Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tập hút toàn cục của bài toán Parabolic suy biến nửa tuyến tính trong miền bị chặn với số hạng phi tuyến tăng trưởng kiểu đa thức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52

Thêm vào BST

Báo xấu

36
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu sự tồn tại, một số tính chất của tập hút toàn cục (Bao gồm tính trơn, sự phục thuộc liên tục theo tham biến, đánh giá số chiều fractal,...) của bài toán Parabolic suy biến nửa tuyến tính trong miền bị chặn với số hạng phi tuyến tăng trưởng kiểu đa thức. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tập hút toàn cục của bài toán Parabolic suy biến nửa tuyến tính trong miền bị chặn với số hạng phi tuyến tăng trưởng kiểu đa thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— NGUYỄN THU HẰNG TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA BÀI TOÁN PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRONG MIỀN BỊ CHẶN VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG KIỂU ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— NGUYỄN THU HẰNG TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA BÀI TOÁN PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRONG MIỀN BỊ CHẶN VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG KIỂU ĐA THỨC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. PHẠM THỊ THỦY Thái Nguyên - Năm 2017
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Luận văn không trùng lặp với các luận văn khác. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Người viết Luận văn Nguyễn Thu Hằng Xác nhận Xác nhận của Trưởng (phó) khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học TS. Phạm Thị Thủy i
Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Phạm Thị Thủy. Nhân dịp này em xin cảm ơn Cô về sự hướng dẫn nhiệt tình và sự truyền thụ những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Rất mong được sự góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Người viết luận văn Nguyễn Thu Hằng ii
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Một số tính chất của tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Tập hút toàn cục đối với một lớp phương trình Parabolic suy biến trong miền bị chặn 19 2.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong L2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 Sự phụ thuộc nửa liên tục trên của tập hút toàn cục vào số hạng phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5 Tính trơn của tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5.1 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong L2p−2 (Ω) . . . . . . . 31 iii
2.5.2 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong D02 (Ω, σ) . . . . . . . 38 2.6 Đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục . . . . . . . . . 40 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 iv
Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Sự tồn tại tập hút toàn cục đối với phương trình và hệ phương trình parabolic nửa tuyến tính không suy biến đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả, trong cả miền bị chặn và không bị chặn. Tính liên tục của tập hút toàn cục đối với bài toán parabolic được nghiên cứu trong các công trình lớn. Cho đến nay, các kết quả về lí thuyết tập hút đối với lớp phương trình parabolic không suy biến rất phong phú và đã khá hoàn thiện. Tuy nhiên các kết quả tương ứng trong từng trường hợp phương trình suy biến vẫn còn ít và còn nhiều vấn đề mở. Việc nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút đối với những lớp phương trình parabolic suy biến là những vấn đề thời sự, có ý nghĩa khoa học và hứa hẹn nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế. Do đó chúng tôi lựa chọn những vấn đề trên làm nội dung nghiên cứu của luận văn với tên gọi là “ Tập hút toàn cục của bài toán parabolic suy biến nửa tuyến tính trong miền bị chặn với số hạng phi tuyến tăng trưởng kiểu đa thức.” 2. Mục đích của đề tài 1
Tìm hiểu và nghiên cứu sự tồn tại, một số tính chất của tập hút toàn cục (bao gồm tính trơn, sự phụ thuộc liên tục theo tham biến, đánh giá số chiều fractal, . . . ) của bài toán parabolic suy biến nửa tuyến tính trong miền bị chặn với số hạng phi tuyến tăng trưởng kiểu đa thức. 3. Phương pháp nghiên cứu Để chứng minh sự tồn tại tập hút và tính trơn của tập hút, chúng tôi sử dụng các phương pháp của lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều, nói riêng là phương pháp đánh giá tiên nghiệm tiệm cận và phương pháp đánh giá phần đuôi nghiệm. Để đánh giá số chiều của tập hút toàn cục, chúng tôi sử dụng phương pháp của Ladyzhenskaya. 4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn gồm 46 trang trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tham khảo. Chương 1: Trình bày các khái niệm và kết quả tổng quát về tập hút toàn cục các kết quả về không gian hàm và toán tử được sử dụng trong chương 2. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. Trình bày các kết quả về sự tồn tại tập hút toàn cục trong L2 (Ω), L2p−2 (Ω), D02 (Ω, σ) và đánh giá số chiều của tập hút toàn cục. 2
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta sẽ nhắc lại một số kiến thức về không gian hàm, kết quả tổng quát về tập hút toàn cục và một số khái niệm xét tính chất của tập hút toàn cục. Các nội dung trong chương được trích dẫn từ các tài liệu tham khảo [1], [5], [6], [8], [9], [10]. 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1. (Không gian metric) Cho X là một tập khác rỗng, trên X ta trang bị một hàm số ρ:X ×X →R (x, y) → ρ(x, y) thỏa mãn các điều kiện sau a) ρ(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X; ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y; b) ρ(x, y) = ρ(y, x) ∀x, y ∈ X; c) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) ∀x, y, z ∈ X. 3
Khi đó ρ được gọi là một metric hay khoảng cách trên X . Cặp (X, ρ) gọi là không gian metric. Mỗi phần tử của X sẽ được gọi là một điểm, ρ(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai điểm x và y của X . Ta thường gọi điều kiện (a) là tiên đề đồng nhất, điều kiện (b) là tiên đề đối xứng, điều kiện (c) là tiên đề tam giác. Định nghĩa 1.1.2. (Không gian metric đầy đủ) Giả sử (X, ρ) là một không gian metric. Dãy {xn } các phần tử của X được gọi là một dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu lim ρ(xm , xn ) = 0. m,n→∞ Nghĩa là, với mọi ε > 0 , tồn tại một số n0 ∈ N∗ , sao cho với mọi n ≥ n0 ta luôn có ρ(xm , xn ) < ε. Không gian metric X gọi là không gian metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy các phần tử của X đều hội tụ. Định nghĩa 1.1.3. Một tập hợp E gọi là không gian tuyến tính định chuẩn trên trường K (K là trường số thực hoặc phức) nếu: a) E là không gian tuyến tính trên trường K; b) Mỗi phần tử u ∈ E đặt tương ứng được với một số thực gọi là chuẩn của u và kí hiệu là kuk thỏa mãn các tiên đề: kuk ≥ 0, kuk = 0 ⇔ u = 0; ku + vk ≤ ku + vk ≤ kuk + kvk ; 4
kλuk = kλk kuk , λ ∈ K. Một không gian như vậy sẽ trở thành một không gian metric nếu đưa vào khoảng cách giữa hai phần tử u và v : ρ(u, v) = ku − vk . Sự hội tụ của dãy {uj }∞ j=1 các phần tử của E tới phần tử u ∈ E được xác định như sau: kuj − uk → 0 khi j → ∞, kí hiệu uj → u. Định nghĩa 1.1.4. Một tập E 0 được gọi là trù mật khắp nơi trong E nếu với một phần tử bất kì u ∈ E tồn tại một dãy {uj }∞ 0 j=1 ∈ E , sao cho uj → u. Nếu trong E tồn tại một tập hợp đếm được trù mật khắp nơi thì không gian E được gọi là khả vi. Định nghĩa 1.1.5. Nếu đối với mỗi dãy bất kì {uj } thuộc không gian E , sao cho kup − uq k → 0 khi p, q → ∞, đều hội tụ trong E thì E được gọi là không gian đầy. Định nghĩa 1.1.6. Không gian tuyến tính định chuẩn đầy được gọi là không gian Banach. Định nghĩa 1.1.7. (Không gian đối ngẫu) Cho X là một không gian định chuẩn. Không gian liên hợp ( hay còn gọi là không gian đối ngẫu) của X, ký hiệu X ∗ là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X. Định nghĩa 1.1.8. (Không gian Hilbert) Cho không gian vectơ trên trường số K(K = R hoặc K = C). Một ánh xạ từ X × X vào K . (x, y) → hy, xi được gọi là tích vô hướng trên X nếu nó thỏa 5
mãn các điều kiện sau: a) hx, xi ≥ 0 ∀x ∈ X , hx, xi = 0 ⇔ x = θ; b) hy, xi = hx, yi (hy, xi = hx, yi nếu K = R) , ∀x, y ∈ X; c) hx + x0 , yi = hx, yi + hx0 , yi ∀x, x0 , y ∈ X; d) hλx, yi = λ hx, yi ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ K. p Nếu h., .i là một tích vô hướng trên X thì ánh xạ x → hx, xi là một chuẩn trên X gọi là chuẩn sinh bởi của tích vô hướng. Nếu h., .i là tích vô hướng trên X thì cặp (X, h., .i) gọi là một không gian tiền Hilbert (hay không gian Unita, không gian với tích vô hướng). Sự hội tụ, khái niệm tập mở,. . . , trong (X, h., .i) luôn được gắn với chuẩn sinh bởi h., .i. Nếu không gian định chuẩn tương ứng đầy đủ thì ta nói (X, h., .i) là không gian Hilbert. Vì một không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn, nên một khái niệm và sự kiện về không gian định chuẩn đều áp dụng cho nó. Nói riêng một không gian tiền Hilbert có thể đủ hay không đủ. Một không gian tiền Hilbert đủ gọi là một không gian Hilbert. Định nghĩa 1.1.9. Lp (Ω) với 1 ≤ p < ∞ là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm khả tích Lebesgue bậc p trên Ω với chuẩn được định nghĩa như sau:  1/p Z p kukLp (Ω) :=  |u| dx . Ω p Chú ý rằng L (Ω) là không gian Banach phản xạ khi 1 < p < +∞. 6
Định nghĩa 1.1.10. L∞ (Ω) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo được và bị chặn hầu khắp trên Ω với chuẩn kukL∞ (Ω) := ess sup |u (x)| . x∈Ω Định nghĩa 1.1.11. C ∞ (Ω) là không gian các hàm khả vi liên tục vô hạn trên miền Ω. Được xác định bằng ∩k∈N C k (Ω). C0∞ (Ω) là không gian các hàm khả vi liên tục cấp vô hạn trên miền Ω với giá compact. C0∞ (Ω) = u (x) ∈ C ∞ (Ω) , u (x) = 0 trong lân cận của biên ∂Ω . Định nghĩa 1.1.12. (Đạo hàm suy rộng) Ω ⊂ Rn hàm v(x) ∈ L1,loc (Ω) gọi là đạo hàm suy rộng cấp α của hàm u(x). Nếu với ψ(x) ∈ C0∞ (Ω), u(x) ∈ L1,loc (Ω). Z Z α |α| Nếu u(x)D ψ(x)dx = (−1) v(x)ψ(x)dx. Ω Ω Z+∞ Z+∞ α = 1; x ∈ R: u(x)ψ 0 (x)dx = (−1) v(x)ψ(x)dx. v = u0 −∞ −∞ Z+∞ Z+∞ ∂ψ α = 1; x ∈ Rn : u(x) dx = (−1) v(x)ψ (n) (x)dx. ∂λi −∞ Ω Z+∞ Z+∞ α = n; x ∈ R: u(x)ψ (n) (x)dx = (−1) v(x)ψ(x)dx. −∞ Ω v(x) = un (X). Định nghĩa 1.1.13. (Không gian Sobolev ) Wpm (Ω), 1 ≤ p < ∞ là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x) ∈ Lp (Ω), sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp α, |α| ≤ m thuộc Lp (Ω) và được 7
trang bị chuẩn X Z kukWpm (Ω) = ( |Dα u(x)|p dx)1/p . (1.1) |α|≤m Ω Ta kiểm tra được Wpm (Ω) là một không gian Banach với 1 ≤ p < ∞ và là không gian Hilbert với p = 2. Không gian Wpm (Ω) với chuẩn (1.1) được gọi là không gian Sobolev. Định nghĩa 1.1.14. Giả sử σ : Ω → R là hàm đo được Lebesgue, không âm và thỏa mãn các điều kiện sau: Khi miền Ω bị chặn (Hα ) σ ∈ L1loc (Ω) và với α ∈ (0, 2) , lim inf |x − z|−α σ (x) > 0 với mọi z ∈ Ω. x→z Khi miền Ω không bị chặn Hα,β σ thỏa mãn điều kiện (Hα ), lim inf |x|−β σ (x) > 0 với β > 2. ∞ |x|→∞ 1 Khi đó ta định nghĩa không gian D0 (Ω, σ) là bổ sung đủ của không gian C0∞ (Ω) đối với chuẩn   21 Z kukD01 (Ω,σ) :=  σ (x) |∇u|2 dx . Ω D01 (Ω, σ) là không gian Hilbert với tích vô hướng Z (u, v) := σ (x)∇u∇vdx. Ω Kí hiệu D−1 (Ω, σ) là không gian đối ngẫu của D01 (Ω, σ). 8
Giả sử N ≥ 2, α ∈ (0, 2) và   4  ∈ (2, ∞) nếu N = 2,   2∗α = α  2N 2N   ∈ 2, nếu N ≥ 3. N −2+α N −2  Số mũ 2∗α là số mũ tới hạn trong phép nhúng Sobolev liên quan không gian D01 (Ω, σ). Bổ đề 1.1.15. Giả sử rằng Ω là miền bị chặn trên RN , N ≥ 2, và σ thỏa mãn điều kiện (Hα ). Khi đó: ∗ a) Phép nhúng D01 (Ω, σ) ,→ L2α (Ω) là liên tục; b) Phép nhúng D01 (Ω, σ) ,→ Lp (Ω) là compact nếu p ∈ [1, 2∗α ). Bổ đề 1.1.16. Giả sử rằng Ω là miền không bị chặn trên RN , N ≥ 2, và σ thỏa mãn điều kiện (Hα∞ ). Khi đó: h i ∗ ∗ a) Phép nhúng D01 (Ω, σ) p ,→ L (Ω) là liên tục với mọi p ∈ 2β , 2α ; 1 p ∗ ∗ b) Phép nhúng D0 (Ω, σ) ,→ L (Ω) là compact nếu p ∈ 2α , 2β . Định nghĩa 1.1.17. Ta định nghĩa không gian Sobolev có trọng D02 (Ω, σ) là bao đóng của không gian C0∞ (Ω) với chuẩn   21 Z kukD02 (Ω,σ) :=  div|σ (x) ∇u|2 dx . Ω Đó là một không gian Hilbert với tích vô hướng tương ứng là Z (u, v)D02 := div (σ (x) ∇u)div (σ (x) ∇v) dx. Ω 9
Mệnh đề 1.1.18. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong RN (N ≥ 2), và σ thỏa mãn (Hα ). Khi đó phép nhúng D02 (Ω, σ) ,→ D01 (Ω, σ) là liên tục. Mệnh đề 1.1.19. C ([a, b] ; X) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm u : [a, b] → X liên tục từ [a, b] vào X với chuẩn kukC([a,b];X) = sup ku (t)kX . t∈[0,T ] Mệnh đề 1.1.20. Lp (a, b; X) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm u : (a, b) → X sao cho  b 1/p Z kukLp (a,b;X) :=  ku (t)kpX dt < +∞. a 1.2 Một số tính chất của tập hút toàn cục Giả sử X là một không gian Banach, ta có các định nghĩa sau: Định nghĩa 1.2.1. Một nửa nhóm (liên tục) trên X là một họ các ánh xạ S (t) : X → X, t ≥ 0, thỏa mãn: a) S (0) = I , I là phép đồng nhất; b) S (t) S (s) = S (s) S (t) = S (t + s); c) S (t) u0 liên tục đối với (t, u0 ) ∈ [0; +∞) × X . Định nghĩa 1.2.2. Tập Y ⊂ X được gọi là bất biến dương nếu S (t) Y ⊂ Y, ∀t ≥ 0. Tập Y ⊂ X được gọi là bất biến âm nếu S (t) Y ⊃ Y, ∀t ≥ 0. 10
Định nghĩa 1.2.3. Nửa nhóm S (t) gọi là tiêu hao điểm ( tiêu hao bị chặn) nếu tồn tại một tập bị chặn B0 ⊂ X hút các điểm ( hút các tập bị chặn) của X. Nếu S (t) là tiêu hao bị chặn thì tồn tại một tập B0 ⊂ X sao cho với mọi tập bị chặn B ⊂ X , tồn tại T = T (B) ≥ 0 sao cho S (t) B ⊂ B0 , ∀t ≥ T . Tập B0 như vậy gọi là một tập hấp thụ đối với nửa nhóm S (t). Định nghĩa 1.2.4. Giả sử X là một không gian Banach. Nửa nhóm S (t) gọi là compact tiệm cận nếu với mọi t > 0, S (t) có thể biểu diễn dưới dạng S (t) = S (1) (t) + S (2) (t) (1.2) ở đó S (1) (t) và S (2) (t) thỏa mãn các tính chất sau: a) Với bất kỳ tập bị chặn B ⊂ X (1) rB (t) = sup S (t) y x → 0 khi t < +∞. y∈B b) Với bất kỳ tập bị chặn B trong X tồn tại t0 sao cho tập hợp " # h i [ γ (2) (t0 ) B = S (2) (t) B (1.3) t≥t0 là compact trong X , ở đây [γ] là bao đóng của tập γ . Một hệ động lực gọi là compact nếu nó là compact tiệm cận và ta có thể lấy S (1) (t) ≡ 0 trong biểu diễn (1.2). Rõ ràng rằng bất kì hệ động lực tiêu hao hữu hạn nào cũng là compact. Dễ dàng thấy rằng điều kiện (1.3) được thỏa mãn nếu tồn tại một tập compact K trong X sao cho với bất kỳ tập bị chặn B ⊂ X , tồn tại t0 (B) sao 11
cho S (2) (t) B ⊂ K, ∀t ≥ t0 (B). Nói riêng, một hệ tiêu hao là compact nếu nó có một tập hấp thụ compact. Bổ đề 1.2.5. Nửa nhóm S (t) là compact tiệm cận nếu tồn tại một tập compact K sao cho lim dist (S (t) B, K) = 0, t→+∞ với mọi tập B bị chặn trong X . Chứng minh. Vì K là tập compact nên với mọi t > 0 và u ∈ X , tồn tại phần tử v := S (2) (t) u ∈ K sao cho (2) dist (S (t) u, K) = S (t) u − S (t) u . Do đó nếu đặt S (1) (t) u = S (t) u − S (2) (t) u, dễ thấy (1.2) thỏa mãn các điều kiện trong định nghĩa của tính compact tiệm cận. Chú ý. Nếu X là một không gian Banach lồi đều và nửa nhóm S (t) có một tập hấp thụ bị chặn B , thì ba điều kiện sau là tương đương: a) Nửa nhóm S (t) là compact tiệm cận; b) Nửa nhóm S (t) thuộc lớp AK , tức là với mọi dãy bị chặn {xk } trong X và mọi dãy tk → ∞, {S (tk ) xk }∞ k=1 là compact tương đối trong X ; c) Tồn tại một tập compact K ⊂ X sao cho dist (S (t) B, K) → 0 khi t → ∞. Định nghĩa 1.2.6. Một tập con khác rỗng A của X được gọi là một tập hút toàn cục đối với nửa nhóm S (t) nếu: 12
a) A là một tập đóng và bị chặn; b) A là bất biến, tức là S (t) A = A với mọi t > 0; c) A hút mọi tập con bị chặn B của X , tức là lim dist (S (t) B, A) = 0, t→∞ ở đó dist (E, F ) = sup inf d (a, b) là nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập a∈E b∈F con E và F của X . Mệnh đề 1.2.7. Giả sử S (t) có tập hút toàn cục A. Khi đó: a) Nếu B là một tập con bị chặn bất biến của X thì B ⊂ A ( tính cực đại); b) Nếu B là một tập con đóng hút các tập bị chặn của X thì A ⊂ B ( tính cực tiểu); c) A là duy nhất. Định lý 1.2.8. Giả sử nửa nhóm S (t) có tập hút toàn cục A. Khi đó mọi quĩ đạo đầy đủ bị chặn (nói riêng là các điểm dừng và các quĩ đạo tuần hoàn, ((nếu có) đều nằm trên A. Hơn nữa, nếu S (t) là đơn ánh trên A thì A là hợp của tất cả các quĩ đạo đầy đủ bị chặn. Định lý 1.2.9. Giả sử hệ động lực (X, S (t)) có tập hút toàn cục A. Cho trước một quĩ đạo u (t) = S (t) u0 , một sai số e > 0 và một khoảng thời gian T > 0. Khi đó tồn tại một thời điểm τ = τ (e, T ) và một điểm v0 ∈ A sao cho ku (τ + t) − S (t) v0 k ≤ e với mọi 0 ≤ t ≤ T. Để xấp xỉ quĩ đạo đã chọn u (t) trong một khoảng thời gian dài hơn, ta phải dùng nhiều quĩ đạo trên tập hút toàn cục A. 13
Hệ quả 1.2.10. Cho trước một quĩ đạo u (t), tồn tại một dãy các sai số {en }∞ n=1 với en → 0, một dãy tăng các thời điểm {tn }∞ n=1 với tn+1 − tn → ∞ khi n → ∞ và một dãy các điểm {vn }∞ n=1 với vn ∈ A sao cho ku (t) − S (t − tn ) vn k ≤ en với mọi tn ≤ t ≤ tn+1 . Hơn nữa, bước nhảy kvn+1 − S (tn+1 − tn ) vn k dần tới 0 khi n → ∞. Định lý 1.2.11. Giả sử S (t) là nửa nhóm liên tục trên không gian Banach X , S (t) tiêu hao và compact tiệm cận. Nếu B là một tập hấp thụ bị chặn của S (t) thì A = ω (B) là một tập compact khác rỗng và là tập hút toàn cục đối với S (t). Hơn nữa, tập hút toàn cục A là liên thông trong X . Hệ quả 1.2.12. Nếu nửa nhóm S (t) là tiêu hao và B là một tập hấp thụ compact thì S (t) có một tập hút toàn cục compact liên thông A = ω (B). Mệnh đề 1.2.13. Giả sử {S (t)}t≥0 là một nửa nhóm trên Lr (Ω) và Lr (Ω) có một tập hấp thụ bị chặn trong Lr (Ω). Khi đó với bất kỳ e > 0 và bất kỳ tập con bị chặn B ⊂ Lr (Ω), tồn tại hai hằng số dương T = T (B) và M = M (e) sao cho mes (Ω (|S (t) u0 | ≥ M )) ≤ e, với mọi u0 ∈ B và t ≥ T , trong đó mes (e) là độ đo Lebesgue của e ⊂ Ω và Ω (|S (t) u0 | ≥ M ) := {x ∈ Ω| |(S (t) u0 ) (x)| ≥ M }. 14