Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về phương pháp lồi lôgarit và một vài ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày phương pháp lồi lôgarit và một số ứng dụng của phương pháp để ổn định hóa bài toán đặt không chỉnh trong phương trình đạo hàm riêng. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về phương pháp lồi lôgarit và một vài ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- PHẠM LỆ QUYÊN VỀ PHƢƠNG PHÁP LỒI LÔGARIT VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- PHẠM LỆ QUYÊN VỀ PHƢƠNG PHÁP LỒI LÔGARIT VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng Mã số: 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Bùi Việt Hƣơng THÁI NGUYÊN - 2019
Möc löc Mð ¦u 1 1 KIN THÙC CHUN BÀ 3 1.1. Tªp lçi. H m lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Tªp lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. H m lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Mët sè ki¸n thùc cì sð v· ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng . . . . . . . . . 8 1.2.1. Ph¥n lo¤i ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh c§p hai . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2. M°t °c tr÷ng. B i to¡n Cauchy vîi dú ki»n cho tr¶n m°t °c tr÷ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3. Sü phö thuëc li¶n töc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3. Ph÷ìng ph¡p lçi lægarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 MËT VI ÙNG DÖNG CÕA PH×ÌNG PHP LÇI LÆGARIT 20 2.1. Ùng döng trong b i to¡n Cauchy cho ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.1. Ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2. ¡nh gi¡ ên ành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Ùng döng trong b i to¡n Cauchy cho ph÷ìng tr¼nh Laplace . . . . . . . 28 2.2.1. Ph÷ìng tr¼nh Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2. ¡nh gi¡ ên ành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 T i li»u tham kh£o 40
MÐ U B i to¡n °t khæng ch¿nh xu§t hi»n trong nhi·u l¾nh vüc ùng döng. B i to¡n n y câ li¶n quan ¸n àa vªt lþ, vªt lþ plasma, c¡c b i to¡n v· l¾nh vüc i»n sinh håc... Trong mët b i b¡o nêi ti¸ng cõa Hadamard, b i to¡n n y l¦n ¦u ti¶n ÷ñc giîi thi»u nh÷ l mët v½ dö kinh iºn v· b i to¡n °t khæng ch¿nh. °c iºm nêi bªt cõa b i to¡n n y l mët thay êi nhä trong dú ki»n công câ thº d¨n ¸n mët sai l»ch lîn v· nghi»m cõa b i to¡n. Hadamard cho r¬ng c¡c b i to¡n °t khæng ch¿nh khæng câ þ ngh¾a vªt l½. Ch½nh v¼ vªy, vi»c nghi¶n cùu c¡c b i to¡n °t khæng ch¿nh º t¼m ra c¡c ¡nh gi¡ ên ành v c¡c ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa l mët vi»c quan trång. Ph÷ìng ph¡p lçi lægarit l mët trong nhúng ph÷ìng ph¡p dòng º ên ành hâa c¡c b i to¡n °t khæng ch¿nh trong ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng. Ph÷ìng ph¡p n y ÷ñc nghi¶n cùu bði Pucci (1955), John (1955, 1960), Lavrentiev (1956) and Payne (1960), inh Nho H o v Nguy¹n V«n ùc (2009, 2010, 2011). ¥y l k¾ thuªt ¡nh gi¡ düa tr¶n c¡c b§t ¯ng thùc bªc hai v· ¤o h m º ÷a ra giîi h¤n tr¶n v giîi h¤n d÷îi cho mët h m lçi lægarit, ¥y l mët h m cõa nghi»m. C¡c ¡nh gi¡ â ÷ñc dòng º thi¸t lªp t½nh duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n v ta câ thº chùng minh ÷ñc sü phö thuëc li¶n töc cõa nghi»m v o dú ki»n ¢ cho theo mët ngh¾a n o â. Luªn v«n tr¼nh b y v· ph÷ìng ph¡p lçi lægarit v mët sè ùng döng cõa ph÷ìng ph¡p º ên ành hâa b i to¡n °t khæng ch¿nh trong ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng. Cö thº, luªn v«n gçm hai ch÷ìng: Ch÷ìng 1, t¡c gi£ tr¼nh b y v· h m lçi, mët v i ki¸n thùc cì b£n cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng v ph÷ìng ph¡p lçi lægarit; Ch÷ìng 2, t¡c gi£ tr¼nh b y hai b i to¡n minh håa cho ph÷ìng 1
ph¡p n y, â l b i to¡n Cauchy cho ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian v b i to¡n Cauchy cho ph÷ìng tr¼nh Laplace. ¥y l c¡c b i to¡n °t khæng ch¿nh v t¡c gi£ ¢ sû döng ph÷ìng ph¡p lçi lægarit º ÷a ra ¡nh gi¡ ên ành cho nghi»m cõa c¡c b i to¡n n y vîi i·u ki»n ÷ñc bê sung. Ph¦n cuèi Ch÷ìng 2, t¡c gi£ câ tr¼nh b y th¶m mët b i to¡n câ thº xem nh÷ mð rëng cõa b i to¡n Cauchy cho ph÷ìng tr¼nh Laplace. Luªn v«n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS. Bòi Vi»t H÷ìng. Cæ ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, ch¿ b£o em trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v nghi¶n cùu. Em xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi Cæ. Em công xin b y tä láng bi¸t ìn tr¥n th nh tîi Th¦y Cæ gi¡o khoa To¡n - Tin, tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh gi£ng d¤y v t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi trong qu¡ tr¼nh em håc tªp v nghi¶n cùu t¤i tr÷íng. Em xin tr¥n th nh c£m ìn TS. Mai Vi¸t Thuªn v TS. Tr÷ìng Minh Tuy¶n ¢ d nh sü quan t¥m v câ nhúng líi ëng vi¶n kàp thíi º em cè gng ho n th nh luªn v«n n y. Cuèi còng em xin c£m ìn gia ¼nh, b¤n b± v chçng em ¢ luæn ð b¶n ëng vi¶n, t¤o i·u ki»n cho em trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n. 2
Ch÷ìng 1 KIN THÙC CHUN BÀ 1.1. Tªp lçi. H m lçi Möc n y tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m, ành ngh¾a v k¸t qu£ c¦n thi¸t li¶n quan ¸n h m lçi v tªp lçi. Nëi dung cõa möc ÷ñc tham kh£o tø [2]. 1.1.1. Tªp lçi ành ngh¾a 1.1 Cho hai iºm a, b ∈ Rn. i) ÷íng th¯ng i qua hai iºm a v b l tªp hñp câ d¤ng {x ∈ Rn |x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ R}. ii) o¤n th¯ng i qua hai iºm a v b l tªp hñp câ d¤ng {x ∈ Rn |x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ [0, 1]}. ành ngh¾a 1.2 Tªp C ⊂ Rn ÷ñc gåi l tªp lçi n¸u C chùa måi o¤n th¯ng nèi hai iºm b§t ký cõa nâ, tùc l ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1], ta câ λx + (1 − λ)y ∈ C. ành ngh¾a 1.3 i) Ta nâi x l tê hñp lçi cõa c¡c iºm (vectì) x1, x2, · · · , xk n¸u k X k X x= λj x vîi λj > 0, ∀j = 1, 2, · · · , k v j λj = 1. j=1 j=1 3
ii) Ta nâi x l tê hñp affine cõa c¡c iºm (vectì) x1 , x2 , · · · , xk n¸u k X k X x= λj x vîi j λj = 1. j=1 j=1 M»nh · 1.1 Tªp hñp C l lçi khi v ch¿ khi nâ chùa måi tê hñp lçi cõa c¡c k iºm cõa nâ, tùc l vîi måi k ∈ N, vîi måi λ1 , λ2 , · · · , λk > 0 sao cho P λj = 1 j=1 v vîi måi x1 , x2 , · · · , xk ∈ C ta câ k X λj xj ∈ C. j=1 ành ngh¾a 1.4 Mët tªp C ÷ñc gåi l nân n¸u vîi måi λ > 0, vîi måi x ∈ C ta câ λx ∈ C . i) Mët nân ÷ñc gåi l nân lçi n¸u nâ l tªp lçi. ii) Mët nân lçi ÷ñc gåi l nân nhån n¸u nâ khæng chùa ÷íng th¯ng, khi â ta nâi 0 l ¿nh cõa nân. N¸u nân n y l mët tªp lçi a di»n th¼ ta nâi nâ l nân lçi a di»n. ành ngh¾a 1.5 Cho C ⊂ Rn l mët tªp lçi v x ∈ C . i) Tªp NC (x) = {w : hw, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ C}, ÷ñc gåi l nân ph¡p tuy¸n (ngo i) cõa C t¤i x. ii) Tªp −NC (x) = {w : hw, y − xi ≥ 0, ∀y ∈ C}, ÷ñc gåi l nân ph¡p tuy¸n (trong) cõa C t¤i x. ành lþ 1.1 (ành lþ x§p x¿ tuy¸n t½nh tªp lçi) Måi tªp lçi, âng, kh¡c réng v khæng tròng vîi to n bë khæng gian ·u l giao cõa t§t c£ c¡c nûa khæng gian tüa cõa nâ. 4
ành ngh¾a 1.6 Cho hai tªp C v D kh¡c réng, ta nâi si¶u ph¯ng aT x = α t¡ch C v D n¸u aT x ≤ α ≤ aT y, ∀a ∈ C, y ∈ D. Ta nâi si¶u ph¯ng aT x = α t¡ch ch°t C v D n¸u aT x < α < aT y, ∀a ∈ C, y ∈ D. Ta nâi si¶u ph¯ng aT x = α t¡ch m¤nh C v D n¸u sup aT x < α < inf aT y, ∀a ∈ C, y ∈ D. x∈C y∈D ành lþ 1.2 (ành lþ t¡ch 1) Cho C v D l hai tªp lçi, kh¡c réng trong Rn sao cho C ∩ D = ∅. Khi â câ mët si¶u ph¯ng t¡ch C v D. ành lþ 1.3 (ành lþ t¡ch 2) Cho C v D l hai tªp lçi, âng, kh¡c réng trong Rn sao cho C ∩ D = ∅. Gi£ sû ½t nh§t mët trong hai tªp l tªp compact. Khi â, hai tªp n y câ thº t¡ch m¤nh ÷ñc bði mët si¶u ph¯ng. 1.1.2. H m lçi Cho C ⊂ Rn l tªp lçi v f : C → R. Ta k½ hi»u domf = {x ∈ C : f (x) < +∞}, epif = {(x, α) ∈ C × R : f (x) ≤ α}. ành ngh¾a 1.7 Tªp domf ÷ñc gåi l mi·n húu hi»u cõa f . Tªp epif ÷ñc gåi l tr¶n ç thà cõa f . B¬ng c¡ch °t f (x) = +∞ n¸u x ∈ / C , ta câ thº coi f x¡c ành tr¶n to n khæng gian. Khi â, ta câ domf = {x ∈ Rn : f (x) ≤ +∞}, epif = {(x, α) ∈ Rn × R : f (x) ≤ α}. 5
ành ngh¾a 1.8 Cho C ⊂ Rn, C 6= ∅ l tªp lçi v f : C → [−∞, +∞]. Ta nâi f l h m lçi tr¶n C n¸u epif l tªp lçi trong Rn+1 . ành ngh¾a tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi: ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) ta câ f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y). Nhªn x²t 1.1 V· m°t h¼nh håc, ÷íng cong biºu di¹n mët h m lçi ph£i thäa m¢n hai t½nh ch§t sau i) khæng n¬m tr¶n o¤n th¯ng nèi b§t ký hai iºm n o thuëc ÷íng cong. ii) khæng n¬m d÷îi ti¸p tuy¸n t¤i b§t ký iºm n o thuëc ÷íng cong. V· m°t gi£i t½ch, nhªn x²t tr¶n câ thº biºu di¹n d÷îi d¤ng b§t ¯ng thùc sau f (b) − f (a) f (a) + f 0 (a)(x − a) ≤ f (x) ≤ f (a) + (x − a). (1.1) b−a ành ngh¾a 1.9 Cho C ⊂ Rn, C 6= ∅ l tªp lçi. i) H m f : Rn → [−∞, +∞] ÷ñc gåi l lçi ch°t tr¶n C n¸u f [λx + (1 − λ)y] < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1). ii) H m f : Rn → [−∞, +∞] ÷ñc gåi l lçi m¤nh tr¶n C vîi h» sè η > 0 n¸u vîi måi x, y ∈ C, vîi måi λ ∈ (0, 1) 1 f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − ηλ(1 − λ)kx − yk2 . 2 6
iii) H m f : Rn → [−∞, +∞] ÷ñc gåi l h m lãm tr¶n C n¸u −f l h m lçi tr¶n C . M»nh · 1.2 Mët h m f : C → R l h m lçi tr¶n C khi v ch¿ khi vîi måi x, y ∈ C , vîi måi α, β thäa m¢n f (x) < α, f (y) < β , vîi måi sè λ ∈ [0, 1] ta câ f [λx + (1 − λ)y] ≤ λα + (1 − λ)β. V½ dö 1.1 Mët sè v½ dö v· h m lçi i) Chu©n Euclide ||x|| l mët h m lçi tr¶n Rn , trong â x ∈ Rn . ii) Cho C ⊂ Rn l tªp lçi kh¡c réng, h m ch¿ cõa C , ÷ñc ành ngh¾a  0 n¸u x ∈ C  δC (x) := +∞ n¸u x ∈  /C l mët h m lçi. iii) Cho C ⊂ Rn l tªp lçi kh¡c réng, h m tüa cõa C , ÷ñc ành ngh¾a SC (x) := suphy, xi y∈C l mët h m lçi. iv) Cho C ⊂ Rn l tªp lçi kh¡c réng, h m kho£ng c¡ch ¸n tªp C , ÷ñc ành ngh¾a dC (x) := min kx − yk y∈C l mët h m lçi. ành ngh¾a 1.10 H m f ÷ñc gåi l h m ch½nh th÷íng n¸u domf 6= ∅ v f (x) > −∞ vîi måi x. ành ngh¾a 1.11 H m f ÷ñc gåi l h m âng n¸u epif l tªp âng trong khæng gian Rn+1 . 7
Nhªn x²t 1.2 N¸u f l mët h m lçi th¼ dom f l tªp lçi. ành ngh¾a 1.12 H m f ÷ñc gåi l thu¦n nh§t d÷ìng (bªc 1) tr¶n Rn n¸u f (λx) = λf (x), ∀x ∈ Rn , ∀λ > 0. M»nh · 1.3 Cho f l h m thu¦n nh§t d÷ìng tr¶n Rn . Khi â f l h m lçi khi v ch¿ khi f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ Rn . M»nh · 1.4 N¸u f1, f2 l c¡c h m lçi, ch½nh th÷íng th¼ f1 + f2 công l h m lçi. H» qu£ 1.3.1 (Têng qu¡t) N¸u f1, f2, · · · , fm l c¡c h m lçi, ch½nh th÷íng v λ1 , λ2 , · · · , λm l c¡c sè d÷ìng th¼ h m λ1 f1 + λ2 f2 + · · · + λm fm l h m lçi. 1.2. Mët sè ki¸n thùc cì sð v· ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng Trong möc n y, chóng tæi · cªp ¸n mët v i v§n · cì b£n v· ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng. C¡c ki¸n thùc n y ÷ñc tham kh£o tø [1]. Mët ph÷ìng tr¼nh li¶n h» giúa ©n h m u(x1 , x2 , . . . , xn ), c¡c bi¸n ëc lªp x1 , x2 , . . . , xn v c¡c ¤o h m ri¶ng cõa nâ ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤o h m ri¶ng. Nâ câ d¤ng ∂u ∂u ∂ku F x1 , x2 , . . . , xn , u, ,..., , . . . , k1 , . . . = 0, ∂x1 ∂xn ∂x1 ...∂xknn trong â F l mët h m n o â cõa c¡c èi sè cõa nâ; k = (k1 , k2 , . . . , kn ) l mët bë gçm c¡c sè nguy¶n khæng ¥m, thäa m¢n |k| = k1 + k2 + . . . + kn v ÷ñc gåi l mët a ch¿ sè. C§p cao nh§t cõa ¤o h m ri¶ng cõa h m u câ m°t trong ph÷ìng tr¼nh ÷ñc gåi l c§p cõa ph÷ìng tr¼nh. Ch¯ng h¤n ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai cõa 8
h m hai bi¸n câ d¤ng ∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u F x, y, , , 2 , , = 0. ∂x ∂y ∂x ∂x∂y ∂y 2 Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ÷ñc gåi l tuy¸n t½nh n¸u nh÷ nâ tuy¸n t½nh èi vîi ©n h m v t§t c£ c¡c ¤o h m ri¶ng cõa nâ. Ch¯ng h¤n ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh c§p hai câ d¤ng ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u a(x, y) 2 + b(x, y) + c(x, y) 2 + d(x, y) + e(x, y) + f (x, y)u ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y = g(x, y). Trong nëi dung cõa luªn v«n, ta ch¿ x²t c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai. V º ìn gi£n, ta vi¸t ux , uy , uxx , uxy , uyy thay cho c¡c kþ hi»u ∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u , , , , . ∂x ∂y ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 Nh÷ ta ¢ bi¸t, hai b i to¡n quan trång trong ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng l i) B i to¡n gi¡ trà ban ¦u (I.V.P) ii) B i to¡n gi¡ trà bi¶n (B.V.P) B i to¡n gi¡ trà ban ¦u th÷íng ÷ñc gåi l b i to¡n Cauchy. Vîi b i to¡n gi¡ trà bi¶n: n¸u i·u ki»n bi¶n câ d¤ng B(u) = u tr¶n ∂Ω th¼ b i to¡n ÷ñc gåi l b i to¡n bi¶n Dirichlet; n¸u i·u ki»n bi¶n câ d¤ng B(u) = ∇u · n vîi n l v²c tì ph¡p tuy¸n ìn và ngo i tr¶n ∂Ω th¼ b i to¡n ÷ñc gåi l b i to¡n bi¶n Neumann; n¸u i·u ki»n câ d¤ng B(u) = λu + µ∇ · n vîi λ, µ l c¡c h¬ng sè th¼ b i to¡n ÷ñc gåi l b i to¡n bi¶n Robin hay b i to¡n bi¶n hén hñp. 1.2.1. Ph¥n lo¤i ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh c§p hai X²t ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh c§p hai n X aij (x1 , x2 , . . . , xn )uxi xj + F (x1 , x2 , . . . , xn , u, ux1 , ux2 , . . . , uxn ) = 0, (1.2) i,j=1 9
trong â aij = aij v l c¡c h m cõa bi¸n x1 , x2 , . . . , xn . Gi£ sû x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn . X²t ma trªn A(x) = kaij (x)k. Ta câ thº coi A(x) l mët ma trªn èi xùng. Ta cè ành iºm x0 = (x01 , x02 , . . . , x0n ) n o â. Khi â, A(x) l mët ma trªn h¬ng A(x0 ). Ph÷ìng tr¼nh det (A(x0 ) − λE) = 0, (1.3) trong â E l ma trªn ìn và, λ l mët sè thüc, ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng cõa (1.2) t¤i iºm x0 . V ta câ ành ngh¾a sau ành ngh¾a 1.13 i) Ph÷ìng tr¼nh (1.2) ÷ñc gåi l thuëc lo¤i eliptic t¤i iºm x0 n¸u t¤i iºm â ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng (1.3) câ n nghi»m kh¡c 0 v còng mët d§u. (Trong tr÷íng hñp n y, d¤ng to n ph÷ìng t÷ìng ùng vîi nâ n X aij (x0 )ti tj i,j=1 l mët d¤ng x¡c ành d÷ìng ho°c x¡c ành ¥m.) ii) Ph÷ìng tr¼nh (1.2) ÷ñc gåi l thuëc lo¤i hypecbolic t¤i iºm x0 n¸u t¤i iºm â ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng (1.3) câ n nghi»m kh¡c 0 v thäa m¢n câ (n − 1) nghi»m còng d§u, mët nghi»m cán l¤i kh¡c d§u. iii) Ph÷ìng tr¼nh (1.2) ÷ñc gåi l thuëc lo¤i parabolic t¤i iºm x0 n¸u t¤i iºm â ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng (1.3) câ n nghi»m, trong â câ mët nghi»m b¬ng 0 v (n − 1) nghi»m cán l¤i kh¡c 0 v còng d§u. N¸u nh÷ t¤i måi iºm trong mi·n Ω ⊂ Rn , ph÷ìng tr¼nh (1.2) thuëc còng mët lo¤i th¼ ta nâi r¬ng ph÷ìng tr¼nh (1.2) thuëc lo¤i â trong Ω. Khi n = 2, ta x²t ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh c§p hai sau a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0. (1.4) 10
Trong tr÷íng hñp n y, ma trªn A câ d¤ng   a(x, y) b(x, y) A(x, y) =  . b(x, y) c(x, y) X²t iºm (x0 , y0 ) ∈ R2 cè ành, ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng câ d¤ng det (A − λE) = (a − λ)(c − λ) − b2 = λ2 − (a + c)λ + ac − b2 = 0. Do â, ph÷ìng tr¼nh (1.4) t¤i iºm (x0 , y0 ) ÷ñc gåi l i) thuëc lo¤i elliptic n¸u t¤i iºm â b2 − ac < 0, ii) thuëc lo¤i hypecbolic n¸u t¤i iºm â b2 − ac > 0, iii) thuëc lo¤i parabolic n¸u t¤i iºm â b2 − ac = 0. Chó þ r¬ng, b¬ng ph²p êi bi¸n ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) ta câ thº ÷a ph÷ìng tr¼nh thuëc tøng lo¤i v· c¡c ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng °c bi»t n o â m ta gåi l c¡c d¤ng ch½nh tc. 1.2.2. M°t °c tr÷ng. B i to¡n Cauchy vîi dú ki»n cho tr¶n m°t °c tr÷ng X²t ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh c§p hai n X aij (x)uxi xj + F (x1 , x2 , . . . , xn , u, ux1 , ux2 , . . . , uxn ) = 0. (1.5) i,j=1 T÷ìng ùng vîi nâ ta thi¸t lªp ph÷ìng tr¼nh n X aij (x)ωxi ωxj = 0. (1.6) i,j=1 11
Ph÷ìng tr¼nh (1.6) ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh c¡c m°t °c tr÷ng (hay ph÷ìng tr¼nh c¡c ÷íng °c tr÷ng khi n = 2). M°t S ÷ñc gåi l m°t °c tr÷ng cõa ph÷ìng tr¼nh (1.5) n¸u ph÷ìng tr¼nh cõa nâ câ thº vi¸t ÷ñc d÷îi d¤ng ω(x1 , x2 , . . . , xn ) = 0, (1.7) trong â h m ω(x1 , x2 , . . . , xn ) tr¶n m°t S thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh (1.6) v Pn i=1 ωxi 6= 0. Khi â, ta câ t½nh ch§t sau 2 ành lþ 1.4 C¡c m°t °c tr÷ng b§t bi¸n qua c¡c ph²p êi bi¸n sè. º t¼m hiºu v· b i to¡n Cauchy vîi dú ki»n cho tr¶n m°t °c tr÷ng, ta x²t S l mët m°t trìn trong khæng gian Rn . T¤i méi iºm x ∈ S , x²t mët h÷îng λ n o §y, khæng ti¸p xóc vîi m°t S . B i to¡n Cauchy cõa ph÷ìng tr¼nh (1.5) l b i to¡n sau: Trong l¥n cªn m°t S , t¼m mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.5) thäa m¢n c¡c i·u ki»n (1.8)
u
S = ϕ(x)
∂u
= ψ(x), (1.9) ∂λ