Luận văn Thạc sĩ toán học: Tính toán và đánh giá các tổng hữu hạn

Chia sẻ: Tran Van Lam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:90

Thêm vào BST

Báo xấu

255
lượt xem 70
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các bài toán tính tổng thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi, Olympiad, Toán quốc tế hay kỳ thi vào các trường phổ thông chuyên dưới nhiều hình thức khác nhau. Các bài toán trên, đại bộ phận là những bài toán khó mà học sinh phổ thông, nhất là phổ thông cơ sở kể cả học sinh chuyên toán tỏ ra rất lúng túng khi gặp các bài toán dạng này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ toán học: Tính toán và đánh giá các tổng hữu hạn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ========== PHẠM QUỐC KHÁNH TÍNH TOÁN VÀ ĐÁNH GIÁ CÁC TỔNG HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ========== PHẠM QUỐC KHÁNH TÍNH TOÁN VÀ ĐÁNH GIÁ CÁC TỔNG HỮU HẠN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Môc lôc 1 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn hµm luü thõa 5 1.1 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn hµm luü thõa cña c¸c sè tù nhiªn . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn hµm lòy thõa vµ c¸c sè Bernoulli . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Kh¸i niÖm vÒ sè Bernoulli vµ ®a thøc Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Mét sè hÖ thøc gi÷a tæng lòy thõa vµ sè Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Tæng ®an dÊu vÒ lòy thõa cña sè tù nhiªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn lòy thõa vµ giai thõa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn hµm luü thõa vµ hµm mò . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn tæ hîp 21 2.1 Tæ hîp vµ nhÞ thøc Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1 Tæ hîp vµ c¸c tÝnh chÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2 NhÞ thøc Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Mét sè bµi to¸n th«ng dông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Mét sè mÖnh ®Ò vµ c¸c bµi to¸n míi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn hµm lîng gi¸c 34 3.1 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn ®a thøc lîng gi¸c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn ph©n thøc lîng gi¸c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn lòy thõa c¸c hµm sè lîng gi¸c . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.1 Tæng lòy thõa cña secant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.2 Tæng lòy thõa cña cosecant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.3 Tæng lòy thõa cña tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3.4 Tæng lòy thõa cña cotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn hµm luîng gi¸c vµ hµm mò . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.5 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn hµm lîng gi¸c vµ tæ hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4 Mét sè ph¬ng ph¸p tÝnh tæng h÷u h¹n 56 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 http://www.lrc-tnu.edu.vn
2 4.1 TÝnh tæng b»ng ph¬ng ph¸p sö dông c¸c cÊp sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.1.1 CÊp sè céng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.1.2 CÊp sè nh©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1.3 CÊp sè ®iÒu hßa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.1.4 D·y sè Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2 TÝnh tæng b»ng ph¬ng ph¸p dù ®o¸n vµ quy n¹p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.3 TÝnh tæng b»ng ph¬ng ph¸p truy håi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.4 TÝnh tæng b»ng ph¬ng ph¸p ph¬ng tr×nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.5 TÝnh tæng b»ng ph¬ng ph¸p khö liªn tiÕp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.6 TÝnh tæng b»ng ph¬ng ph¸p sai ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.6.1 Kh¸i niÖm vÒ sai ph©n vµ c¸c tÝnh chÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.6.2 C¸c bµi to¸n ¸p dông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5 §¸nh gi¸ c¸c tæng h÷u h¹n 76 5.1 C¸c bµi to¸n vÒ bÊt ®¼ng thøc liªn quan tíi tæng h÷u h¹n . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2 Mét sè bµi to¸n vÒ tæng h÷u h¹n trong c¸c ®Ò thi quèc tÕ . . . . . . . . . . . . . . . 80 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Më ®Çu C¸c bµi to¸n tÝnh tæng thêng xuÊt hiÖn trong c¸c kú thi häc sinh giái, Olympiad, To¸n quèc tÕ hay kú thi vµo c¸c trêng phæ th«ng chuyªn díi nhiÒu h×nh thøc kh¸c nhau. C¸c bµi to¸n trªn, ®¹i bé phËn lµ nh÷ng bµi to¸n khã mµ häc sinh phæ th«ng, nhÊt lµ phæ th«ng c¬ së kÓ c¶ häc sinh chuyªn to¸n tá ra rÊt lóng tóng khi gÆp c¸c bµi to¸n d¹ng nµy. HiÖn nay tµi liÖu tham kh¶o vÒ tÝnh tæng h÷u h¹n b»ng tiÕng ViÖt cha cã nhiÒu, cßn ph©n t¸n vµ c¸c bµi to¸n khã còng cßn Ýt. CÇn thiÕt ph¶i cã sù tæng hîp, ph©n lo¹i, giíi thiÖu c¸c ph¬ng ph¸p tÝnh tæng mét c¸ch hÖ thèng vµ c¸c bµi to¸n khã h¬n. V× vËy, viÖc t×m hiÓu vµ ph¸t triÓn s©u thªm vÊn ®Ò " TÝnh to¸n vµ ®¸nh gi¸ c¸c tæng h÷u h¹n" lµ cÇn thiÕt cho c«ng viÖc häc tËp vµ gi¶ng d¹y to¸n ë bËc phæ th«ng. B¶n luËn v¨n nµy nh»m tr×nh bµy mét sè ph¬ng ph¸p vÒ tÝnh tæng h÷u h¹n vµ giíi thiÖu c¸c bµi to¸n trªn ë c¸c møc ®é kh¸c nhau. LuËn v¨n gåm c¸c phÇn: Më ®Çu, n¨m ch¬ng néi dung, KÕt luËn vµ Tµi liÖu tham kh¶o. Ch¬ng mét Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn hµm lòy thõa Ch¬ng nµy tr×nh bµy c¸c kiÕn thøc vÒ tæng h÷u h¹n cña hµm lòy thõa d¹ng: n n p Sp (n) = k , Lp (n) = (2k − 1)p , k=1 k=1 n n Tp (n) = (−1)k k p , Fp (n) = j!j p . k=1 j=1 VËn dông vµ tÝnh to¸n c¸c bµi to¸n nµy lµ sö dông c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c nhau nh: Ph¬ng ph¸p sö dông c¸c cÊp sè, ph¬ng ph¸p ®¹o hµm, nhÞ thøc Newton, ph¬ng ph¸p truy håi, ph¬ng ph¸p khö liªn tiÕp vµ ph¬ng ph¸p quy n¹p. Ch¬ng hai Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn tæ hîp Ch¬ng nµy sö dông vµ kÕt hîp c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c nhau nh ph¬ng ph¸p ®¹o hµm, nhÞ thøc Newton vµ mét sè c¸c phÐp biÕn ®æi ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n tÝnh tæng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 http://www.lrc-tnu.edu.vn
4 liªn quan ®Õn tæ hîp. Qua ®ã giíi thiÖu mét sè mÖnh ®Ò vµ bµi to¸n míi chØ ®îc giíi thiÖu qua c¸c nghiªn cøu cña c¸c nhµ chuyªn m«n. Ch¬ng ba Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn hµm lîng gi¸c Ch¬ng nµy tr×nh bµy c¸c bµi to¸n tÝnh tæng cña c¸c hµm lîng gi¸c liªn quan ®Õn c¸c chuçi lîng gi¸c, chuçi lòy thõa, ®a thøc trùc giao, ®a thøc chebyshev hay hµm mò vµ tæ hîp. Ph¬ng ph¸p chñ yÕu lµ sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi lîng gi¸c, khö liªn tiÕp, nhÞ thøc Newton vµ sè phøc. Ch¬ng bèn Mét sè ph¬ng ph¸p tÝnh tæng h÷u h¹n Tr×nh bµy c¸c bµi to¸n vÒ tæng h÷u h¹n, trong ®ã sö dông c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c nhau ®Ó tÝnh to¸n, nh ph¬ng ph¸p sö dông c¸c cÊp sè, ph¬ng ph¸p dù ®o¸n vµ quy n¹p, ph¬ng ph¸p truy håi, ph¬ng ph¸p ph¬ng tr×nh, ph¬ng ph¸p khö liªn tiÕp vµ ph¬ng ph¸p sai ph©n. Ch¬ng n¨m §¸nh gi¸ c¸c tæng h÷u h¹n Tr×nh bµy mét sè bµi to¸n vÒ bÊt ®¼ng thøc ®èi víi c¸c tæng h÷u h¹n. Ph¬ng ph¸p chñ yÕu ®Ó gi¶i bµi to¸n lo¹i nµy lµ sö dông mét sè thñ thuËt nh: nhãm c¸c sè h¹ng, t¸ch c¸c sè h¹ng, chÆn trªn, chÆn díi, thªm, bít, quy n¹p. §Æc biÖt lµ sö dông c¸c bÊt ®¼ng thøc quan trong nh bÊt ®¼ng thøc Cauchy - Schawrz vµ bÊt ®¼ng thøc trung b×nh. Qua ®ã giíi thiÖu mét sè ®Ò thi häc sinh giái vµ thi v« ®Þch To¸n quèc tÕ. LuËn v¨n ®îc hoµn thµnh t¹i trêng §¹i häc Khoc häc - §HTN díi sù híng dÉn khoa häc cña TS. NguyÔnV¨n Ngäc. Tõ ®¸y lßng m×nh t¸c gi¶ xin ®îc bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c nhÊt tíi ThÇy híng dÉn. T¸c gi¶ xin bµy tá lßng c¶m ¬n tíi c¸c ThÇy C« trong Ban gi¸m hiÖu nhµ trêng, Khoa To¸n - Tin, Phßng §µo T¹o, cïng toµn thÓ c¸c ThÇy C« trêng §¹i Häc Khoa Häc, c¸c ThÇy c« gi¶ng d¹y vµ híng dÉn Khoa häc líp cao häc K2. §· chØ b¶o vµ gióp ®ì t¸c gi¶ trong suèt thêi gian theo häc. T¸c gi¶ xin c¶m ¬n tíi Së GD&§T tØnh Hµ Giang, trêng THCS - THPT Linh Hå ®· t¹o ®iÒu kiÖn cho t¸c gi¶ häc tËp vµ hoµn thµnh khãa häc. Tuy nhiªn do sù hiÓu biÕt cña b¶n th©n nªn trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. T¸c gi¶ kÝnh mong ®îc sù chØ d¹y, ®ãng gãp ý kiÕn cña c¸c ThÇy C« vµ c¸c ®éc gi¶ quan t©m tíi luËn v¨n nµy. Th¸i Nguyªn, ngµy 10 th¸ng 09 n¨m 2010 T¸c gi¶ Ph¹m Quèc Kh¸nh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Ch¬ng 1 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn hµm luü thõa Ch¬ng nµy tr×nh bµy c¸c kiÕn thøc vÒ tæng h÷u h¹n cña hµm lòy thõa liªn quan tíi sè tù nhiªn, sè Bernulli, tæng ®an dÊu, tæng giai thõa vµ hµm mò. 1.1 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn hµm luü thõa cña c¸c sè tù nhiªn Trong môc nµy sÏ tr×nh bµy c¸ch tÝnh c¸c tæng d¹ng n Sp (n) = kp, (1.1) k=1 trong ®ã ta sö dông c¸c tÝnh chÊt cña cÊp sè céng, cÊp sè nh©n (®îc tr×nh bµy ë ch¬ng 4) ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n. Chóng ta ®· biÕt n(n + 1) S1 (n) = . (1.2) 2 Bµi to¸n 1.1. TÝnh S2 (n) vµ S3 (n). 6Lêi gi¶i . a) TÝnh S2 (n). Sö dông c«ng thøc k 3 − (k − 1)3 = 3k 2 − 3k + 1 ⇔ 3k 2 = k 3 − (k − 1)3 + 3k − 1. Ta cã n n n n n 2 3 3 3 3 3 k = [k − (k − 1) + 3k − 1] = [k − (k − 1) ] + 3 k− 1 k=1 k=1 k=1 k=1 k=1 n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) = n3 + 3 −n= . 2 2 VËy n(n + 1)(2n + 1) S2 (n) = . (1.3) 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 http://www.lrc-tnu.edu.vn
6 b) TÝnh S3 (n). Tõ c«ng thøc k 4 − (k − 1)4 = 4k 3 − 6k 2 + 4k − 1 ⇔ 4k 3 = k 4 − (k − 1)4 + 6k 2 − 4k + 1. Ta cã n n 3 4 k = [k 4 − (k − 1)4 + 6k 2 − 4k + 1] k=1 k=1 n n n 4 4 2 = [k − (k − 1) ] + 6 k −4 k+n k=1 k=1 k=1 4 = n + 6S2 (n) − 4S1 (n) + n = n4 + n(n + 1)(2n + 1) − 2n(n + 1) + n. VËy n2 (n + 1)2 S3 (n) = . (1.4) 4 Bµi to¸n 1.2. TÝnh c¸c tæng Sp (n), p ∈ N, p ≥ 4. 6Lêi gi¶i . Sö dông nhÞ thøc Newton p p! (a + b)p = i Cp ap−i bi , i Cp = . i=0 i!(p − i)! Ta cã p p p (k − 1) = Cp k p−i (−1)i i p = k − pk p−1 + Cp k p−i (−1)i , i i=0 i=2 suy ra p p−1 p p pk = k − (k − 1) + Cp k p−i (−1)i . i (1.5) i=2 Céng tõng vÕ c¸c ®¼ng thøc trong c«ng thøc (1.5) theo k = 1, 2, ..., n, ta ®îc p p pSp−1 (n) = n + Cp (−1)i Sp−i (n) i (1.6) i=2 Theo c«ng thøc truy håi (1.6) vµ c¸c c«ng thøc (1.2) - (1.4) chóng ta tÝnh Sp−1 th«ng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7 qua c¸c gi¸ trÞ p ®ñ nhá. 1 S4 (n) = n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n − 1), (1.7) 30 1 2 S5 (n) = n (n + 1)2 (2n2 + 2n − 1), (1.8) 12 1 S6 (n) = n(n + 1)(2n + 1)(3n4 + 6n3 − 3n + 1), (1.9) 42 1 2 S7 (n) = n (n + 1)2 (3n4 + 6n3 − n2 − 4n + 2), (1.10) 24 1 S8 (n) = n(n + 1)(2n + 1)(5n6 + 15n5 + 5n4 − 15n3 − n2 + 9n − 3), (1.11) 90 1 2 S9 (n) = n (n + 1)2 (n2 + n − 1)(2n4 + 4n3 − n2 − 3n + 3). (1.12) 20 Bµi to¸n 1.3. TÝnh c¸c tæng luü thõa cña c¸c sè tù nhiªn lÎ n Lp (n) = (2k − 1)p , p ∈ N∗ . (1.13) k=1 6Lêi gi¶i . Ta cã L1 (n) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2 . (1.14) Víi p > 1 chóng ta biÕn ®æi c«ng thøc (1.13) nh sau Lp (n) = 1p + 3p + 5p + ... + (2n − 1)p = [1p + 2p + 3p + 4p + ... + (2n − 1)p + (2n)p ] − [2p + 4p + 6p + ... + (2n)p ] = Sp (2n) − 2p Sp (n). VËy ta cã c«ng thøc Lp (n) = Sp (2n) − 2p Sp (n), (1.15) trong ®ã Sp (n) ®îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (1.1). Theo c«ng thøc (1.15) ta cã 4 1 L2 (n) = S2 (2n) − 22 S2 (n) = n3 − n, (1.16) 3 3 L3 (n) = S3 (2n) − 2 S3 (n) = 2n − n2 , 3 4 (1.17) 16 8 7 L4 (n) = S4 (2n) − 24 S4 (n) = n5 − n4 + n, (1.18) 5 3 15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8 16 6 20 4 7 2 L5 (n) = S5 (2n) − 25 S5 (n) = n − n + n, (1.19) 3 3 3 64 28 31 L6 (n) = S6 (2n) − 26 S6 (n) = n7 − 16n5 + n3 − n, (1.20) 7 3 21 112 6 98 4 31 2 L7 (n) = S7 (2n) − 27 S7 (n) = 16n8 − n + n − n, (1.21) 3 3 3 256 9 256 7 1568 5 496 3 127 L8 (n) = S8 (2n) − 28 S8 (n) = n − n + n − n + n, 9 3 15 9 15 (1.22) 256 10 1568 6 381 2 L9 (n) = S9 (2n) − 29 S9 (n) = n − 192n8 + n − 248n4 + n. 5 5 5 (1.23) Bµi to¸n 1.4. Víi p ∈ N∗ . TÝnh tæng n Pp (n) = k p (k + 1)2 . k=1 6Lêi gi¶i . Ta biÕn ®æi tæng Pp (n) nh sau n Pp (n) = (k p+2 + 2k p+1 + k p ) = Sp+2 (n) + 2Sp+1 (n) + Sp (n), (1.24) k=1 trong ®ã Sp (n) ®îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (1.1). Theo c«ng thøc (1.24) ta cã 1 7 7 5 P1 (n) = n4 + n3 + n2 + n, (1.25) 4 6 4 6 1 5 2 P2 (n) = n5 + n4 + n3 + n2 + n, (1.26) 5 3 15 1 9 5 7 1 1 P3 (n) = n6 + n5 + n4 + n3 + n2 − n, (1.27) 6 10 3 6 6 15 1 5 17 4 1 1 1 P4 (n) = n7 + n6 + n5 + n4 + n3 − n2 − n, (1.28) 7 6 10 3 6 6 105 1 11 7 3 1 1 1 P5 (n) = n8 + n7 + n6 + n5 + n4 − n3 + n, (1.29) 8 14 4 2 8 3 21 1 3 38 5 1 7 1 1 1 P6 (n) = n9 + n8 + n7 + n6 + n5 − n4 + n3 + n2 − n, 9 4 21 3 30 12 18 6 105 (1.30) 1 10 13 9 15 8 11 7 14 5 5 4 1 1 P7 (n) = n + n + n + n − n + n4 + n3 − n2 − n. 10 18 8 6 15 24 9 15 15 (1.31) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9 Bµi to¸n 1.5. Víi p ∈ N∗ . TÝnh tæng n Qp (n) = k(k + 1)p . k=1 6Lêi gi¶i . Ta biÕn ®æi tæng Qp (n) nh sau. §Æt i = k + 1 ta cã n+1 n+1 n p p Qp (n) = (i − 1)i = (i − 1)i = (i − 1)ip + n(n + 1)p , i=2 i=1 i=1 hay n n p+1 Qp (n) = i − ip + n(n + 1)p = Sp+1 (n) − Sp (n) + n(n + 1)p , (1.32) i=1 i=1 trong ®ã Sp (n) ®îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (1.1). Theo c«ng thøc (1.32) ta cã 1 2 Q1 (n) = n3 + n2 + n, (1.33) 3 3 1 7 7 5 Q2 (n) = n4 + n3 + n2 + n, (1.34) 4 6 4 6 1 5 5 4 17 3 11 2 29 Q3 (n) = n + n + n + n + n, (1.35) 5 4 6 4 30 1 6 13 5 47 4 17 3 47 2 31 Q4 (n) = n + n + n + n + n + n, (1.36) 6 10 12 3 12 30 1 7 4 6 115 4 59 3 61 2 43 Q5 (n) = n + n + 5n5 + n + n + n + n, (1.37) 7 3 12 6 12 42 1 8 19 7 73 6 29 5 473 4 91 3 73 2 41 Q6 (n) = n + n + n + n + n + n + n + n. (1.38) 8 14 12 2 24 6 12 42 1.2 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn hµm lòy thõa vµ c¸c sè Bernoulli 1.2.1 Kh¸i niÖm vÒ sè Bernoulli vµ ®a thøc Bernoulli C¸c sè Bernoulli ®îc ra ®êi, sau khi nhµ To¸n häc Thôy SÜ Bernoulli ( Swiss mathematician Jacob Bernoulli, 1654-1705 ) sö dông trong bµi to¸n vÒ tæng lòy thõa. Bµi to¸n vÒ tæng lòy thõa lµ bµi to¸n tÝnh tæng d¹ng n k k k Sk (n) = 1 + 2 + ... + n = mk , m=0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10 trong ®ã Sk (n) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh sai ph©n Sk (0) = 0, Sk (n + 1) − Sk (n) = (n + 1)k , (n = 0, 1, 2...). §Þnh nghÜa 1.1. C¸c sè b0 , b1 , b2 , ..., ®îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc b0 = 1, (1.39) 1 2 k Ck+1 bk + Ck+1 bk−1 + ... + Ck+1 b1 = k, ®îc gäi lµ c¸c sè Bernoulli. Theo c«ng thøc (1.39) ta t×m ®îc c¸c sè Bernoulli chØ sè thÊp sau ®©y 1 1 1 b0 = 1, b1 = , b2 = , b3 = 0, b4 = − , b5 = 0, 2 6 30 1 1 5 b6 = , b7 = 0, b8 = − , b9 = 0, b10 = . 42 30 66 C¸c sè Bernoulli tháa m·n hÖ thøc truy håi m−1 k bk bm = 1 − Cm , b0 = 1, (m = 1, 2, ...). (1.40) m−k+1 k=0 Chó ý. C¸c sè Bernoulli cã ®Æc ®iÓm sau ®©y 1 1 b0 = 1, b1 = , b1 = − , b2k+1 = 0, (k = 0, 1, ...). hoÆc 2 2 §Þnh nghÜa 1.2. §a thøc Bernoulli Bk (x) ®îc x¸c ®Þnh nh sau  B0 (x) = 1,  Bn (x) = nBn−1 (x), (1.41)  1 0 Bn (x)dx = 0, n ≥ 1.  C¸c ®a thøc Bernoulli bËc thÊp B0 (x) = 1, 1 B1 (x) = x − , 2 1 B2 (x) = x2 − x + , 6 3 2 1 B3 (x) = x3 − x + x, 2 2 1 B4 (x) = x4 − 2x3 + x2 − , 30 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11 5 5 1 B5 (x) = x5 − x4 + x3 − x, 2 3 6 5 1 1 B6 (x) = x6 − 3x5 + x4 − x2 + , 2 2 42 7 7 7 1 B7 (x) = x7 − x6 + x5 − x3 + x. 2 2 6 6 MÖnh ®Ò 1.1. §a thøc Bernoulli cã c¸c biÓu diÔn sau m Bm (x) = Cm (−1)k bk xm−k , k (1.42) k=0 m n 1 Bm (x) = Cn (−1)k (x + k)m . k (1.43) n=0 n+1 k=0 MÖnh ®Ò 1.2. Víi mçi sè nguyªn d¬ng n ta cã ®¼ng thøc Bn (x + 1) − Bn (x) = nxn−1 , Bn (1) = bn , trong ®ã bn lµ sè Bernoulli. 1.2.2 Mét sè hÖ thøc gi÷a tæng lòy thõa vµ sè Bernoulli MÖnh ®Ò 1.3. 1 1k + 2k + ... + nk = (nk+1 + Ck+1 b1 nk + Ck+1 b2 nk−1 + ... + Ck+1 bk n). 1 2 k (1.44) k+1 Chøng minh. DÔ dµng chøng minh r»ng Sk (n) lµ mét ®a thøc bËc k + 1 theo n víi sè h¹ng tù do b»ng kh«ng. Do ®ã ta ®Æt (k + 1)(1k + 2k + ... + nk ) = nk+1 + Ck+1 α1 nk + Ck+1 α2 nk−1 + ... + Ck+1 αk n. 1 2 k §¼ng thøc trªn ®îc viÕt l¹i ë d¹ng biÓu thøc ®Æc trng (k + 1)(1k + 2k + ... + nk ) = (n + α)k+1 − αk+1 , (1.45) víi quy íc αk = αk . Trong c«ng thøc (1.45) thay n bëi n + 1 ta ®îc (k + 1)[(1k + 2k + ... + (n + 1)k ] = (n + 1 + α)k+1 − αk+1 . (1.46) Trõ tõng vÕ c¸c ®¼ng thøc (1.45), (1.46) ta ®îc (k + 1)(n + 1)k = (n + 1 + α)k+1 − (n + α)k+1 . (1.47) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12 Trong ®¼ng thøc (1.47) cho n = 0 ta cã (α + 1)k+1 − αk+1 = k + 1. (1.48) Khai triÓn c«ng thøc (1.48) víi quy íc thay αk = αk ta ®îc 1 2 k Ck+1 αk + Ck+1 αk−1 + ... + Ck+1 α1 + α0 = k + 1. (1.49) NÕu cho α0 = 1 th× tõ c«ng thøc (1.49) ta t×m ®îc αk = bk lµ c¸c sè Bernoulli. NhËn xÐt 1.1 . C«ng thøc (1.44) cßn viÕt ®îc díi d¹ng sau k 1 Sk (n) = Ck+1 bm nk+1−m . m (1.50) k + 1 m=1 MÖnh ®Ò 1.4. Ta cã hÖ thøc sau ®©y Bp+1 (m + 1) − Bp+1 (1) Sp (m) = . (1.51) p+1 Chøng minh. VËn dông mÖnh ®Ò 1.2 ta cã 1 1p = [Bp+1 (2) − Bp+1 (1)], p+1 1 2p = [Bp+1 (3) − Bp+1 (2)], p+1 ................................................, 1 mp = [Bp+1 (m + 1) − Bp+1 (m)]. p+1 Céng c¸c ®¼ng thøc trªn theo tõng vÕ ta cã Bp+1 (m + 1) − Bp+1 (1) Sp (m) = . p+1 Bµi to¸n 1.6. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc nk+1 (n + 1)k+1 − 1 < Sk (n) < . (1.52) k+1 k+1 6Lêi gi¶i . Theo bÊt ®¼ng thøc Bernoulli (1 + x)k ≥ 1 + kx, (x ≥ −1, k > 0). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13 Ta cã k+1 k+1 1 k+1 1 k+1 1+ >1+ , 1− >1− . j j j j Nh©n c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn víi j k+1 . Sau mét sè biÕn ®æi ta ®îc j k+1 − (j − 1)k+1 k (j + 1)k+1 − j k+1
14 trong ®ã n Tm (n) = (−1)j j m . j=1 Bæ ®Ò 1.1. Víi mçi n ≥ 1 ta cã c¸c ®¼ng thøc sau ®©y 2n k+1 sin x − sin(2n + 2 )x 2 1 a) (−1) sin kx = . (1.55) 2 cos x 2 k=1 2n+1 k+1 sin x + sin(2n + 3 )x 2 2 b) (−1) sin kx = x . (1.56) 2 cos 2 k=1 2n k+1 cos x − cos(2n + 1 )x 2 2 c) (−1) cos kx = x . (1.57) 2 cos 2 k=1 2n+1 k+1 cos x + cos(2n + 3 )x 2 2 d) (−1) cos kx = x . (1.58) 2 cos 2 k=1 Chøng minh. Tõ ®¼ng thøc (1.55) ta cã x x 1 2 cos (sin x − sin 2x + sin 3x − ... − sin nx + ... − sin 2nx) = sin − sin(2n + )x. 2 2 2 Ta thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi x x 3x 2 sin x cos = sin + sin , 2 2 2 x 3x 5x − 2 sin 2x cos = − sin − sin , 2 2 2 ..........................................................., x 1 1 − 2 sin 2nx cos = − sin(2n − )x − sin(2n + )x. 2 2 2 Céng tõng vÕ cña c¸c ®¼ng thøc trªn ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. c) Tõ ®¼ng thøc (1.57) ta cã x x 1 2 cos (cos x−cos 2x+cos 3x−...−cos nx+...−cos 2nx) = cos −cos(2n+ )x. 2 2 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
15 Ta thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi x x 3x 2 cos x cos = cos + cos , 2 2 2 x 3x 5x − 2 cos 2x cos = − cos − cos , 2 2 2 ........................................................, x 1 1 − 2 cos 2nx cos = − cos(2n − )x − cos(2n + )x. 2 2 2 Céng tõng vÕ cña c¸c ®¼ng thøc trªn ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. C¸c ý b, d ta chøng minh t¬ng tù nh ý a, c. NhËn xÐt 1.2 . Theo bæ ®Ò (1.1) ta cã c¸c ®¼ng thøc sau ®©y 2n i1 ) (−1)k+1 k = −n, k=1 2n i2 ) (−1)k k 2 = n(2n + 1), k=1 2n i3 ) (−1)k k 3 = n2 (4n + 3), k=1 2n i4 ) (−1)k+1 k 4 = n(−8n2 − 8n + 1), k=1 2n i5 ) (−1)k+1 k 5 = −16n5 − 20n4 + 5n2 , k=1 2n i6 ) (−1)k k 6 = 32n6 + 48n5 − 20n3 + 3n, k=1 2n i7 ) (−1)k k 7 = 64n7 + 112n6 − 70n4 + 21n2 , k=1 2n i8 ) (−1)k+1 k 8 = −128n8 − 265n7 + 224n5 − 112n3 + 17n, k=1 2n i9 ) (−1)k+1 k 9 = −256n9 − 576n8 + 672n6 − 504n4 + 153n2 , k=1 2n i10 ) (−1)k k 10 = 512n10 + 1280n9 − 1920n7 + 2016n5 − 1020n3 − 155n. k=1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
16 Bµi to¸n 1.7. TÝnh tæng 3 5 7 2n − 1 a) 1 − + − + ... + (−1)n−1 n−1 . 2 4 8 2 5 7 9 2n + 1 b) 3 − + − + ... + (−1)n−1 n−1 . 2 4 8 2 6Lêi gi¶i . Ta xÐt n n n k−1 k−1 P (x) = (2k − 1)x =2 kx − xk−1 k=1 k=1 k=1 n n 2nx (x − 1) − (x + 1)(x − 1) = . (x − 1)2 n n n k−1 k−1 Q(x) = (2k + 1)x =2 kx + xk−1 k=1 k=1 k=1 n+1 n (2n + 1)x − (2n + 3)x − x + 1 = . (x − 1)2 1 Thay x = − , ta ®îc 2 3 5 7 n−1 2n − 1 2n + (−1)n+1 (6n + 1) 1 − + − + ... + (−1) = . 2 4 8 2n−1 9.2n−1 5 7 9 n−1 2n + 1 (−1)n+1 (6n + 7) + 3.2n 3 − + − + ... + (−1) = . 2 4 8 2n−1 9.2n−1 1.4 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn lòy thõa vµ giai thõa Trong môc nµy tr×nh bµy c¸ch tÝnh tæng cã d¹ng n Fp (n) = j!j p , p ∈ N. (1.59) j=1 n §Þnh lý 1.2. Cho Fp (n) = j!j p , víi p ∈ N, m, n ≥ 0. Chøng minh r»ng j=1 p+1 p+1 m Fp (n) = 1 − n!(n + 1) + Cp+1 Fm (n). (1.60) m=0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17 Chøng minh. §Æt j = k + 1, ta cã n−1 n−1 p Fp (n) = (k + 1)!(k + 1) = k!(k + 1)p+1 k=0 k=0 n−1 n p+1 =1+ k!(k + 1) =1+ k!(k + 1)p+1 − n!(n + 1)p+1 k=1 k=1 n p+1 = 1 − n!(n + 1)p+1 + k! Cp+1 k m m k=1 m=0 p+1 n p+1 m = 1 − n!(n + 1) + Cp+1 k!k m m=0 k=1 p+1 = 1 − n!(n + 1)p+1 + m Cp+1 Fm (n), m=0 trong ®ã n Fm (n) = k!k m . k=1 NhËn xÐt 1.3 . Tõ ®Þnh lý 1.2 ta cã mét sè kÕt qu¶ sau 1) F1 (n) = (n + 1)! − 1, (1.61) 2) F2 (n) + F0 (n) = n(n + 1)!, (1.62) 3) F3 (n) − F0 (n) = (n + 1)!(n2 − 2) + 2, (1.63) 4) F4 (n) − 2F0 (n) = (n + 1)!(n3 − 3n + 3) − 3, (1.64) 5) F5 (n) + 9F0 (n) = (n + 1)!(n4 − 4n2 + 6n + 4) − 4. (1.65) Bµi to¸n 1.8. T×m tæng cña tÊt c¶ 7! sè nhËn ®îc tõ ho¸n vÞ c¸c ch÷ sè cña sè 1234567. ( §Ò thi v« ®Þch níc BØ n¨m 1979 ) 6Lêi gi¶i . Víi mäi gi¸ trÞ i, j ∈ {1, 2, ..., 7} sè c¸c ch÷ sè mµ trong ch÷ sè j ®øng ë hµng thø i lµ 6! do ®ã S = (6!.1 + ... + 6!.7) + (6!.1 + ... + 6!.7)10 + ... + (6!.1 + ... + 6!7)106 = 6!(1 + 2 + ... + 7)(1 + 10 + ... + 106 ) = 720.28.1111111 = 22399997760. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
18 Bµi to¸n 1.9. Chøng minh r»ng víi c¸c sè tïy ý m, n ∈ N, sè m (n + k + 1)! Sm,n = 1 + (−1)k n!(n + k) k=1 chia hÕt cho m!, nhng víi mét sè gi¸ trÞ m, n ∈ N th× sè Sm,n kh«ng chia hÕt cho m!(n + 1). ( §Ò thi v« ®Þch níc Anh n¨m 1981 ) 6Lêi gi¶i . Víi mçi gi¸ trÞ cña m ∈ N, m ∈ N. ta chøng minh b»ng quy n¹p theo m (n + m)! Sù ®óng ®¾n cña ®¼ng thøc Sm,n = (−1) , víi m = 1 ta cã kh¼ng ®Þnh n! (n + 2)! (n + 1)! S1,n = 1 − = 1 − (n + 2) = − . n!(n + 1) n! Gi¶ sö ®¼ng thøc ®· ®îc chøng minh víi gi¸ trÞ m∈N nµo ®ã. Ta chøng minh ®óng víi m + 1, ta cã (n + m + 2)! Sm+1,n = Sm,n + (−1)m+1 n!(n + m + 1) (n + m)! (n + m)!(n + m + 2) = (−1)m + (−1)m+1 n! n! (n + m)! (n + m + 1)! = (−1)m+1 (−1 + n + m + 2) = (−1)m+1 . n! n! NghÜa lµ kh¼ng ®Þnh ®óng víi m + 1. VËy sè (n + m)! Sm,n = (−1)m m! = (−1)m Cn+m m! chia hÕt cho m! v× Cn+m ∈ N. m m n!m! Víi n = 2, m = 3 th× sè Sm,n = 60 kh«ng chia hÕt cho m!(n + 1) = 18. Bµi to¸n ®îc chøng minh. 1.5 Tæng h÷u h¹n liªn quan ®Õn hµm luü thõa vµ hµm mò Bµi to¸n 1.10. TÝnh tæng n Sn = (a + kd)q k . k=0 6Lêi gi¶i . Ta cã n n n k k (a + kd)q = a q +d kq k , k=0 k=0 k=1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn