Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về hàm phân hình f'P'(f) và g'P'(g) chung nhau một hàm nhỏ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung bài viết trình bày một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết Nevanlina. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung luận văn này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về hàm phân hình f'P'(f) và g'P'(g) chung nhau một hàm nhỏ

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM MA THÀ NHUNG V HM PHN HNH f 0P 0(f ) V g 0P 0(g) CHUNG NHAU MËT HM NHÄ LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n - N«m 2015
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM MA THÀ NHUNG V HM PHN HNH f 0P 0(f ) V g 0P 0(g) CHUNG NHAU MËT HM NHÄ Chuy¶n ng nh: GII TCH M¢ sè: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc PGS.TS H TRN PH×ÌNG Th¡i Nguy¶n - N«m 2015
i Líi cam oan Tæi xin cam oan r¬ng nëi dung tr¼nh b y trong luªn v«n n y l trung thüc v khæng tròng l°p vîi c¡c · t i kh¡c ¢ cæng bè ð Vi»t Nam. Tæi công xin cam oan r¬ng måi sü gióp ï cho vi»c thüc hi»n luªn v«n n y ¢ ÷ñc c£m ìn v c¡c thæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc. Th¡i nguy¶n, th¡ng 8 n«m 2015 Ng÷íi vi¸t Luªn v«n Ma Thà Nhung X¡c nhªn X¡c nhªn cõa tr÷ðng khoa chuy¶n mæn cõa ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc PGS.TS H Tr¦n Ph÷ìng
ii Líi c£m ìn º ho n th nh ÷ñc luªn v«n, tæi luæn nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n v gióp ï nhi»t t¼nh cõa PGS.TS H Tr¦n Ph÷ìng (Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m Th¡i Nguy¶n). Tæi xin ch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n th¦y v xin gûi líi tri ¥n nh§t cõa tæi èi vîi nhúng i·u th¦y ¢ d nh cho tæi. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn L¢nh ¤o pháng o t¤o, °c bi»t l c¡c th¦y cæ trüc ti¸p qu£n lþ ¤o t¤o sau ¤i håc, quþ th¦y cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc K21 (2013- 2015) Tr÷íng ¤i håc S÷ Ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u công nh÷ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc. Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúng ng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v t¤o måi i·u ki»n cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n. Xin tr¥n trång c£m ìn! Th¡i nguy¶n, th¡ng 8 n«m 2015 Ng÷íi vi¸t Luªn v«n Ma Thà Nhung
iii Möc löc Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Möc löc iii Mð ¦u 1 1 Mët sè t½nh ch§t v· ph¥n bè gi¡ trà cõa h m ph¥n h¼nh 3 1.1 C¡c h m Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 H m ¸m v t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Hai ành lþ cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Mët sè t½nh ch§t cõa h m ph¥n h¼nh vîi ¤o h m . . . . . 7 1.2.1 Tr÷íng hñp a thùc chùa h m ph¥n h¼nh vîi ¤o h m 7 1.2.2 Bê · ch¼a khâa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 V§n · duy nh§t khi a thùc chùa ¤o h m chung nhau mët h m nhä 21 2.1 X¡c ành duy nh§t h m ph¥n h¼nh . . . . . . . . . . . . . 21 l 2.1.1 Tr÷íng hñp P 0 = b(x − a1 )n (x − ai )ki . . . . . . 21 Q i=2
iv l 2.1.2 Tr÷íng hñp P = b(x − a1 ) 0 n (x − ai ) . . . . . . . 31 Q i=2 2.2 X¡c ành duy nh§t h m nguy¶n . . . . . . . . . . . . . . . 36 l 2.2.1 Tr÷íng hñp P = b(x − a1 ) 0 n (x − ai )ki . . . . . . 36 Q i=1 l 2.2.2 Tr÷íng hñp P 0 = b(x − a1 )n (x − ai ) . . . . . . . 42 Q i=1 K¸t luªn 46 T i li»u tham kh£o 47
1 Mð ¦u Mët ùng döng quan trång cõa Lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà Nevanlinna l nghi¶n cùu sü x¡c ành duy nh§t cõa mët h m ph¥n h¼nh thæng qua £nh ng÷ñc cõa mët tªp húu h¤n. N«m 1926, R. Nevanlinna ÷ñc chùng tä mët h m ph¥n h¼nh tr¶n m°t ph¯ng phùc C ÷ñc x¡c ành mët c¡ch duy nh§t bði £nh ng÷ñc khæng t½nh bëi cõa 5 ph¥n bi»t c¡c gi¡ trà. Cæng tr¼nh n y cõa Æng ÷ñc xem l khði nguçn cho c¡c v§n · nghi¶n cùu v· tªp x¡c ành duy nh§t. V· sau, vi»c nghi¶n cùu sü x¡c ành c¡c h m ph¥n h¼nh bði £nh ng÷ñc cõa mët tªp húu h¤n ph¦n tû ¢ thu hót ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh to¡n håc trong v ngo i n÷îc. N«m 1976, F.Gross ([8]) ¢ °t ra c¥u häi: "tçn t¤i mët tªp hñp húu h¤n S , i·u ki»n E(S, f ) = E(S, f ) k²o theo f ≡ g ?". N«m 1995, H.X. Yi ([14]) tr£ líi c¥u tr£ líi c¥u häi cõa Gross trong tr÷íng hñp h m nguy¶n v n«m 1998, G. Frank v M.Reinders ([6]) ¢ nghi¶n cùu trong tr÷íng hñp h m ph¥n h¼nh. Trong thüc t¸, c¥u häi cõa Gross câ thº ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: kh¯ng ành tçn t¤i hay khæng a thùc P sao cho vîi b§t cù c°p h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng f v g ta câ f ≡ g n¸u P (f ) v P (g) chung nhau mët gi¡ trà mët gi¡ trà CM? Mët c¡ch tü nhi¶n, ta ÷a ra c¥u häi sau: tçn t¤i hay khæng a thùc chùa ¤o h m P sao cho vîi b§t cù c°p h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng f v g ta câ f ≡ g n¸u P (f ) v P (g) chung nhau mët gi¡ trà CM? ¢ câ mët sè cæng tr¼nh cæng bè theo h÷îng nghi¶n cùu n y. Ch¯ng h¤n n«m 2001, M. L. Fang and W. Hong ([7]) ¢ chùng minh: Cho f v g l hai h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t, n ≥ 11 l mët sè nguy¶n d÷ìng. N¸u f n(f − 1)f 0 v gn(g − 1)g0 chung nhau gi¡ trà 1 kº c£ bëi th¼ f = g. N«m 2004, W. C. Lin v H. X. Yi ([12]) chùng minh: Cho f v g l hai h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t, n ≥ 13 l mët sè nguy¶n d÷ìng.
2 N¸u f n(f − 1)2f 0 v gn(g − 1)2g0 chung nhau z kº c£ bëi th¼ f = g.... Vîi mong muèn t¼m hiºu v§n · h m ph¥n h¼nh ÷ñc x¡c ành mët c¡ch duy nh§t bði i·u ki»n ¤i sè câ chùa ¤o h m chóng tæi chån · t i V· h m ph¥n h¼nh f 0 P 0 (f ) v g 0 P 0 (g) chung nhau mët h m nhä . Möc ½ch ch½nh cõa luªn v«n l tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ ÷ñc cæng bè v o n«m 2013 bði K. Boussaf, A. Escassut v J. Ojeda trong [2]. Luªn v«n n y gçm câ hai ch÷ìng nh÷ sau: Ch÷ìng 1: Mët sè ki¸n thùc cì b£n trong lþ thuy¸t Nevanlinna. Trong ch÷ìng n y chóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n trong lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà Nevanlinna cho c¡c h m ph¥n h¼nh, chùng minh mët sè bê · sû döng trong vi»c chùng minh c¡c k¸t qu£ ch½nh trong Ch÷ìng 2. Ch÷ìng 2: V§n · duy nh§t khi a thùc chùa ¤o h m chung nhau mët h m nhä. ¥y l ch÷ìng ch½nh cõa luªn v«n, chóng tæi tr¼nh b y l¤i mët sè k¸t qu£ nguy¶n cùu cõa K. Boussaf, A. Escassut v J. Ojeda v· i·u ki»n ¤i sè cõa a thùc chùa ¤o h m º hai h m ph¥n h¼nh l b¬ng nhau.
3 Ch÷ìng 1 Mët sè t½nh ch§t v· ph¥n bè gi¡ trà cõa h m ph¥n h¼nh 1.1 C¡c h m Nevanlinna 1.1.1 H m ¸m v t½nh ch§t º thuªn ti»n cho vi»c theo dãi c¡c v§n · tr¼nh b y trong luªn v«n, tr÷îc h¸t chóng tæi nhc l¤i mët sè kh¡i ni»m trong lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà cõa Nevanlinna. C¡c ki¸n thùc n y câ thº t¼m th§y trong nhi·u t i li»u, ch¯ng h¤n trong [2]. Cho f l mët h m ph¥n h¼nh tr¶n DR = {z ∈ C : |z| ≤ R} v mët sè thüc r > 0, trong â 0 < R ≤ ∞ v 0 < r < R. ành ngh¾a 1.1.1. H m 2π 1 Z m(r, f ) = log+ |f (reiϕ )|dϕ 2π 0 l h m x§p x¿ cõa h m f . Ta k½ hi»u n(r, f ) l sè cüc iºm kº c£ bëi, n(r, f ) l sè cüc iºm ph¥n bi»t cõa h m f trong Dr . Vîi mët sè nguy¶n d÷ìng ∆, k½ hi»u n[∆] (r, f ) l sè cüc iºm bëi ch°n bði ∆ cõa h m f (tùc l cüc iºm bëi k > ∆ ch¿ ÷ñc t½nh ∆ l¦n trong têng n[∆] (r, f )) trong Dr .
4 ành ngh¾a 1.1.2. H m Z r n(t, f ) − n(0, f ) N (r, f ) = dt + n(0, f ) log r, 0 t ÷ñc gåi l h m ¸m kº c£ bëi cõa h m f (cán ÷ñc gåi l h m ¸m t¤i c¡c cüc iºm). H m r n(t, f ) − n(0, f ) Z N (r, f ) = dt + n(0, f ) log r 0 t ÷ñc gåi l h m ¸m khæng kº bëi. H m Z r n[∆] (t, f ) − n[∆] (0, f ) N[∆] (r, f ) = dt + n[∆] (0, f ) log r 0 t ÷ñc gåi l h m ¸m bëi ch°n bði ∆, trong â n(0, f ) = lim n(t, f ); t→0 n(0, f ) = lim n(t, f ); n[∆] (0, f ) = lim n[∆] (t, f ). Sè ∆ trong N[∆] (r, f ) t→0 t→0 ÷ñc gåi l ch¿ sè bëi ch°n. Ta k½ hi»u Z(r, f ) = N (r, 1/f ); Z(r, f ) = N (r, 1/f ); Z[∆] (r, f ) = N[∆] (r, 1/f ). ành ngh¾a 1.1.3. H m T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ) gåi l h m °c tr÷ng cõa h m f . C¡c h m N (r, f ), m(r, f ), T (r, f ) ÷ñc gåi chung l c¡c h m Nevanlinna C¡c bê · sau ¥y l mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa h m Nevanlinna:
5 Bê · 1.1.1. Cho c¡c h m ph¥n h¼nh f1, . . . , fp v r > 0. Khi â: p p ! X X 1. m r, fv (z) ≤ m(r, fv (z)) + log p, v=1 v=1 p p ! Y X 2. m r, fv (z) ≤ m(r, fv (z)), v=1 v=1 p p ! X X 3. N r, fv (z) ≤ N (r, fv (z)), v=1 v=1 p p ! Y X 4. N r, fv (z) ≤ N (r, fv (z)), v=1 v=1 p p ! X X 5. T r, fv (z) ≤ T (r, fv (z)) + log p, v=1 v=1 p p ! Y X 6. T r, fv (z) ≤ T (r, fv (z)). v=1 v=1 Trong tr÷íng hñp °c bi»t khi p = 2, f1 = f (z), f2 = a (a l h¬ng sè tòy þ), ta suy ra T (r, f + a) ≤ T (r, f ) + log+ |a| + log 2. V tø â ta câ thº thay th¸ f + a, f bði f, f − a v a bði −a, suy ra |T (r, f ) − T (r, f − a)| ≤ log+ |a| + log 2. Ta k½ hi»u A(C) l v nh c¡c h m ch¿nh h¼nh tr¶n C, M(C) l tr÷íng c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶n C. Bê · 1.1.2. Cho f, g ∈ M(C), a ∈ C v P (f ) ∈ C[x] l mët a thùc bªc q. Khi â T (r, f + g) ≤ T (r, f ) + T (r, g) + O(1), T (r, f g) ≤ T (r, f ) + T (r, g), T (r, f − a) = T (r, f ) + O(1), T (r, 1/f ) = T (r, f ) + O(1), T (r, P (f )) = qT (r, f ) + O(1).
6 Bê · 1.1.3. Cho f, g ∈ M(C), khi â Z(r, f − a) ≤ T (r, f ) + O(1), ∀a ∈ C, m(r, f g) ≤ m(r, f ) + m(r, g), N (r, f 0 ) = N (r, f ) + N (r, f ), Z(r, f 0 ) ≤ Z(r, f ) + N (r, f ) + Sf (r). Hìn núa, cho Q ∈ C[x] câ bªc q. Th¼ Z(r, f 0 (Q(f ))) ≥ Z(r, Q(f )), N (r, f 0 Q(f )) = (q + 1)N (r, f ) + N (r, f ). f0 Bê · 1.1.4. Cho f ∈ M(C). Khi â m(r, ) = Sf (r) f v T (r, f 0) ≤ T (r, f ) + N (r, f ) + Sf (r). Hìn núa, n¸u f ∈ M(C) th¼ T (r, f 0 ) ≤ T (r, f ) + Sf (r). Bê · 1.1.5. Cho f ∈ M(C). Khi â m(r, f10 ) ≥ m(r, f1 ) + Sf (r). Hìn núa T (r, f ) − Z(r, f ) ≤ T (r, f 0) − Z(r, f 0) + Sf (r). Cho f ∈ M(C) thäa m¢n f 0 (0) 6= 0, ∞, S l tªp con húu h¤n cõa C v r ∈ [0, +∞]. Ta k½ hi»u Z0S (r, f 0 ) l h m ¸m t¤i c¡c khæng iºm cõa f 0 m nâ khæng ph£i l khæng iºm cõa f − s vîi måi s ∈ S . Ngh¾a l , n¸u (γn )n∈N l d¢y húu h¤n ho°c væ h¤n cõa c¡c khæng iºm cõa f 0 tr¶n m khæng ph£i l c¡c khæng iºm cõa f − s vîi måi s ∈ S , vîi bëi sè qn t÷ìng ùng th¼ X Z0S (r, f 0 ) = qn (log r − log |γn |). |γn |≤r ành lþ 1.1.6. Cho a1, ..., an ∈ C vîi n ≥ 2, n ∈ N v f ∈ M(C). °t S = {a1 , ..., an }. Gi£ sû r¬ng khæng câ gi¡ trà n o trong f, f 0 v f − aj vîi 1 ≤ j ≤ n b¬ng 0 ho°c ∞ t¤i iºm gèc th¼, vîi méi r > 0 ta câ n X (n − 1)T (r, f ) ≤ Z(r, f − aj ) + N (r, f ) − Z0S (r, f 0 ) + Sf (r). j=1
7 1.1.2 Hai ành lþ cì b£n ành lþ 1.1.7. Gi£ sû f (z) l h m ph¥n h¼nh trong h¼nh tr¶n DR, 0 < R ≤ ∞, a l sè phùc tòy þ. Khi â ta câ 1 1 m r, + N r, = T (r, f ) − log |f (0) − a| + ε(a, r), f −a f −a trong â ε(a, r) ≤ log+ |a| + log 2. Cho f l h m ph¥n h¼nh v r > 0. H m Nram (r, f ) = N (r, 1/f 0 ) + 2N (r, f ) − N (r, f 0 ), gåi l gi¡ trà ph¥n nh¡nh cõa h m f . D¹ th§y Nram(r, f ) ≥ 0. ành lþ 1.1.8. (ành lþ cì b£n thù hai). Gi£ sû f l h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C, a1, ..., aq ∈ C, (q > 2) l c¡c h¬ng sè ph¥n bi»t. Khi â vîi méi ε > 0, b§t ¯ng thùc q X 1 (q − 1)T (r, f ) + Nram (r, f ) ≤ N (r, ) + N (r, f ) + log T (r, f ) j=1 f − aj + (1 + ε) log+ log T (r, f ) + O(1) óng vîi måi r ≥ r0 n¬m ngo i mët tªp câ ë o Lebesgue húu h¤n. 1.2 Mët sè t½nh ch§t cõa h m ph¥n h¼nh vîi ¤o h m Trong ph¦n n y chóng tæi giîi thi»u mët t½nh ch§t cõa c¡c h m Nevan- linna c¦n thi¸t º chùng minh c¡c k¸t qu£ trong Ch÷ìng 2. C¡c t½nh ch§t n y ÷ñc c¡c t¡c gi£ K. Boussaf, A. Escassut v J. Ojeda chùng minh trong [2]. 1.2.1 Tr÷íng hñp a thùc chùa h m ph¥n h¼nh vîi ¤o h m Cho f (z) l h m ph¥n h¼nh, h m α(z) gåi l h m nhä èi vîi f n¸u lim TT (r,α) (r,f ) = 0. r→∞
8 Ta k½ hi»u Mf (C) l tªp c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶n C l h m nhä èi vîi f , Af (C) l c¡c h m nguy¶n tr¶n C l h m nhä èi vîi f . Bê · 1.2.1. Cho Q ∈ C[x] v f ∈ M(C) l h m si¶u vi»t. Khi â 1 T (r, Q(f )) ≤ T (r, f 0 Q(f )) + m(r, ) f0 v T (r, Q(f )) ≤ T (r, f ) + N (r, f ) + T (r, f 0 Q(f )) + Sf (r), r ∈ [0, +∞]. Hìn núa n¸u deg(Q) ≥ 3, th¼ Mf (C) ⊂ Mf 0 Q(f ) (C). Chùng minh. Ta câ Q(f ) T (r, Q(f )) = N (r, Q(f )) + m(r, f 0 ) f0 1 ≤ N (r, Q(f )) + N (r, f 0 ) + m(r, f 0 Q(f )) + m(r, ). f0 V¼ c¡c cüc iºm cõa f 0 công l cüc iºm cõa Q(f ) (vîi bëi sè kh¡c nhau), ta suy ra N (r, Q(f )) + N (r, f 0 ) = N (r, f 0 Q(f )). Do â 1 N (r, Q(f )) + N (r, f 0 ) + m(r, f 0 Q(f )) + m(r, ) f0 1 = N (r, f 0 Q(f )) + m(r, f 0 Q(f )) + m(r, ) f0 1 = T (r, f 0 Q(f )) + m(r, ), f0 â l b§t ¯ng thùc ¦u ti¶n. Ti¸p theo, ta chùng minh b§t ¯ng thùc thù hai. Ta câ 1 m(r, 0 ) ≤ T (r, f 0 ) + Sf (r) f = m(r, f 0 ) + N (r, f 0 ) + Sf (r). Theo Bê · 1.1.4 ta câ m(r, f 0 ) ≤ m(r, f ) + Sf (r),
