Luận văn Thạc sĩ Toán học: Toán tử Monge-Ampere phức và bài toán Dirichlet trong lớp F

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của luận văn là: Mở rộng định nghĩa toán tử Monge-Ampème phức tới lớp các hàm đa điều hòa dưới gồm tất cả các hàm có giá trị bằng giới hạn giảm của các hàm test. Đây là định nghĩa tổng quát nhất nếu đòi hỏi toán tử liên tục theo các giới hạn giảm dần. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Toán tử Monge-Ampere phức và bài toán Dirichlet trong lớp F

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TRẦN THỊ MAI PHƢƠNG TOÁN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET TRONG LỚP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TRẦN THỊ MAI PHƢƠNG TOÁN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET TRONG LỚP Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2015
i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào. Tác giả Trần Thị Mai Phương
ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Công nghiệp Tỉnh Hoà Bình cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tháng 7 năm 2015 Tác giả Trần Thị Mai Phương
iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................. i LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... ii MỤC LỤC ..........................................................................................................iii MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................... 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................. 2 3. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 2 4. Bố cục của luận văn ..................................................................................... 3 Chƣơng 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................... 4 1.1. Hàm đa điều hoà dưới............................................................................... 4 1.2. Hàm đa điều hoà dưới cực đại ........................................................... 6 1.3. Hàm cực trị tương đối............................................................................... 7 1.4. Toán tử Monge-Ampère phức ................................................................ 10 1.5. Nguyên lý so sánh................................................................................... 13 Chƣơng 2. TOÁN TỬ MONGE-AMPÈME PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET TRONG LỚP ................................................. 16 2.1. Mở đầu .................................................................................................... 16 2.2. Xấp xỉ bởi các hàm đa điều hòa dưới liên tục ........................................ 16 2.3. Tích phân từng phần ............................................................................... 18 2.4. Định nghĩa toán tử Monge-Ampere phức .............................................. 21 2.5. Lớp .................................................................................................... 25 2.6. Bài toán Dirchle đối với toán tử Monge-Ampere trong ................... 38 KẾT LUẬN....................................................................................................... 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 42
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết hàm biến phức nói chung và lý thuyết đa thế vị nói riêng đã được xuất hiện từ lâu, tuy nhiên nó chỉ được phát triển trong vòng 30 năm trở lại đây. Nhiều kết quả quan trọng của lý thuyết này được biết đến từ khá sớm. Tuy nhiên sự phát triển của lý thuyết này cùng với việc tìm thấy những ứng dụng vào các lĩnh vực khác nhau của toán học chỉ thực sự mạnh mẽ sau khi E. Berfod, và B. A. Taylor năm 1982, xây dựng thành công toán tử Monge- Ampere phức cho lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương, một khái niệm đóng vai trò quan trọng trung tâm trong lý thuyết đa thế vị. E. Berfod và B. A. Taylor đã chỉ ra rằng toán tử này xác định trên lớp các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương và có ảnh trong lớp các độ đo không âm. Tiếp đó, năm 1984, Kiselman đã chỉ ra rằng không thể mở rộng toán tử này tới lớp các hàm đa điều hòa dưới bất kỳ mà vẫn có ảnh trong lớp các độ đo không âm. Do đó miền xác định của toán tử Monge-Ampere là rất quan trọng trong lý thuyết đa thế vị và nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Năm 1998, Cegrell đã định nghĩa các lớp năng lượng 0 ( ), p ( ), p ( ) trên đó toán tử Monge-Ampere phức là xác định. Năm 2004, Cegrell đã định nghĩa các lớp ( ), ( ) và chỉ ra rằng lớp ( ) là lớp hàm định nghĩa tự nhiên của toán tử Monge-Ampere phức. Đó là lớp hàm lớn nhất trên đó toán tử Monge - Ampère xác định, liên tục dưới dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về toán tử Monge-Ampere và áp dụng các kết quả đạt được trong việc giải bài toán Dirichlet trong lớp năng lượng , chúng tôi chọn “Toán tử Monge-Ampere phức và bài toán Dirichlet trong lớp ” làm đề tài nghiên cứu của mình.
2 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mở rộng định nghĩa toán tử Monge-Ampème phức tới lớp các hàm đa điều hòa dưới gồm tất cả các hàm có giá trị bằng giới hạn giảm của các hàm test. Đây là định nghĩa tổng quát nhất nếu đòi hỏi toán tử liên tục theo các giới hạn giảm dần. Nghiên cứu về toán tử Monge-Ampère sử dụng định nghĩa tổng quát nêu trên và áp dụng trong việc giải bài toán Dirichlet trong lớp . 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây: - Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh và các hệ quả của nó. - Trình bày việc xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới âm bởi các hàm đa điều hòa dưới, liên tục. - Mở rộng định nghĩa toán tử Monge-Ampème phức tới lớp các hàm đa điều hòa dưới gồm tất cả các hàm có giá trị bằng giới hạn giảm của các hàm test. Đó là định nghĩa tổng quát nhất nếu đòi hỏi toán tử liên tục theo các giới hạn giảm dần. - Trình bày một vài kết quả nghiên cứu về toán tử Monge-Ampère sử dụng định nghĩa tổng quát nêu trên và áp dụng trong việc giải bài toán Dirichlet trong lớp . 3. Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp của giải tích hàm hiện đại, các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức.
3 4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn gồm 42 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh và các hệ quả của nó. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. Phần đầu của chương trình bày việc xấp xỉ các hàm đa điều hòa dưới âm bởi các hàm đa điều hòa dưới, liên tục được sử dụng trong suốt chương này. Kế đến là việc mở rộng định nghĩa toán tử Monge-Ampère phức tới lớp các hàm đa điều hòa dưới và một vài kết quả về toán tử Monge-Ampère sử dụng định nghĩa tổng quát nêu trên và áp dụng trong việc giải bài toán Dirichlet trong lớp . Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
4 Chƣơng 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm đa điều hoà dƣới n 1.1.1. Định nghĩa. Cho là một tập con mở của và u : , là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với trên bất kỳ thành phần liên thông nào của . Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi n a và b , hàm u(a b) là điều hoà dưới hoặc trùng trên mỗi thành phần của tập hợp :a b . Trong trường hợp này, ta viết u ( ) . ( ở đây kí hiệu ( ) là lớp hàm đa điều hoà dưới trong ). Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hoà dưới: 1.1.2. Mệnh đề. Nếu u, v ( ) và u v hầu khắp nơi trong , thì u v. 1.1.3. Mệnh đề. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền n bị chặn, tức là nếu là một tập con mở liên thông bị chặn của và u PSH ( ), thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z , u(z ) sup lim sup u(y ) . y y n 1.1.4. Định lý. Cho là một tập con mở trong . Khi đó (i) Họ ( ) là nón lồi, tức là nếu , là các số không âm và u, v ( ) , thì u v ( ). (ii) Nếu là liên thông và uj ( ) là dãy giảm, thì j u lim u j ( ) hoặc u . j
5 (iii) Nếu u : , và nếu u j ( ) hội tụ đều tới u trên các j tập con compact của , thì u ( ). (iv) Giả sử u ( ) sao cho bao trên của nó u sup u là bị A A chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên u * là đa điều hoà dưới trong . n 1.1.5. Hệ quả. Cho là một tập mở trong và là một tập con mở thực sự khác rỗng của . Nếu u ( ), v ( ), và lim v(x ) u(y ) với x y mỗi y , thì công thức max u, v trong u trong \ xác định một hàm đa điều hoà dưới trong . n 1.1.6. Định lý. Cho là một tập con mở của . (i) Cho u, v là các hàm đa điều hoà trong và v 0 . Nếu : là lồi, thì v (u / v) là đa điều hoà dưới trong . (ii) Cho u ( ), v ( ), và v 0 trong . Nếu : là lồi và tăng dần, thì v (u / v) là đa điều hoà dưới trong . (iii) Cho u, v ( ), u 0 trong , và v 0 trong . Nếu : 0, 0, là lồi và (0) 0 , thì v (u / v) ( ). n 1.1.7. Định lý. Cho là một tập con mở của và F z : v(z )
6 là một tập con đóng của  ở đây v ( ). Nếu u ( \ F ) là bị chặn trên, thì hàm u xác định bởi u(z ) (z \ F) u (z ) lim sup u(y ) (z F) y z y F là đa điều hoà dưới trong . n 1.1.8. Định nghĩa. Một miền bị chặn được gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại hàm đa điều hòa dưới liên tục : ( , 0) sao cho c z : (z ) c với mọi c 0. 1.2. Hàm đa điều hoà dƣới cực đại n 1.2.1. Định nghĩa. Cho là một tập con mở của và u : là hàm đa điều hoà dưới. Ta nói rằng u là cực đại nếu với mỗi tập con mở compact tương đối G của , và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên G sao cho v (G) và v u trên G , đều có v u trong G. Một số tính chất tương đương của tính cực đại. n 1.2.2. Mệnh đề. Cho là mở và u : là hàm đa điều hoà dưới. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của và với mỗi hàm v ( ), nếu lim inf(u(z ) v(z )) 0, với mọi G , thì u v z trong G; (ii) Nếu v ( ) và với mỗi 0 tồn tại một tập compact K sao cho u v trong \ K , thì u v trong .
