Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình Elliptic suy biến chứa toán tử ∆

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

50
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn "Sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình Elliptic suy biến chứa toán tử ∆γ" là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình elliptic suy biến chứa toán tử ∆γ. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình Elliptic suy biến chứa toán tử ∆

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ NGỌC HƯỜNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN TRONG VIỆC TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC SUY BIẾN CHỨA TOÁN TỬ ∆𝜸 Ngành: Toán Giải Tích Mã số: 8 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Thị Thủy THÁI NGUYÊN – 2019
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa được công bố trong bất cứ công trình nào. Tác giả Phạm Thị Ngọc Hường i
LỜI CẢM ƠN Sau khoảng thời gian học tập tại Trường ĐHSP Thái Nguyên, tôi đã hoàn thành luận văn cao học của mình. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến TS. Phạm Thị Thủy, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn cao học đã đã dành thời gian đọc và cho tôi những ý kiến quý báu để cuốn luận văn này được hoàn thiện. Tôi cũng xin tri ân các thầy cô trong khoa Toán Trường ĐHSP Thái Nguyên đã truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt thời gian tôi theo học cao học tại trường. Xin cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường ĐHSP Thái Nguyên, phòng SĐH đã hộ trợ tôi trong suốt khóa học. Do thời gian và khả năng của bản thân còn hạn chế nên luận văn của tôi không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019 Tác giả luận văn Phạm Thị Ngọc Hường ii
MỤC LỤC Trang Lời cam đoan .............................................................................................. i Lời cảm ơn ................................................................................................. ii Mục lục ..................................................................................................... iii Một số quy ước và kí hiệu ........................................................................ iv MỞ ĐẦU ....................................................................................................1 1. Lý do chọn đề tài ....................................................................................1 2. Mục đích của luận văn ............................................................................1 3. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................1 4. Bố cục của luận văn ................................................................................1 Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................3 1.1. Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm...........................................3 1.1.1. Không gian tuyến tính .................................................................3 1.1.2. Không gian metric .......................................................................4 1.1.3. Phương trình đạo hàm riêng ........................................................5 1.2. Không gian hàm ...............................................................................8 1.2.1. Đạo hàm suy rộng .......................................................................8 1.2.2. Không gian 𝐿𝑝 .............................................................................9 1.2.3. Không gian Sobolev ..................................................................10 1.3. Toán tử............................................................................................10 1.3.1. Toán tử ∆𝛾 .................................................................................10 1.3.2. Một số tính chất.........................................................................12 Chương 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN TRONG VIỆC TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC SUY BIẾN CHỨA TOÁN TỬ ∆𝜸 .......................................................................................................15 2.1. Bài toán ..............................................................................................15 2.1.1. Bài toán 1 ...................................................................................15 iii
2.1.2. Bài toán 2 ...................................................................................16 2.2. Sự tồn tại nghiệm ...............................................................................18 2.2.1. Sự tồn tại nghiệm của Bài toán 1 .................................................. 2.2.2. Sự tồn tại nghiệm của Bài toán 2 ..............................................26 KẾT LUẬN ..............................................................................................35 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................36 iv
MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU Trong toàn bộ luận văn, ta thống nhất một số kí hiệu như sau: ‖𝑥‖ chuẩn Euclid của phần tử x trong không gian ℝ𝑁 . 𝐶 𝑘 (Ω) không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k trong không gian Ω. 𝐻′ không gian đối ngẫu của không gian Banach H. 〈. , . 〉𝐻 tích vô hướng trong không gian H. ⇀ hội tụ yếu. ↪ phép nhúng liên tục. ↪↪ phép nhúng compact. Vol(Ω) độ đo Lebesgue của tập Ω trong không gian ℝ𝑁 . iv
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong những năm trở lại đây, bài toán biên luôn là chủ đề nghiên cứu được nhiều chuyên gia quan tâm bởi những ứng dụng rộng rãi của nó trong các ngành vật lý, hóa học và sinh học. Đặc biệt là việc nghiên cứu điều kiện tồn tại và không tồn tại nghiệm của bài toán biên có chứa phương trình elliptic suy biến là rất khó, phức tạp. Do vậy các kết quả đạt được chiếm vị trí quan trọng trong phát triển lý thuyết toán học. Việc giải tìm nghiệm của các bài toán này rất phức tạp. Bởi vậy người ta dùng nhiều phương pháp khác nhau để giải bài toán biên có chứa phương trình elliptic suy biến. Trong đó phương pháp biến phân: phương pháp điểm tới hạn của một phiến hàm có nhiều ưu điểm đã và đang được nghiên cứu bởi rất nhiều các nhà toán học trong và ngoài nước. Xuất phát từ những lý do trên, tôi đã lựa chọn vấn đề nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình elliptic suy biến làm nội dung nghiên cứu của luận văn với tên gọi: “Sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình elliptic suy biến chứa toán tử ∆𝜸 ”. 2. Mục đích của luận văn Mục đích của luận văn là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình elliptic suy biến chứa toán tử ∆γ . 3. Phương pháp nghiên cứu Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình elliptic suy biến, tôi sử dụng phương pháp biến phân: phương pháp điểm tới hạn của một phiếm hàm. 4. Bố cục của luận văn Nội dung của luận văn gồm có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. 1
Trong Chương này tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tích hàm, các không gian hàm, toán tử và một số kiến thức bổ trợ được sử dụng trong Chương 2. Chương 2: Trình bày về việc sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình elliptic suy biến chứa toán tử ∆γ của 2 bài toán. 2
Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tích hàm, các không gian hàm, toán tử và một số kiến thức bổ trợ được sử dụng trong Chương 2. Các kiến thức trong chương được trích dẫn từ các tài liệu [2],[3],[4]. 1.1. Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm 1.1.1. Không gian tuyến tính Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp 𝑋 ≠ ∅ cùng với một phép toán hai ngôi viết theo lối cộng (+) và một ánh xạ 𝜑: 𝐾 × 𝑋 → 𝑋. Với mỗi 𝛼 ∈ 𝐾 và mỗi 𝑥 ∈ 𝑋 thì phần tử 𝜑(𝛼, 𝑥) được gọi là tích của số 𝛼 với phần tử x và được kí hiệu là 𝛼𝑥. Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn: 1) 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋; 2) 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑦) + 𝑧, ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋; 3) Trong X tồn tại phần tử 𝜃 sao cho 𝑥 + 𝜃 = 𝜃 + 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝑋; 4) Với mỗi phần tử 𝑥 ∈ 𝑋, tồn tại phần tử đối (−𝑥) ∈ 𝑋 sao cho 𝑥 + (– 𝑥) = 𝜃; 5) 1. 𝑥 = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝑋; 6) 𝛼(𝛽𝑥) = (𝛼𝛽)𝑥, ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝐾, ∀𝑥 ∈ 𝑋; 7) (𝛼 + 𝛽)𝑥 = 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥, ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝐾, ∀𝑥 ∈ 𝑋; 8) 𝛼(𝑥 + 𝑦) = 𝛼𝑥 + 𝛼𝑦, ∀𝛼 ∈ 𝐾, ∀𝑥 ∈ 𝑋. Khi đó ta nói rằng X là một không gian tuyến tính trên trường K, K là trường số thực ℝ hoặc trường số phức ℂ và mỗi phần tử 𝑥 ∈ 𝑋 được gọi là một vectơ; còn các điều kiện trên được gọi là các tiên đề về không gian tuyến tính. Định nghĩa 1.1.2. Cho X là một không gian tuyến tính trên trường K. Các vectơ 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑋 gọi là độc lập tuyến tính nếu ∑𝑛𝑖=1 𝛼𝑖 𝑥𝑖 = 𝜃 kéo theo 𝛼𝑖 = 0, ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Các vectơ 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑋 gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu chúng không độc lập tuyến tính. 3
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường K. Một hệ vectơ trong X gọi là hệ sinh của X nếu mọi vectơ của X đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó. Nếu X có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì X được gọi là một không gian tuyến tính hữu hạn sinh. Một hệ vectơ trong X gọi là một cơ sở của X nếu mọi vectơ của X đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ đó. Định nghĩa 1.1.4. Giả sử X là không gian tuyến tính hữu hạn sinh. Khi đó X có cơ sở hữu hạn và số phần tử của các cơ sở trong X đều như nhau. Số đó được gọi là số chiều của không gian tuyến tính X. Nếu X là một không gian tuyến tính trên trường K có số chiều n ta viết 𝑑𝑖𝑚𝑋 = 𝑛 hoặc 𝑑𝑖𝑚𝐾 𝑋 = 𝑛 Định nghĩa 1.1.5. Một tập con khác rỗng M của không gian tuyến tính X gọi là một không gian con tuyến tính của X nếu nó ổn định với hai phép toán của X, nghĩa là thỏa mãn các điều kiện sau: 1) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀, 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑀; 2) ∀𝑥 ∈ 𝑀, ∀𝛼 ∈ 𝐾, 𝛼𝑥 ∈ 𝑀. Định nghĩa 1.1.6. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường K. Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính nếu thỏa mãn: 1) 𝐴(𝑥 + 𝑦) = 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦 với mọi 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋; 2) 𝐴(𝛼𝑥) = 𝛼𝐴𝑥 với mọi 𝑥 ∈ 𝑋, 𝛼 ∈ 𝐾. A cũng được gọi là toán tử tuyến tính. Khi đó, nếu A chỉ thỏa mãn 1) thì A được gọi là toán tử cộng tính; nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A được gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y = K thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến tính. 1.1.2. Không gian metric Cho X là một tập tùy ý, khác rỗng. Định nghĩa 1.1.7. Một metric trong X là một ánh xạ 𝜌: 𝑋 × 𝑋 → ℝ của tích 𝑋 × 𝑋 vào đường thẳng thực ℝ, thỏa mãn các điều kiện sau đây: 4
