Luận văn Thạc sĩ toán học: Số nguyên tố và sự phân bố số nguyên tố

Chia sẻ: Tran Van Lam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

179
lượt xem 31
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Vành số nguyên Z là một vành chính mà +1 và -1 là các phần tử khả nghịch duy nhất. Ta đã biết mọi số nguyên khác O và khác +-1 đều phân tích được một cách duy nhất thành một tích các phần tử bất khả quy trong Z.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ toán học: Số nguyên tố và sự phân bố số nguyên tố

Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C KHOA H C NGUY N TH Y N S NGUYÊN T VÀ S PHÂN B S NGUYÊN T LU N VĂN TH C S TOÁN H C THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C KHOA H C NGUY N TH Y N S NGUYÊN T VÀ S PHÂN B S NGUYÊN T Chuyên nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P Mã s : 60.46.40 LU N VĂN TH C S TOÁN H C Ngư i hư ng d n khoa h c: PGS. TS. NÔNG QU C CHINH THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
i M cl c M đ u 1 1 S nguyên t 3 1.1 Đ nh nghĩa và các tính ch t . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 M t s đ nh lý quan tr ng c a s h c . . . . . . . . . . . 4 2 S phân b các s nguyên t 9 2.1 M t vài ký hi u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Hàm logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Ư c giá đơn gi n nh t c a π(x) . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4 Hàm Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5 Đ nh lý Mertens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6 Đ nh lý s nguyên t và ch ng minh . . . . . . . . . . . 32 K t lu n 46 Tài li u tham kh o 47 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1 M đ u Vành s nguyên Z là m t vành chính mà +1 và −1 là các ph n t kh ngh ch duy nh t. Ta đã bi t m i s nguyên khác 0 và khác ±1 đ u phân tích đư c m t cách duy nh t thành m t tích các ph n t b t kh quy trong Z. M t s nguyên dương b t kh quy đư c g i là m t s nguyên t . Vì v y m i s t nhiên l n hơn 1 đ u phân tích đư c m t cách duy nh t thành tích các th a s nguyên t . V n đ s nguyên t là m t trong nh ng v n đ tr ng tâm c a lý thuy t s . M t câu h i đương nhiên đư c đ t ra là "có bao nhiêu s nguyên t trong t p h p s t nhiên?". N u ch có m t s h u h n các s nguyên t thì v n đ s nguyên t s tr nên r t đơn gi n, và các v n đ khác trong s h c cũng tr thành đơn gi n. Song, ngay t th i Euclid ngư i ta đã bi t r ng t p các s nguyên t là vô h n. T đó m t lo t các câu h i đư c đ t ra. Bài toán v m t đ các s nguyên t trong dãy s t nhiên, bài toán tìm m t bi u th c l y giá tr là các s nguyên t v i m i giá tr t nhiên c a bi n, bài toán tìm s nguyên t th n,.... M t v n đ l n c a lý thuy t s nguyên t là nghiên c u hàm π(x), bi u th s các s nguyên t không vư t quá x, v i x là m t s th c dương. Ngư i ta không hi v ng xác đ nh đư c d dàng π(x) theo x. Đ u tiên π(x) A. M. Legendre đã ch ng minh đư c r ng lim = 0, nghĩa là h u x→∞ x kh