7 (iii) Nếu v ( ), G là một tập con mở compact tương đối của , và u v trên G thì u v trong G; (iv) Nếu v ( ), G là một tập con mở compact tương đối của , và lim inf(u(z ) v(z )) 0, với mỗi G , thì u v trong G; z (v ) u là hàm cực đại. 1.3. Hàm cực trị tƣơng đối n 1.3.1. Định nghĩa. Giả sử là một tập con mở của và E là tập con của . Hàm cực trị tương đối đối với E trong được định nghĩa là: uE , (z ) sup v(z ) : v ( ), v 1, v 0 (z ). E * Hàm uE , là đa điều hoà dưới trong . Sau đây là một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tương đối. 1.3.2. Mệnh đề. Nếu E1 E2 1 2 thì uE , uE , uE , . 1 1 2 1 2 2 1.3.3. Mệnh đề. Nếu là siêu lồi và E là một tập con compact tương đối của , thì tại điểm bất kỳ ta có lim uE , (z ) 0. z Chứng minh. Nếu < 0 là một hàm vét cạn đối với , thì với số M 0 nào đó, M 1 trên E . Như vậy M uE , trong . Rõ ràng, lim (z ) 0 z và như vậy chúng ta thu được kết quả cần tìm. n 1.3.4. Mệnh đề. Nếu là siêu lồi và K là một tập compact sao cho uK* , 1 thì uK , là hàm liên tục. K
8 Chứng minh. Lấy u uE , và ký hiệu F  ( ) là họ các hàm u . Giả sử là hàm xác định của sao cho 1 trên K. Khi đó u trong . Chỉ cần chứng minh rằng với mỗi (0,1) tồn tại v C( ) F. Sao cho u v u trong . Thật vậy, lấy (0,1) tồn tại 0 sao cho u trong \ và K , trong đó z : dist (z , ) . Theo định lý xấp xỉ chính đối với các hàm đa điều hoà dưới và định lý Dini có thể tìm được 0 sao cho u trên và u 1 trên K . Đặt trong \ v . max u , trong Khi đó v  C( ) ∩ F và như vậy u max u , v u tại mỗi điểm trong . n 1.3.5. Mệnh đề. Cho là tập mở liên thông, và E . Khi đó các điều kiện sau tương đương: (i) uE* , 0; (ii) Tồn tại hàm v ( ) âm sao cho E z : v(z ) Chứng minh. (ii) (i) là hiển nhiên. Thật vậy, nếu v như ở trên (ii) , thì v uE , với mọi 0 , từ đó uE , 0 hầu khắp nơi trong . Như vậy
9 uE* , 0 . Bây giờ giả sử uE* , 0 . Khi đó tồn tại a sao cho uE , (a ) 0. Bởi vậy, với mỗi j , có thể chọn một v j ( ) sao cho vj 0, v j 1 và v j (a ) 2 j. E Đặt v(z ) v j (z ), z . j 1 Chú ý rằng v(a) 1 , v âm trong , và v . E Đồng thời v là giới hạn của dãy giảm của các tổng riêng của các hàm đa điều hoà dưới. Vì v nên ta kết luận v ( ). n 1.3.6. Mệnh đề. Cho là tập con mở liên thông của . Giả sử E Ej , j trong đó E j với j 1, 2,... . Nếu uE* , 0 với mỗi j , thì uE* , 0. j Chứng minh. Chọn v j ( ) sao cho v j 0 và v j . Lấy Ej điểm a \ v j 1( ) . Bằng cách mở rộng mỗi hàm v j bởi một hằng j số dương thích hợp, ta có thể giả thiết v j (a ) 2 j . Khi đó v vj ( ), v 0 và v . Suy ra uE* , 0. E j n 1.3.7. Mệnh đề. Cho là tập con siêu lồi của và K là một tập con compact của . Giả thiết rằng j là một dãy tăng những tập con mở của sao cho j và K 1 . Khi đó j 1
10 lim uK , (z ) uK , (z ), z j j Chứng minh. Lấy điểm z 0 . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng K z0 1 . Giả sử 0 là một hàm vét cạn đối với sao cho 1 trên K. Lấy (0,1) sao cho (z 0 ) . Khi đó tồn tại j 0 1 sao cho tập mở (( , )) là tập compact tương đối trong j0 . Lấy u ( j0 ) sao cho u 0 trên j0 và u 1 trên K . Khi đó max u(z ) , (z ) , z v(z ) (z ), z \ xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa v 1 và v 0 . Như vậy K v(z 0 ) uK , (z 0 ) . Vì u là một phần tử tuỳ ý của họ uK , , nên ta có j0 uK , (z 0 ) uK , (z 0 ) j0 Do đó ta có uK , (z 0 ) uK , (z 0 ) uK , (z 0 ) với mọi j j0 và nhỏ j j tuỳ ý, suy ra điều phải chứng minh. 1.4. Toán tử Monge-Ampère phức Cho u là đa điều hoà dưới trên miền n . Nếu u C2 thì toán tử: 2 c n c c n u dd u : dd u ... dd u 4 n ! det dV , z j zk n 1 j ,k n n với dV là yếu tố thể tích trong gọi là toán tử Monge-Ampe. Toán tử này có thể xem như độ đo Radon trên , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C 0 ( ) trên