1) 𝜌(𝑥, 𝑦) ≥ 0, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋; 2) 𝜌(𝑥, 𝑦) = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑦; 3) 𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝜌(𝑦, 𝑥), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋; 4) 𝜌(𝑥, 𝑦) ≤ 𝜌(𝑥, 𝑧) + 𝜌(𝑧, 𝑦), ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋. Một không gian metric là một tập hợp khác rỗng cùng với một metric trong tập hợp ấy. Số 𝜌(𝑥, 𝑦) được gọi là khoảng cách giữa các điểm x và y. Định nghĩa 1.1.7. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử trong X. 1.1.3. Phương trình đạo hàm riêng 1.1.3.1. Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng Phương trình liên hệ giữa ẩn hàm 𝑢(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ), các biến số độc lập 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 và các đạo hàm riêng của nó được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng. Nó có dạng: 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑘 𝑢 𝐹 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑢, ,…, ,…, 𝑘 𝑘 ,…) = 0 (1.1) 𝜕𝑥1 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑥 1 , … , 𝜕𝑥𝑛 𝑛 1 Trong đó F là hàm số nhiều biến số, với kí hiệu 𝑢 = 𝑢(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ). Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của hàm u có mặt trong phương trình được gọi là cấp của phương trình. Ví dụ 1: Phương trình đạo hàm riêng cấp một của hàm hai biến 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) có dạng: 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑢, , ) = 0. 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Ví dụ 2: Phương trình đạo hàm riêng cấp hai của hàm hai biến 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) có dạng: 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕 2 𝑢 𝜕 2 𝑢 𝜕 2 𝑢 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑢, , , 2 , , ) = 0. 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦 2 Nghiệm của phương trình (1.1) là ẩn hàm 𝑢 = 𝑢(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) mà khi thay vào phương trình đó nó trở thành đồng nhất thức. 5
1.1.3.2. Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính. Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu như hàm F tuyến tính đối với ẩn hàm 𝑢 = 𝑢(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) và tất cả các đạo hàm riêng của ẩn hàm. Ví dụ 1. Khi 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) ta có phương trình: 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝑎(𝑥, 𝑦) + 2𝑏(𝑥, 𝑦) + 𝑐(𝑥, 𝑦) + 𝑑(𝑥, 𝑦) + 𝑒(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 +𝑓(𝑥, 𝑦)𝑢 = 𝑔(𝑥, 𝑦) (1.2) là phương trình tuyến tính cấp hai tổng quát đối với ẩn hàm 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) vì: Nếu ta đặt vế trái của phương trình (2.2) bằng hàm F thì trong phương trình này hàm F tuyến tính với ẩn hàm u và các đạo hàm riêng của ẩn hàm u. Ví dụ 2. Cho phương trình đạo hàm riêng cấp 3 của hàm 2 biến 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 2𝑥𝑦 2 − sin 𝑥 2 + 𝑦𝑢2 = 0 (1.3) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 Phương trình (1.3) không là phupwng trình đạo hàm riêng tuyến tính vì vế trái của phương trình là một hàm hai biến không tuyến tính đối với ẩn hàm 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦). 1.1.3.3. Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai trong trường hợp hai biến Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai trong trường hợp hai biến. 𝑎(𝑥, 𝑦)𝑢𝑥𝑥 + 2𝑏(𝑥, 𝑦)𝑢𝑥,𝑦 + 𝑐(𝑥, 𝑦)𝑢𝑦𝑦 + 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑢𝑥 , 𝑢𝑦 ) = 0 (1.4) Trong đó 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝑢𝑥𝑥 = 2 , 𝑢𝑥𝑦 = 2 . 𝜕𝑦 𝜕𝑦 Xét một điểm (𝑥0 , 𝑦0 ) cố định. Phương trình (1.4) tại điểm (𝑥0 , 𝑦0 ) được gọi là: 1. Phương trình thuộc loại elliptic (hay phương trình elliptic) nếu như tại điểm đó 𝑏 2 − 𝑎𝑐 < 0. 2. Phương trình thuộc loại hypebolic (hay phương trình hypebolic) nếu như tại điểm đó 𝑏 2 − 𝑎𝑐 > 0. 6
3. Phương trình thuộc loại parabolic (hay phương trình parabolic) nếu như tại điểm đó 𝑏 2 − 𝑎𝑐 = 0. Nếu như phương trình (1.4) thuộc một loại nào đó tại mọi điểm trong miền G thì ta nói rằng phương trình thuộc loại đó trong miền G. Người ta chứng minh được rằng qua phép biến đổi bất kì 𝜉 = 𝜉(𝑥, 𝑦), 𝜂 = 𝜂(𝑥, 𝑦), với 𝜉(𝑥, 𝑦), 𝜂(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐶 2 (𝐺) và 𝜉 𝜉𝑦 𝐷(𝜉, 𝜂) 𝐽 = |𝜂𝑥 𝜂𝑦 | = 𝜉 𝜂 𝑥 𝑦 − 𝜉 𝜂 𝑦 𝑥 = ≠ 0, (1.5) 𝑥 𝐷(𝑥, 𝑦) loại của phương trình sẽ không thay đ,uổi. Từ đó thông qua phép đổi biến (𝑥, 𝑦) → (𝜉, 𝜂), ta sẽ đưa phương trình được xét về phương trình có dạng chính tắc. Thật vậy, với phép đổi biến ở trên, ta có: 𝑢𝑥 = 𝑢𝜉 𝜂𝑥 + 𝑢𝜂 𝜂𝑥 ; 𝑢𝑦 = 𝑢𝜉 𝜂𝑦 + 𝑢𝜂 𝜂𝑦 ; 𝑢𝑥𝑥 = 𝑢𝜉𝜉 𝜉𝑥2 + 2𝑢𝜉𝜂 𝜉𝑥 + 𝑢𝜂𝜂 𝜂𝑥2 + 𝑢𝜉 𝜉𝑥𝑥 + 𝑢𝜂 𝜂; 𝑢𝑦𝑦 = 𝑢𝜉𝜉 𝜉𝑦2 + 2𝑢𝜉𝜂 𝜉𝑦 + 𝑢𝜂𝜂 𝜂𝑦2 + 𝑢𝜉 𝜉𝑦𝑦 + 𝑢𝜂 𝜂; 𝑢𝑦𝑦 = 𝑢𝜉𝜉 𝜉𝑥 𝜉𝑦 + 𝑢𝜉𝜂 (𝜉𝑥 𝜂𝑦 + 𝜉𝑦 𝜂𝑥 ) + 𝑢𝜂𝜂 𝜂𝑥 𝜂𝑦 + 𝑢𝜉 𝜉𝑥𝑦 + 𝑢𝜂 𝜂𝑥𝑦 ; Thay các đại lượng trên vào phương trình (1.4) ta được phương trình sau: 𝑎1 (𝜉, 𝜂)𝑢𝜉𝜉 + 2𝑏1 (𝜉, 𝜂)𝑢𝜉𝜂 + 𝑐1 (𝜉, 𝜂)𝑢𝜂𝜂 + 𝐹1 (𝜉, 𝜂, 𝑢, 𝑢𝜉 , 𝑢𝜂 ) = 0 với 𝑎1 = 𝑎𝜉 2 + 2𝑏𝜉𝑥 𝜉𝑦 + 𝑐𝜉𝑦2 ; 𝑏1 = 𝑏𝜉𝑥 𝜂𝑥 + 𝑏(𝜉𝑥 𝜂𝑦 + 𝜂𝑥 𝜉𝑦 ) + 𝑐𝜉𝑦 𝜂𝑦 ; 𝑐1 = 𝑎𝜂𝑥2 + 2𝑏𝜂𝑥 𝜂𝑦 + 𝑐𝜂𝑦2 ; 1.2. Các không gian hàm 1.2.1. Đạo hàm suy rộng ℝ𝑛 = {𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 : 𝑥𝑘 ∈ ℝ, 𝑘 = 1,2, … , 𝑛}, 𝛺 là một tập mở trong ℝ𝑛 . 7
Hàm số 𝑓∶Ω⟶ℝ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥). Nếu 𝑓(𝑥) là hàm liên tục trong ℝ𝑛 , 𝑓 ∈ ℂ(ℝ𝑛 ) thì ta kí hiệu 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ𝑛 : 𝑓(𝑥) ≠ 0}. Khi đó bao đóng của A được gọi là giá của hàm f và kí hiệu supp f. Nếu supp f compact thì hàm 𝑓(𝑥) được gọi là có giá compact. Đặt 𝐶0𝑘 (Ω) là không gian gồm các hàm khả vi liên tục đến cấp k và có giá compact. Cho tập mở Ω ⊂ ℝ𝑛 . Với phép cộng hàm số và phép nhân hàm số với một hằng số thì 𝐶0𝑘 (Ω) là một không gian tuyến tính, kí hiệu là 𝐷𝑘 (Ω). ∞ 𝐷(Ω) = ⋂ 𝐷𝑘 (Ω). 𝑘=1 𝐷(Ω) là không gian tuyến tính các hàm khả vi vô hạn, có giá compact trong Ω. Định nghĩa 1.2.1. Ta nói rằng f là một hàm suy rộng trong Ω nếu f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên 𝐷(Ω). Hàm suy rộng f tác động lên mỗi 𝜑 ∈ 𝐷(Ω) được kí hiệu là 〈𝑓, 𝜑〉. Hai hàm suy rộng f,g được gọi là bằng nhau nếu: 〈𝑓, 𝜑〉 = 〈𝑔, 𝜑〉, ∀𝜑 ∈ Ω. Tập hợp tất cả các hàm suy rộng trong Ω lập thành không gian 𝐷′ (Ω). Nếu Ω = ℝ𝑛 ta kí hiệu 𝐷′ = 𝐷′ (ℝ𝑛 ). Định nghĩa 1.2.2. Cho 𝑓 ∈ 𝐷′ (Ω), 𝛼 = (𝛼1 , … , 𝛼𝑛 ) ∈ ℤ𝑛+ . Đạo hàm suy rộng cấp 𝛼 của hàm f trong Ω, kí hiệu 𝐷𝛼 (𝑓), là một ánh xạ từ 𝐷(Ω) vào ℂ được xác định bởi: 𝐷𝛼 (𝑓): 𝜑 ⟼ (−1)|𝛼| 〈𝑓, 𝜑〉, với 𝜑 ∈ 𝐷(Ω). Nhận xét 8
1. Với mỗi 𝛼 ∈ ℤ𝑛+ , 𝑓 ∈ 𝐷(Ω), đạo hàm suy rộng cấp 𝛼 của hàm f trong Ω là một hàm suy rộng, nói cách khác, đạo hàm suy rộng 𝐷𝛼 𝑓 là phiếm hàm tuyến tính liên tục từ 𝐷(Ω) vào ℂ vì:  Với mỗi 𝜆, 𝜇 ∈ ℂ; 𝜑, 𝜓 ∈ 𝐷(Ω) ta có: 〈𝐷𝛼 𝑓, 𝜆𝜑 + 𝜇𝜓〉 = (−1)|𝛼| 〈𝑓, 𝐷𝛼 (𝜆𝜑 + 𝜇𝜓)〉 = (−1)|𝛼| (𝜆〈𝑓, 𝐷𝛼 𝜑〉 + 𝜇〈𝑓, 𝐷𝛼 𝜓〉) = (−1)|𝛼| (𝜆〈𝐷𝛼 𝑓, 𝜑〉 + 𝜇〈𝐷𝛼 𝑓, 𝜓〉).  Với 𝜑𝑘 ∈ 𝐷(Ω), 𝑘 = 1,2, … , 𝐷 lim 𝜑𝑘 = 0 thì: 𝑘→∞ 𝐷 lim 𝐷𝛼 𝜑𝑘 = 0, 𝛼 ∈ ℤ𝑛+ , 𝑘→∞ nên lim 〈𝐷𝛼 𝑓, 𝜑𝑘 〉 = lim 〈𝑓, 𝐷𝛼 𝜑𝑘 〉 = 0. 𝑘→∞ 𝑘→∞ 2. Mọi hàm suy rộng 𝐷′ (Ω) đều có đạo hàm. 3. Phép toán đạo hàm không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm 𝐷𝛼+𝛽 (𝑓) = 𝐷𝛼 (𝐷𝛽 𝑓) = 𝐷𝛽 (𝐷𝛼 𝑓). 1.2.2. Không gian 𝑳𝒑 Đinh nghĩa 1.2.3. 𝐿𝑝 (Ω), 1 ≤ 𝑝 < ∞ , là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm khả tích Lebesgue bậc 𝑝 trên Ω với chuẩn được định nghĩa như sau: 1 𝑝 ‖𝑢‖𝐿𝑝(Ω) ≔ (∫ |𝑢|𝑝 𝑑𝑥) . Ω Chú ý rằng 𝐿𝑝 (Ω) là không gian Banach phản xạ khi 1 < 𝑝 < +∞. Định nghĩa 1.2.4. 𝐿∞ (Ω) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo được và bị chặn hầu khắp trên Ω với chuẩn: ‖𝑢‖𝐿𝑝(Ω) ≔ 𝑒𝑠𝑠 𝑠𝑢𝑝|𝑢(𝑥)|. 𝑥∈𝛺 1.2.3. Không gian Sobolev Định nghĩa 1.2.5. 𝑊𝑝𝑚 (Ω), 1 ≤ 𝑝 < ∞ là không gian bao gồm tất cả các hàm 𝑢(𝑥) ∈\𝐿𝑝 (Ω), sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp 𝛼, |𝛼| ≤ 𝑚 thuộc 𝐿𝑝 (Ω) và được trang bị chuẩn 9
1 𝑝 ‖𝑢‖𝑊𝑝𝑚 (Ω) ≔ ( ∑ ∫ |𝐷𝛼 𝑢(𝑥)|𝑝 𝑑𝑥 ) . |𝛼|≤𝑚 Ω Ta kiểm tra được 𝑊𝑝𝑚 (Ω) là một không gian Banach với 1 ≤ 𝑝 < ∞ và là không gian Hilbert với 𝑝 = 2. Không gian 𝑊𝑝𝑚 (Ω) với chuẩn trên được gọi là không gian Sobolev. 1.3. Toán tử 1.3.1. Toán tử ∆𝜸 Giả sử Ω là một miền bị chặn có biên trơn trong không gian ℝ𝑁 , 𝑁 ≥ 2. Khi đó, ta định nghĩa toán tử: 𝑁 𝜕 ∆𝛾 ≔ ∑ 𝜕𝑥𝑗 (𝛾𝑗2 𝜕𝑥𝑗 ), 𝜕𝑥𝑗 = 𝜕𝑥𝑗 𝑗=1 trong đó hàm 𝛾𝑗 : ℝ𝑁 → ℝ là các hàm liên tục và thỏa mãn 𝛾𝑗 > 0, j=1,2,…,N trong ℝ𝑁 \∏, với 𝑁 ∏ =: {𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑁 ) ∈ 𝑅𝑁 : ∏ 𝑥𝑗 = 0}. 