Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xấp xỉ biến đổi Laplace ngược và công thức cầu phương nội suy

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:87

Thêm vào BST

Báo xấu

66
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xấp xỉ biến đổi Laplace ngược và công thức cầu phương nội suy trình bày các kiến thức chuẩn bị cho việc tính toán tích phân Mellin, phương pháp tính tích phân Mellin bằng công thức cầu phương nội suy và một số nội dung khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xấp xỉ biến đổi Laplace ngược và công thức cầu phương nội suy

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM TPHCM LEÂ DUY THÖÙC Chuyeân Ngaønh : Toaùn Giaûi Tích Maõ Soá : 604601 LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC: TS. NGUYEÃN CAM Thaønh Phoá Hoà Chí Minh – Naêm 2006
LÔØI MÔÛ ÑAÀU Pheùp bieán ñoåi Laplace coù nhieàu aùp duïng quan troïng trong khoa hoïc vaø kyõ thuaät. Baøi toaùn khoâi phuïc haøm goác töø haøm aûnh trong pheùp bieán ñoåi Laplace ñöôïc nhieàu nhaø Toaùn hoïc quan taâm khaûo cöùu vaø ñeán nay coù raát nhieàu phöông phaùp ñöôïc ñöa ra. Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi khaûo saùt moät soá phöông phaùp tính xaáp xæ bieán ñoåi Laplace ngöôïc thoâng qua coâng thöùc caàu phöông noäi suy. Trong ñoù chuùng toâi ñaõ chöùng minh söï hoäi tuï cuûa caùc coâng thöùc noäi suy, vaø tính oån ñònh cuûa nghieäm xaáp xæ thu ñöôïc, cuõng nhö minh hoaï vieäc giaûi soá treân maùy tính thoâng qua moät ví duï cuï theå. Luaän vaên ñöôïc chia laøm 4 chöông nhö sau : Chöông 1 : Trình baøy caùc kieán thöùc chuaån bò cho vieäc tính toaùn tích phaân Mellin. Chöông 2 : Khaûo saùt moät soá phöông phaùp tính tích phaân Mellin baèng coâng thöùc caàu phöông noäi suy. Sau ñoù laø caùc ñònh lyù veà söï hoäi tuï cuûa quaù trình noäi suy vaø tính oån ñònh cuûa nghieäm xaáp xæ. Chöông 3 : Ñöa ra coâng thöùc caàu phöông noäi suy vôùi ñoä chính xaùc cao nhaát. Chöông 4 : Xaây döïng coâng thöùc tính toaùn cho coâng thöùc caàu phöông noäi suy vôùi heä soá caân baèng. Cuoái cuøng laø moät ví duï veà giaûi soá treân maùy tính.
LÔØI CAÛM ÔN Toâi xin baøy toû loøng bieát ôn saâu saéc ñeán TS. Nguyeãn Cam, ngöôøi Thaày ñaõ daïy doã, dìu daét toâi töø nhöõng naêm ñaàu ñaïi hoïc. Xin chaân thaønh caûm ôn PGS.TS. Leâ Hoaøn Hoùa, PGS.TS. Nguyeãn Bích Huy, TS Nguyeãn Thaønh Long, nhöõng ngöôøi Thaày ñaõ quan taâm, giuùp ñôõ vaø truyeàn ñaït cho toâi nhöõng kieán thöùc neàn taûng trong thôøi gian hoïc ñaïi hoïc vaø cao hoïc. Xin caûm ôn caùc Thaày trong hoäi ñoàng chaám luaän vaên ñaõ cho nhöõng nhaän xeùt quyù baùu, caùc Thaày- Coâ ñaõ truyeàn ñaït kieán thöùc trong caùc hoïc phaàn. Caûm ôn BGH Tröôøng PTTH Maïc Ñónh Chi TPHCM, vaø caùc ñoàng nghieäp ñaõ taïo ñieàu kieän, ñoäng vieân ñeå toâi hoaøn thaønh khoaù hoïc. Caûm ôn gia ñình, baïn beø vaø ngöôøi thaân ñaõ hoã trôï, giuùp ñôõ nhieàu maët. Xin caûm ôn baïn Thuùy Trang, University of Western Australia, ñaõ ñoäng vieân vaø cung caáp nhieàu taøi lieäu boå ích trong quaù trình laøm luaän vaên.