11 n c C0 dd u . Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn địa phương trên thì tồn tại dãy un C sao cho n 1 n un u và dd cun hội tụ yếu tới độ đo Radon trên tức là: n lim dd cun d , C0 . n Hơn nữa không phụ thuộc vào việc chọn dãy un như trên, ta ký hiệu: (dd cu)n và gọi là toán tử Monge-Ampe của u . Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampe. n 1.4.1. Mệnh đề. Nếu C p,p là p, p -dạng lớp C trên tập mở và T là q, q -dòng với p q n 1 thì n dd cT dd c T d d cT dc T . n 1.4.2. Mệnh đề. Giả sử j là dãy các độ đo Radon trên tập mở hội tụ yếu tới độ đo Radon . Khi đó a) Nếu G là tập mở thì G lim inf j G . j b) Nếu K là tập compact thì K lim sup j K . j
12 c) Nếu E compact tương đối trong sao cho E 0 thì E lim j E . j Chứng minh. a) Ta có G sup K :K G . Giả sử K G là tập compact. Lấy C0 G , 0 1 và 1 trên K . Khi đó K lim j lim inf j G . j j Từ đó G lim inf j G . j b) Ta có K inf V :V K ,V ,V=V0 . Giả sử V là một lân cận mở của K và C0 V , 0 1 và 1 trên K . Khi đó V lim j lim sup j K . j j Từ đó K lim sup j K . j c) Viết E IntE E . Khi đó E int E lim inf j int E lim inf j E . j j Mặt khác E lim sup j E lim sup j E . j j Từ đó E lim sup j E E lim j E . j j
13 n 1.4.3. Mệnh đề. Giả sử là miền bị chặn và u, v ( ) Lloc sao cho u, v 0 trên và lim u z 0 . Giả sử T là n 1, n 1 -dòng z dương, đóng trên . Khi đó vdd cu T udd cv T . Đặc biệt, nếu lim v z 0 thì vdd cu T udd cv T . z 1.5. Nguyên lý so sánh n 1.5.1. Định lý. (Nguyên lý so sánh) Giả sử là miền bị chặn và u, v ( ) L ( ) sao cho lim inf(u(z ) v(z )) 0 . Khi đó z (dd cv )n (dd cu )n . u v u v n 1.5.2. Hệ quả. Giả sử là miền bị chặn và u, v ( ) L ( ) sao cho u v và lim u(z ) lim v(z ) 0 . Khi đó z z (dd cv )n (dd cu )n . ( ) ( ) Chứng minh. Từ nguyên lí cực đại suy ra u 0 trên (nếu ngược lại thì u v 0 và kết luận là hiển nhiên). Khi đó nếu 1 thì u u trên . Vậy u v trên . Từ đó (dd cv )n (dd c u )n n (dd cu )n . ( ) ( ) ( ) Cho 1 ta được điều cần chứng minh.
14 n 1.5.3. Hệ quả. (Nguyên lý so sánh). Giả sử là miền bị chặn và u, v ( ) L ( ) sao cho lim inf(u(z ) v(z )) 0 . Giả sử z (dd cu)n (dd cv)n trên . Khi đó u v trên . 2 Chứng minh. Đặt (z ) z M , với M được chọn đủ lớn sao cho 0 trên . Giả sử u v khác rỗng. Khi đó có 0 sao cho u v khác rỗng và do đó nó có độ đo Lebesgue dương. Do Định lí 1.5.1 ta có (dd cu)n (dd c (v ))n u v u v (dd cv)n n (dd c )n u v u v (dd cv)n n 4n n ! n u v u v (dd cv)n (dd cu )n u v u v và ta gặp phải mâu thuẫn. Vậy u v trên . n 1.5.4. Hệ quả. Giả sử là miền bị chặn và u, v ( ) L ( ) sao cho lim inf(u(z ) v(z )) 0 và (dd cu)n (dd cv)n . Khi đó u v. z n 1.5.5. Hệ quả. Giả sử là miền bị chặn và u, v ( ) L ( ) sao cho lim inf(u(z ) v(z )) 0 và (dd cu)n 0 . Khi đó u v trên . z u v
15 Chứng minh. Tương tự như trong Hệ quả 1.5.3. Giả sử u v . Khi đó có 0 sao cho u v và do đó có độ đo Lebesgue dương. Chú ý rằng do 0 nên u v u v . Khi đó như chứng minh của Hệ quả 1.5.3 ta có 0 (dd cu)n (dd cu)n u v u v (dd cv)n n 4n n ! n u v 0 u v và ta gặp mâu thuẫn.