p các s t nhiên là h p s . Ti p theo, ngư i ta tìm m t hàm s sơ c p f (x) tương đương v i π(x). P. L. Chebyshev đã ch ng minh đư c π(x) r ng n u gi i h n lim t n t i thì gi i h n đó ch có th b ng 1, tuy x→∞ x/lnx nhiên ông không ch ng minh đư c s t n t i gi i h n trên. Sau đó ông Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2 x đã đ nh nghĩa hai hàm ϑ(x), ψ(x) và ch ng minh đ nh lý "π(x) ∼ lnx n u và ch n u ψ(x) ∼ x"Năm 1896, đ nh lý s nguyên t đã đư c ch ng minh b i Hadamard và Dela Vallee Poussin b ng cách s d ng phương pháp gi i tích ph c. Năm 1949, Selberg đã ch ng minh đư c đ nh lý s nguyên t b ng phương pháp sơ c p, không s d ng gi i tích ph c. V i m c đích nghiên c u s phân b các s nguyên t trong t p các s t nhiên chúng tôi đã ch n đ tài này. N i dung c a lu n văn g m 2 chương: Chương 1: S nguyên t . Trình bày đ nh nghĩa s nguyên t , nh ng tính ch t cơ b n c a s nguyên t và m t s đ nh lý quan tr ng c a s h c. Chương 2: S phân b các s nguyên t . Nêu khái ni m hàm π(x), trình bày ư c giá đơn gi n nh t c a hàm π(x) và ch ng minh đ nh lý s nguyên t . Trong quá trình th c hi n lu n văn c a mình em đã nh n đư c s hư ng d n, giúp đ t n tình c a PGS. TS. Nông Qu c Chinh, nh n đư c nh ng ý ki n quý báu c a các th y cô khoa Toán - tin cùng t p th các b n h c viên l p cao h c K2 trư ng Đ i h c Khoa H c. Em xin bày t lòng c m ơn sâu s c t i th y giáo Nông Qu c Chinh, em xin chân thành c m ơn các th y cô và các b n. Em xin chân thành c m ơn trư ng THPT Lê H ng Phong và gia đình đã giúp đ , đ ng viên em hoàn thành khoá h c. Đ n nay lu n văn đã đư c hoàn thành. Tuy nhiên v i kho ng th i gian không nhi u, và năng l c c a b n thân có h n nên lu n văn không tránh kh i nh ng thi u sót. Em r t mong nh n đư c nh ng ý ki n đóng góp c a các th y cô cùng toàn th b n đ c. Thái Nguyên, ngày 20 tháng 08 năm 2010. Nguy n Th Y n. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3 Chương 1 S nguyên t 1.1 Đ nh nghĩa và các tính ch t Đ nh nghĩa 1.1. S nguyên p đư c g i là s nguyên t n u p > 1 và p ch có ư c là 1 và chính nó. S nguyên p > 1 không là s nguyên t thì là h p s . T p các s nguyên t thư ng đư c kí hi u là P . Tính ch t 1.1. Ư c t nhiên khác 1 nh nh t c a m t s t nhiên là m t s nguyên t . Ch ng minh. Cho s a ∈ N , cho d là ư c nh nh t c a a, d = 1. N u d không nguyên t thì d = d1 .d2 , trong đó 1 < d1 , d2 < d. Suy ra d1 là ư c th c s c a d. Vì v y d1 là ư c c a a, d1 < d. Đi u này mâu thu n v i s nh nh t c a d. Tính ch t 1.2. Cho p nguyên t , a ∈ N , a = 0. Khi đó: (a, p) = p ⇔ p|a. (a, p) = 1 ⇔ p a. Tính ch t 1.3. N u tích c a nhi u s chia h t cho s nguyên t p thì có ít nh t m t th a s chia h t cho p. Tính ch t 1.4. 2 là s nguyên t nh nh t và là s nguyên t ch n duy nh t. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4 Tính ch t 1.5. N u n là h p s thì n có ít nh t m t ư c nguyên t √ không vư t quá n. Ch ng minh. Gi s n là h p s , n = a.b, trong đó a, b ∈ Z, 1 < a ≤ b < n. Ta có √ √ √ ho c a ≤ n ho c b ≤ n. Gi s a ≤ n, vì a có ư c nguyên t , gi √ s đó là p, nên p cũng là ư c c a n, p ≤ n. √ V y n có ư c nguyên t không vư t quá n. H qu 1.1. N u s t nhiên a > 1 không có ư c nguyên t nào trong √ n a kho ng (1, a] thì a là s nguyên t . 1.2 M t s đ nh lý quan tr ng c a s h c Đ nh lí 1.1. M i s nguyên dương a > 1 đ u phân tích đư c thành tích các th a s nguyên t , s phân tích đó là duy nh t n u không k đ n th t các th a s . Ch ng minh. * Tính phân tích đư c: Gi s a là s nguyên b t kì tho mãn a > 1, th thì a ph i có m t ư c nguyên t , ch ng h n là p1 . V y ta có a = p1 .a1 , trong đó 1 ≤ a1 < a. N u a1 = 1 thì ta có a = p1 và đó là s phân tích a thành th a s nguyên t . N u a1 > 1 thì a1 ph i có m t ư c nguyên t p2 , và ta có a1 = p2 .a2 , do đó a = p1 .p2 .a2 , v i 1 ≤ a2 < a1 . N u a2 = 1 thì a = p1 .p2 là d ng phân tích c a a thành th a s nguyên t , còn n u a2 > 1 thì ta l p l i lý lu n trên đư c s nguyên t p3 ,.... Quá trình này ph i k t thúc sau m t s h u h n l n vì ta có a > a1 > a2 > ...., nên t n t i n ∈ N tho mãn an = 1, và ta đư c a = p1 .p2 .....pn . Trong s phân tích trên thì có th x y ra trư ng h p trong tích có nhi u th a s nguyên t l p l i, g i p1 , p2 , ....., pk là các th a s nguyên t đôi m t khác nhau c a a, v i các b i tương ng là α1 , α2 , .....αk , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5 (αi > 0, i = 1, ..., k), thì ta đư c a = pα1 .pα2 ....pαk , g i là d ng phân tích 1 2 k tiêu chu n c a a. * Tính duy nh t: Ta gi s a có hai d ng phân tích tiêu chu n: a = pα1 .pα2 ....pαk = q1 1 .q2 2 ....qlβl . 1 2 k β β Khi đó: pi | q1 1 .q2 2 ....qlβl , ∀i = 1, ...., k. Vì các qj (j = 1, ..., l) là đôi β β m t khác nhau nên m i pi trùng v i m t qj nào đó và tương t m i qj trùng v i m t pi nào đó. Vì v y k = l và n u trong hai d ng phân tích tiêu chu n trên đ u s p x p các th a s nguyên t theo th t tăng d n thì pi = qi , ∀i. N u αi > βi thì ta chia c hai phân tích trên cho pβi , ta đư c:i pα1 .pα2 ...pi i −βi ....pαk = pβ1 .pβ2 ....pi−1 .pi+1 ....pβk . α βi−1 β i+1. 1 2 k 1 2 k Khi đó v trái c a đ ng th c trên chia h t cho pi nhưng v ph i thì không chia h t cho pi . Đi u này là mâu thu n. Tương t , n u βi > αi ta d dàng suy ra mâu thu n. Vì v y αi = βi , ∀i. Đ nh lí 1.2. (Đ nh lý th nh t c a Euclid) N u p nguyên t , p|ab thì p|a ho c p|b. Ch ng minh. Gi s p là s nguyên t và p|ab. N u p a thì (a, p) = 1, do đó ∃x, y : xa + yp = 1 hay xab + ypb = b. Mà p|ab và p|pb nên suy ra p|b. H qu 1.2. N u p|abc....l thì p|a ho c p|b ............ho c p|l. Đ nh lí 1.3. (Đ nh lý th hai c a Euclid) S các s nguyên t là vô h n. Ch ng minh. * Cách 1 (Ch ng minh c a Euclid): Gi s 2, 3, 5, ....., p là dãy các s nguyên t không vư t quá p. Đ t q = 2.3.5....p + 1, khi đó q không Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6 chia h t cho s nào c a dãy 2, 3, 5, ...., p. T đó suy ra q nguyên t ho c q phân tích đư c thành tích các th a s nguyên t , trong