Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình vi phân đối số lệnh trong không gian Banach - Công thức biến thiên hằng số và dáng điệu tiệm cận

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

73
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình vi phân đối số lệnh trong không gian Banach - Công thức biến thiên hằng số và dáng điệu tiệm cận giới thiệu tới các bạn những nội dung về phương trình vi phân đối số lệnh, không tự động - công thức biến thiên hằng số, dáng điệu tiệm cận; phương trình vi phân đối số lệnh nửa tuyến tính.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình vi phân đối số lệnh trong không gian Banach - Công thức biến thiên hằng số và dáng điệu tiệm cận

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH --- o0o--- Traàn Trí Duõng PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN ÑOÁI SOÁ LEÄCH TRONG KHOÂNG GIAN BANACH. COÂNG THÖÙC BIEÁN THIEÂN HAÈNG SOÁ VAØ DAÙNG ÑIEÄU TIEÄM CAÄN. LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC Thaønh phoá Hoà Chí Minh - Naêm 2005
BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH --- o0o--- Traàn Trí Duõng PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN ÑOÁI SOÁ LEÄCH TRONG KHOÂNG GIAN BANACH. COÂNG THÖÙC BIEÁN THIEÂN HAÈNG SOÁ VAØ DAÙNG ÑIEÄU TIEÄM CAÄN. Chuyeân ngaønh : Toaùn giaûi tích Maõ soá : 60 46 01 LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC : PGS TS LEÂ HOAØN HOÙA Thaønh phoá Hoà Chí Minh - Naêm 2005
MUÏC LUÏC CHÖÔNG I: KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN.......................................................................1 1.1 MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CHUAÅN BÒ CHO CHÖÔNG II ..............................1 1.2 MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CHUAÅN BÒ CHO CHÖÔNG III..............................3 CHÖÔNG II: PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN ÑOÁI SOÁ LEÄCH, KHOÂNG TÖÏ ÑOÄNG : COÂNG THÖÙC BIEÁN THIEÂN HAÈNG SOÁ – DAÙNG ÑIEÄU TIEÄM CAÄN .........................................................................................6 2.1 GIÔÙI THIEÄU .................................................................................................6 2.2 PHAÀN CHUAÅN BÒ .......................................................................................7 2.3 CHUOÃI DYSON – PHILLIPS VAØ DAÙNG ÑIEÄU TIEÄM CAÄN CUÛA NGHIEÄM TRONG TRÖÔØNG HÔÏP THUAÀN NHAÁT ................................11 2.4 TRÖÔØNG HÔÏP KHOÂNG THUAÀN NHAÁT: COÂNG THÖÙC BIEÁN THIEÂN HAÈNG SOÁ VAØ DAÙNG ÑIEÄU TIEÄM CAÄN .................................................21 CHÖÔNG III : PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN ÑOÁI SOÁ LEÄCH NÖÛA TUYEÁN TÍNH – SÖÏ TOÀN TAÏI VAØ DUY NHAÁT NGHIEÄM- TÍNH COMPAÉC LIEÂN THOÂNG CUÛA TAÄP NGHIEÄM.........................38 3.1 GIÔÙI THIEÄU ..............................................................................................38 3.2 SÖÏ TOÀN TAÏI VAØ DUY NHAÁT NGHIEÄM ................................................39 3.3 TÍNH COMPAÉC VAØ LIEÂN THOÂNG CUÛA TAÄP NGHIEÄM ......................44 KEÁT LUAÄN ..........................................................................................................50 TAØI LIEÄU THAM KHAÛO .........................................................................................52
LÔØI MÔÛ ÑAÀU Trong nhöõng naêm gaàn ñaây, vieäc nghieân cöùu caùc phöông trình vi phaân ñoái soá leäch trong khoâng gian Banach ngaøy caøng ñöôïc nhieàu taùc giaû quan taâm. Moät trong nhöõng lyù do maø caùc nhaø toaùn hoïc treân theá giôùi môû roäng vaø phaùt trieån höôùng nghieân cöùu naøy laø nhöõng öùng duïng quan troïng cuûa caùc phöông trình vi phaân ñoái soá leäch trong nhieàu lónh vöïc khaùc nhau nhö : Sinh hoïc , Vaät lyù hoïc, Sinh lyù hoïc , Kinh teá hoïc... Nhöõng taøi lieäu, baùo caùo vaø caùc baøi baùo nghieân cöùu veà caùc phöông trình vi phaân ñoái soá leäch trong khoâng gian Banach cho thaáy raèng vieäc nghieân cöùu coù theå ñi theo nhieàu höôùng khaùc nhau. Luaän vaên naøy xeùt ñeán lôùp caùc phöông trình vi phaân ñoái soá leäch tieán hoùa (laø moät moâ hình toaùn hoïc lieân heä maät thieát ñeán lyù thuyeát tieán hoùa cuûa Sinh vaät hoïc). Noäi dung luaän vaên ñöôïc chia laøm ba chöông : CHÖÔNG I : KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN. Trong chöông naøy, chuùng toâi seõ ñöa ra caùc kieán thöùc chuaån bò cho hai chöông sau. Caùc khaùi nieäm, ñònh nghóa vaø ñònh lyù trong chöông naøy seõ ñöôïc söû duïng trong toaøn boä luaän vaên. CHÖÔNG II : PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN ÑOÁI SOÁ LEÄCH KHOÂNG TÖÏ ÑOÄNG: COÂNG THÖÙC BIEÁN THIEÂN HAÈNG SOÁ - DAÙNG ÑIEÄU TIEÄM CAÄN.
Trong chöông naøy chuùng toâi chia noäi dung ra laøm boán phaàn. ÔÛ phaàn thöù nhaát, chuùng toâi seõ giôùi thieäu daïng phöông trình vi phaân ñoái soá leäch khoâng töï ñoäng(1.1) maø chuùng toâi muoán nghieân cöùu. ÔÛ phaàn thöù hai, chuùng toâi ñöa ra theâm moät soá khaùi nieäm, keát quaû söû duïng rieâng cho chöông II. Treân cô sôû ñoù, ôû phaàn thöù ba chuùng toâi nghieân cöùu chuoãi Dyson-Phillips vaø duøng chuùng ñeå nghieân cöùu daùng ñieäu tieäm caän cuûa nghieäm trong tröôøng hôïp phöông trình vi phaân ñoái soá leäch khoâng töï ñoäng(1.1) ôû daïng thuaàn nhaát. ÔÛ phaàn cuoái cuøng cuûa chöông naøy, chuùng toâi seõ chæ ra raèng nghieäm cuûa phöông trình vi phaân ñoái soá leäch khoâng töï ñoäng(1.1) trong tröôøng hôïp khoâng thuaàn nhaát ñöôïc xaùc ñònh bôûi moät coâng thöùc bieán thieân haèng soá; töø ñoù chuùng toâi thu ñöôïc moät soá keát quaû veà daùng ñieäu tieäm caän cuûa nghieäm . CHÖÔNG III : PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN ÑOÁI SOÁ LEÄCH NÖÛA TUYEÁN TÍNH : SÖÏ TOÀN TAÏI VAØ DUY NHAÁT NGHIEÄM - TÍNH COMPAÉC VAØ LIEÂN THOÂNG CUÛA TAÄP NGHIEÄM . Trong chöông naøy chuùng toâi chia noäi dung laøm ba phaàn. Phaàn ñaàu laø phaàn giôùi thieäu daïng phöông trình vi phaân ñoái soá leäch nöûa tuyeán tính (I) laø daïng môû roäng cuûa phöông trình (1.1) ñaõ xeùt ôû chöông II. ÔÛ phaàn thöù hai, vôùi nhöõng giaû thieát ban ñaàu thích hôïp, chuùng toâi chæ ra söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cuûa (I)(theo nghóa nghieäm maïnh). Trong phaàn cuoái cuøng cuûa chöông III, söû duïng caùc kyõ thuaät töông töï nhö cuûa caùc taùc giaû trong taøi
lieäu tham khaûo [2], chuùng toâi seõ chæ ra taäp nghieäm cuûa (I) laø taäp compaéc vaø lieân thoâng. Duø ñöôïc thöïc hieän raát nghieâm tuùc vaø kyõ löôõng nhöng chaéc chaén baûn luaän vaên naøy khoâng traùnh khoûi nhöõng thieáu soùt. Vì vaäy toâi raát mong nhaän ñöôïc söï goùp yù pheâ bình cuûa caùc Quyù Thaày coâ vaø caùc baïn beø ñoàng nghieäp. Cuoái cuøng cho toâi ñöôïc göûi lôøi bieát ôn saâu saéc ñeán PGS TS Leâ Hoaøn Hoùa, ngöôøi Thaày ñaõ taän tình dìu daét, höôùng daãn toâi töø luùc toâi môùi böôùc chaân vaøo giaûng ñöôøng ñaïi hoïc cho ñeán ngaøy hoâm nay. Toâi cuõng xin chaân thaønh caûm ôn caùc Quyù Thaày coâ trong Hoäi ñoàng baûo veä luaän vaên ñaõ daønh nhieàu thôøi gian ñeå ñoïc baûn luaän vaên naøy vaø cho toâi nhieàu yù kieán ñoùng goùp quyù baùu. Toâi cuõng xin chaân thaønh caûm ôn caùc Quyù Thaày coâ phoøng KHCN - SÑH tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm TPHCM ñaõ giuùp ñôõ toâi hoaøn taát caùc thuû tuïc baûo veä luaän vaên. Cuoái cuøng, toâi xin caûm ôn taát caû baïn beø ñoàng nghieäp - nhöõng ngöôøi luoân ñöùng ñaèng sau ñeå ñoäng vieân, coå vuõ cho moãi böôùc ñi cuûa toâi treân ñöôøng ñôøi. Thaønh phoá Hoà Chí Minh , thaùng 8 naêm 2005 Ngöôøi thöïc hieän Traàn Trí Duõng
1 CHÖÔNG I: KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN 1.1 MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CHUAÅN BÒ CHO CHÖÔNG II : • Ñònh nghóa 1 : Moät hoï caùc toaùn töû tuyeán tính lieân tuïc {T (t )}t ≥0 xaùc ñònh treân moät khoâng gian Banach X ñöôïc goïi laø moät nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh neáu : i) T (s + t ) = T (s)T (t ), t, s ≥ 0 ; ii) T (0) = I ; iii) Vôùi moãi x ∈ X , T(.)x laø lieân tuïc treân [0, ∞) . Ngoaøi ra, neáu t T (t ) laø lieân tuïc theo toâpoâ cuûa hoäi tuï ñeàu thì ta goïi hoï {T (t )}t≥0 laø moät nöûa nhoùm lieân tuïc ñeàu. • Ñònh nghóa 2 : Cho {T (t )}t ≥0 laø moät nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh xaùc ñònh treân X . Vôùi h > 0, ta ñònh nghóa toaùn töû tuyeán tính Ah xaùc ñònh nhö sau : T (h) x − x Ah x = , x∈X . h Kí hieäu D(A) laø taäp taát caû caùc x ∈ X sao cho giôùi haïn lim Ah x toàn taïi, ta xaùc h→0 ñònh toaùn töû A treân D(A) nhö sau : Ax = lim Ah x , x ∈ D( A) . h→0 Ngöôøi thöïc hieän : Traàn Trí Duõng Thaày höôùng daãn : PGS.TS Leâ Hoaøn Hoùa
2 Ta goïi toaùn töû A xaùc ñònh nhö treân laø toaùn töû sinh cöïc vi ( hay ngaén goïn hôn laø toaùn töû sinh) cuûa nöûa nhoùm {T (t )}t ≥0 . Khi ñoù, ta coù caùc keát quaû sau ñaây : i) D(A) laø truø maät trong X vaø A laø toaùn töû tuyeán tính ñoùng treân D(A). ii) Nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh {T (t )}t ≥0 coù moät toaùn töû sinh laø bò chaën khi vaø chæ khi {T (t )}t ≥0 laø moät nöûa nhoùm lieân tuïc ñeàu. Ñònh lyù sau ñaây cho ta moät ñaëc tröng cuûa toaùn töû sinh cuûa moät nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh : • Ñònh lyù 1 (Hille-Yosida-Phillips) : Cho A laø moät toaùn töû tuyeán tính ñoùng vôùi mieàn xaùc ñònh truø maät. Khi ñoù A laø toaùn töû sinh cuûa moät nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh neáu vaø chæ neáu toàn taïi caùc soá thöïc M vaø ω sao cho vôùi λ > ω , ta coù λ ∈ ρ (A) vaø R(λ , A)n ≤ M (λ − ω )− n ∀n ∈ * , trong ñoù R(λ , A) = (λ I − A)−1 (λ ∈ ρ ( A)). Ngoaøi ra, chuùng toâi coøn söû duïng keát quaû sau ñaây trong luaän vaên : • Ñònh lyù 2 : Cho {T (t )}t ≥0 laø moät nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh xaùc ñònh treân X vaø A laø toaùn töû sinh töông öùng. Khi ñoù ta coù keát quaû sau : lim λ R(λ , A) x = x ∀x ∈ X . λ →+∞ Ngöôøi thöïc hieän : Traàn Trí Duõng Thaày höôùng daãn : PGS.TS Leâ Hoaøn Hoùa
3 1.2 MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CHUAÅN BÒ CHO CHÖÔNG III : • Ñieàu kieän A : Cho X laø khoâng gian toâpoâ loài ñòa phöông vaø P laø hoï nöûa chuaån taùch treân X. Cho D ⊂ X vaø U : D → X , vôùi moïi a ∈ X ta ñònh nghóa Ua : D → X nhö sau : Ua(x)= a + U(x) . Toaùn töû U : D → X ñöôïc goïi laø thoûa maõn ñieàu kieän (A) treân taäp Ω ⊂ X neáu : ( A1 ) Ua(D) ⊂ D ∀ a∈ Ω , ( A2 ) Vôùi moãi a∈ Ω vaø p∈ P , toàn taïi ka ∈ Z + thoûa maõn tính chaát : vôùi moïi ε > 0 , toàn taïi r ∈ Z + vaø δ > 0 sao cho : vôùi x, y ∈D , α a P (x,y) < ε + δ thì α a P (U a r ( x ),U a r ( y )) < ε , trong ñoù α a P ( x , y ) = max{p(U a i ( x ) − U a j ( y )), i, j ∈ {0, ka}} . • Ñònh lyù A : Cho X laø khoâng gian loài ñòa phöông vaø P laø moät hoï nöûa chuaån taùch treân X. Cho D laø taäp con ñaày ñuû theo daõy trong X , U : D → X lieân tuïc ñeàu vaø thoûa maõn ñieàu kieän (A) treân taäp hôïp Ω ⊂ X . Khi ñoù toaùn töû ( I − U )−1 ñöôïc xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân Ω . Hôn nöõa, neáu trong ñieàu kieän (A), δ ñöôïc choïn ñoäc laäp vôùi a ∈ Ω thì ( I − U )−1 lieân tuïc ñeàu treân Ω . • Ñònh lyù B : Cho X laø khoâng gian loài ñòa phöông ñaày ñuû theo daõy vaø P laø hoï nöûa chuaån taùch treân X. Giaû söû caùc aùnh xaï U , G : X → X thoûa maõn : i) U thoûa maõn ñieàu kieän (A) treân X. Ngöôøi thöïc hieän : Traàn Trí Duõng Thaày höôùng daãn : PGS.TS Leâ Hoaøn Hoùa
4 ii) Vôùi moãi p ∈ P , toàn taïi k > 0 (k phuï thuoäc p) sao cho : p(U ( x ) − U ( y )) ≤ kp( x − y ) ∀x , y ∈ X . iii) Coù phaàn töû x0 ∈ X thoûa tính chaát : vôùi moïi p ∈ P , toàn taïi r ∈ * vaø λ ∈ [0,1) (r vaø λ phuï thuoäc p) sao cho : p(U xr0 ( x ) − U xr0 ( y )) ≤ λ p( x − y ) ∀x , y ∈ X . iv) G hoaøn toaøn lieân tuïc vaø p(G( A)) < ∞ moãi khi p( A) < ∞. p(G( x )) v) lim = 0 ∀p ∈ P . p ( x )→∞ p( x ) Khi ñoù toàn taïi moät taäp loài, môû, bò chaën D trong X sao cho U + G coù ñieåm baát ñoäng trong D . Ngoaøi ra, neáu coù theâm giaû thieát U lieân tuïc ñeàu treân X thì ta coù theâm ( I − U )−1 G( D ) ⊂ D . • Ñònh lyù C (Krasnoselskii-Perov) : Cho (E,|.|) laø khoâng gian Banach thöïc, D laø taäp môû bò chaën trong E vaø T : D → E laø aùnh xaï compaéc. Giaû söû 0 ∉ (I − T )∂D vaø deg(I − T , D,0) ≠ 0 . Giaû söû theâm T thoûa maõn ñieàu kieän : Vôùi moïi ε > 0 , coù aùnh xaï compaéc Tε sao cho: T ( x ) − Tε ( x ) < ε ∀x ∈ D ñoàng thôøi vôùi h : h ≤ ε , phöông trình x = Tε ( x ) + h coù nhieàu nhaát moät nghieäm trong D . Khi ñoù taäp caùc ñieåm baát ñoäng cuûa T laø khaùc roãng, compaéc vaø lieân thoâng. Ngöôøi thöïc hieän : Traàn Trí Duõng Thaày höôùng daãn : PGS.TS Leâ Hoaøn Hoùa
5 • Ñònh lyù D : Cho S laø khoâng gian meâtric thoûa maõn caùc ñieàu kieän sau : ∞ (S1) S = ∪ Sn , Sn compaéc, khaùc roãng. n =1 (S2) S1 ⊂ S2 ⊂ S3 ⊂ ... ⊂ Sn ⊂ ... (S3) Vôùi moãi taäp con compaéc K, toàn taïi n ∈ sao cho K ⊂ Sn . Ñaët C(S) laø khoâng gian Frechet caùc aùnh xaï lieân tuïc töø S vaøo E. Khi ñoù, taäp A ⊂ C (S ) laø compaéc töông ñoái neáu vaø chæ neáu vôùi moïi n ∈ * , A ñaúng lieân tuïc treân Sn vaø taäp An = {x (s)/ x ∈ A, s ∈ Sn} compaéc töông ñoái trong E . • Ñònh lyù E : Cho X, Y laø hai khoâng gian Banach, D môû trong X vaø f : D → Y lieân tuïc. Khi ñoù, vôùi moãi ε > 0 , toàn taïi fε : D → Y lipschitz ñòa phöông sao cho : f ( x ) − fε ( x ) ≤ ε ∀x ∈ D vaø fε ( D ) ⊂ cof ( D ) (coA laø bao loài cuûa A). • Ñònh lyù F (ñònh lyù Schauder): Cho C laø taäp loài ñoùng trong khoâng gian Banach E vaø f : C → C lieân tuïc sao cho f(C) laø taäp compaéc töông ñoái. Khi ñoù f coù ñieåm baát ñoäng trong C. ********************************************************* Ngöôøi thöïc hieän : Traàn Trí Duõng Thaày höôùng daãn : PGS.TS Leâ Hoaøn Hoùa
6 CHÖÔNG II: PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN ÑOÁI SOÁ LEÄCH, KHOÂNG TÖÏ ÑOÄNG: COÂNG THÖÙC BIEÁN THIEÂN HAÈNG SOÁ - DAÙNG ÑIEÄU TIEÄM CAÄN. 2.1 GIÔÙI THIEÄU: Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi seõ nghieân cöùu phöông trình vi phaân sau ñaây : x'(t) = A(t)x(t) + L(t)x t + f(t), t ≥ s ≥ 0 xs = ϕ ∈ C r := C([-r,0],E) (1.1) trong ñoù ( A(t ), D( A(t )))t ≥s≥0 sinh ra hoï tieán hoùa lieân tuïc maïnh (strongly continuous evolution family) (V (t, s))t ≥s≥0 treân moät khoâng gian Banach E, {L (t )}t ≥0 laø hoï caùc toaùn töû tuyeán tính lieân tuïc töø Cr vaøo E. Trong tröôøng hôïp töï ñoäng ( A(t) = A , L(t) = L), nhieàu taùc giaû ñaõ nghieân cöùu phöông trình (1.1) vôùi caùc kyõ thuaät khaùc nhau, chaúng haïn trong [4,9,14,17,27,28,29] töø taøi lieäu tham khaûo [1] cuûa luaän vaên. A.Rhandi gaàn ñaây ñaõ chæ ra trong [22](taøi lieäu tham khaûo [1]) raèng nghieäm cuûa (1.1) trong tröôøng hôïp f ≡ 0 ñöôïc cho döôùi daïng chuoãi DYSON-PHILLIPS.Trong caùc baøi baùo [10,12]( taøi lieäu tham khaûo [1]), caùc taùc giaû ñaõ chöùng minh ñöôïc raèng nghieäm cuûa (1.1) khi f khoâng ñoàng nhaát laø haøm khoâng coù theå ñöôïc xaùc ñònh bôûi “Coâng thöùc bieán thieân haèng soá” vaø vôùi coâng thöùc naøy ta coù theå nghieân cöùu daùng ñieäu tieäm caän caùc nghieäm cuûa phöông trình(1.1). Gaàn ñaây, caùc taùc giaû trong [13] Ngöôøi thöïc hieän : Traàn Trí Duõng Thaày höôùng daãn : PGS.TS Leâ Hoaøn Hoùa
7 cuûa taøi lieäu tham khaûo [1] ñaõ nghieân cöùu daùng ñieäu tieäm caän cuûa caùc nghieäm (1.1) treân R baèng caùch söû duïng coâng cuï nöûa nhoùm tieán hoùa vaø phöông trình ñaëc tröng. ÔÛ trong [26], R.Schnaubelt ñaõ chæ ra coâng thöùc bieán thieân haèng soá thöù nhaát cho (1.1) cuõng baèng caùch söû duïng caùc yù töôûng treân nöûa nhoùm tieán hoùa. Muïc ñích cuûa chuùng toâi trong luaän vaên laø môû roäng caùc keát quaû cuûa [10,12,19,22] sang daïng ñaày ñuû cuûa (1.1) nhö phaàn treân. Noùi moät caùch chính xaùc hôn, chuùng toâi seõ chæ ra trong chöông naøy söï toàn taïi cuûa nghieäm yeáu (“mild solutions”), bieåu dieãn nhöõng nghieäm ñoù döôùi daïng caùc hoï tieán hoùa vaø söû duïng chuùng ñeå nghieân cöùu daùng ñieäu tieäm caän caùc nghieäm. 2.2 PHAÀN CHUAÅN BÒ : Trong phaàn naøy chuùng toâi seõ ñöa ra moät soá ñònh nghóa vaø kí hieäu ñöôïc söû duïng ôû phaàn sau. Cho X laø moät khoâng gian Banach, ta kí hieäu L(X) laø khoâng gian caùc aùnh xaï tuyeán tính lieân tuïc treân X. ÑÒNH NGHÓA 2.2.1 : Hoï caùc toaùn töû U : = (U (t, s))t ≥s≥0 trong L(X) ñöôïc goïi laø hoï tieán hoùa lieân tuïc maïnh (strongly continuous evolution family) neáu : (1) U(t,s) = U(t,r).U(r,s) vaø U(s,s) = Id vôùi moïi t ≥ r ≥ s ≥ 0 (2)AÙnh xaï (t,s)∈ {(t,s): t ≥ s ≥ 0} U(t,s) laø lieân tuïc maïnh . Ngöôøi thöïc hieän : Traàn Trí Duõng Thaày höôùng daãn : PGS.TS Leâ Hoaøn Hoùa
8 ÑÒNH NGHÓA 2.2.2 : Moät hoï tieán hoùa U : = (U (t, s))t ≥s≥0 ñöôïc goïi laø coù tính chaát “exponential dichotomy” neáu toàn taïi moät haøm P : R + → L(X) sao cho haøm P(.)x laø lieân tuïc, bò chaën taïi moãi x∈X vaø neáu toàn taïi caùc haèng soá δ > 0, N = N (δ ) ≥ 1 sao cho : (1) P(t).U(t,s) = U(t,s).P(s) ; (2) UQ(t,s) : ImQ(s) → ImQ(t) khaû nghòch, trong ñoù Q(.) : = I − P(.) vaø UQ(t,s) laø thu heïp cuûa U(t,s) treân ImQ(s) ; (3) U (t, s).P(s) ≤ Ne−δ ( t −s ) vaø UQ (s, t ).Q(t ) ≤ Ne−δ ( t − s ) . ÑÒNH NGHÓA 2.2.3 : Hoï caùc toaùn töû ( Γ(t, s) ) t ≥ s≥ 0 trong L(X) ñöôïc cho bôûi : ⎧ U(t,s).P(s) ,t≥s Γ(t , s) : = ⎨ ⎩-U Q (t, s).Q(s) , t < s ñöôïc goïi laø haøm Green töông öùng cuûa hoï tieán hoùa (U(t,s)). Kí hieäu BC( R + , X) laø khoâng gian Banach cuûa taát caû caùc haøm lieân tuïc vaø bò chaën töø R + vaøo X , khoâng gian naøy ñöôïc trang bò chuaån cuûa hoäi tuï ñeàu (chuaån sup). Khoâng gian con ñoùng caùc haøm bò chaën vaø lieân tuïc ñeàu cuûa khoâng gian treân ñöôïc kí hieäu laø BUC( R + , X ). ÑÒNH NGHÓA 2.2.4 : (1) Neáu f : R + → X thì taäp taát caû caùc dòch chuyeån cuûa f ñöôïc ñònh nghóa laø H(f) := { f(. + t) : t∈ R + }. Ngöôøi thöïc hieän : Traàn Trí Duõng Thaày höôùng daãn : PGS.TS Leâ Hoaøn Hoùa
9 (2) Moät haøm f∈ BC(R + , X ) ñöôïc goïi laø “ asymptotically almost periodic” neáu H(f) laø compact töông ñoái trong BC( R + , X ). (3) Khoâng gian con ñoùng ε cuûa BUC( R + , X ) ñöôïc goïi laø “translation bi- invariant” neáu f ∈ ε ⇔ H ( f ) ⊂ ε . (4) Khoâng gian ε ñöôïc goïi laø thuaàn nhaát neáu ε laø “translation bi- invariant” vaø M f ∈ ε vôùi moïi f ∈ ε vaø M ∈ L(X). Trong [5] (töø taøi lieäu [1] cuûa luaän vaên naøy), ta bieát raèng caùc lôùp haøm sau ñaây laø caùc khoâng gian con ñoùng thuaàn nhaát cuûa BUC( R + , X ) : + Khoâng gian C 0 ( R + , X ) caùc haøm lieân tuïc vaø trieät tieâu ôû voâ cöïc. + Khoâng gian AAP( R + , X ) caùc haøm “asymptotically almost periodic”. Tröôùc khi keát thuùc phaàn naøy, chuùng toâi caàn boå ñeà cô baûn sau ñaây : BOÅ ÑEÀ 2.1 : Cho (U(t,s)) t ≥s≥0 laø moät hoï tieán hoùa bò chaën treân X, ε laø khoâng gian con ñoùng thuaàn nhaát cuûa BUC( R + , X ) vaø h∈ L1 (R + , X ) (theo nghóa tích phaân Bochner). Giaû söû aùnh xaï t U (t + s, s) x thuoäc veà ε vôùi moïi x∈ X vaø s ≥ 0 . Khi ñoù ta coù t aùnh xaï t ∫ U (t + s, s + σ )h(σ )dσ 0 cuõng thuoäc ε vôùi moïi s ≥ 0 . CHÖÙNG MINH : t Vôùi s ≥ 0 , ñaët Us ∗ g(t) := ∫ U (t + s, s + σ )g(σ )dσ neáu g∈ L1 (R + , X ) . 0 Ngöôøi thöïc hieän : Traàn Trí Duõng Thaày höôùng daãn : PGS.TS Leâ Hoaøn Hoùa
10 Khi ñoù ta coù aùnh xaï g Us ∗ g laø tuyeán tính lieân tuïc töø L1 (R + , X ) vaøo BC( R + ,X) . Thaät vaäy : t t + U s ∗ g( t ) = ∫ U (t + s, s + σ )g(σ )dσ ≤ M ∫ g(σ ) dσ ≤ M g L1 , ∀t ≥ 0 0 0 ∞ trong ñoù M = Sup U(t,s) vaø g L1 = ∫ g(σ ) dσ . t ≥ s≥ 0 0 Vaäy Us ∗ g bò chaën. Maët khaùc theo giaû thieát ta coù aùnh xaï (t,s)∈{(t,s)∈ R 2+ : t ≥ s} U(t,s) laø lieân tuïc maïnh neân Us ∗ g lieân tuïc treân R + . Vaäy Us ∗ g∈ BC(R + , X ) . + Tính tuyeán tính cuûa aùnh xaï g Us ∗ g laø hieån nhieân, tính lieân tuïc cuûa aùnh xaï treân suy töø keát quaû Us ∗ g ≤ M g L1 . Ñeå chöùng minh phaàn coøn laïi cuûa boå ñeà, tröôùc heát ta xeùt h = 1 [ a,b ] ⊗ x vôùi ⎧x , t ∈ [a,b] 0 ≤ a ≤ b, x ∈ X , trong ñoù 1 [ a ,b ] ⊗ x(t) = ⎨ . ⎩ 0 , t ∉ [ a, b ] Khi ñoù, vôùi t ≥ 0 , ta coù: t+b b Us ∗ h(t+b) = ∫ U(t + b + s, s + σ )h(σ )dσ 0 = ∫ U(t + b + s, s + σ ) xdσ . a Chuù yù laø U(t+b+s,s+σ ) = U(t+b+s,s+b) . U(b+s,s+σ ) , ∀σ ∈ [a,b] . b Vaäy Us ∗ h(t+b) = U(t+b+s,s+b) . ∫ U(b + s, s + σ ) xdσ . a Ngöôøi thöïc hieän : Traàn Trí Duõng Thaày höôùng daãn : PGS.TS Leâ Hoaøn Hoùa
11 Bôûi vì t U(t+b+s,s+b) x thuoäc ε vôùi moïi x∈X vaø vôùi moïi s ≥ 0 neân Us ∗ h(. + b)∈ ε . Do ε laø dòch chuyeån “bi - invariant” neân Us ∗ h(.) ∈ ε vôùi moïi s ≥ 0 . Neáu h laø haøm ñôn giaûn treân L1 (R + , X ) thì do keát quaû vöøa chöùng minh ôû treân cuøng vôùi tính tuyeán tính cuûa tích phaân ta coù ngay Us ∗ h ∈ ε . Neáu h∈ L1 (R + , X ) thì do taäp caùc haøm ñôn giaûn treân L1 (R + , X ) laø truø maät trong L1 (R + , X ) neân toàn taïi daõy ( h n ) caùc haøm ñôn giaûn , h n ⎯⎯ 1 L → h . Do g Us ∗ g lieân tuïc neân Us ∗ h n → Us ∗ h . Cuoái cuøng, do ε ñoùng neân Us ∗ h ∈ ε . Boå ñeà ñöôïc chöùng minh. 2.3 CHUOÃI DYSON – PHILLIPS VAØ DAÙNG ÑIEÄU TIEÄM CAÄN CUÛA NGHIEÄM TRONG TRÖÔØNG HÔÏP (1.1) ÔÛ DAÏNG THUAÀN NHAÁT : Cho (A(t), D(A(t))) t ≥0 laø moät hoï oån ñònh, sinh ra moät hoï tieán hoùa (V(t,s)) t ≥ s≥ 0 treân moät khoâng gian Banach E thoûa maõn V(t,s) ≤ M.eω (t - s) trong ñoù M, ω laø caùc haèng soá vaø M ≥ 1. Cho (L(t))t ≥ 0 laø hoï caùc toaùn töû tuyeán tính lieân tuïc töø Cr vaøo E vôùi L(.) ∈ BC(R + ,Ls (Cr ,E)) , nghóa laø aùnh xaï t L (t ) laø moät aùnh xaï bò chaën vaø lieân tuïc maïnh. Phöông trình vi phaân thuaàn nhaát x'(t) = A(t)x(t) + L(t)x t , t≥s xs = ϕ ∈ Cr := C([-r,0], E) . (3.1) Ngöôøi thöïc hieän : Traàn Trí Duõng Thaày höôùng daãn : PGS.TS Leâ Hoaøn Hoùa
12 ñöôïc raát nhieàu taùc giaû nghieân cöùu gaàn ñaây, chaúng haïn trong [10,13,20,26] (trong[1] cuûa luaän vaên). Trong caùc baøi baùo naøy, caùc taùc giaû ñaõ chæ ra söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm yeáu cho baøi toaùn (3.1) ôû treân theo nghóa ñoù laø moät haøm lieân tuïc x thoûa maõn : x : [s-r, ∞) → E t ⎧ ⎪V(t,s)ϕ (0) + ∫ V(t,σ )L(σ )xσ dσ , t ≥ s x(t) = ⎨ s (3.2) ⎪ϕ (t-s) , s-r ≤ t ≤ s ⎩ vaø hoï nghieäm (x t ) laø hoï tieán hoùa treân Cr . Trong phaàn naøy, baèng moät con ñöôøng khaùc, chuùng toâi seõ chæ ra söï toàn taïi nghieäm yeáu cuûa (3.1) . Chính xaùc hôn, chuùng toâi seõ chæ ra raèng hoï nghieäm cuûa (3.1) seõ ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng chuoãi Dyson-Phillips vaø thoûa maõn moät coâng thöùc bieán thieân haèng soá. Söû duïng coâng thöùc bieán thieân haèng soá ñoù, chuùng toâi seõ chæ ra nghieäm yeáu cuûa (3.1) coù cuøng daùng ñieäu tieäm caän vôùi aùnh xaï t V(t+s,s)x , s ≥ 0 , x ∈ E (t ∈ R + ) . Trong caùc baøi baùo [12,26] (trong[1] cuûa luaän vaên) , chuùng ta bieát raèng hoï nghieäm tieán hoùa cuûa phöông trình khoâng döøng (L(t) ≡ 0) ñöôïc cho bôûi : ⎧V(t+τ ,s)ϕ (0) , t+τ ≥ s U(t,s)ϕ (τ ) = ⎨ (∗) vôùi ϕ ∈ Cr . ⎩ϕ (t+τ -s) , s-r ≤ t+τ ≤ s Coâng thöùc (∗) ôû treân seõ ñöôïc chuùng toâi söû duïng nhieàu laàn trong caùc phaàn sau. Phaàn tieáp theo chuùng toâi caàn boå ñeà sau : BOÅ ÑEÀ 2.2 : Cho g ∈ C(R + ,E) . Khi ñoù giôùi haïn Ngöôøi thöïc hieän : Traàn Trí Duõng Thaày höôùng daãn : PGS.TS Leâ Hoaøn Hoùa
13 t lim ∫ U(t,σ )λ eλ • R(λ ,A(0))g(σ )dσ λ →∞ s toàn taïi ñeàu treân Cr theo caùc taäp compact cuûa {(t,s) : t ≥ s ≥ 0 }, trong ñoù R(λ , A) = (λ I - A)-1 vaø kí hieäu eλ • x = eλ ⊗ x ñöôïc xaùc ñònh nhö sau : eλ • x(τ ) = (eλ ⊗ x)(τ ) = eλτ x , x ∈ E ,τ ∈ R. CHÖÙNG MINH : Vôùi λ ≥ λ0 > max(ω ,0) ( ω laø haèng soá ñaùnh giaù cuûa hoï {V(t,s)}) vaø 0 ≤ s ≤ t ≤ T ( T laø haèng soá choïn tröôùc) ta ñaët : t Wλ (t, s) := ∫ U(t,σ )λ eλ • R(λ ,A(0))g(σ )dσ . s Vôùi τ ∈ [−r ,0] vaø τ + t ≥ s , ta coù : t +τ t Wλ (t, s)(τ ) = ∫ U(t,σ )λe R(λ ,A(0))g(σ )(τ )dσ + ∫ U(t,σ )λ eλ • R(λ ,A(0))g(σ )(τ )dσ . λ• s t +τ Söû duïng coâng thöùc ( ∗ ) ôû phaàn treân ta thu ñöôïc : t +τ t Wλ (t, s)(τ ) = ∫ V(t+τ ,σ )λR(λ ,A(0))g(σ )dσ + ∫τ λe R(λ ,A(0))g(σ )dσ . λ (t+τ −σ ) s t+ Do ñoù, vôùi λ , µ ≥ λ0 , ta thu ñöôïc : Wλ (t,s)(τ ) - Wµ (t,s)(τ ) t +τ = ∫ V(t+τ ,σ )[λR(λ ,A(0)) - µ R(µ ,A(0))]g(σ )dσ + s Ngöôøi thöïc hieän : Traàn Trí Duõng Thaày höôùng daãn : PGS.TS Leâ Hoaøn Hoùa
14 t + ∫τ [λe R(λ ,A(0)) - µ e µ (t+τ -σ ) R(µ ,A(0))]g(σ )dσ khi t+τ ≥ s vaø λ (t+τ −σ ) t+ Wλ (t,s)(τ ) - Wµ (t,s)(τ ) t = ∫ [λ eλ (t+τ −σ ) R(λ ,A(0)) - µ e µ (t+τ -σ )R(µ ,A(0))]g(σ )dσ khi t+τ ≤ s . s Vì vaäy ta coù : Wλ (t,s)(τ ) - Wµ (t,s)(τ ) T 1 1 ≤ M1 (T)∫ [λR(λ ,A(0)) - µ R(µ ,A(0))]g(σ ) dσ + M( + ) sup g(σ ) 0 λ − ω µ − ω σ ∈[0,T] trong ñoù M1(T) = Meλ0 T . Ta thu ñöôïc keát quaû treân laø nhôø caùc ñaùnh giaù sau : t t (i) ∫τ λe ∫τ λe λ (t+τ −σ ) λ (t+τ −σ ) R(λ ,A(0))g(σ )dσ ≤ R(λ ,A(0)) . g dσ t+ t+ 1 ( g = sup g(σ ) ) ≤ λ R(λ ,A(0)) . g . = R(λ ,A(0)) . g . σ ∈[ 0,T ] λ (ii) Ñònh lyù Hille-Yosida-Phillips : M R(λ ,A(0)) ≤ , vôùi λ > ω . λ −ω Söû duïng keát quaû : lim λ R(λ ,A(0))x = x ∀x ∈ E , ta suy ra : λ →∞ lim [λ R(λ ,A(0)) - µ R(µ ,A(0))]g(σ ) = 0 ∀σ ∈ [ 0,T ] . λ ,µ →∞ Theo ñònh lyù hoäi tuï bò chaën Lebesgue, ta thu ñöôïc : T lim λ ,µ →∞ ∫ [λR(λ ,A(0)) - µ R(µ ,A(0))]g(σ ) dσ = 0 0 Ngöôøi thöïc hieän : Traàn Trí Duõng Thaày höôùng daãn : PGS.TS Leâ Hoaøn Hoùa