Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sử dụng đạo hàm để khảo sát bất phương trình và chứng minh bất đẳng thức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN<br /> <br /> NGUYỄN THỊ HUỆ<br /> <br /> SỬ DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO<br /> SÁT BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ<br /> CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC<br /> <br /> HÀ NỘI - NĂM 2016<br /> <br /> ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN<br /> <br /> NGUYỄN THỊ HUỆ<br /> <br /> SỬ DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO<br /> SÁT BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ<br /> CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC<br /> <br /> Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP<br /> Mã số: 60.46.01.13<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học<br /> GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU<br /> <br /> HÀ NỘI - NĂM 2016<br /> <br /> i<br /> <br /> Mục lục<br /> Mở đầu<br /> 1 Một số kiến thức cơ bản về hàm<br /> 1.1 Hàm liên tục và hàm khả vi . .<br /> 1.1.1 Hàm liên tục . . . . . . .<br /> 1.1.2 Hàm khả vi . . . . . . .<br /> 1.1.3 Công thức Taylor . . .<br /> 1.2 Hàm đơn điệu và hàm bị chặn .<br /> 1.3 Hàm lồi, hàm lõm . . . . . . . .<br /> 1.4 Hàm đa thức . . . . . . . . . . .<br /> 1.4.1 Đa thức Chebyshev . . .<br /> 1.4.2 Đa thức lượng giác . . .<br /> 1.4.3 Nội suy Lagrange . . . .<br /> <br /> 3<br /> số<br /> . .<br /> . .<br /> . .<br /> . .<br /> . .<br /> . .<br /> . .<br /> . .<br /> . .<br /> . .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> 2 Bất đẳng thức, bất phương trình trong lớp hàm khả vi<br /> 2.1 Một số bất đẳng thức chứa đạo hàm quan trọng . . . . .<br /> 2.1.1 Bất đẳng thức Jensen và các dạng liên quan . . .<br /> 2.1.2 Bất đẳng thức đối với lớp hàm lồi bậc cao . . . .<br /> 2.1.3 Bất đẳng thức Landau và Landau-Kolmogorov . .<br /> 2.2 Bất đẳng thức chứa đạo hàm trong lớp đa thức đại số . .<br /> 2.3 Một số dạng toán cực trị trong lớp hàm khả vi . . . . . .<br /> 2.4 Một số dạng bất phương trình trong lớp hàm khả vi . . .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> 3 Các dạng toán về bất phương trình và bất đẳng thức qua<br /> thi Olympic<br /> 3.1 Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình . . . . . . .<br /> 3.2 Bất đẳng thức và các bài toán cực trị . . . . . . . . . . . . .<br /> 3.2.1 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số . . . . . . . . . .<br /> 3.2.2 Ứng dụng tính chất của hàm lồi . . . . . . . . . . . .<br /> 3.2.3 Ứng dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi khả vi .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> 5<br /> 5<br /> 5<br /> 6<br /> 7<br /> 9<br /> 11<br /> 13<br /> 13<br /> 14<br /> 15<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> 17<br /> 17<br /> 17<br /> 23<br /> 26<br /> 29<br /> 36<br /> 42<br /> <br /> các kỳ<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> 48<br /> 48<br /> 56<br /> 56<br /> 65<br /> 70<br /> <br /> Kết luận<br /> <br /> 76<br /> <br /> Tài liệu tham khảo<br /> <br /> 77<br /> <br /> 3<br /> <br /> Mở đầu<br /> Bất đẳng thức, bất phương trình là một trong những phần quan trọng của<br /> chương trình toán phổ thông và những bài toán về bất đẳng thức, bất phương trình<br /> thường là các bài toán khó đòi hỏi tính tư duy và sáng tạo cao. Các bài toán về bất<br /> đẳng thức, bất phương trình là các bài toán luôn có mặt ở hầu hết các đề thi học<br /> sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia, các đề thi Olympic Toán quốc tế. Để giải một bài<br /> toán về bất đẳng thức, bất phương trình có rất nhiều cách khác nhau và không có<br /> phương pháp nào là vạn năng để giải quyết mọi bài toán.Tuy nhiên, phương pháp<br /> sử dụng đạo hàm và các tính chất của hàm số là một công cụ hữu hiệu để giải các<br /> bài toán về tìm điều kiện của tham số để một phương trình, bất phương trình, hệ<br /> phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu nào đó, để chứng minh một bất đẳng<br /> thức hay trong một bài toán tìm cực trị của biểu thức...<br /> Bên cạnh đó, các bất đẳng thức trong lớp hàm khả vi hiện nay còn ít được<br /> quan tâm và giới thiệu trong các tài liệu bằng tiếng Việt như: Bất đẳng thức<br /> Landau, bất đẳng thức Kolmogorov, bất đẳng thức Markov-Bernsterin và một số<br /> bất đẳng thức khác liên quan đến hàm lồi khả vi. Đây là những bất đẳng thức khó<br /> và chỉ xuất hiện rải rác trong một số tài liệu. Việc giới thiệu các bất đẳng thức<br /> này là cần thiết cho việc bồi dưỡng và nâng cao kiến thức của người dạy toán về<br /> bất đẳng thức liên quan đến hàm số khả vi.<br /> Vì những lý do trên đây tôi chọn đề tài "Sử dụng đạo hàm để khảo sát bất<br /> phương trình và chứng minh bất đẳng thức" làm luận văn khoa học trong chuyên<br /> ngành Phương pháp toán sơ cấp.<br /> Cấu trúc của luận văn gồm ba phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần<br /> kết luận.<br /> Nội dung luận văn gồm ba chương:<br /> Chương 1. Một số kiến thức cơ bản về hàm số.<br /> Trong chương này trình bày các định nghĩa về hàm số liên tục, hàm số khả<br /> vi, hàm số đơn điệu, hàm số bị chặn, hàm lồi, hàm lõm và một số kết quả liên<br /> quan; công thức Taylor, đa thức Chebyshev và các tính chất, đa thức lượng giác,<br /> <br /> 4<br /> <br /> bài toán nội suy Lagrange.<br /> Chương 2. Bất đẳng thức, bất phương trình trong lớp hàm khả vi.<br /> Trong chương này trình bày bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi khả vi và các<br /> dạng liên quan, bất đẳng thức Landau, bất đẳng thức Kolmogorov, bất đẳng thức<br /> Landau-Kolmogorov, một số bất đẳng thức đối với hàm lồi bậc cao, các bất đẳng<br /> thức đạo hàm của hàm đa thức, bất đẳng thức Markov-Bernsterin; các bài toán về<br /> giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm khả vi; các bất phương trình trong lớp<br /> hàm khả vi.<br /> Chương 3. Các dạng toán về bất phương trình và bất đẳng thức qua các kỳ<br /> thi Olympic.<br /> Trong chương này hệ thống các bài toán trong các đề thi đại học, học sinh<br /> giỏi cấp tỉnh, thành phố về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình; các<br /> bài toán trong đề thi cấp quốc gia, Olympic toán quốc tế theo từng chuyên đề:<br /> Ứng dụng tính đơn điệu, ứng dụng tính chất của hàm lồi khả vi, ứng dụng bất<br /> đẳng thức Jensen cho hàm lồi khả vi.<br /> Trong thời gian thực hiện luận văn, tác giả đã nhận được sự hướng dẫn chỉ<br /> bảo tận tình của GS.TSKH.Nguyễn Văn Mậu. Qua đây, tác giả xin được bày tỏ<br /> lòng biết ơn sâu sắc và trân trọng những công lao, sự quan tâm, động viên và sự<br /> tận tình chỉ bảo của thầy Nguyễn Văn Mậu.<br /> Tác giả chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ -Tin học<br /> đã dạy bảo tận tình; chân thành cảm ơn các thầy cô trong Ban giám hiệu, phòng<br /> Đào tạo, văn phòng khoa Toán - Cơ - Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học quốc gia Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác<br /> giả học tập và thực hiện luận văn.<br /> Hà Nội, tháng 12 năm 2016<br /> Học viên<br /> Nguyễn Thị Huệ<br /> <br />