MUÏC LUÏC Lôøi môû ñaàu Hình 4.1 79 Hình 4.2 80 Hình 4.3 81 CHÖÔNG I : MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CHUAÅN BÒ 1 CHÖÔNG 2 : MOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN MELLIN BAÈNG COÂNG THÖÙC CAÀU PHÖÔNG NOÄI SUY 2.1. Lyù Thuyeát Toång Quaùt Veà Caùc Phöông Phaùp Noäi Suy 13 2.2 Phöông Phaùp Noäi Suy Vôùi Moác Noäi Suy Caùch Ñeàu. 16 2.3 Phöông Phaùp Noäi Suy Vôùi Moác Noäi Suy Khoâng Caùch Ñeàu 17 2.4. Phöông Phaùp Noäi Suy Söû Duïng Chuoãi Taylor Chaët cuït 23 2.5 Söï Hoäi Tuï Cuûa Quaù Trình Noäi Suy Coâng Thöùc (2.3.7) 24 2.6 Söï Hoäi Tuï Cuûa Quaù Trình Noäi Suy Cuûa (2.1.6) 31 CHÖÔNG 3 : PHÖÔNG PHAÙP SOÁ CUÛA BIEÁN ÑOÅI LAPLACE NGÖÔÏC THOÂNG QUA COÂNG THÖÙC CAÀU PHÖÔNG VÔÙI ÑOÄ CHÍNH XAÙC CAO NHAÁT 3.1. Lyù thuyeát veà coâng thöùc caàu phöông. 34 3.2 Caùc Ña Thöùc Tröïc Giao Lieân Heä Vôùi Coâng Thöùc Caàu Phöông 43 3.3. Phöông Phaùp Tính Caùc Heä Soá Vaø Caùc Ñieåm Cuûa Coâng Thöùc Caàu Phöông 64 CHÖÔNG 4 : CAÙC PHÖÔNG PHAÙP TÍNH BIEÁN ÑOÅI LAPLACE NGÖÔÏC THOÂNG QUA COÂNG THÖÙC CAÀU PHÖÔNG VÔÙI HEÄ SOÁ CAÂN BAÈNG 4.1. Xaây Döïng Coâng Thöùc Tính Toaùn 72 4.2. Moät Ví Duï Veà Lôøi Giaûi Soá 76 Keát luaän Taøi lieäu tham khaûo
1 CHÖÔNG I : MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CHUAÅN BÒ 1.1 Ñònh nghóa Cho f (t ) vôùi t ≥ 0 , f (t ) khaû tích treân moïi ñoaïn [a,b], (0 ≤ a < b) vôùi soá phöùc +∞ − pt p = σ + iτ , ta ñònh nghóa F ( p ) = ∫e f (t )dt (1) 0 F(p) ñöôïc goïi laø bieán ñoåi Laplace cuûa f (t ) . 1.2 Ñònh lyù Neáu F(p) xaùc ñònh taïi p0 = σ0 + iτ0 thì F(p) xaùc ñònh taïi moïi p = σ + iτ thoaû Re( p − p0 ) = σ − σ0 ≥ 0 . Chöùng minh t Ñaët ϕ(t ) = ∫ f (u )e − p0 u du (t ≥ 0) 0 +∞ − p0 t Vì F ( p0 ) = ∫e f (t )dt xaùc ñònh neân lim ϕ(t ) toàn taïi. Suy ra toàn taïi haèng soá Q t →∞ 0 sao cho: ϕ(t ) ≤ Q, ∀t ≥ 0 . Xeùt Re( p − p0 ) = σ − σ0 ≥ c (vôùi c >0), vaø a>0, b>0 Ta coù :
2 a +b a +b ∫ f (t )e − pt dt = ∫ e− ( p − p0 )t d ϕ(t ) a a a +b a +b − ( p − p0 )t =e ϕ(t ) − ∫ ( p0 − p )e− ( p − p0 )t ϕ(t )dt a a (tích phaân töøng phaàn) a +b − ( p − p0 )( a + b ) − ( p − p0 ) a ≤ ϕ(a + b).e − ϕ(a ).e + p − p0 ∫ e− ( p − p0 )t ϕ(t ) dt a a +b − ( p − p0 )( a + b ) − ( p − p0 ) a ≤ Q. e +Q e + Q p − p0 ∫ e− ( σ−σ0 )t dt a a +b ≤ Q.e − c ( a + b ) + Qe− ca + Q p − p0 ∫ e− ct dt a a +b − ca − ca e− ct ≤ Q.e + Q.e + Q p − p0 . −c a Q ≤ 2Qe− ca + p − p0 (e− ca − e − c ( a + b ) ) c Q ≤ 2Qe− ca + p − p0 .e− ca c p − p0 − ca ≤ Q(2 + ).e < ε c (khi a ñuû lôùn) +∞ − pt Vaäy theo ñieàu kieän Cauchy thì ∫e f (t )dt hoäi tuï neân F(p) xaùc ñònh taïi p vôùi 0 Re p ≥ Re p0 .
3 1.3 Ñònh lyù Cho F(p) xaùc ñònh taïi p0 = σ0 + iτ0 thì F(p) laø haøm chính quy treân nöûa maët phaúng Rep> σ0 Chöùng minh Xeùt p = σ + iτ vôùi σ > σ0 . Laáy mieàn D ñoùng vaø bò chaën baát kyø chöùa trong nöûa maët phaúng Rep > σ0 , vaø p ∈ D . Khi ñoù ⎧ Re( p − p0 ) ≥ 2c Toàn taïi c >0, M >0, thoûa : ⎨ ⎩ p − p0 ≤ M , ∀p ∈ D n Xeùt daõy Fn ( p ) = ∫ e − pt f (t ) dt , p ∈ D, n = 1,2,3... 0 Ta coù Fn laø haøm giaûi tích trong D vì: Fn ( p + h) − Fn ( p) 1 n − ( p + h )t lim = lim ∫ (e − e − pt ) f (t )dt h→0 h h→0 h 0 n − ( p + h )t e − e − pt = lim ∫ f (t )dt h→0 0 h n e− ht − 1 = lim ∫ e− pt f (t )t dt h→0 0 ht n = − ∫ e − pt f (t )tdt 0 Vôùi m, n > 0, m < n ta coù : n m n − pt − pt Fn ( p ) − Fm ( p ) = ∫ e f (t )dt − ∫ e f (t )dt = ∫ e − pt f (t )dt 0 0 m Theo chöùng minh cuûa ñònh lyù trong muïc 1.2 ta coù:
4 n − pt M − cm ∫e f (t )dt ≤ Q(2 + c )e m Fn ( p ) − Fm ( p ) < ε, ∀p ∈ D , khi m ñuû lôùn. Vaäy Fn(p) hoäi tuï ñeàu veà F(p) vaø Fn(p) giaûi tích, do ñoù F ( p ) giaûi tích treân D. Hay F(p) chính quy treân nöûa maët phaúng Re p > σ0 . 1.4 Nhaän xeùt ∞ Ñaët E = { σ ∈ R / ∫ e− pt f (t )dt hoäi tuï } ( P = σ + iτ ) 0 Vaø γ = inf E + Neáu γ = +∞ : E = ∅ ⇒ F ( p ) khoâng xaùc ñònh taïi moïi p + Neáu γ = −∞ : E = R ⇒ F ( p ) xaùc ñònh vôùi moïi p + Neáu γ ∈ R : - Vôùi σ < γ thì F(p) khoâng xaùc ñònh - Vôùi σ > γ thì F(p) xaùc ñònh vaø F(p) laø haøm chính qui 1.5 Ñònh nghóa f(t) ñöôïc goïi laø haøm goác neáu thoûa: 1) f(t) xaùc ñònh vôùi ∀t ∈ R , f(t) = 0 vôùi ∀t < 0 2) f (t ) khaû tích treân moïi ñoaïn höõu haïn. +∞ − pt 3) F ( p ) = ∫e f (t )dt xaùc ñònh taïi ít nhaát moät p naøo ñoù. 0 Luùc ñoù ta goïi F(p) laø haøm aûnh trong bieán ñoåi Laplace cuûa f.
5 1.6 Ñònh lyù Cho M ≥ 0, α ∈ R sao cho : f (t ) ≤ Me −αt , ∀t ≥ 0 ø, thì ta coù : γ ≤ α ( γ ñònh nghóa trong 1.4) Chöùng minh Ñaët Re p = σ vaø giaû söû σ > α thì: ∞ ∞ ∫ e − pt f (t ) dt = ∫ f (t ) .e − σt dt 0 0 ∞ ≤ ∫ M .eαt .e −σt dt 0 ∞ ≤ M ∫ e(α −σ)t dt < ∞ 0 ⇒ F ( p ) xaùc ñònh vôùi Re p = σ > α Vaäy γ ≤ α . 1.7 Ñònh lyù Cho F(p) xaùc ñònh taïi p0 = σ0 + iτ0 thì lim F ( p ) = 0 p →∞ ( trong nöûa maët phaúng Re p ≥ σ0 ) Chöùng minh Vì F(p) xaùc ñònh taïi p0 neân F(p) cuõng xaùc ñònh taïi p coù Re p ≥ σ0 . Xeùt A>0, ta coù : +∞ A +∞ − pt − pt − pt F ( p) = ∫e f (t )dt = ∫ e f (t )dt + ∫e f (t )dt ≡ M1 + M 2 0 0 A
6 +∞ +∞ +∞ − p0 t ( p0 − p )t vôùi M 2 = ∫e − pt f (t )dt = ∫e f (t ).e dt ≤ ∫ e− p0 t f (t ) .e(σ0 − σ)t dt A A A +∞ ≤ ∫ e− p0 t f (t ) dt (vì e(σ0 −σ)t ≤ 1). A Vì F ( p0 ) xaùc ñònh neân vôùi A ñuû lôùn thì M 2 < ε . Ta coù f (t ) khaû tích treân ñoaïn [0,A] neân toàn taïi haøm g(t) khaû vi lieân tuïc thoûa : A ∫ f (t ) − g (t ) e−σ0 t dt < ε 0 A A A Do ñoù M1 = ∫ e − pt f (t )dt = ∫ e − pt [ f (t ) − g (t )]dt + ∫ e − pt g (t ) dt ≡ M 3 + M 4 0 0 0 A A Trong ñoù M 3 ≤ ∫ e −σt f (t ) − g (t ) dt ≤ ∫ e −σ0 t f (t ) − g (t ) dt < ε 0 0 A A − pt 1 1 A − pt M4 = ∫ e g (t )dt = − g (t )e − pt + ∫ e g '(t )dt 0 p 0 p0 A 1 1 1 = g (0) − g ( A).e − pA + ∫ e− pt g '(t )dt p p p0 1 ⎛ −σ0 A A ⎞ suy ra M 4 ≤ ⎜⎜ g (0) + g ( A).e + ∫ e −σ0 t g '(t ) dt ⎟⎟ p ⎝ 0 ⎠ 1 ≤ .L (L phuï thuoäc A) p L vôùi p > thì M 4 < ε vaø do ñoù F ( p ) < 3ε . Vaäy lim F ( p ) = 0 . ε p →∞
7 1.8 Ñònh nghóa Cho haøm soá g(t) xaùc ñònh treân R ta goïi g ñöôïc bieåu dieãn bôûi tích phaân Fourier neáu vôùi moïi t ta coù : 1 1 ∞ i τt ∞ [ g (t + 0) + g (t − 0)] = ∫ e ∫ g (t )e−iτx dxd τ (2) 2 2π −∞ −∞ Phöông trình (2) ñöôïc goïi laø coâng thöùc Fourier 1.9 Ñònh lyù Cho haøm goác f(t) sao cho g (t ) = f (t ).e − ct (vôùi c ∈ R ) thoûa maõn : ∞ i) ∫ g (t ) dt hoäi tuï 0 1 ∞ i τt ∞ ii) g (t ) = ∫ e ∫ g ( x)e −i τx dxd τ 2π −∞ −∞ 1 iii) f (t ) = [ f (t + 0) + f (t − 0)] 2 1 c + i∞ Thì f (t ) = ∫ 2πi c − i∞ F ( p ).e pt dp (coâng thöùc Mellin) Chöùng minh Cho f(t) laø moät haøm goác vaø c ∈ R thoaû f (t ).e− ct khaû tích tuyeät ñoái treân [ 0,∞ ) . Ñaët g(t)= f (t ).e− ct . Giaû söû g(t) thoaû (2) vaø ñeå ñôn giaûn caùch ghi, ta vieát : 1 g (t ) = [ g (t + 0) + g (t − 0)] 2 Coâng thöùc (2) trôû thaønh :
8 1 ∞ i τt ∞ g (t ) = ∫ e ∫ g ( x)e −i τx dxd τ 2π −∞ −∞ 1 ∞ (i τ+ c )t ∞ Suy ra f (t ) = ∫ e ∫ g ( x)e−i τx dxd τ (3) 2π −∞ 0 ∞ − pt Vôùi F ( p ) = ∫ f (t )e dt xaùc ñònh taïi p = c + iτ thì do 0 ∞ ∞ ∫ f (t ) e − pt dt = ∫ f (t ) .e− ct dt neân f (t ).e− ct khaû tích tuyeät ñoái treân ñöôøng thaúng 0 0 c + iτ (vôùi −∞ < τ < ∞ ) Ta coù : ∞ F ( p) = F (c + iτ) = ∫ f (t ).e− ( c + i τ)t dt 0 1 ∞ (i τ+ c )t ∞ Vaø (3) cho ta : f (t ) = ∫ e ∫ f ( x)e− ( c + i τ)t dxd τ 2π −∞ −∞ 1 ∞ (i τ+ c )t = ∫e 2π −∞ .F (c + iτ)d τ Treân ñöôøng thaúng p = c + iτ thì dp = id τ , neân ta laïi coù : 1 c + i∞ f (t ) = ∫ 2πi c − i∞ F ( p ).e pt dp (4) Coâng thöùc (4) ñöôïc goïi laø coâng thöùc Mellin. 1.10 Ñònh lyù
9 ∞ − pt Xeùt phöông trình ∫e . f (t )dt = F ( p ) (*) 0 Trong ñoù F(p) cho tröôùc coøn f(t) laø haøm goác phaûi tìm, thì ñaây laø baøi toaùn khoâng chænh theo nghóa Hadamard. Chöùng minh Vôùi F(p) khoâng phaûi haøm giaûi tích thì (*) voâ ngieäm. Baây giôø ta xeùt f(t) öùng vôùi haøm aûnh F(p) vaø f1(t) öùng vôùi haøm aûnh F1(p) sao cho: ⎧ 1 ⎪⎪ n + f (t ), 0 ≤ t ≤ n2 f1 (t ) = ⎨ ⎪ f (t ), 1 t> 2 ⎪⎩ n thì d ( f , f1 ) = f − f1 ≥ n (choïn n khaù lôùn) 1 ∞ n2 − pt − pt Trong khi: F1 ( p) − F ( p) = ∫ e ( f1 (t ) − f (t ))dt = ∫ n.e dt 0 0 1 n2 1 ⇒ F1 ( p ) − F ( p ) ≤ n ∫ e− pt dt ≤ .M → 0 0 n (vôùi M= sup e − pt vaø ta xeùt p > 0, t ≥ 0 ) t ∈[ 0,1] Vaäy ñaây laø baøi toaùn khoâng chænh theo nghóa Hadamard. 1.11 Ñònh lyù