đó không có th a s nào là 2, 3, 5, ..., p nên ph i có m t ư c nguyên t n m trong kho ng(p, q) hay q chia h t cho m t s nguyên t n m trong kho ng (p, q). T đó suy ra luôn t n t i s nguyên t l n hơn p. Đ nh lý đư c ch ng minh. * Cách 2: Xét s Qn = n! + 1, n ≥ 1. Khi đó Qn có ít nh t m t ư c nguyên t , kí hi u là qn . N u qn ≤ n thì qn |n! và do đó qn |(Qn − n!) = 1. Mâu thu n. V y qn > n, t c là v i m i s nguyên dương n thì đ u t n t i s nguyên t l n hơn n nên t p các s nguyên t là vô h n. Đ nh lý đư c ch ng minh. * Cách 3 (Ch ng minh c a Goldbach): n S Fn = 22 + 1 đư c g i là s Fermat th n. Cho trư c hai s Fermat Fn và Fn+k (k > 0), gi s m|Fn , m|Fn+k . n Đ t x = 22 , ta có: n+k Fn+k − 2 (22 + 1) − 2 = Fn 22n + 1 n+k 22 − 1 = 2n 2 +1 k x2 − 1 = x+1 k k = x2 −1 − x2 −2 + ... − 1 Vì v y Fn |(Fn+k − 2). M t khác m|Fn nên m|(Fn+k − 2). T đó suy ra m|2. Do Fn là s l nên m = 1. Như v y ta ch ng minh đư c hai s Fermat b t kỳ không có ư c chung l n hơn 1. T đó suy ra r ng m i m t trong các s F1 , F2 , ..., Fn đ u chia h t cho m t s nguyên t l p mà p không là ư c c a b t kỳ s nào khác trong dãy trên. V y có ít nh t n s nguyên t không vư t quá Fn . Do dãy s Fermat là vô h n nên có vô h n s nguyên t . Đ nh lí 1.4. T n t i nh ng dãy s liên t c là các h p s mà đ dài c a nó l n hơn m t s n b t kỳ cho trư c. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7 Ch ng minh. Cho trư c s n b t kỳ. Theo đ nh lý Euclid trên ta th y luôn t n t i s nguyên t p > n. Xét dãy 2, 3, 5, ..., p các s nguyên t không vư t quá p. Đ t q = 2.3.5....p thì q + 2, q + 3, q + 4, ....., q + p là các h p s . Rõ ràng đó là p-1 s h p s li n nhau tho mãn p − 1 > n. Đ nh lí 1.5. Không t n t i đa th c f (x) ∈ Z[x] mà t t c các giá tr c a nó t i các đi m x ∈ Z đ u là nguyên t . Ch ng minh. Gi s f (x) ∈ Z[x], degf (x) ≥ 1. Khi đó lim f (x) = ±∞. Suy ra x→+∞ ∃n0 ∈ Z sao cho |f (n0 )| > 1. Gi s p là m t ư c nguyên t c a f (n0 ), xét khai tri n f (n0 + pt) = f (n0 ) + p.f1 (n0 , p, t). Suy ra p|f (n0 + pt) v i t tuỳ ý. Ta ch n đư c t đ l n đ |f (n0 + pt)| > p. Suy ra f (n0 + pt) là m t h p s . Đ nh lí 1.6. Cho a là m t s nguyên v i d ng phân tích tiêu chu n a = pα1 .pα2 ....pαk . Khi đó s nguyên d là ư c c a a khi và ch khi nó có 1 2 k β1 β2 d ng d = p1 .p2 ....pβk v i 0 ≤ βi ≤ αi , i = 1, ..., k. k Ch ng minh. Gi s d là ư c c a a, khi đó t n t i s nguyên q sao cho a = dq. Đ ng th c này ch ng t r ng n u d > 1 thì m i ư c nguyên t c a d là ư c nguyên t c a a và s mũ c a ư c nguyên t y trong d ng phân tích tiêu chu n c a d không l n hơn s mũ c a nó trong d ng phân tích tiêu chu n c a a. B i v y: d = pβ1 .pβ2 ....pβk , 0 ≤ βi ≤ αi , i = 1, ..., k. 1 2 k N u d = 1 thì ta vi t d = pβ1 .pβ2 ....pβk , βi = 0, ∀i. 1 2 k Ngư c l i, gi s a và d là hai s nguyên tho mãn đi u ki n c a đ nh lý, khi đó αi − βi ≥ 0, i = 1, ..., k nên q = pα1 −β1 .pα2 −β2 ....pαk −βk là m t 1 2 k s nguyên và a = dq, nghĩa là d là ư c c a a. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8 Đ nh lý trên cho ta xác đ nh t t c các ư c c a m t s t nhiên a > 1, n u s nguyên a > 1 có d ng phân tích tiêu chu n a = pα1 .pα2 ....pαk thì 1 2 k s các ư c nguyên dương c a a là (α1 + 1)(α2 + 1)...(αk + 1), đ nh lý trên cũng cho ta phương pháp đ tìm ư c chung l n nh t và b i chung nh nh t c a nhi u s . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9 Chương 2 S phân b các s nguyên t Dãy các s nguyên t đ u tiên là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, .... B ng cách dùng sàng Eratosthenes ta d dàng xây d ng m t b ng các s nguyên t trong gi i h n N . Ta đã bi t n u n là s t nhiên, n ≤ N và n không là s nguyên t thì √ n chia h t cho m t s nguyên t nh hơn ho c b ng n. Ta vi t xu ng dãy các s 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ....N và th c hi n ti n trình như sau: * Vì 2 là s nguyên t đ u tiên nên ta xoá nh ng s sau 2 và chia h t cho 2. S đ ng sau 2 còn l i đ u tiên là 3 nên 3 là s nguyên t . * Ti p t c b nh ng s sau 3 và chia h t cho 3. S đ ng sau 3 còn l i đ u tiên là 5 nên 5 là s nguyên t . * G ch b nh ng s sau 5 và chia h t cho 5. S đ ng sau 5 còn l i đ u tiên là 7 nên 7 là s nguyên t . Ti p t c quá trình như v y ta g ch b kh i dãy nh ng s chia h t √ cho các s nguyên t nh hơn N . Quá trình s d ng l i cho đ n khi √ g p s nguyên t l n hơn ho c b ng N . T t c các s chưa b xoá là s nguyên t . Như v y theo thu t toán trên, đ ki m tra tính nguyên t c a n ta c n th c hi n s phép chia đúng b ng s các s nguyên t nh hơn ho c √ b ng n. Tuy nhiên s phép chia đó là r t l n n u n là nh ng s l n. Gi s r ng 2, 3, 5, 7, ...., p là dãy các s nguyên t không vư t quá p. Khi đó m i s nh hơn ho c b ng p đ u chia h t cho m t s nào đó trong dãy trên. Vì v y n u đ t q = 2.3.5.7...p thì t t c các s Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10 q ± 2, q ± 3, q ± 4, ..., q ± p đ u là h p s . Như v y m c dù s các s nguyên t là vô h n, t c p có th r t l n, nhưng t t c các s nguyên t y ch là m t vài đi m so v i t p các h p s . Khi nói đ n s phân b các s nguyên t có m t vài câu h i đư c đ t ra như sau: Có m t công th c t ng quát, đơn gi n nào đ xác đ nh s nguyên t th n không? Có m t công th c t ng quát đ xác đ nh s nguyên t ti p theo m t s nguyên t cho trư c không? Có m t quy t c đ t m t s nguyên t p đã cho có th tìm đư c s nguyên t q l n hơn không? Có bao nhiêu s nguyên t không vư t quá m t s x cho trư c?... Nhi m v chính c a chương này là trình bày câu tr l i c a nh ng câu h i đó. 2.1 M t vài ký hi u Cho f (x), g(x) là các hàm s xác đ nh trên D, g(x) ≥ 0, ∀x ∈ D. Ta đưa vào các ký hi u sau đây: * f (x) = O(g(x)), x → ω, nghĩa là ∃A : |f (x)| < Ag(x), x → ω. f (x) * f (x) = o(g(x)), x → ω, nghĩa là lim = 0. x→ω g(x) f (x) * f (x) ∼ g(x), x → ω, nghĩa là lim = 1, hay f (x) = g(x) + x→ω g(x) o(g(x)), x → ω. Ví d : Khi x → +∞ ta có: 10x = O(x); sinx = O(1) x = o(x2 ); x+1∼x Khi x → 0 ta có: x2 = O(x); x2 = o(x) sinx ∼ x; 1+x∼1 * f (x) g(x), x → ω, nghĩa là ∃A, A > 0 : A.f (x) < g(x) < A .f (x). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11 Chú ý r ng f (x) = O(1) nghĩa là ∃C : |f (x)| < C, hay hàm f (x) b ch n. 2.2 Hàm logarit Lý thuy t v s phân b các s nguyên t c n s d ng m t s ki n th c v tính ch t c a hàm logarit. Trong lu n văn này chúng ta s th a nh n và s d ng nh ng tính ch t c a hàm logarit và hàm mũ đã đư c h c trong gi i tích c đi n. Xét hàm s f (x) = ex , ta có: x2 x3 xn xn+1 ex = 1 + x + + + .... + + + ... 2! 3! n! (n + 1)! x x−n .ex > −→ ∞ khi x −→ ∞ (n + 1)! Vì v y hàm ex ti n ra ∞ nhanh hơn so v i hàm lu th a c a x. Ta đã bi t hàm lnx là hàm ngư c c a hàm ex . Nên hàm lnx ti n ra ∞ ch m hơn so v i hàm lu th a dương c a x. lnx Nghĩa là ta có δ −→ 0, khi x −→ ∞, hay lnx = o(xδ ), ∀δ > 0. x Tương t , ta có hàm ln(lnx) ti n ra ∞ ch m hơn so v i hàm lu th a dương c a lnx. x Hàm là hàm s quan tr ng trong lý thuy t các s nguyên t và lnx nó s đư c s d ng nhi u trong quá trình ch ng minh các đ nh lý dư i đây. 2.3 Ư c giá đơn gi n nh t c a π(x) Đ nh nghĩa 2.1. Đ nh nghĩa π(x) là hàm s h c bi u th s các s nguyên t không vư t quá x π(x) = 1. p≤x Ch ng h n: π(10) = 4, π(100) = 25. Do t p các s nguyên t là vô h n nên ta có π(x) → ∞ khi x → ∞. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12 Đ nh lí 2.1. V i ∀x ≥ 1 ta luôn có π(x) > lnx − 1; N u ta kí hi u pn là s nguyên t th n thì pn < en+1 < 3n+1 . Ch ng minh. Ta có : n n 1 1 1 (1 − )−1 = (1 + + 2 + ....) i=1 pi i=1 pi pi 1 = . n Trong t ng trên n ch y qua t t c các s t nhiên là tích c a các th a 1 1 s nguyên t p1 , p2 , ..., pn , k c 1. Vì v y p≤x (1 − )−1 = , trong p n t ng đó n ch y qua t t c các s t nhiên mà các th a s nguyên t c a nó nh hơn ho c b ng x. Ta có: [x] [x]+1 1 1 dt ≥ > = ln([x] + 1) > lnx. n n=1 n 1 t π(x)+1 1 1 (1 − )−1 ≤ (1 − )−1 p≤x p k k=2 π(x)+1 k = k−1 k=2 2.3...π(x).(π(x) + 1) = 1.2....π(x) = π(x) + 1. Suy ra π(x) + 1 > lnx hay π(x) > lnx − 1. N u x = pn thì π(pn ) = n. Vì v y: n = π(pn ) > lnpn − 1 ⇒ lnpn < n + 1 ⇒ pn < en+1 < 3n+1 . Đ nh lí 2.2. (Đ nh lý Euler) 1 Chu i là chu i phân kỳ. p Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13 Ch ng minh. Theo đ nh lý 2.1 ta có: 1 (1 − )−1 > lnx p≤x p suy ra 1 −ln(1 − ) > lnlnx. p≤x p Ta có: 1 1 1 1 −ln(1 − ) = + 2 + 3 + ... p p 2p 3p 1 1 1 < + 2 + 3 + ... p p p 1 1 = + p p(p − 1) nên 1 1 + > lnlnx. p≤x p p≤x p(p − 1) T đó suy ra 1 1 > lnlnx − p≤x p p≤x p(p − 1) ∞ 1 > lnlnx − m=2 m(m − 1) = lnlnx − 1. 1 V y chu i là chu i phân kỳ. p Đ nh lí 2.3. ∀x ≥ 1 ta có: lnx π(x) ≥ 2ln2 pn ≤ 4n . Ch ng minh. Gi s 2, 3, 5, ..., pj là j s nguyên t đ u tiên. Kí hi u N (x) là hàm bi u th s các s nguyên n không vư t quá x và không chia h t cho b t Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14 kỳ s nguyên t nào l n hơn pj . Bi u th s nguyên n dư i d ng n = n2 .m, 1 trong đó m không chia h t cho bình phương c a m t s nguyên t b t b kỳ. Khi đó ta th y m = 2b1 3b2 ....pjj , trong đó các bk (k = 1, 2...j) ho c b ng 0, ho c b ng 1. Vì v y có đúng 2j b b1 , b2 , ..., bj khác nhau nên m không th nh n nhi u hơn 2j giá tr khác nhau. M t khác, v i m i s n √ √ ta luôn có n2 ≤ n ≤ x nên n1 ≤ n ≤ x. Đi u đó ch ng t không có 1 √ √ nhi u hơn x giá tr khác nhau c a n1 . T đó suy ra N (x) ≤ 2j x. Ti p theo ta đ t j = π(x), ta đư c pj+1 > x, và N (x) = x. √ Ta có: x = N (x) ≤ 2π(x) . x √ ⇔ lnx ≤ ln(2π(x) . x) √ ⇔ lnx ≤ π(x).ln2 + ln x 1 ⇔ lnx ≤ π(x).ln2 2 lnx ⇔ π(x) ≥ . 2ln2 lnpn N u đ t x = pn thì π(x) = n, khi đó n ≥ ⇔ lnpn ≤ 2nln2 ⇔ 2ln2 pn ≤ 4n . Đ nh lí 2.4. (Đ nh lý Legendre) π(x) lim = 0. x→∞ x Ch ng minh. Ta có đ ng th c sau: r √ x x x 1+π(x)−π( x) = [x]− [ ]+ [ ]+...+(−1)r [ ]. (2.1) i=1 pi 1≤i
15 r √ x x x 1 + π(x) − π( x) = x − + + ... + (−1)r +R i=1 pi 1≤i,j≤r pi pj p1 ...pr r 1 =x (1 − )+R i=1 pi 1 =x (1 − ) + R. √ p p≤ x Ta đã có: 1 1 1 (1 − )−1 > lnx hay (1 − ) < √ . p≤x p √ p ln x p≤ x T đó suy ra √ x 2x √ 1 + π(x) − π( x) < √ + 2r < + 2 x. ln x lnx √ √ Áp d ng l p lu n trên nhưng thay x b i u mà 1 < u < x ta đư c: x x π(x) − π(u) < + 2u . Suy ra π(x) < u + + 2u . lnu lnx x lnx 1 Ch n u sao cho 2u < , khi đó u < . Đ t u = αlnx v i α < lnu ln2 ln2 ta đư c: x π(x) < αlnx + + xαln2 lnlnx + lnα x suy ra π(x) < c lnlnx π(x) c suy ra < → 0, x → ∞. x lnlnx π(x) V y lim = 0. x→∞ x 2.4 Hàm Chebyshev Đ nh nghĩa 2.2. Đ nh nghĩa hai hàm Chebyshev ϑ(x) và ψ(x) như sau: ϑ(x) = lnp = ln p. p≤x p≤x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
16 ψ(x) = lnp = ln p. pk ≤x pk ≤x Ch ng h n: ϑ(10) = ln2 + ln3 + ln5 + ln7. ψ(10) = 3ln2 + 2ln3 + ln5 + ln7. Hàm ϑ(x) và ψ(x) đ m các s nguyên t p ≤ x và các lu th a nguyên t pk ≤ x, rõ ràng ϑ(x) ≤ ψ(x). lnx N u pk ≤ x thì k ≤ [ ], và vì v y: lnp ψ(x) = lnp pk ≤x,k≥1 = ( 1)lnp p≤x pk ≤x,k≥1 lnx = [ ]lnp p≤x lnp ≤ lnx = π(x)lnx. p≤x B đ 2.1. V i n ≥ 1 và 1 ≤ k ≤ n ta luôn có: k−1 k n+1 Cn < Cn n u và ch n u k < 2 k−1 k n+1 Cn > Cn n u và ch n u k > 2 k−1 k n+1 Cn = Cn n u và ch n u k = ,nl . 2 k Trong đó Cn là t h p ch p k c a n. Ch ng minh. Đ t k Cn r(k) = k−1 Cn n! k!(n − k)! = n! (k − 1)!(n − k + 1)! (k − 1)!(n − k + 1)! n − k + 1 = = . k!(n − k)! k Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17 n+1 V y r(k) > 1 ⇔ n − k + 1 > k ⇔ k < 2 n+1 r(k) < 1 ⇔ n − k + 1 < k ⇔ k > 2 n+1 r(k) > 1 ⇔ n − k + 1 = k ⇔ k = ,nl . 2 B đ 2.2. V i m i s nguyên dương n ta có: 22n ≤ C2n < 22n . n 2n Ch ng minh. Theo công th c nh th c Newton ta có: 2n 2n 2n k n 2 = (1 + 1) = C2n > C2n . (2.2) k=0 Theo b đ 2.1 ta có: n−1 n C2n < C2n n−2 n−1 n C2n < C2n < C2n ................ 1 n C2n < C2n n+1 n C2n < C2n n+2 n+1 n C2n < C2n < C2n ................ 2n−1 n C2n < C2n . C ng v v i v c a các b t đ ng th c trên ta đư c: 2n 2n−1 2n k k 2 = C2n =1+ C2n + 1 k=0 k=1 n n ≤ 2 + (2n − 1)C2n ≤ 2nC2n . Suy ra 22n n ≤ C2n . (2.3) 2n T (2.2) và (2.3) ta có đi u ph i ch ng minh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn