Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp điểm gần kề suy rộng tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert

Chia sẻ: Tri Lễ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của đề tài luận văn là nghiên cứu về một số phương pháp điểm gần kề suy rộng để tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp điểm gần kề suy rộng tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN CẨM DƯƠNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ SUY RỘNG TÌM KHÔNG ĐIỂM CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN CẨM DƯƠNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ SUY RỘNG TÌM KHÔNG ĐIỂM CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN GS. TS. NGUYỄN BƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2017
i Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu 1 1 Một số vấn đề cơ bản liên quan 3 1.1 Không gian Hilbert và một số tính chất . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Phương pháp điểm gần kề cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Thuật toán điểm gần kề suy rộng 23 2.1 Thuật toán điểm gần kề suy rộng của Ackstein và Bertsekas 23 2.2 Thuật toán điểm gần kề co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35
ii Bảng ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác định trong bảng dưới đây: R tập số thực Rn không gian véc tơ n chiều tương ứng C[a, b] tập các hàm thực liên tục trên [a, b] conv C bao lồi của tập C conv C bao lồi đóng của tập C A∗ toán tử liên hợp của toán tử A A toán tử mở rộng của toán tử A dom A miền xác định của toán tử A gra A đồ thị của toán tử A domf miền hữu hiệu của hàm f epif tập trên đồ thị của hàm f zer(A) tập tất cả các không điểm của A, A−1 (0) Jr,T toán tử giải của toán tử T NC hình nón chuẩn tắc ứng với tập lồi C ∅ tập rỗng δC (.) hàm chỉ trên C
1 Mở đầu Toán tử đơn điệu là một trong những lĩnh vực của giải tích hiện đại đã và đang được nhiều nhà toán học hàng đầu thế giới nghiên cứu, đặc biệt phải kể đến như Browder F. E, Rockafellar R. T, Minty G. J. Bên cạnh các kết quả đặc biệt có ý nghĩa về mặt lý thuyết, toán tử đơn điệu là một trong những công cụ được sử dụng nhiều và rất có hiệu quả trong lĩnh vực toán ứng dụng. Phương pháp cơ bản tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại chỉ có sự hội tụ yếu. Để khắc phục điểm yếu đó Xu đưa ra một cải biên zk+1 = λk u + (1 − λk )(I + ck T )−1 zk + ek , k ≥ 0 với điều kiện {ck } tiến tới vô cùng. Mục đích của đề tài luận văn là nghiên cứu về một số phương pháp điểm gần kề suy rộng để tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert. Nội dung của đề tài luận văn được viết trong hai chương: Chương 1: "Một số vấn đề cơ bản liên quan". Chương này giới thiệu về không gian Hilbert trên trường số thực và một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi, giới thiệu về toán tử đơn điệu cực đại và định nghĩa bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại và cuối cùng là giới thiệu về thuật toán điểm gần kề cổ điển. Chương 2: "Thuật toán điểm gần kề suy rộng". Chương này trình bày hai phương pháp tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert. Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học
2 Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của GS. TS. Nguyễn Bường, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy, người đã người dành nhiều thời gian và tâm huyết để hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết bản luận văn này. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin cùng toàn thể các thầy cô trong và ngoài trường đã giảng dạy giúp tác giả trau dồi thêm rất nhiều kiến thức phục vụ cho việc học tập và nghiên cứu của bản thân. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô. Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận văn. Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 8 năm 2017 Học viên Nguyễn Cẩm Dương
3 Chương 1 Một số vấn đề cơ bản liên quan Chương này trình bày một số vấn đề cơ bản để phục vụ cho chương sau. Cụ thể: Mục 1.1 giới thiệu về không gian Hilbert thực và một số tính chất của không gian Hilbert. Mục 1.2 trình bày một số kiến thức về giải tích lồi, giới thiệu về toán tử đơn điệu cực đại, định nghĩa không điểm. Mục 1.3 trình bày phương pháp điểm gần kề cổ điển. Các kiến thức của chương được tổng hợp từ tài liệu [1], [2], [3]. 1.1 Không gian Hilbert và một số tính chất Định nghĩa 1.1.1 Một tập X được gọi là không gian tuyến tính trên R nếu với mỗi cặp (x, y) ∈ X × X, một phần tử của X, ta gọi là tổng của x và y, ký hiệu là x + y; với mỗi α ∈ R và x ∈ X, một phần tử của X, gọi là tích của α và x, ký hiệu là αx thỏa mãn các điều kiện sau: (i) x + y = y + x với mọi x, y ∈ X (tính chất giao hoán); (ii) (x + y) + z = x + (y + z) với mọi x, y, z ∈ X (tính chất kết hợp); (iii) tồn tại phần tử không của X, ký hiệu 0, sao cho: x + 0 = 0 + x với mọi x ∈ X; (iv) với mọi x ∈ X, tồn tại phần tử đối của x, ký hiệu là −x, sao cho x + (−x) = 0 với mọi x ∈ X; (v) 1 · x = x · 1 = x, với mọi x ∈ X (1 là phần tử đơn vị); (vi) α(βx) = (αβ)x, với mọi α, β ∈ R, với mọi x ∈ X;
4 (vii) (α + β)x = αx + βx), với mọi α, β ∈ R, với mọi x ∈ X; (viii) α(x + y) = αx + αy), với mọi α ∈ R, với mọi x, y ∈ X. Định nghĩa 1.1.2 Cho H là một không gian tuyến tính trên trường số thực R. Tích vô hướng trên không gian H là một ánh xạ đi từ tích Descartes H × H vào R, ký hiệu là h., .i, thỏa mãn các điều kiện sau: (i) hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H; (ii) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H; (iii) hαx, yi = αhx, yi với mọi x, y ∈ H và mọi α ∈ R; (iv) hx, xi > 0 nếu x 6= 0 và hx, xi = 0 nếu x = 0. Nhận xét 1.1.3 Từ Định nghĩa 1.1.2 ta suy ra (i) hx, αyi = αhy, xi với mọi x, y ∈ H và mọi α ∈ R; (ii) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi với mọi x, y, z ∈ H. Định nghĩa 1.1.4 Không gian tuyến tính H cùng với một tích vô hướng trên nó được gọi là một không gian tiền Hilbert. Định lý 1.1.5 (Bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, với mọi x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng thức sau: |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi. (1.1) Chứng minh. Với mọi số thực α và với mọi x, y ∈ H ta có 0 ≤ hx − αy, x − αyi = hx, xi − 2αhx, yi + α2 hy, yi. Từ đây suy ra ∆ = |hx, yi|2 − hx, xihy, yi ≤ 0 với mọi x, y ∈ H. Hay |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi với mọi x, y ∈ H.
5 Dấu đẳng thức trong bất đẳng thức (1.1) xảy ra khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính. Định lý 1.1.6 Không gian tiền Hilbert H là một không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn được xác định bởi p kxk = hx, xi với mọi x ∈ H. (1.2) Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng. p Hàm số kxk = hx, xi với mọi x ∈ H là một chuẩn trên H. Chứng minh. Thật vậy, từ điều kiện (iv) của Định nghĩa 1.1.2 ta có kxk > 0 nếu x 6= 0 và kxk = 0 nếu x = 0 với x ∈ H. Từ điều kiện (i) và (iii) của Định nghĩa 1.1.2 ta suy ra kαxk = |α|.kxk với mọi α ∈ R và mọi x ∈ H. Từ bất đẳng thức Schwarz và cách định nghĩa chuẩn ta có |hx, yi| ≤ kxk.kyk với mọi x, y ∈ H. (1.3) Từ đó với mọi x, y ∈ H ta có: hx + y, x + yi = hx, xi + 2hx, yi + hy, yi 2 ≤ kxk2 + 2kxk.kyk + kyk2 = kxk + kyk . Suy ra kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x, y ∈ H. Định nghĩa 1.1.7 Nếu H là một không gian tiền Hilbert thực và đầy đủ đối với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định bởi (1.2) thì H được gọi là không gian Hilbert thực. Ví dụ 1.1.8 Không gian n ∞ X o 2 2 l = x = {xn }n ∈ R : |xn | < +∞ n=1
6 là không gian Hilbert với tích vô hướng ∞ X hx, yi = x n yn , x = {xn }n∈N , y = {yn }n∈N ∈ l2 n=1 và chuẩn v u∞ ∞ X 1 p uX 2 2 kxk = hx, xi = t 2 |xn | = |xn | . n=1 n=1 Ví dụ 1.1.9 Không gian L2 [a, b] là không gian Hilbert với tích vô hướng Zb (x, y) = x(t)y(t)dt, ∀x, y ∈ L2 [a, b] a và chuẩn Zb ! 12 kxk = |x(t)|2 dt . a Ví dụ 1.1.10 Gọi C[a, b] là tập tất cả các hàm giá trị thực liên tục trên khoảng đóng hữu hạn [a, b] ⊂ R. Trong C[a, b] xét tích vô hướng Z b hx, yi = x(t)y(t).dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b]. a Không gian C[a, b] với chuẩn Z b 12 2 kxk = |x(t)| .dt a là không gian tiền Hilbert, nhưng không phải là không gian Hilbert. Định lý 1.1.11 Giả sử {xn }n∈N , {yn }n∈N là hai dãy lần lượt hội tụ mạnh đến x0 , y0 trong không gian tiền Hilbert thực H. Khi đó, lim hxn , yn i = hx0 , y0 i. n→∞ Chứng minh. Giả sử lim xn = x0 , lim yn = y0 trong không gian Hilbert n→∞ n→∞
7 H. Ta sẽ chứng minh lim hxn , yn i = hx0 , y0 i trong R. n→∞ Thật vậy, |hxn , yn i − hx0 , y0 i| = |hxn , yn i + hxn , y0 i − hxn , y0 i − hx0 , y0 i| ≤ |hxn , yn − y0 i| + |hxn − x0 , y0 i| ≤ kxn k.kyn − y0 k + kxn − x0 k.ky0 k. Vì dãy {xn }n∈N hội tụ trong H nên tồn tại một số M > 0 sao cho kxn k ≤ M với mọi n ∈ N. Do đó, lim hxn , yn i = hx0 , y0 i. n→∞ Nhận xét 1.1.12 Tích vô hướng là một phiếm hàm song tuyến tính liên tục trên H × H. Định lý 1.1.13 Với mọi x, y thuộc không gian tiền Hilbert H, ta luôn có đẳng thức hình bình hành sau: kx + yk2 + kx − yk2 = 2 kxk2 + kyk2 . Chứng minh. Với mọi x, y ∈ H, ta có kx + yk2 = hx + y, x + yi = kxk2 + kyk2 + 2hx, yi và kx − yk2 = hx − y, x − yi = kxk2 + kyk2 − 2hx, yi. Cộng hai đẳng thức trên ta được đẳng thức cần chứng minh. Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai véc tơ x − y và x − z ta có hệ quả sau.
8 Hệ quả 1.1.14 Cho H là một không gian tiền Hilbert và x, y, z ∈ H. Khi đó, ta có đẳng thức Apollonius: 2 2 2 y + z + ky − zk2 . 2 kx − yk + kx − zk = 4 x − 2 Nhận xét 1.1.15 (ý nghĩa của đẳng thức hình bình hành) (1) Đẳng thức trên nói lên một tính chất hình học: Tổng bình phương các cạnh của hình bình hành bằng tổng bình phương hai đường chéo. (2) Từ định lý trên ta thấy, muốn đưa được tích vô hướng vào một không gian định chuẩn thì không gian này phải thỏa mãn điều kiện hình bình hành. Ngược lại nếu H là một không gian định chuẩn trong đó đẳng thức hình bình hành được thỏa mãn với mọi phần tử thuộc H thì trên H sẽ tồn tại một tích vô hướng h., .i sao cho chuẩn được xác định nhờ tích vô hướng. Điều này được thể hiện qua định lý sau. Định lý 1.1.16 Giả sử (H, ||.||) là một không gian định chuẩn trên R trong đó đẳng thức hình bình hành nghiệm đúng với mọi x, y ∈ H. Nếu đặt 1 2 2 hx, yi = kx + yk − kx − yk , (1.4) 4 thì h., .i là một tích vô hướng trên H và ta có hx, xi = kxk2 . Chứng minh. Ta chứng minh h., .i xác định như trên thỏa mãn các điều kiện trong định nghĩa về tích vô hướng. Thật vậy, các điều kiện (1) và (4) trong Định nghĩa 1.1.2 hiển nhiên được thỏa mãn. Đặt 1 2 2 p(x, y) = kx + yk − kx − yk . 4 Để ý rằng, h., .i : H × H −→ R là một hàm liên tục và p(x, 0) = 0, p(−x, y) = −p(x, y) ∀x, y ∈ H.
9 Với mọi x, y, z ∈ H ta có 4 (p(x, z) + p(y, z)) = kx + zk2 − kx − zk2 + ky + zk2 − ky − zk2 x+y ⇔ p(x, z) + p(y, z) = 2p ,z . (1.5) 2 Trong đẳng thức (1.5) lấy y = 0 được x p(x, z) = 2p ,z . (1.6) 2 Như vậy ta có x+y 2p ,z = p(x + y, z). 2 Nghĩa là p(x, z) + p(y, z) = p(x + y, z). Vậy điều kiện (2) trong Định nghĩa 1.1.2 được chứng minh. Thay thế x bằng 2x trong (1.6) ta được 2p(x, z) = p(2x, z), ∀x, y, z ∈ H. Bằng quy nạp ta kiểm tra được p(nx, z) = np(x, z), ∀n ∈ N và bằng lập luận như trên ta có p(rx, z) = rp(x, z), ∀r ∈ Q và x, z ∈ H. Nhờ tính liên tục của chuẩn ||.|| suy ra hàm p(., z) liên tục, qua giới hạn ta có p(ax, z) = ap(x, z) ∀x, z ∈ H và a ∈ R. Vậy p(x, y) là một tích vô hướng trên H và hiển nhiên hx, xi = p(x, x) = kxk2 . Định lý được chứng minh. Định nghĩa 1.1.17 (i) Dãy {xn }∞ n=1 trong không gian Hilbert H được
10 gọi là hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H nếu lim hxn , yi = hx, yi với mọi y ∈ H. n→∞ (ii) Dãy {xn }∞ n=1 được gọi là hội tụ mạnh đến x ∈ H nếu lim kxn − xk = 0. n→∞ Ký hiệu xn * x chỉ sự hội tụ yếu, xn → x chỉ sự hội tụ mạnh của dãy {xn } đến phần tử x ∈ H. Chú ý 1.1.18 (1) Trong không gian Hilbert H, hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu, nhưng điều ngược lại không đúng. (2) Mọi không gian Hilbert đều có tính chất Kadec–Klee, tức là nếu dãy {xn } trong không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện kxn k → kxk và xn * x, thì xn → x khi n → ∞. Chứng minh. Thật vậy, trong không gian Hilbert nếu xn * x0 và kxn k → kx0 k thì xn → x0 . Với mọi x, ta có kxn − x0 k2 = hxn − x0 , xn − x0 i = kxn k2 − hx0 , xn i − hxn , x0 i + kx0 k2 . Từ giả thiết suy ra lim kxn k2 = kx0 k2 , lim hxn , x0 i = kx0 k2 , lim hx0 , xn i = kx0 k2 . x→∞ x→∞ x→∞ Do đó lim kxn − x0 k2 = kx0 k2 . x→∞ Sau đây là các bổ đề được sử dụng trong chương 2.
11 Bổ đề 1.1.19 Cho {ak } là một dãy các số thực không âm sao cho ak+1 ≤ ak + σk , k ≥ 0, P∞ trong đó σk là một dãy các số thực không âm sao cho k=0 δk < ∞. Khi đó limk→∞ ak tồn tại. Bổ đề 1.1.20 (Nguyên lý nửa đóng). Cho C là một tập lồi đóng của không gian Hillbert H và cho f : C → C là một ánh xạ không giãn sao cho F ix(f ) 6= ∅. Giả sử {xk } là một dãy trong C hội tụ yếu đến x ∈ C và {(I − f )xk } hội tụ mạnh tới y ∈ H. Khi đó (I − f )x = y. Bổ đề 1.1.21 (Đẳng thức giải) Với mỗi λ, µ > 0, ta có đẳng thức sau µ µ Jλ x = Jµ x + (1 − )Jλ x , x ∈ H. λ λ Bổ đề 1.1.22 Giả sử rằng 0 < c1 ≤ c2 . Khi đó k Jc1 − x k≤k Jc2 − x k với mọi x ∈ H. Bổ đề 1.1.23 Cho {xn } và {zn } là dãy giới nội trong không gian Banach X và cho {αn } là một dãy trong [0, 1] với 0 < lim infn→∞ αn ≤ lim sup αn < 1. n→∞ Giả sử rằng xn+1 = αn xn + (1 − αn )zn với mọi số nguyên n ≥ 0 và lim supn→∞ (k zn+1 − zn k − k xn+1 − xn k) ≤ 0. Khi đó, limn→∞ k zn − xn k= 0. Bổ đề 1.1.24 Cho {an } là một dãy các số thực không âm thỏa mãn các tính chất an+1 ≤ (1 − sn )an + sn tn + δn , n ≥ 0, trong đó {sn } ⊂ (0, 1) và {tn } sao cho
12 (i) Σ∞ n=0 sn = ∞; (ii) Hoặc lim supn→∞ tn ≤ 0 hoặc Σ∞ n=0 | sn tn |< ∞; (iii) Σ∞ n=0 σn < ∞. Khi đó {an } hội tụ về 0. 1.2 Toán tử đơn điệu cực đại Định nghĩa 1.2.1 Cho hai không gian tuyến tính X và Y . Một ánh xạ A : X → Y được gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu: (i) A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 với mọi x1 , x2 ∈ X; (ii) A(αx) = αAx với mọi x ∈ X và mọi α ∈ R. Chú ý 1.2.2 (1) Điều kiện (i) và (ii) trong Định nghĩa 1.2.1 tương đương với: A(α1 x1 + α2 x2 + ... + αk xk ) = α1 Ax1 + α2 Ax2 + ... + αk Axk với mọi xi ∈ X với mọi αi ∈ R, i = 1, . . . , k. (2) Nếu Y ≡ X thì ta cũng nói A là toán tử trong X. Ký hiệu R(A) là miền giá trị của toán tử A, tức là tập hợp các phần tử y ∈ Y sao cho y = Ax với một x ∈ X nào đó. Nếu y1 , y2 ∈ R(A) thì α1 y1 + α2 y2 ∈ R(A) với mọi α1 , α2 ∈ R nên R(A) là một không gian con của Y . Định nghĩa 1.2.3 Một toán tử A từ X vào Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn (giới nội), nghĩa là tồn tại một hằng số dương K sao cho: kAxk ≤ K kxk ∀x ∈ X. Định lý 1.2.4 Một toán tử A từ X vào Y được gọi là bị chặn (giới nội) nếu có một hằng số K > 0 sao cho: kAxk kAk = sup = sup kAxk ≤ K. x6=0 kxk x>1
13 Ký hiệu mặt cầu tâm a bán kính r > 0 trong không gian X là S(a, r), nghĩa là S(a, r) = {x ∈ X : kx − ak = r}. Hệ quả 1.2.5 Toán tử tuyến tính A bị chặn (liên tục) nếu tập các trị của nó trên một mặt cầu (tùy ý) bị chặn. Chứng minh. Thật vậy, giả sử kAxk ≤ N với mọi x ∈ S(x0 , α). Khi đó, với mọi x mà kxk = 1 thì αx + x0 ∈ S, cho nên A(αx + x0 ) ≤ N , và do đó kAαx + Ax0 k ≤ N hay α kAxk ≤ N + kAx0 k . Từ đó suy ra kAxk ≤ (N + kAx0 k)/α. Vậy theo Định lý 1.2.4 ta có: kAxk sup = sup kAxk ≤ K, x6=0 kxk x6=1 với K = (N + kAx0 k)/α. Ví dụ 1.2.6 Toán tử A : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] xác định bởi Z 1 (Ax)(t) = x(s)ds, t ∈ [0, 1] 0 là toán tử tuyến tính liên tục. Thật vậy, áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có t 2  1 2 Z Z Z1 x(s)ds ≤  |x(s)| ds ≤ |x(s)|2 ds = kxk2 , 0 0 0 với mọi t ∈ [0, 1]. Suy ra, A bị chặn. Do đó
2 Z1
Z t