10 Cho F(p) giaûi tích trong nöûa maët phaúng Re p > α vaø thoûa : i) lim F ( p ) = 0 trong nöûa maët phaúng Re p ≥ c > α (hoäi tuï ñeàu) p →∞ c + i∞ ii) ∫ F ( p )dp hoäi tuï tuyeät ñoái c − i∞ 1 c + i∞ Thì F(P) laø haøm aûnh cuûa f (t ) = ∫ F ( p ).e − pt dp 2πi c − i∞ ∞ (töùc laø f(t) nhaän F(p) laø bieán ñoåi Laplace: F ( p ) = ∫ e − pt f (t )dt ) 0 Chöùng minh Laáy p0 thoaû Rep0 > c. 1 c + i∞ Ta coù : f (t ) = ∫ 2πi c − i∞ F ( p ).e pt dp ∞ − p0 t 1 ∞ − p0 t c + i∞ pt neân ∫e f (t )dt = ∫ e ( ∫ e F ( p)dp)dt 2πi 0 (5) 0 c − i∞ Vôùi p = c + iy, dp = idy thì : c + i∞ ∞ ∞ ( c + iy )t ∫ e F ( p )dp = ∫e F (c + iy )idy = ie ∫ eiyt F (c + iy )dy pt ct c − i∞ −∞ −∞ ∞ ∞ Ta coù : ∫e F (c + iy )dy ≤ ∫ F (c + iy ) dy (6) iyt −∞ −∞
11 c + i∞ ∞ vì ∫ F ( p )dp hoäi tuï tuyeät ñoái neân ∫ F (c + iy ) dy hoäi tuï vaø do ñoù c − i∞ −∞ ∞ ∫ eiyt F (c + iy )dy hoäi tuï ñeàu ñoái vôùi t, do ñoù (5) cho ta: −∞ ∞ − p0 t 1 c + i∞ ∞ ( p − P0 )t 1 c + i∞ F ( p ) ∫e f (t )dt = ∫ F ( p)dp ∫ e 2πi c − i∞ dt = − 2 πi ∫ p − p dt (7) 0 0 c − i∞ 0 Xeùt cung CR' : ( p = R,Re p > c ) : treân cung naøy thì max F ( P ) = α( R ) → 0 khi R → ∞ neân : F ( p) α( R) α( R) ∫ p − p0 dp ≤ ∫ dp ≤ πR → 0 khi R → ∞ ' p − p0 R − p CR' C R 0 ∼ Ta coù vôùi CR laø ñöôøng cong kín taïo bôûi ñöôøng thaúng [ c − iR, c + iR ] ∪ CR' thì F ( p) F ( p) F ( p) 2πiF ( p0 ) = ∫ p − p0 dp = ∫ p − p dp + ∫ p − p dp ∼ c + iR 0 C ' 0 R CR (vì F(p) laø haøm giaûi tích) F ( p) Cho R → ∞ thì ∫ p − p0 dp → 0 neân ta ñöôïc: CR' c + iR F ( p) 2πiF ( p0 ) = lim R →∞ ∫ p − p0 dp c − iR
12 c + iR ∞ 1 F ( p) ⇒ F ( p0 ) = − lim ∫ dp = ∫ e − p0 t f (t )dt 2πi R →∞ c − iR p − p0 0 ∞ Ta ñaõ chöùng minh ñöôïc raèng F ( p ) = ∫ e− pt f (t )dt vôùi p thoûa Rep > c. 0
13 CHÖÔNG 2 MOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN MELLIN BAÈNG COÂNG THÖÙC CAÀU PHÖÔNG NOÄI SUY 2.1. Lyù Thuyeát Toång Quaùt Veà Caùc Phöông Phaùp Noäi Suy Ta xeùt phöông phaùp tính tích phaân Mellin : 1 c + i∞ pt f (t ) = ∫ e F ( p)dp 2πi c −i∞ (2.1.1) baèng caùch thay haøm F(p) bôûi moät haøm khaùc noäi suy F(p) töø moät soá ñieåm. Ta bieát raèng : lim F ( p ) = 0 . (khi cho Re p → ∞ ) p →∞ 1 neân coù theå giaû söû F(p) ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng: F ( p ) = ϕ( p) , (s > 0), ( p − a) s trong ñoù haøm ϕ( p ) laø chính quy treân nöûa maët phaúng Re p > α vaø bò chaën treân nöûa maët phaúng Re p ≥ c (c > α) , tham soá a phaûi thoûa maõn ñieàu kieän Re a ≤ α . Nhôø pheùp ñoåi truïc toïa ñoä ta coù theå laáy a = 0 ≤ α < c . Vì vaäy coù theå giaû söû F(p) coù daïng: 1 F ( p) = ϕ( p) (2.1.2) ps trong ñoù ϕ( p ) laø chính quy treân Re p > α vaø lieân tuïc treân nöûa maët phaúng Re p ≥ α . Thay (2.1.2) vaøo (2.1.1) ta coù :
14 1 c + i∞ pt − s f (t ) = ∫ e p ϕ( p)dp 2πi c −i∞ (2.1.3) Ta choïn heä ωv ( p ) thoûa ñieàu kieän sau : Vôùi ϕ( p ) ñöôïc xaùc ñònh ôû treân, vôùi c > α vaø ε > 0 thì coù moät toå hôïp tuyeán tính n n Sn ( p) = ∑ avωv ( p) sao cho trong mieàn Re p ≥ c thì : ϕ( p ) − ∑ avωv ( p) < ε . v =0 v =0 Ta xeùt tröôøng hôïp ωv ( p ) = p −v (v=0,1,…), vaø noäi suy haøm ϕ( p ) bôûi nhöõng ña 1 thöùc theo . p Laáy caùc ñieåm p0 , p1,..., pn naèm trong nöûa maët phaúng Re p > α , ta thieát laäp ña thöùc ⎛1⎞ Pn ⎜ ⎟ noäi suy haøm ϕ( p ) : ⎝ p⎠ ⎛1⎞ n ⎛1⎞ ϕ( p ) = Pn ⎜ ⎟ + rn ( p ) = ∑ lk ⎜ ⎟ϕ( pk ) + rn ( p ) (2.1.4) ⎝ p⎠ k =0 ⎝ p ⎠ ⎛1⎞ ωk ⎜ ⎟ ⎛1⎞ ⎝ p⎠ Trong ñoù : lk ⎜ ⎟ = (2.1.5) ⎝ p⎠ ω ⎛ 1 ⎞ k⎜ ⎟ ⎝ pk ⎠ ⎛1⎞ ω⎜ ⎟ ⎛1⎞ ⎝ p ⎠ vaø ω ⎛ 1 ⎞ = ⎛ 1 − 1 ⎞ n Vôùi : ωk ⎜ ⎟ = ⎜ p ⎟ ∏⎜ p p ⎟ ⎝ p⎠ ⎛ 1 − 1 ⎞ ⎝ ⎠ i =1 ⎝ i⎠ ⎜ ⎟ ⎝ p pk ⎠
15 Thay (2.1.4) vaøo tích phaân (2.1.3) ta coù coâng thöùc sau: 1 c + i∞ pt − s ⎡ n ⎛ 1 ⎞ ⎤ n f (t ) = ∫ 2πi c −i∞ e p ⎢ ∑ lk ⎜ ⎟ ϕ( pk ) + rn ( p ) ⎥ dp = ∑ Ak (t )ϕ( pk ) + Rn (2.1.6) ⎣ k =0 ⎝ p ⎠ ⎦ k =0 trong ñoù : 1 c + i∞ pt − s ⎛ 1 ⎞ ⎫ Ak (t ) = ∫ e p lk ⎜ p ⎟ dp ⎪ 2πi c −i∞ ⎝ ⎠ ⎪ ⎬ (2.1.7) 1 c + i∞ pt − s ⎪ Rn = ∫ 2πi c −i∞ e p rn ( p )dp ⎪ ⎭ ÔÛ phaàn sau ta seõ chöùng minh Rn → 0 (khi n → ∞ ) neân coù theå boû ñi phaàn dö Rn ôû (2.1.6) ñeå coù coâng thöùc tính xaáp xæ haøm goác töø haøm aûnh : 1 c + i∞ pt − s ⎡ n ⎛ 1 ⎞ ⎤ n f (t ) = ∫ 2πi c −i∞ e p ⎢∑ k⎜ ⎟ l ϕ( pk ) + rn ( p ) ⎥ dp ≈ ∑ Ak (t )ϕ( pk ) (2.1.8) ⎣ k =0 ⎝ ⎠ p ⎦ k =0 ⎛1⎞ 1 Baây giôø ta tính heä soá Ak (t ) . Khai trieån ña thöùc lk ⎜ ⎟ theo luõ y thöø a cuû a : ⎝ p⎠ p ⎛1⎞ ak ak ak n lk ⎜ ⎟ = ak0 + 1 + 22 + ... + nn = ∑ ak j p − j ⎝ p⎠ p p p j =0 1 c + i∞ pt − s n Ta coù : Ak (t ) = ∫ e p ∑ ak j p − j dp 2πi c −i∞ j =0 n 1 c + i∞ pt − s − j n 1 c + i∞ p − s − j s + j −1 = ∑ ak j ∫ e p dp = 2πi c −i∞ ∑ ak j ∫ e p t 2πi c − i∞ dp j =0 j =0 (do ñoåi bieán p =pt)
16 n ak j t s + j −1 =∑ (2.1.9) j =0 Γ( s + j ) 1 c + i∞ p u 1 (vì ∫ 2πi c − i∞ e x dp = Γ(u ) ) Söû duïng (2.1.9) ta tính toaùn deã daøng caùc heä soá Ak (t ) vôùi baát kì nhöõng giaù trò cuûa t. Caùc giaù trò cuûa ak j phuï thuoäc vaøo vieäc choïn pk . 2.2 Phöông Phaùp Noäi Suy Vôùi Moác Noäi Suy Caùch Ñeàu. Ta xeùt tröôøng hôïp caùc pk caùch ñeàu nhau treân nöûa ñöôøng thaúng thöïc [α, ∞) : pk = α + (k + 1)h (h > 0, k = 0,1,..., n) Khoâng maát tính toång quaùt ta coù theå giaû söû h = 1 . Söû duïng pheùp ñoåi bieán p = α + p ' h thì caùc ñieåm pk trôû thaønh caùc soá nguyeân: p 'k = k + 1 (k = 0,1,..., n) . Trong tröôøng hôïp naøy, thay (2.1.9) vaøo (2.1.8) ta coù : n ⎧⎪ n ak t s + j −1 ⎫⎪ n f (t ) ≈ ∑ Ak (t )ϕ(k + 1) = ∑ ⎨ ∑ j ⎬ ϕ(k + 1) (2.2.1) k =0 k = 0 ⎪ j = 0 Γ( s + j ) ⎪ ⎩ ⎭ ⎛1⎞ Vaø lk ⎜ ⎟ ñöôïc tính nhö sau: ⎝ p⎠