Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xác định nguồn nhiệt bên trong của thanh bị chôn một phần

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:61

Thêm vào BST

Báo xấu

55
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xác định nguồn nhiệt bên trong của thanh bị chôn một phần tập trung tìm hiểu về biểu diễn nghiệm tại đầu mút uf (o,t); sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm; thuật toán; xác định độ dài b bằng một phép đo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xác định nguồn nhiệt bên trong của thanh bị chôn một phần

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH PHẠM MINH TRÍ XÁC ĐỊNH NGUỒN NHIỆT BÊN TRONG CỦA THANH BỊ CHÔN MỘT PHẦN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH PHẠM MINH TRÍ XÁC ĐỊNH NGUỒN NHIỆT BÊN TRONG CỦA THANH BỊ CHÔN MỘT PHẦN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
LỜI CÁM ƠN Cảm ơn quí thầy cô bộ môn Toán Giải tích, khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã trang bị những kiến thức cho tôi trong chương trình Sau đại học. Cám ơn các Thầy cô, các anh chị công tác tại phòng sau Đại học và trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện để tôi hoàn thành khóa học đúng kỳ hạn. Đặc biệt, tôi chân thành cảm ơn thầy Đặng Đức Trọng đã tận tâm hướng dẫn và chỉ bảo tôi hoàn thành luận văn.
ii MỤC LỤC Trang LỜI CÁM ƠN ..................................................................................................................................... i MỤC LỤC.......................................................................................................................................... ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU............................................................................................................ ii LỜI NÓI ĐẦU .................................................................................................................................. iv Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................................................................1 1.1. Giải tích hàm ............................................................................................................................1 1.1.1. Không gian Hilbert............................................................................................................1 1.1.2. Không gian Lp ..................................................................................................................1 1.1.3. Không gian Sobolev một chiều .........................................................................................2 1.2. Giải tích thực – phức ................................................................................................................4 1.2.1. Tích phân Stieltjes .............................................................................................................4 1.2.2. Phổ của toán tử tự liên hợp ...............................................................................................6 1.2.3. Biến đổi Laplace ngược ....................................................................................................8 1.3. Toán tử Sturm – Liouville .....................................................................................................14 1.3.1. Toán tử Sturm – Liouville chính qui ...............................................................................14 1.3.2. Toán tử Sturm – Liouville suy biến ................................................................................18 1.3.3. Đẳng thức Parseval trên nửa đường thẳng ......................................................................20 1.3.4. Phổ của toán Sturm – Liouville với q ∈ L2 (0, ∞) ............................................................26 1.3.5. Lý thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan .........................................................................31 Chương 2. KHÔI PHỤC NGUỒN NHIỆT NỘI CHO THANH BỊ CHÔN .....................................36 2.1. Biểu diễn nghiệm tại đầu mút u f (0, t ) ...................................................................................36 2.2. Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm .......................................................................................39 2.3. Thuật toán .............................................................................................................................47 2.4. Xác định độ dài b bằng một phép đo......................................................................................49 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU n không gian Euclide n chiều. Lp ( µ ) không gian các hàm p – khả tích với độ đo Lebesgue µ . L2 ( , d ρ ) không gian các hàm bình phương khả tích trên  với độ đo Lebesgue – Stieltjes. χ[ 0 , a ] hàm đặc trưng của đoạn [0, a ] . C ([0, ∞); L2 (0, b)) không gian các hàm liên tục, bị chặn u :[0, ∞) → L2 (0, b) với 1 b 2 = sup u (., t ) trong đó u (., t ) =  ∫ u ( x, t ) dx  . 2 chuẩn u sup t ≥0 0  C1 ((0, ∞); L2 (0, b)) không gian các hàm khả vi liên tục, bị chặn u : (0, ∞) → L2 (0, b) du (., t ) với chuẩn = u 1,sup sup u (., t ) + sup trong đó t >0 t >0 dt 1 du (., t )  du ( x, t ) 2 b 2 = ∫ dx  . Chú ý u (., t ) ∈ C ((0, ∞), ) . 2 dt    0 dt  W m , p ( a, b) không gian Sobolev các hàm khả tích có đạo hàm riêng đến bậc m p m thuộc L (a, b) , với chuẩn u = W m , p ( a ,b ) u p + ∑ Dα (u ) . p α =1 0, t < 0 H = H (t ) là hàm bước đơn vị Heaviside, H (t ) =  . 1, t > 0
iv LỜI NÓI ĐẦU Trong luận văn này, chúng ta sẽ giải bài toán ngược cho phương trình nhiệt u= t ( x, t ) u xx ( x, t ) − q ( x)u ( x, t ), 0 < x < b ≤ ∞, t > 0, b > 1, u (0, t ) − hu (0, t ) =  x 0,  (1) u  x ( b , t ) + Hu ( b , t ) = 0,  u ( x,0) = f ( x). Trong đó u ( x, t ) là nhiệt độ tại điểm x vào thời điểm t của thanh có nhiệt độ đầu f ( x) , được chọn sao cho f ( x) = 0, ∀x > 1 . Yêu cầu đặt ra là khôi phục hệ số nguồn nhiệt q ( x) , hệ số truyền nhiệt đối lưu h, H lần lượt tại hai đầu mút và độ dài b từ những phép đo nhiệt độ tại đầu mút x = 0 , u (0, t ) với 0 ≤ t ≤ T . Bài toán (1) có nhiều ý nghĩa trong Vật lí, ta xét ba bài báo [4], [5], [13] của GS Vũ Kim Tuấn về vấn đề này.  Bài toán truyền nhiệt trên (0, π ) trong [4] ut (=x, t ) u xx ( x, t ) − q ( x)u ( x, t ), 0 ≤ x ≤ π , t ≥ 0,  u x (0, t ) − hu (0, t ) = 0,  (2) u x (π , t ) + Hu (π , t ) = 0,  u ( x,0) = f ( x). với tiên nghiệm q ∈ L1 (0, π ) . Bằng hữu hạn các phép đo fi ( x) → u i (0, t ), t ∈ (0, T ) f , i = 1,..., N , ta thu được các dữ liệu phổ. Tiếp tục thực hiện N phép đo như trên với hệ số truyền nhiệt đối lưu thay đổi, h2 ≠ h1 tại x = 0 , ta thu được dữ liệu phổ thứ hai. Khi đó hàm q được khôi phục từ hai phổ.  Trong [5] bài toán truyền nhiệt mở rộng u=t ( x, t ) u xx ( x, t ) − q ( x)u ( x, t ), 0 ≤ x ≤ b ≤ ∞, t > 0, u (0, t ) − hu (0, t ) =  x 0,  (3) u x (b, t ) + Hu (b= , t ) 0, b < ∞ u ( x,0) = f ( x), với tiên nghiệm q ∈ L1loc (0, b) , phổ của toán tử L =− y ''+ qy là rời rạc. Sử dụng lý thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan – Gasymov tác giả khôi phục hàm q từ hai phổ chỉ với bốn phép đo.
v Bài báo [13] tiếp tục giải bài toán (3) với tiên nghiệm q ∈ L (0, b) , phổ 1  của toán tử L =− y ''+ qy có phần liên tục, đặc biệt không cho phép thay đổi hệ số truyền nhiệt h. Do đó chúng ta không thể xác định được hai tập giá trị riêng và do đó không thể xác định q từ hai phổ. Hướng tiếp cận còn lại là tiệm cận nhiệt độ biên, x = 0 , tại vô cực để xác định giá trị riêng và quyết định độ dài của thanh là hữu hạn hay vô hạn. Hơn nữa khi thanh có độ dài hữu hạn ta có thể tính được độ dài chỉ với một phép đo. Khi đã tìm được giá trị riêng ta khôi phục hàm phổ. Từ lý thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan ta khôi phục được hàm q và các giá trị h, H. Luận văn này nhằm chứng minh chi tiết các kết quả trong bài báo [13], được trình bày thành hai chương. Chương 1. Trình bày một số kiến thức cơ bản, các khái niệm về tích phân Stieltjes, biến đổi Laplace ngược, toán tử Sturm – Liouville và lý thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan. Chương 2. Biểu diễn nghiệm tại đầu mút x = 0 qua khai triển Sturm – Liouville. Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán ngược bằng lý thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan. Đặc biệt nếu chỉ yêu cầu xác định độ dài của thanh, bằng cách chọn nhiệt độ đầu thích hợp ta chỉ cần thực hiện một phép đo.
1 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. GIẢI TÍCH HÀM 1.1.1. Không gian Hilbert Giả sử H là không gian vector, tích vô hướng (u , v) là dạng song tuyến tính đối xứng, xác định dương từ H × H vào  . Định nghĩa 1.1.1. Không gian Hilbert là không gian vectơ H được trang bị một tích vô hướng (u , v) và không gian này đầy đủ đối với chuẩn 1 u = (u , u ) . 2 Sau đây ta luôn ký hiệu H là không gian Hilbert. Định lý 1.1.2 (Định lý biểu diễn Riesz – Fréchet). Giả sử H’ là không gian liên hợp của H. Cho ϕ ∈ H ' tồn tại duy nhất f ∈ H sao cho < ϕ, v > =( f , v), ∀v ∈ H . Hơn nữa f = ϕ H' . Qui ước. Ta đồng nhất H ' với H. 1.1.2. Không gian Lp Giả sử (Ω, M , µ ) là không gian độ đo và 1 ≤ p < ∞ . Gọi Lp ( µ ) là tập hợp các hàm số phức đo được trên X sao cho ∫u dµ < ∞ p Ω hàm u được gọi là p – khả tích đối với độ đo µ trên Ω . Không gian Lp ( µ ) là không gian định chuẩn với chuẩn 1  p =  ∫ u dµ  . p u p X  Định lý 1.1.3. Không gian Lp ( µ ) với 1 ≤ p < ∞ là một không gian Banach.
2 Định lý 1.1.4 1. Giả sử Ω là tập mở trên  n , Lp (Ω) là không gian các hàm p – khả tích Lebesgue. Khi đó có duy nhất chuẩn Lebesgue . p được thiết lập từ tích vô hướng (u , v) Lp = ∫ u ( x)v( x)dx Ω đó là chuẩn . 2 trên L . 2 Giả sử (Ω, M , µ ) là không gian độ đo, L∞ ( µ ) là tập hợp các hàm chủ yếu giới nội trên X. Với mỗi phần tử u thuộc L∞ ( µ ) , đặt u ∞ = esssup u ( x) . x∈X Định lý 1.1.5. Không gian L ( µ ) với chuẩn . ∞ là một không gian Banach. ∞ 1.1.3. Không gian Sobolev một chiều 1.1.3.1. Không gian Sobolev W 1, p ( I ) Cho I = (a, b) là khoảng bị chặn hay không bị chặn và p ∈  với 1 ≤ p ≤ ∞ . Định nghĩa 1.1.6. Không gian Sobolev W 1, p ( I ) được định nghĩa bởi   W1, p ( I ) =u ∈ Lp ( I ) : ∃g ∈ Lp ( I ) sao cho ∫ uϕ ' =− ∫ gϕ , ∀ϕ ∈ Cc1 ( I )  .  I I  Ta đặt H 1 ( I ) = W 1,2 ( I ) . Với u ∈ W 1, p ( I ) đặt u ' = g gọi là đạo hàm suy rộng của u. Định nghĩa 1.1.7. Không gian W 1, p ( I ) là không gian định chuẩn với chuẩn u = W1, p ( I ) u p + u' p. Không gian H 1 được trang bị tích vô hướng (u= , v) H 1 (u , v) L2 + (u ', v ') L2 chuẩn tương ứng (u ) 1 u= + u' 2 2 2 H1 p p tương đương với chuẩn trong W 1, p ( I ) . 1 Xem [6] trang 169
3 Định lý 1.1.8. Không gian H 1 là không gian Hilbert tách được. Định lý 1.1.9. Cho u ∈ W 1, p ( I ) khi đó tồn tại u ∈ C ( I ) sao cho u = u h.k.n trên I y u ( x) − u= ( y) ∫ u '(t )dt , ∀x, y ∈ I . x Chú ý 1.1.10. Nếu u ∈ W 1, p ( I ) và u ' ∈ C ( I ) thì u ∈ C1 ( I ) . Định lý 1.1.11. Tồn tại một hằng số C (chỉ phụ thuộc vào I ≤ ∞ ) sao cho u ∞ ≤C u W1, p ( I ) , ∀u ∈ W1, p ( I ) , 1 ≤ p ≤ ∞ . Nói cách khác W1, p ( I ) ⊂ L∞ ( I ) với phép nhúng liên tục. Hơn nữa nếu I bị chặn thì phép nhúng W1, p ( I ) ⊂ C ( I ) là compact. Hệ quả 1.1.12. Giả sử I không bị chặn và u ∈ W 1, p ( I ) , 1 ≤ p < ∞ , thì lim u ( x) = 0 . u∈I , x →∞ Hệ quả 1.1.13. Giả sử u , v ∈ W 1, p ( I ) , 1 ≤ p ≤ ∞ , thì uv ∈ W 1, p ( I ) (uv= ) ' u 'v + v 'u . Hơn nữa ta có công thức tích phân từng phần b b ∫ u '( x)v( x)dx = u (b)v(b) − u (a)v(a) − ∫ u ( x)v '( x)dx , ∀a, b ∈ I . a a m, p 1.1.3.2. Không gian Sobolev W ( I ) Định nghĩa 1.1.14. Cho trước số nguyên m ≥ 2 và một số thực 1 ≤ p ≤ ∞ . Ta nói u ∈ W m, p ( I ) khi và chỉ khi tồn tại m hàm g1 ,..., g n ∈ Lp ( I ) sao cho (−1) j ∫ g jϕ , ∀ϕ ∈ Cc ( I ), ∀j =1, 2,..., m . ∞ ∫ uD ϕ = j Khi u ∈ W m , p ( I ) ta xác lập các đạo hàm liên tiếp của u như sau u ' = g1 , (u ') ' = g 2 , … cho đến cấp m, ký hiệu lần lượt là Du , D 2u , …, D mu . Không gian W m , p ( I ) được trang bị chuẩn m u = W m, p ( I ) u p + ∑ Dα (u ) . p α =1
4 Đặt H m ( I ) = W m ,2 ( I ) , không gian H m được trang bị tích vô hướng m , v) H m (u , v) L2 + ∑ ( Dα u , Dα v) L2 . (u= α =1 Chú ý 1.1.15. ∞ 1, p i) Cc ( I ) trù mật trong W0 ( I ) . ii) Nếu u ∈ W ( I ) ∩ Cc ( I ) thì u ∈ W0 ( I ) . 1, p 1, p iii) Ký hiệu W 1, p ' ( I ) là không gian đối ngẫu của W01, p ( I ) , 1 ≤ p < ∞ và H −1 ( I ) là đối ngẫu của H 01 ( I ) . iv) Ta đồng nhất L2 với đối ngẫu của nó nhưng không đồng nhất H 01 ( I ) với −1 H −1 ( I ) vì H 0 ⊂ L ⊂ H với các phép nhúng liên tục chứa trong trù mật. 1 2 1.2. GIẢI TÍCH THỰC – PHỨC 1.2.1. Tích phân Stieltjes Giả sử α( x) và h( x) là hàm thực xác định trên [a, b] , phân hoạch ∆ của khoảng (a, b) bởi các điểm chia x0 , x1 ,..., xn trong đó a = x0 < x1 < ... < xn = b δ max{x i +1 − xi= với chuẩn = , i 0,1,..., n − 1} . Định nghĩa 1.2.1. Giới hạn n −1 lim ∑ h(ξi ) [α ( xi +1 ) − α ( xi ) ] δ →0 i =0 với xi ≤ ξi ≤= xi +1 , i 0,1,..., n − 1 nếu tồn tại độc lập với cách phân hoạch và cách chọn số ξi thì được gọi là tích phân Stieltjes của h( x) đối với α( x) cận từ a đến b và được ký hiệu bởi b ∫ h ( x ) dα ( x ) . a (1.1) Định nghĩa dễ dàng được mở rộng với α ( x) và h( x) là các hàm phức. Định lý 1.2.2 (Điều kiện tồn tại của tích phân Stieltjes) i) Nếu h( x) liên tục và α ( x) có biến phân bị chặn trên (a, b) thì tích phân Stieltjes của h( x) đối với α ( x) từ a tới b tồn tại.
5 ii) Nếu h( x) có biến phân bị chặn và α ( x) liên tục trên (a, b) thì tích phân Stieltjes của h( x) đối với α ( x) từ a tới b tồn tại và b b ∫ h( x)dα ( x) = h(b)α (b) − h(a)α (a) − ∫ α ( x)dh( x) . a a Trong đó định lý trên hàm có biến phân bị chặn là những hàm u thỏa tính chất: tồn k −1 tại số C sao cho ∑ u (t i =0 i +1 ) − u (ti ) ≤ C với mọi phân hoạch t0 < t1 < ... < tk của I. Hàm có biến phân bị chặn đều là hàm có biến phân bị chặn và bị chặn đều. Định lý 1.2.3. Nếu h( x) liên tục và f ( x) khả tích trên a ≤ x ≤ b và x α ( x) = ∫ f ( x)dt , (a ≤ c ≤ b, a ≤ x ≤ b) c thì x x x ∫ h ( x ) dα ( x ) = c ∫= c h( x) f ( x)dx ∫ h( x)α '( x)dx . c Định lý 1.2.4 (Định lý giá trị trung bình thứ nhất). Nếu h là hàm thực liên tục và f là hàm khả tích không âm trong a ≤ x ≤ b thì tồn tại ξ ∈ (a, b) sao cho b b ∫ h( x) f ( x)dx = h(ξ )∫ f ( x)dx . a a (1.2) Định nghĩa 1.2.5. Giả sử h(x) liên tục trong a ≤ x < ∞ và α ( x) có biến phân bị chặn trong a ≤ x ≤ R , R > 0 . Các giới hạn ∞ R a a ∫ h( x)dα ( x) = lim ∫ f ( x)dα ( x) ; a R →∞ a ∫ −∞ h( x)dα ( x) = lim R →∞ ∫ −R f ( x ) dα ( x ) , và ∞ a N ∫ h( x)dα ( x) lim = −∞ M →∞ ∫ h( x)dα ( x) + lim ∫ h( x)dα ( x) −M N →∞ a nếu tồn tại, tích phân gọi là hội tụ, ngược lại gọi là phân kỳ. Đặc biệt nếu α ( x) là hàm bước, tích phân suy rộng trở thành chuỗi lũy thừa ∞ ∞ ∫ h( x)dα ( x) = ∑α k h( xk ) . a k =0 (1.3) Định lý 1.2.6 (Helly – Bray). Giả sử {α n ( x)}0∞ là dãy hàm có biến phân bị chặn đều, hội tụ điểm trên a ≤ x ≤ b , lim α n ( x) = α ( x) , hàm f liên tục trên a ≤ x ≤ b thì n →∞
6 b b lim ∫ f ( x)dα n ( x) = ∫ f ( x)dα ( x) . (1.4) n →∞ a a Chứng minh Từ giả thuyết suy ra α ( x) cũng là hàm có biến phân bị chặn. Hơn nữa α n ( x) bị chặn đều nên tồn tại số T không nhỏ hơn bất kỳ α n ( x) và α ( x) , với a ≤ x ≤ b . Chọn phân hoạch a = x0 < x1 < ... < xm = b . sao cho với ε > 0 bé tùy ý f ( x) − f ( xi ) < ε , ∀x ∈ ( xi , xi +1 ) . Khi đó b b =Hn ∫ a f ( x ) dα n ( x ) − ∫ f ( x ) dα ( x ) a m −1 xi +1 m −1 xi +1 i n =∑ ∫ [f ( x) − f ( x )]dα ( x) − ∑ ∫ [f ( x) − f ( x )]dα ( x)i =i 0= xi i 0 xi m −1 xi +1 + ∑ f ( xi ) ∫ d [α n ( x) − α ( x)] . i =0 xi Do đó m −1 xi +1 H n ≤ ε T + ε T + max f ( x) ∑ ∫ d [α n ( x) − α ( x)] . a ≤ x ≤b i =0 xi Cho n tiến ra vô cùng ta được lim H n ≤ 2ε T . x →∞ Suy ra điều phải chứng minh.  Định lý Helly – Bray không đúng cho khoảng vô hạn. 1.2.2. Phổ của toán tử tự liên hợp Định nghĩa 1.2.7. Giả sử G là không gian con đóng của không gian Hilbert H. Toán tử P xác định với mỗi f ∈ H tương ứng với một phần tử chiếu g trên G gọi là toán tử chiếu hoặc phép chiếu trên G và được kí hiệu là P G . Các tính chất cơ bản của toán tử chiếu. a) Toán tử chiếu là toán tử tuyến tính bị chặn và có chuẩn bằng một. b) Điều kiện cần và đủ để toán tử P là toán tử chiếu là P 2 = P và P* = P .
7 c) Tích của hai toán tử chiếu PG1 , PG2 là toán tử chiếu khi và chỉ khi chúng giao hoán PG1 PG2 = PG2 PG1 . Khi đó PG1 PG2 = PG trong đó G = G1 ∩ G2 . d) Hiệu của hai toán tử chiếu, PG1 − PG2 là toán tử chiếu khi và chỉ khi G2 ⊂ G1 . Khi đó PG1 − PG2 = PG1 \G2 . e) Nếu {Pk } , k=1,2,3,... là dãy vô hạn các toán tử chiếu và PGk ≤ PGk +1 , k=1,2,3,... thì khi k → ∞ toán tử chiếu Pk hội tụ mạnh tới toán tử chiếu P. Định nghĩa 1.2.8. Giả sử P là toán tử tuyến tính đóng xác định trên tập con trù mật D P của H. Số λ gọi là giá trị chính qui của toán tử P nếu toán tử ngược ( P − λ I ) −1 tồn tại và bị chặn. Các số phức λ còn lại gọi là phổ của P. Định lý 1.2.9. Phổ của toán tử tự liên hợp nằm trên đường thẳng thực. Định nghĩa 1.2.10. Một giải của đồng nhất là một họ các toán tử Eλ , với tham số thực λ hữu hạn hay vô hạn, thỏa các điều kiện a) Eλ là một toán tử chiếu với mỗi giá trị λ . b) Eλ ≤ Eµ với λ < µ ( Eµ − Eλ là toán tử không âm). c) E−∞ = 0 , E+∞ = I , với mỗi x ∈ H ta có lim Eλ x = 0 , lim Eλ x − x = 0. λ →−∞ λ →+∞ d) Với mỗi x, hàm vectơ Eλ x liên tục phải, lim Eλ +ε x − Eλ x = 0 ε →+0 Kí hiệu ∆ là các khoảng (α , β ) , [α , β ) , (α , β ] và [α , β ] thì E∆ kí hiệu lần lượt cho các hàm Eβ −0 − Eα + 0 = Eβ −0 − Eα ; Eβ −0 − Eα −0 ; Eβ + 0 − Eα + 0 =Eβ − Eα ; Eβ + 0 − Eα −0 =Eβ − Eα −0 . Từ tính chất b) ta có E∆ là toán tử chiếu hơn nữa nếu các khoảng ∆1 , ∆ 2 ,..., ∆ n rời nhau thì E∆i E∆ j = 0 với i ≠ j . Giả sử hàm f liên tục trên khoảng [a, b] , xác định tích phân Stieltjes của hàm f đối với Eλ b ∫ f (λ )dEλ a (1.4’) Nếu hàm f liên tục tại các điểm hữu hạn và thêm vào các điều kiện tồn tại của tích phân Stieltjes ta có thể mở rộng định nghĩa tích phân ∞ ∫ −∞ f (λ )dEλ như là giới hạn của tích phân (1.4’) khi a → −∞, b → ∞ .
8 Định lý 1.2.11. 2 Với mỗi toán tử tự liên hợp L tồn tại duy nhất giải của đồng nhất, Eλ , có tính chất +∞ a) Một vectơ x ∈ DL nếu và chỉ nếu ∫ λ d ( Eλ x, x) < ∞ . 2 −∞ b) Khi điều kiện a) thỏa thì +∞ +∞ L( x) = ∫ λ dEλ x , L( x) = ∫ λ d ( Eλ x, x) 2 2 −∞ −∞ Ngược lại, mỗi toán tử định nghĩa bởi những giải của đồng nhất Eλ là toán tử tự liên hợp. Định lý 1.2.12. 3 a) Số thực λ là điểm chính qui của toán tử L nếu và chỉ nếu λ là điểm hằng của Eλ , nghĩa là tồn tại ε > 0 sao cho Eλ +ε − Eλ −ε = 0. b) Số thực λ là giá trị riêng của toán tử L nếu và chỉ nếu λ là điểm nhảy của Eλ , nghĩa là Eλ + 0 − Eλ ≠ 0 . c) Số thực λ là phổ liên tục của toán tử L nếu và chỉ nếu λ là điểm liên tục của Eλ , nghĩa là Eλ + 0 − Eλ = 0. Từ giải thức của đồng nhất, Eλ , ta xác định được phổ của toán tử L, vì lẽ đó ta thường gọi Eλ là hàm phổ. 1.2.3. Biến đổi Laplace ngược Định nghĩa 1.2.13. Cho α (t ) là hàm phức biến số thực t xác định trên khoảng 0 ≤ t ≤ ∞ . Giả sử α (t ) có biến phân bị chặn trên khoảng 0 ≤ t ≤ R với mỗi R dương, với mỗi s giới hạn ∞ R ∫e dα (t ) = lim ∫ e − st dα (t ) − st (1.5) R →∞ 0 0 nếu tồn tại tích phân gọi là hội tụ, ngược lại gọi là phân kỳ. Nếu α(t ) có biến phân bị chặn trên khoảng ε ≤ t ≤ R với ε bé tùy ý và mỗi R dương, ta sử dụng ký hiệu ∞ R ∫e dα (t ) = lim ∫ e − st dα (t ) . − st ε →0 0+ R →∞ ε Khi tích phân (1.5) hội tụ xác định một hàm theo biến s, ký hiệu là g ( s ) , gọi là biến đổi Laplace – Stieltjes của α (t ) . 2 Xem [3] Vol.2 trang 36 – 38. 3 Xem [3] Vol.2 trang 46.
9 t Định nghĩa 1.2.14. Giả sử α (t ) = ∫ f (u )du và tích phân (1.5) hội tụ thì 0 ∞ g ( s ) = ∫ e − st f (t )dt . (1.6) 0 Gọi g ( s ) là biến đổi Laplace của f (t ) , hàm f (t ) là hàm gốc và g ( s ) là hàm ảnh của phép biến đổi Laplace. Ký hiệu f (t ) • =• g ( s ) . Định lý 1.2.15. Nếu tồn tại số thực γ sao cho α (t ) = o(eγ t ), t → ∞ thì tích phân ∞ ∫e dα (t ) − st 0 hội tụ tại s = σ + iτ với σ > γ . Chứng minh Từ giả thiết suy ra tồn tại hằng số M sao cho α (t ) ≤ Meγ t , 0 ≤ t < ∞ vì vậy ta có thể giả sử α ( x) bị chặn trong mỗi khoảng hữu hạn. Do đó ∞ ∞ M ∫e α (t )dt ≤ M ∫ e − (σ −γ )t dt = − st , σ >γ 0 0 σ −γ nên tích phân ở vế trái của bất đẳng thức hội tụ tuyệt đối với σ > γ . Hơn nữa R R ∫e dα = (t ) α ( R )e − α (0) + s ∫ e − stα (t )dt − st − sR 0 0 và α (t )e − st = o(1) , t → ∞,σ > γ . Thật ra đây là điều kiện cần cho tích phân (1.5) hội tụ. Nên ∞ R ∫ e dα (t ) s ∫ e α (t )dt − α (0) , σ > γ . − st − st = 0 0 Định lý 1.2.16. Nếu tích phân ∞ ∫e dα (t ) − st 0 hội tụ tại s0= γ + iδ với γ > 0 thì
10 α (t ) = o(eγ t ) , t → ∞ Hệ quả 1.2.17. Nếu tích phân (1.5) hội tụ tại s= 0 σ 0 + iτ 0 thì nó hội tụ với mọi s= σ + iτ sao cho σ > σ 0 , hơn nữa lim g ( s ) = 0 . σ →∞ Định lý 1.2.18. Nếu tích phân ∞ g ( s ) = ∫ e − st dα (t ) 0 hội tụ tại s= 0 σ 0 + iτ 0 với σ 0 > 0 thì ∞ =g ( s ) s ∫ e − stα (t )dt − α (0) 0 hội tụ tuyệt đối tại mọi s có Re s > σ 0 . Hệ quả 1.2.19. Giả sử α (t ) là hàm có biến phân bị chặn trên mỗi khoảng ε ≤ t ≤ R với ε bé tùy ý và mỗi R dương. Nếu tích phân ∞ g ( s ) = ∫ e − st dα (t ) 0+ hội tụ tại s= 0 σ 0 + iτ 0 với σ 0 > 0 thì ∞ lim s ∫ e − stα (t )= dt α (0+) . (1.7) σ →∞ 0 Định lý 1.2.20. Cho f là hàm thực bất kỳ xác định trên khoảng (0, ∞) . Nếu ∞ g ( s ) = ∫ e − st f (t )dt 0 là hàm ảnh của biến đổi Laplace thì g ( s ) giảm tới 0 chậm hơn bất kỳ hàm mũ nào. Chứng minh Với s thực từ (1.7) ta có lim s.g (= s ) f (0+) . s →∞ Giả sử f không đổi dấu trên (0, a ) . Không mất tính tổng quát, giả sử f ( x) > 0 trên (0, a ) . Đặt 0 < ε < a , khi đó ε ∞ ∫ e f (t )dt + ∫ e f (t )dt :=+ − st − st g (s) = g1 ( s ) g 2 ( s ) . 0 ε Áp dụng định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ nhất ta được
11 ε ε ∫ f (t )dt ≥ e ∫ f (t )dt > 0, − sto − sε g1 ( s ) = e 0 < t0 < ε . 0 0 Do đó lim e sε g1 ( s ) > 0 . s →∞ Tương tự cho tích phân thứ hai ta có  sε f (t + ε )  =e g 2 (s) từ (1.7) suy ra lim se sε g 2 (= s) f (ε + ) . s →∞ Nên lim e sε g ( s ) > 0 . s →∞ Ngược lại nếu f ( x) < 0 trên (0, a ) thì lim e sε g ( s ) < 0 . s →∞ Do đó nếu f không đổi dấu trên (0, a ) thì lim eas g ( s ) = lim e(a-ε )s eε s g ( s ) = ∞ . s →∞ s →∞ Từ hệ quả 1.2.17 suy ra lim g ( s ) = 0 . s →∞ = Từ hai kết quả trên suy ra tồn tại s0 s0 (a ) > 0 sao cho 1 > g ( s ) > e − as với s > s0 . Do đó ln g ( s ) ln g ( s ) − a ≤ lim ≤ lim ≤ 0. x →∞ s x →∞ s Vì a có thể chọn nhỏ tùy ý suy ra ln g ( s ) lim = 0. (1.8) s →∞ s Chứng minh hoàn tất. Định lý 1.2.21. Giả sử f ∈ L∞ (0, ∞) , nếu f có một bước nhảy không liên tục tại t thì ∞ (−1) j −1 njt lim n∑ e g (nj ) = (1 − e −1 ) f (t + 0) + e −1 f (t − 0) j =1 ( j − 1)! n →∞ trong đó g được định nghĩa trong (1.6). Đặt biệt, nếu f liên tục tại t thì ∞ (−1) j −1 njt lim n∑ e g (nj ) = f (t ) . (1.9) j =1 ( j − 1)! n →∞
12 Nói cách khác f hoàn toàn được xác định bởi {g (n)}n≥1 . Chứng minh Đặt n ∞ (−1) j −1 njt f n (t ) = 1 − e−e nt ∑ j =1 ( j − 1)! e g (nj ) . Chuỗi f n (t ) hội tụ tuyệt đối với mọi t. Thật vậy ∞ ∞ ∞ 1 1 ∑ ( j − 1)! =j 1 = e njt g ( nj ) ≤ ∑ j 1 ( j − 1)! e njt ∫ e − njx f ( x) dx 0 ∞ ∞ 1 ≤ f ∞ ∫e n (t − x ) ∑ ( j − 1)!e j =1 n ( j −1)( t − x ) dx 0 ∞ = f ∞ ∫ e n (t − x ) ee = 0 dx n(t −x ) n ( 1 ent e −1 f ) ∞ 0 , đặt z = e n (t − x ) ta được en ( t − a ) n ( t −b ) n (t −a ) e−e − e−e b 1 ∫a K n (t , x)dx 1= ∫ e dz −z = . (1.10) − e − e en ( t − b ) 1 − e−e nt nt
13 Giả sử f có một bước nhảy không liên tục tại t. Khi đó với bất kỳ ε > 0 tồn tại δ ∈ (0, t ) sao cho f ( x) − f (t + 0) < ε với x ∈ (t , t + δ ) và f ( x) − f (t − 0) < ε với x ∈ (t − δ , t ) . Đặt 1 − e −1 e −1 − e − e nt = J n (t ) f (t + 0) + f (t − 0) − f n (t ) . 1 − e−e 1 − e−e nt nt Áp dụng công thức (1.10) ta có ∞ 1 − e −1 ∫ K (t , x)dx = 1 − e t n − ent , e −1 − e − e t nt ∫K 0 n (t , x)dx = 1 − e−e nt . Cho nên t ∞ = J n (t ) ∫ K (t , x) [ f (t − 0) − f ( x)] dx + ∫ K (t , x) [ f (t + 0) − f ( x)] dx 0 n t n  t −δ t  =  ∫ + ∫  K n (t , x)[f (t − 0) − f ( x)]dx +  0 t −δ   t +δ ∞   ∫ + ∫  K n (t , x)[f (t + 0) − f ( x)]dx  t t +δ  = ( I1 + I 2 ) + ( I 3 + I 4 ) . Đánh giá I1 và I 4 . Ta có t −δ I1 ≤ ∫ K (t , x) f (t − 0) − f ( x) dx 0 n t −δ nδ e−e − e−e nt ≤2 f ∞ ∫ 0 K n (t , x)dx = 2 f ∞ 1 − e−e nt và ∞ I4 ≤ t +δ ∫ K (t , x) f (t + 0) − f ( x) dx n ∞ − nδ 1 − e−e ≤ 2 f ∞ ∫ K n (t , x)dx = 2 f ∞ nt , t +δ 1 − e−e ở đây ta áp dụng (1.10) cho các đẳng thức sau cùng trong mỗi đánh giá. Tiếp theo ta đánh giá I 2 và I 3 , ta có