𝑗=1 Hơn nữa, chúng ta giả sử 𝛾𝑗 (𝑋) thỏa mãn các tính chất: 1) 𝛾1 (𝑋) ≡ 1, 𝛾𝑗 (𝑋) = 𝛾𝑗 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑁 ), 𝑗 = 1,2, … , 𝑁; 2) Với mỗi 𝑋 ∈ ℝ𝑁 ta có 𝛾𝑗 (𝑋) = 𝛾𝑗 (𝑋 ∗ ), 𝑗 = 1,2, … , 𝑁, trong đó 𝑋 ∗ = (|𝑥1 |, … , |𝑥𝑛 |) nếu 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑁 ); 3) Tồn tại hằng số 𝜌 ≥ 0 sao cho: 0 ≤ 𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑘 𝛾𝑗 (𝑋) ≤ 𝜌𝛾𝑗 (𝑋), ∀𝑘 ∈ {1,2, … , 𝑗 − 1}, ∀𝑗 = 2, … , 𝑁, với mỗi 𝑋 ∈ ℝ𝑁 𝑁 + ≔ {(𝑥1 , … , 𝑥𝑁 ) ∈ ℝ : 𝑥𝑗 ≥ 0, ∀𝑗 = 1,2, … , 𝑁}; 4) Tồn tại nửa nhóm {𝛿𝑡 }𝑡>0 thỏa mãn: 𝛿𝑡 ∶ ℝ𝑁 ⟶ ℝ (𝑥1 , … , 𝑥𝑁 ) ⟼ 𝛿𝑡 (𝑥1 , … , 𝑥𝑁 ) = (𝑡 𝜀1 𝑥1 , … , 𝑡 𝜀𝑁 𝑥𝑁 ) với 1 = 𝜀1 ≤ 𝜀2 ≤ ⋯ ≤ 𝜀𝑁 , sao cho 𝛾𝑗 là 𝛿𝑡 - thuần nhất bậc 𝜀𝑗 − 1, tức là 10
𝛾𝑗 (𝛿𝑡 (𝑋)) = 𝑡 𝜀𝑗−1 𝛾𝑗 (𝑋), ∀𝑋 ∈ ℝ𝑁 , ∀𝑡 > 0, 𝑗 = 1, … , 𝑁. ̃ là số chiều thuần nhất của ℝ𝑁 cùng với nửa nhóm {𝛿𝑡 }𝑡>0 , Ta định nghĩa 𝑁 tức là ̃ ≔ 𝜀1 + 𝜀2 + ⋯ + 𝜀𝑁 . 𝑁 Ví dụ 1.3.1: Giả sử k là một số thực không âm. Khi đó toán tử ∆𝛾 ≔ ∆𝑥 + |𝑥|2𝑘 ∆𝑦 , trong đó 𝛾 = (1,1, |𝑥|𝑘 , … , |𝑥|𝑘 ) , 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑁1 ) ∈ ℝ𝑁1 , ⏟ … ,1 , ⏟ 𝑁1 −𝑠ố 𝑁2 −𝑠ố 𝑦 = (𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑁2 ) ∈ ℝ𝑁2 , 𝑁1 , 𝑁2 ∈ ℕ, được gọi là toán tử Grushin. 𝑝 Định nghĩa 1.3.1. Không gian 𝑆𝛾 (Ω) (1 ≤ 𝑝 ≤ +∞) gồm tất cả các hàm 𝑢 ∈ 𝐿𝑝 (𝛺) mà 𝛾𝑗 𝜕𝑥𝑗 𝑢 ∈ 𝐿𝑝 (Ω) với mọi 𝑗 = 1,2, … , 𝑁.Ta định nghĩa chuẩn trong không gian này như sau 1/𝑝 𝑁 𝑝 ‖𝑢‖𝑆 𝑝(Ω) = {∫(|𝑢|𝑝 + ∑ |𝛾𝑗 𝜕𝑥𝑗 𝑢| )𝑑𝑥 } . 𝛾 Ω 𝑗=1 Nếu p = 2, ta có thể định nghĩa tích vô hướng trong không gian 𝑆𝛾2 (Ω) với 𝑁 (𝑢, 𝑣)𝑆𝛾2(Ω) = (𝑢, 𝑣)𝐿2 (Ω) + ∑(𝛾𝑗 𝜕𝑥𝑗 𝑢, 𝛾𝑗 𝜕𝑥𝑗 𝑣)𝐿2 (Ω) . 𝑗=1 𝑝 𝑝 Không gian 𝑆𝛾,0 (Ω) là không gian đóng của 𝐶01 (Ω) trong không gian 𝑆𝛾 (Ω). Đặt 1 𝑁 2 2 ∇𝛾 𝑢 ≔ (𝛾1 𝜕𝑥1 𝑢, 𝛾2 𝜕𝑥2 𝑢, … , 𝛾𝑁 𝜕𝑥𝑁 𝑢), |∇𝛾 𝑢| ≔ (∑ |𝛾𝑗 𝜕𝑥𝑗 𝑢| ) . 𝑗=1 1.3.2. Một số tính chất 11
̃ > 2. Khi đó phép nhúng Mệnh đề 1.3.2. Giả sử 𝑁 2 (Ω) ∗ 2𝑁̃ 𝑆𝛾,0 ↪ 𝐿2𝛾 (Ω), trong đó 2∗𝛾 = ̃ −2 ’ 𝑁 2 (Ω) ∗ là liên tục. Hơn nữa, phép nhúng 𝑆𝛾,0 ↪ 𝐿2𝛾 (Ω) là compact với mỗi q ∈ [1,2∗𝛾 ). Mệnh đề 1.3.3. Giả sử 𝑁𝑘 > 2, k là một số thực không âm. Khi đó ta có 2𝑁𝑘 𝑆𝑘2 (ℝ𝑁 ) ↪ 𝐿𝑝 (ℝ𝑁 ), trong đó 2 ≤ 𝑝 ≤ 2∗𝛾 = . 𝑁𝑘 −2 ̃ > 2 và Ω chứa gốc tọa độ, khi đó định lí nhúng Chú ý: Nếu 𝑁 ̃ 2𝑁 2 (Ω) 𝑆𝛾,0 ↪ 𝐿𝑁̃−2+𝜏 (Ω) là không đúng với mỗi 𝜏 là số dương. Thật vậy, ta đặt 2𝑁̃ ̃ −2 + 𝜏 = 𝑝(𝜏). 𝑁 Lấy 𝜙(𝑋) ∈ 𝐶o∞ (Ω) và 𝜙(𝑋) ≠ 0. Giả sử Θ là một số đủ lớn thỏa mãn 𝜙𝜃 (𝑋) = 𝜙(𝜃 𝜀1 𝑥1 , 𝜃 𝜀2 𝑥2 , … , 𝜃 𝜀𝑁 𝑥𝑁 ) ≔ 𝜙(𝑋𝜃 ) ∈ 𝐶o∞ (Ω) với mọi 𝜃 ≥ Θ. Xét hai số ‖𝜙𝜃 ‖ 𝑝(𝜏) ‖𝜙‖ 𝑝(𝜏) 𝐿 (Ω) 𝐿 (Ω) 𝐴𝜃 = |‖𝜙 và 𝐴 ≔ 𝐴1 = . 𝜃 ‖|𝑆2 (Ω) |‖𝜙‖|𝑆2 (Ω) 𝛾,0 𝛾,0 Ta có ∫( 𝜙𝜃 (𝑋))𝑝(𝜏) 𝑑𝑋 Ω = ∫ (𝜙𝜃 (𝜃 𝜀1 𝑥1 , 𝜃 𝜀2 𝑥2 , … , 𝜃 𝜀𝑁 𝑥𝑁 ))𝑝(𝜏) 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 … 𝑑𝑥𝑁 Ω 1 = ∫ (𝜙𝜃 (𝜃 𝜀1 𝑥1 , 𝜃 𝜀2 𝑥2 , … , 𝜃 𝜀𝑁 𝑥𝑁 ))𝑝(𝜏) 𝑑𝜃 𝜀1 𝑥1 𝑑𝜃 𝜀2 𝑥2 … 𝑑𝜃 𝜀𝑁 𝑥𝑁 𝜃𝑁̃ Ω = 𝜃 −𝑁̃ ∫ (𝜙(𝑋𝜃 ))𝑝(𝜏) 𝑑𝑋𝜃 , Ω do đó ̃ 𝑁 − ‖𝜙𝜃 ‖𝐿𝑝(𝜏)(Ω) = 𝜃 𝑝(𝜏) ‖𝜙‖𝐿𝑝(𝜏)(Ω) . (1.6) Mặt khác ta có 12