9 do â 1 m(r, 0 ) ≤ m(r, f ) + N (r, f 0 ) + Sf (r) f = m(r, f ) + N (r, f ) + N (r, f ) + Sf (r). Tø â suy ra T (r, Q(f )) ≤ T (r, f 0 Q(f )) + T (r, f ) + N (r, f ) + Sf (r) ≤ T (r, f 0 Q(f )) + 2T (r, f ) + Sf (r). Trong tr÷íng hñp °c bi»t, n¸u deg(Q) ≥ 3 th¼ k¸t qu£ tr¶n l b§t ¯ng thùc luæn óng. Bê · 1.2.2. Cho Q ∈ C[x] v f, g ∈ M(C) (t÷ìng ùng f, g ∈ A(C)) l c¡c h m si¶u vi»t. Cho P (x) = xn+1Q(x) vîi n ≥ deg(Q) + 3 (t÷ìng ùng n ≥ deg(Q) + 2). N¸u P 0 (f )f 0 = P 0 (g)g 0 th¼ P (f ) = P (g). Chùng minh. °t k = deg(Q). V¼ P 0 (f )f 0 = P 0 (g)g 0 , n¶n tçn t¤i c ∈ C sao cho P (f ) = P (g) + c. Gi£ sû r¬ng c 6= 0, theo ành lþ 1.1.6 ta câ T (r, P (f )) ≤ Z(r, P (f )) + Z(r, P (f ) − c) + N (r, P (f )) + Sf (r). (1.1) Rã r ng ta th§y r¬ng Z(r, P (f )) = Z(r, f n+1 Q(f )) = Z(r, f Q(f )) ≤ T (r, f Q(f )). Theo Bê · 1.1.2 ta câ T (r, f Q(f )) = (k + 1)T (r, f ) + O(1), do â Z(r, P (f )) ≤ (k + 1)T (r, f ) + O(1). Ta công câ Z(r, P (f ) − c) = Z(r, P (g)) ≤ Z(r, g) + Z(r, Q(g)) ≤ T (r, g) + T (r, Q(g)). Theo Bê · 1.1.2, ta câ Z(r, P (f ) − c) ≤ (k + 1)T (r, g) + O(1).
10 Chó þ r¬ng N (r, P (f )) = N (r, f ) ≤ T (r, f ) + O(1). Tø (1.1) ta câ T (r, P (f )) ≤ (k + 2)T (r, f ) + (k + 1)T (r, g) + Sf (r), (1.2) (t÷ìng ùng T (r, P (f )) ≤ (k + 1)T (r, f ) + (k + 1)T (r, g) + Sf (r)). (1.3) Theo Bê · 1.1.2 ta câ T (r, P (f )) ≤ (n + k + 1)T (r, f ) + O(1). Tø (2.2) ta suy ra nT (r, f ) ≤ T (r, f ) + (k + 1)T (r, g) + Sf (r), (1.4) (t÷ìng ùng nT (r, f ) ≤ (k + 1)T (r, g) + Sf (r)). (1.5) T÷ìng tü ta công câ nT (r, g) ≤ T (r, g) + (k + 1)T (r, f ) + Sf (r), (1.6) (t÷ìng ùng nT (r, g) ≤ (k + 1)T (r, f ) + Sf (r)). (1.7) Cëng (1.4) vîi (1.6) ta ÷ñc n(T (r, f ) + T (r, g)) ≤ (k + 2)(T (r, f ) + T (r, g)) + Sf (r), do â 0 ≤ (k + 2 − n)(T (r, f ) + T (r, g)) + Sf (r), (t÷ìng ùng 0 ≤ (k + 1 − n)(T (r, f ) + T (r, g)) + Sf (r)). M¥u thu¨n vîi i·u ki»n n ≥ k + 3( t÷ìng ùng n ≥ k + 2) . Vªy c = 0 tø â suy ra P (f ) = P (g).
11 Cho 2 h m ph¥n h¼nh f, g ∈ M(C). °t f 00 2f 0 g 00 2g 0 Ψf,g = 0 − − + . f f − 1 g0 g−1 Bê · 1.2.3. Cho F, G ∈ M(C) kh¡c h¬ng, khæng câ khæng iºm v khæng câ cüc iºm t¤i 0 v chung nhau mët gi¡ trà kº c£ bëi. Gi£ sû Ψf,g = 0 v ! Z(r, f ) + Z(r, g) + N (r, f ) + N (r, g) lim sup 0, n¬m ngo i tªp câ ë o húu h¤n. Khi â, ho°c f = g ho°c f g = 1. Bê · 1.2.4. Cho f, g ∈ M(C) l c¡c h m si¶u vi»t, thäa m¢n (f −a)f n = (g − a)g n vîi a ∈ C, v h = . N¸u h khæng çng nh§t b¬ng 1 th¼ f g hn − 1 hn+1 − h g = n+1 , f = n+1 . h −1 h −1 Bê · 1.2.5. Cho f, g ∈ M(C) thäa m¢n f (0) 6= 0, ∞ chung nhau mët gi¡ trà kº c£ bëi. N¸u Ψf,g khæng çng nh§t b¬ng 0 th¼ max(T (r, f ), T (r, g)) ≤ N[2] (r, f ) + Z[2] (r, f ) + N[2] (r, g) + Z[2] (r, g) + Sf (r) + Sg (r). °c bi»t, n¸u f, g ∈ A(C) th¼ ta câ max(T (r, f ), T (r, g)) ≤ Z[2] (r, f ) + Z[2] (r, g) + Sf (r) + Sg (r). 1.2.2 Bê · ch¼a khâa l Bê · 1.2.6. Cho P (x) = (x − a1)n Q (x − ai)k ∈ C[x] (ai 6= aj , ∀i 6= j) i i=1 vîi l ≥ 2 v n ≥ max{k2, ..., kl } v cho k = Pli=2 ki. Cho f, g ∈ M(C) l c¡c h m si¶u vi»t v θ = P (f )f 0P (g)g0. N¸u θ ∈ Mf (C) ∩ Mg (C), th¼ ta câ c¡c i·u sau ¥y: n¸u l = 2 th¼ n ∈ {k, k + 1, 2k, 2k + 1, 3k + 1}, n¸u l = 3 th¼ n ∈ { k2 , k + 1, 2k + 1, 3k2 − k, 3k3 − k}, n¸u l ≥ 4 th¼ n = k + 1.
12 Hìn núa, n¸u f, g thuëc A(C) th¼ θ khæng thuëc Af (C). Chùng minh. Khæng m§t t½nh têng qu¡t ta câ thº gi£ thi¸t r¬ng a1 = 0. Gi£ sû f, g ∈ M(C) thäa m¢n l ! l ! Y Y fn (f − ai )ki f 0 g n (g − ai )ki g 0 = θ. (1.8) i=2 i=2 Kþ hi»u l tªp c¡c khæng iºm v cüc iºm cõa θ. ¦u ti¶n ta s³ ch¿ P ra r¬ng P 0 (f ) v P 0 (g) nhªn c¡c khæng iºm v cüc iºm ngo i . Thªt P vªy, gi£ sû r¬ng khæng câ khæng iºm v cüc iºm cõa f 0 P 0 (f ) thuëc . P V¼ vªy, måi khæng iºm v måi cüc iºm cõa f 0 P 0 (f ) kh¡c ph£i l mët khæng iºm ho°c l mët cüc iºm cõa θ. Do â Z(r, f 0 P 0 (f )) + N (r, f 0 P 0 (f )) ≤ 2T (r, θ). Thªt vªy, méi khæng iºm cõa f 0 P 0 (f ) ho°c l khæng iºm cõa f 0 ho°c l khæng iºm cõa P 0 (f ) bði v¼ c¡c cüc iºm cõa P 0 (f ) l c¡c cüc iºm cõa f 0 . Suy ra Z(r, P 0 (f )) + N (r, f ) ≤ 2T (r, θ), v suy ra l X Z(r, f − ai ) + N (r, f ) ≤ 2T (r, θ). i=1 Theo ành lþ 1.1.6 ta câ l X (l − 1)T (r, f ) ≤ Z(r, f − ai ) + N (r, f ) + Sf (r), i=1 do â (l − 1)T (r, f ) ≤ 2T (r, θ) + Sf (r), m¥u thu¨n. Suy ra P 0 (f ) nhªn c¡c khæng iºm ho°c cüc iºm khæng thuëc . T÷ìng tü, P 0 (g) nhªn c¡c P khæng iºm v cüc iºm khæng thuëc . P Ta gi£ sû r¬ng f, g ∈ A(C). V¼ c£ f, g khæng câ cüc iºm, måi khæng
13 iºm cõa c£ hai h m tr¶n ·u thuëc . V¼ vªy, ta câ P k X 0 0 0 0 0 Z(r, f P (f )g P (g)) =Z(r, f ) + ki Z(r, f − ai ) i=1 k X 0 + Z(r, g ) + ki Z(r, g − ai ) i=1 v l X Z(r, θ) ≥ Z(r, f − ai ) ≥ (l − 1)T (r, f ) + Sf (r) + Sg (r), i=1 m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t. Suy ra f 0 P 0 (f )g 0 P 0 (g) khæng thº thuëc Af (C) ho°c Ag (C). B¥y gií, ta quay l¤i tr÷íng hñp têng qu¡t v gi£ sû r¬ng f, g l c¡c h m ph¥n h¼nh. Cho γ ∈ C \ l khæng iºm cõa g câ bªc s. Rã r ng, theo P (1.8) γ l cüc iºm cõa f câ bªc gi£ sû l t. Do γ khæng ph£i l khæng iºm m công khæng ph£i l cüc iºm cõa θ ta câ thº suy ra c¡c mèi li¶n h» sau: s(n + 1) = t(n + k + 1) + 2. (1.9) Ti¸p theo, ta gi£ sû r¬ng vîi i ∈ {2, ..., l}, g − ai câ khæng iºm γ ∈ C \ P câ bªc si . Nâ l cüc iºm cõa f câ bªc ti . V¼ vªy, theo (1.9) ta câ si (ki + 1) = ti (n + k + 1) + 2. (1.10) Tø (1.9) v (1.10) ta suy ra s > t v si > ti . X²t cüc iºm γ ∈ C \ cõa f . Ta th§y γ l khæng iºm cõa g , ho°c P l khæng iºm cõa g − ai vîi méi i ∈ {2, ..., l}, ho°c l khæng iºm cõa g 0 m khæng ph£i l khæng iºm cõa g m công khæng ph£i l khæng iºm cõa g − ai (∀i ∈ {2, ..., l}). Cho Z0 (r, g 0 ) l h m ¸m c¡c khæng iºm cõa g 0 khæng ph£i l cüc iºm cõa g v cõa g − ai vîi måi i ∈ {2, ..., l} ( ¸m c£ bëi ) v Z 0 (r, g 0 ) l h m ¸m c¡c khæng iºm cõa g 0 m khæng ph£i l khæng iºm cõa g v cõa g − ai vîi måi i ∈ {2, ..., l} khæng kº bëi. V¼ T (r, θ) = Sf (r) = Sg (r), ta câ l X N (r, f ) ≤ N (r, g) + Z(r, g − ai ) + Z 0 (r, g 0 ) + Sf (r) + Sg (r). (1.11) i=2
14 Theo ành lþ 1.1.6, ta câ l X (l − 1)T (r, f ) ≤Z(r, f ) + Z(r, f − ai ) + N (r, f ) i=2 − Z0 (r, f 0 ) + Sf (r). Do â tø (1.11) ta câ l X (l − 1)T (r, f ) ≤ Z(r, f ) + Z(r, f − ai ) + Z(r, g) i=2 l X + Z(r, g − ai ) + Z 0 (r, g 0 ) − Z0 (r, f 0 ) + Sf (r) + Sg (r). i=2 (1.12) T÷ìng tü ta công câ l X (l − 1)T (r, g) ≤Z(r, g) + Z(r, g − ai ) + Z(r, f ) + Z 0 (r, f 0 ) i=2 l X + Z(r, f − ai ) − Z0 (r, g 0 ) + Sf (r) + Sg (r). (1.13) i=2 K¸t hñp (1.12) v (1.13) ta ÷ñc (l − 1)(T (r, f ) + T (r, g)) l l ! X X ≤ 2 Z(r, g) + Z(r, g − ai ) + Z(r, f ) + Z(r, f − ai ) i=2 i=2 + Sf (r) + Sg (r). (1.14) Tr÷íng hñp l = 2. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta câ thº gi£ thi¸t a2 = 1. Gi£ sû r¬ng t§t c£ c¡c khæng iºm cõa f, f − 1, g, g − 1 câ bªc lîn hìn 5, trø ra nhúng iºm