bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC 19 3.1 Hàm DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Phát biểu bài toán và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 Phương pháp điểm gần kề giải bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.4 Một mô hình cân bằng bán độc quyền . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37
ii Lời mở đầu Bất đẳng thức biến phân là một bài toán quan trọng trong toán học ứng dụng. Do đó bài toán này đã được nhiều người quan tâm nghiên cứu. Trong hướng nghiên cứu này, phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến hỗn hợp DC là một đề tài quan trọng. Mục đích của luận văn này là tập trung giới thiệu trình bày về bài toán bất đẳng thức biến phân, một số tính chất về tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân. Đặc biệt đi sâu vào việc giới thiệu phương pháp giải lớp bài toán này. Luận văn bao gồm 3 chương. Chương 1: Các kiến thức cơ bản về giải tích lồi, chương này nhắc lại và trình bày các khái niệm, định lý, tính chất dùng để nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân ở chương sau. Chương 2: Bài toán bất đẳng thức biến phân, chương này trình bày định nghĩa về bài toán bất đẳng thức biến phân và các ví dụ. Đồng thời cũng trình bày về sự tồn tại và tính chất tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều Rn . Chương 3: Trình khái niệm, tính chất hàm DC, phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến hỗn hợp DC. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo hướng dẫn GS. TSKH. Lê Dũng Mưu, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thiện luận văn. Tôi cũng xin kính gửi lời cảm ơn tới các thầy, các cô trong Khoa Toán - Tin, các bạn sinh viên trong lớp cao học toán K8A, trường Đại học Khoa học đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên, và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học
iii tập và nghiên cứu tại trường. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân đã luôn khuyến khích, động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học cao học và hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, 2016 Nguyễn Thị Dung Học viên Cao học Toán K8A, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên
1 Chương 1 Kiến thức cơ bản về hàm lồi và tập lồi Dưới đây, ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của giải tích lồi như: Tập lồi, hàm lồi, dưới vi phân,.... Các kiến thức trong chương này được lấy chủ yếu từ các tài liệu ([1]), ([3]) và sẽ được sử dụng ở các chương sau. 1.1 Tập lồi và tập lồi đa diện Cho hai điểm a, b ∈ Rn . Tập tất cả các điểm x = (1 − λ)a + λb với λ ∈ [0, 1] gọi là đoạn thẳng (đóng) nối a, b và được kí hiệu là [a, b]. Định nghĩa 1.1. Một tập C ⊆ Rn được gọi là một tập lồi nếu nó chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc nó. Tức là, nếu (1 − λ)a + λb ∈ C với mọi a, b ∈ C và mọi λ ∈ [0, 1]. Hình 1.1: Tập A lồi. Tập B không lồi Định nghĩa 1.2. Điểm x ∈ Rn có dạng k X 1 2 k x = λ1 a + λ2 a + ... + λk a = λ i ai i=1
2 với k X i n a ∈ R , λi ≥ 0, λi = 1 i=1 được gọi là một tổ hợp lồi của các điểm a , a , ..., ak . 1 2 Tập C là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các phần tử thuộc nó. Thứ nguyên (số chiều) của một tập lồi C, kí hiệu là dimC, là thứ nguyên (số chiều) của bao affine của nó. Một tập lồi C trong Rn gọi là có thứ nguyên đầy nếu dimC = n. Định nghĩa 1.3. Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1 a1 + λ2 a2 + ... + λk ak và k X i n a ∈R , λi = 1 i=1 được gọi là tổ hợp affine của các điểm a , a2 , ..., ak . 1 M là một tập affine khi và chỉ khi M chứa mọi tổ hợp affine các phần tử thuộc nó. Giao của một họ các tập affine cũng là một tập affine. Cho E là môt tập bất kì trong Rn , có ít nhất một tập affine chứa E, cụ thể là Rn . Một số tập lồi đáng chú ý: a) Siêu phẳng là tập có dạng H = {x ∈ Rn : aT x =α, a ∈ R\{0}, α ∈ R}. b) Nửa không gian đóng H1 = {x ∈ Rn : aT x ≤ α}, H2 = {x ∈ Rn : aT x ≥ α}. c) Nửa không gian mở K1 = {x ∈ Rn : aT x < α}, K2 = {x ∈ Rn : aT x > α}.
3 d) Hình cầu đóng B(a, r) = {x ∈ Rn : kx − ak ≤ r }, a ∈ Rn , r > 0 e) Tập lồi đa diện D = {x ∈ Rn : Ax ≤ b}, trong đó A ∈ Rm×n , b ∈ Rm . f) Nón lồi đa diện K = {x ∈ Rn : Ax ≤ 0}, trong đó A ∈ Rm×n , 0 ∈ Rm . Từ định nghĩa tập lồi trực tiếp suy ra một số tính chất đơn giản sau: a) Giao của một họ bất kì các tập lồi là tập lồi. b) Tổng, hiệu hai tập lồi cũng là tập lồi C ± D = {x ± y : x ∈ C, y ∈ D} c) Nếu C ⊂ Rm , D ⊂ Rn thì tích C × D = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ D} là một tập lồi trong Rm×n . (Có thể mở rộng cho tích của nhiều tập lồi). Định nghĩa 1.4. Cho E là một tập bất kì trong Rn . a) Giao của một tập affine chứa E gọi là bao affine của E, kí hiệu là affE. Đó là tập affine nhỏ nhất chứa E. b) Giao của tất cả các tập lồi chứa E gọi là bao lồi của E, kí hiệu là conE. Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa E. Định nghĩa 1.5. Một tập con K của Rn được gọi là một nón hay tập nón nếu với mọi x ∈ K và mọi λ > 0 thì λx ∈ K. Nón K được gọi là một nón lồi nếu K là tập lồi. Định nghĩa 1.6. Một tập là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng gọi là một tập lồi đa diện. Nói cách khác, đó là tập nghiệm của một hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính: ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ain xn ≤ bi , i = 1, 2, ..., m nghĩa là tập các x nghiệm đúng Ax ≤ b với A = (aij ) ∈ Rm×n , b = (b1 , ..., bm )T .
4 Nhận xét 1.7. Vì một phương trình tuyến tính có thể biểu diễn tương đương bằng hai bất phương trình tuyến tính nên tập nghiệm của một hệ (hữu hạn) phương trình và bất phương trình tuyến tính cũng là một tập lồi đa diện. Một tập lồi đa diện có thể không bị chặn (không giới nội). Một tập lồi đa diện bị chặn (giới nội) còn được gọi là một đa diện lồi. Định nghĩa 1.8. Ta nói hai tập lồi khác rỗng C, D trong Rn tách được bởi siêu phẳng H = { x ∈ Rn : ht, xi = α} , t ∈ Rn \ { 0} và α ∈ R, nếu inf ht, xi ≥ α ≥ sup ht, yi . (1.1) x∈C y∈D Định lý 1.1. (Định lý tách I). Hai tập lồi C và D trong Rn khác rỗng, không có điểm chung có thể tách được bởi một siêu phẳng, nghĩa là tồn tại vectơ t ∈ Rn (t 6= 0) và một số α ∈ R sao cho (1.1) thỏa mãn. Định nghĩa 1.9. Ta nói hai tập lồi khác rỗng C, D trong Rn là tách hẳn bởi siêu phẳng H = { x ∈ Rn : ht, xi = α} , t ∈ Rn \ { 0} và α ∈ R, nếu inf ht, xi > α > sup ht, yi . (1.2) x∈C y∈D Định lý 1.2. (Định lý tách II). Hai tập lồi đóng C và D trong Rn khác rỗng, không cắt nhau với ít nhất một trong hai tập này là compact, có thể tách hẳn bới một siêu phẳng, nghĩa là tồn tại một vectơ t ∈ Rn (t 6= 0) và một số α ∈ R sao cho (1.2) thỏa mãn. 1.2 Hàm lồi Định nghĩa 1.10. Hàm f : S → (−∞, +∞] xác định trên một tập hợp lồi S ⊆ Rn được gọi là một hàm lồi trên S nếu với mọi x1 , x2 ∈ S và mọi số thực λ ∈ [0, 1] ta có f (1 − λ) x1 + λx2 ≤ (1 − λ) f x1 + λf x2 .
5 • Hàm f được gọi là lồi chặt trên S nếu với mọi x1 , x2 ∈ S, x1 6= x2 và mọi λ ∈ (0, 1) ta có f (1 − λ) x1 + λx2 < (1 − λ) f x1 + λf x2 . Hiển nhiên một hàm lồi chặt là lồi, nhưng điều ngược lại không đúng. • Hàm f được gọi là hàm lõm (lõm chặt) trêm S nếu −f là lồi (lồi chặt) trên S, gọi là tuyến tính affine trên S nếu f hữu hạn và vừa lồi vừa lõm trên S. Một hàm affine trên Rn có dạng f (x) = ha, xi + α với a ∈ Rn , α ∈ R, bởi vì với mọi x1 , x2 ∈ Rn và mọi λ ∈ [0, 1] ta có f (1 − λ) x1 + λx2 = (1 − λ) f x1 + λf x2 . Tuy nhiên, hàm affine không lồi chặt hay lõm chặt. Định nghĩa 1.11. Cho hàm bất kì f : S → (−∞, +∞] với S ⊆ Rn , các tập domf = {x ∈ S : f (x) < +∞} và epif = {(x, α) ∈ S × R : f (x) ≤ α} , được gọi lần lượt là miền hữu dụng và tập trên đồ thị của hàm f . Nếu domf khác rỗng (f không đồng nhất bằng +∞) và f (x) > −∞ với mọi x ∈ S thì ta nói hàm f là chính thường. Nói cách khác, f chính thường nếu domf 6= ∅ và f hữu hạn trên domf . Có thể chứng minh rằng hàm f lồi và không nhận giá trị −∞ trên S khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau thỏa mãn a) Tập trên đồ thị epif là một tập lồi. b) ! m X m X k λk f xk f λk x ≤ k=1 k=1 m với mọi xk ∈ S, λk = 1, λk ≥ 0 với mọi k (bất đẳng thức Jensen). P k=1
6 Định lý 1.3. Cho C là một tập lồi, khác rỗng trong Rn và f : Rn → R là một hàm lồi. Mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên C đều là điểm cực tiểu toàn cục. Tập tất cả các điểm cực tiểu của f trên C: Argminx∈C f (x) là một tập con lồi của C. Định lý 1.4. Hàm lồi chính thường f trên Rn liên tục tại mọi điểm trong của miền hữu dụng của nó (f liên tục trên int(domf )). Định lý 1.5. Giả sử f là một hàm lồi chính thường trên Rn . Khi đó các điều kiện sau là tương đương: a) f liên tục tại điểm x. b) f bị chặn trên trong một tập mở chứa x0 . c) int(epif ) 6= ∅. d) int(domf ) 6= ∅ và f liên tục trên int(domf ). 1.3 Dưới vi phân Định nghĩa 1.12. Vectơ w ∈ Rn được gọi là dưới đạo hàm của f tại x0 ∈ Rn nếu w, x − x0 ≤ f (x) − f x0 , ∀x ∈ Rn . • Tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của hàm f tại x0 được gọi là dưới vi phân của f tại x0 và kí hiệu là ∂f x0 . Vậy ∂f x0 := w ∈ Rn : w, x − x0 ≤ f (x) − f x0 , ∀x ∈ Rn . • Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂f x0 = 6 ∅. Ví dụ 1.1. Cho C là một tập lồi, khác rỗng của không gian Rn . Xét hàm chỉ trên tập lồi C có dạng. ( 0 nếu x ∈ C, δC (x) := +∞ nếu x ∈ / C.
7 Khi đó ∂δC x0 = NC x0 , ∀x0 ∈ C. Chứng minh. Thật vậy, nếu x0 ∈ C thì δC x0 = 0 và ∂δC x0 = w ∈ Rn : δC (x) ≥ w, x − x0 , ∀x ∈ C . Hay ∂δC x0 = w ∈ Rn : 0 ≥ w, x − x0 , ∀x ∈ C = NC x0 . 1.4 Tính đơn điệu Định nghĩa 1.13. Giả sử C ⊆ Rn và F : Rn → Rn . Toán tử F được gọi là: a) Đơn điệu mạnh trên C với hằng số δ > 0 nếu hF (x) − F (y) , x − yi ≥ δkx − yk2 , ∀x, y ∈ C. b) Đơn điệu chặt trên C nếu hF (x) − F (y) , x − yi > 0, ∀x, y ∈ C : x 6= y. c) Đơn điệu trên C nếu hF (x) − F (y) , x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ C. d) Giả đơn điệu trên C nếu hF (y) , x − yi ≥ 0 ⇒ hF (x) , x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ C. Ví dụ 1.2. a) Hàm F (x) = x, ∀x ∈ R là đơn điệu mạnh với δ = 1/2. b) Hàm F (x) = x3 , ∀x ∈ R là đơn điệu chặt. c) Hàm F (x) = c, ∀x ∈ R là đơn điệu.
8 Chứng minh. • ∇f là đơn điệu trên C nếu f là hàm lồi trên C. Thật vậy, ta giả sử x, y ∈ C. Do f là hàm lồi ta có f (x) ≥ f (y) + h∇f (y) , x − yi f (y) ≥ f (x) + h∇f (x) , y − xi . Cộng vế của hai bất đẳng thức trên ta được h∇f (y) − ∇f (x) , y − xi ≥ 0, ∀x, y ∈ C vậy ∇f đơn điệu trên C. • ∇f là đơn điệu mạnh trên C nếu f là hàm lồi mạnh trên C. • ∇f là đơn điệu chặt trên C nếu f là hàm lồi chặt trên C.
9 Chương 2 Bài toán bất đẳng thức biến phân Bài toán bất đẳng thức biến phân là một công cụ mạnh được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng. Bài toán bất đẳng thức biến phân nảy sinh trong quá trình nghiên cứu và giải các bài toán thực tế như các bài toán cân bằng trong kinh tế, tài chính, phương trình vật lý toán, giao thông đô thị, lí thuyết trò chơi, bài toán cân bằng mạng và nhiều bài toán khác. Có rất nhiều phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân đã được nghiên cứu như: phương pháp địa phương và toàn cục dựa trên việc chuyển bài toán về hệ phương trình, phương pháp dựa trên kỹ thuật hàm chắn.v.v.. Dưới đây, ta sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức biến phân và một số phương pháp giải. Các kiến thức trong chương này chủ yếu được lấy từ các tài liệu ([1]), ([2]), ([4]) và ([5]). 2.1 Phát biểu bài toán và ví dụ Định nghĩa 2.1. Cho C ⊂ Rn và ánh xạ F : C → Rn . Bài toán bất đẳng thức biến phân được ký hiệu VIP(C, F ), là bài toán: ∗ Tìm x∗ ∈ C sao cho F x , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C. (2.1) Ví dụ 2.1. Một trò chơi có N người chơi. Gọi Ki là tập chiến lược của người chơi thứ i, Ki ⊂ Rni θi (x) : hàm giá trị, ví dụ là hàm chi phí của người chơi i, với x = xi , xi ∈ Rni , i = 1, 2, ..., N.
10 Vấn đề của người chơi thứ i được xác định như sau: với mỗi vectơ x˜i = (xi : j 6= i) tìm xi , sao cho hàm chi phí θi y i , x˜i đạt giá trị nhỏ nhất theo các biến y i . Nói một cách khác, xi chính là nghiệm của bài toán: M inyi ∈Ki θi yi , x˜i . Giả sử tập nghiệm của bài toán này là Si x˜i . Điểm cân bằng Nash là vectơ x = (xi , i = 1, 2, ..., N ) với xi ∈ Si x˜i , với mọi i = 1, 2, ...., N. Ví dụ 2.2. Xét bài toán tối ưu M in {f (x) , x ∈ K} với f là hàm khả vi, liên tục và K là tập lồi đóng. Khi đó nếu x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán tối ưu thì x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân ∇f (x∗ )T (x − x∗ ) ≥ 0, ∀x ∈ K. (2.2) Chứng minh. Xét hàm số φ (t) = f (x∗ + t (x − x∗ )) , t ∈ [0, 1] . Ta có φ0 (0) = ∇f (x∗ )T (x − x∗ ) . Do K là tập lồi đóng nên φ (t) xác định với mọi t ∈ [0, 1]. Điều kiện để t∗ ∈ [0, 1] là điểm cực tiểu của hàm số ϕ : [a, b] → R trên [a, b] là ϕ0 (t∗ ) (t − t∗ ) ≥ 0, ∀t ∈ [a, b]. Do đó φ0 (0) ≥ 0 thì x∗ là nghiệm của bài toán (2.2). 2.2 Môt số tính chất 2.2.1 Sự tồn tại nghiệm Việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân thường dựa vào định lý điểm bất động.
11 Định lý 2.1. (Brouwer) Cho C ⊂ Rn compact và lồi, ánh xạ F : C → C là liên tục trên C. Khi đó F có một điểm bất động. Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân có thể chứng minh dựa vào phép chiếu vuông góc. Cụ thể ta có kết quả sau: Mệnh đề 2.1. Giả sử α > 0. Với mỗi x ∈ C, đặt 1 h(x) = pC x − F (x) . α Khi đó x∗ = h(x∗ ) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của bài toán (2.1) Chứng minh. Theo tính chất của phép chiếu, h là ánh xạ đơn trị từ C vào C. x∗ = h (x∗ ) = pC x∗ − α1 F (x∗ ) ⇔ x∗ − x∗ + α1 F (x∗ ) , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C. Bất đẳng thức cuối cùng đúng khi và chỉ khi hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C. Định lý 2.2. Cho C là tập khác rỗng, C ⊂ Rn là tập compact lồi, ánh xạ F : C → C liên tục, khi đó bài toán (2.1) có nghiệm. Tức là tồn tại x∗ ∈ C thỏa mãn hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C. Chứng minh. Do phép chiếu lên tập lồi là đóng và liên tục, do F liên tục trên tập C, nên h là ánh xạ liên tục trên tập C, vì nó là hợp của hai ánh xạ liên tục. Do h là ánh xạ liên tục từ C vào C nên theo định lý điểm bất động Brouwer tồn tại điểm bất động x∗ của h. Theo Mệnh đề 2.1 x∗ là nghiệm của bài toán (2.1). Theo Mệnh đề 2.1 việc giải bài toán (2.1) có thể chuyển về việc tìm điểm bất động của ánh xạ h. Trong trường hợp h là một ánh xạ co, nguyên lý ánh
12 xạ co Banach có thể áp dụng trực tiếp để giải bài toán (2.1). Khi F là ánh xạ đơn điệu mạnh và liên tục Lipchits trên C thì có thể chọn α thích hợp để h là ánh xạ co trên C. Cụ thể ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.2. Giả sử C là tập lồi đóng và ánh xạ F : C → Rn đơn điệu L2 mạnh trên C với hệ số β và Lipchits trên C với hằng số L. Khi đó nếu α > 2β thì 1 h(x) = pC x − F (x) α là ánh xạ co trên C với hệ số co r 2β L2 δ= 1− + 2. α α Chứng minh. Do tính không giãn của phép chiếu, nên: 2 kh (x) − h (y)k2 ≤ x − α1 F (x) − y − α1 F (y) = kx − yk2 − 2 α hx − y, F (x) − F (y)i + 1 α2 kF (x) − F (y)k2 . Do F là đơn điệu mạnh với hệ số β và Lipchits với hằng số L, nên hx − y, F (x) − F (y)i ≥ βkx − yk2 và kF (x) − F (y)k2 ≤ L2 kx − yk2 . Từ đây suy ra 2 kh(x) − h(y)k2 ≤ kx − yk2 − 2β 2 L α kx− yk + α2 kx − yk 2 L2 ⇔ kh(x) − h(y)k2 ≤ 1 − 2β α + 2 α2 kx − yk . L2 Vậy h là ánh xạ co khi α > 2β . Từ mệnh đề này ta có hệ quả sau: Hệ quả 2.1. Nếu C là lồi đóng, ánh xạ F đơn điệu mạnh và Lipchits trên C thì bài toán (2.1) luôn có nghiệm duy nhất.
13 Định lý 2.3. Cho C ⊂ Rn là tập lồi đóng, ánh xạ F : C → Rn là liên tục. Giả sử tồn tại Y là tập con bị chặn của C sao cho với mọi x ∈ C\Y, ∃ y ∈ Y thỏa mãn: hF (x) , x − yi > 0. Khi đó, bài toán (2.1) có nghiệm. Chứng minh. Trong trường hợp C bị chặn thì C là tập compact nên theo Định lý 2.2 bài toán (2.1) luôn có nghiệm. Do đó ta chỉ xét trong trường hợp C không bị chặn. Cho hình cầu đóng Br bán kính r tâm O ∈ Rn . Khi đó C ∩ Br là tập compact. Do Y bị chặn nên tồn tại r > kyk với mọi y ∈ Y. Khi đó, tồn tại nghiệm xr ∈ C ∩ Br sao cho: hF (xr ) , z − xr i ≥ 0, ∀z ∈ C ∩ Br . (2.3) Ta chứng minh rằng nếu kxr k < r thì xr là nghiệm của bài toán (2.1). Thật vậy, do kxr k < r với mọi x bất kỳ, tồn tại ε > 0 đủ nhỏ: xr + ε (x − xr ) ∈ C ∩ Br. Do xr ∈ C ∩ Br nên: hF (xr ) , xr + ε (x − xr ) − xr i ≥ 0, ∀x ∈ C. Chia cả hai vế cho ε, ta được hF (xr ) , x − xr i ≥ 0, ∀x ∈ C. Vậy xr là nghiệm của bài toán (2.1) Từ định lý này ta có thể rút ra được nhiều điều kiện đủ để tồn tại nghiệm. Ta cần đến khái niệm về tính chất đồng bức sau:
14 Hệ quả 2.2. Nếu F : C → Rn thỏa mãn: hF (x) − F (x0 ) , x − x0 i →∞ |x − x0 | khi x ∈ C, kxk → +∞. Với x0 ∈ C thì tồn tại một nghiệm đối với bài toán (2.3). Chứng minh. Chọn H > |f (x0 )| và r > x0 sao cho: hF (x) − F (x0 ) , x − x0 i ≥ H |x − x0 | , ∀x ∈ C. Thì hF (x) , x − x0 i ≥ H |x − x0 | + hF (x0 ) , x − x0 i ≥ H |x − x0 | − |F (x0 )| |x − x0 | ≥ (H − F (x0 )) (|x − x0 |) > 0, x 6= r. (2.4) Gọi xr ∈ C là nghiệm của bài toán (2.3) thì hF (xr ) , xr − x0 i ≥ − hF (xr ) , x0 − xr i ≤ 0. (2.5) Từ (2.4) và (2.5) ta có |x| = 6 r hay |x| < r. Thông thường, bài toán bất đẳng thức biến phân không có nghiệm duy nhất, tuy nhiên có điều kiện đảm bảo cho tính duy nhất cho nghiệm của nó. Ta xét mệnh đề sau: Mệnh đề 2.3. Nếu F là đơn điệu chặt thì bài toán bất đẳng thức biến phân (2.1) có nghiệm duy nhất. Chứng minh. Giả sử (2.1) tồn tại hai nghiệm x0 và x00 . Khi đó x0 ∈ C : hF (x0 ) , x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ C, x00 ∈ C : hF (x00 ) , x − x00 i ≥ 0, ∀x ∈ C.
15 Áp dụng x = x0 và x = x00 , ta có: hF (x00 ) − F (x0 ) , x0 − x00 i ≥ 0, ∀x0 , x00 ∈ C. Do F là đơn điệu chặt nên hF (x00 ) − F (x0 ) , x00 − x0 i = 0, ∀x0 , x00 ∈ C. Vậy x0 ≡ x00 . Định lý 2.4. Giả sử C là tập lồi đóng, ánh xạ F : C → Rn đơn điệu mạnh và liên tục. Khi đó bài toán (2.1) có nghiệm duy nhất. Chứng minh. Ta cố định x˜ ∈ C và với mọi x ∈ C, do tính đơn điệu mạnh ta có: hF (x) , x − x˜i ≥ hF (˜ x) , x − x˜i + β kx − x˜k → +∞ khi kx − x˜k → +∞. Vì thế, theo điều kiện của Định lý 2.3 ta có lời giải của bài toán (2.1). 2.2.2 Các bài toán liên quan Bài toán quy hoạch lồi Cho C ⊂ Rn là tập lồi đóng và f : C → R khả vi. Đặt F (x) = ∇f (x) (đạo hàm của f ). Định lý 2.5. Giả sử tồn tại x ∈ C sao cho: f (x) := min {f (y) : y ∈ C} thì x là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân, x ∈ C : hF (x) , y − xi ≥ 0, y ∈ C. Chứng minh. Nếu y ∈ C, do C là hàm lồi nên ta đặt z = x + λ (y − x) = λy + (1 − λ) x ∈ C