intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Nguyên hàm các hàm vô tỉ - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Tran Binh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST
Báo xấu
103
lượt xem 19
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo môn Toán dành cho quý thầy cô và các bạn học sinh với chuyên đề: Nguyên hàm các hàm vô tỉ. Mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo nhằm củng cố kiến thức và ôn thi Đại học đạt kết quả cao nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Nguyên hàm các hàm vô tỉ - Thầy Đặng Việt Hùng

  1. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài li u bài gi ng: 09. NGUYÊN HÀM C A CÁC HÀM VÔ T Th y ng Vi t Hùng 1) Các công th c nguyên hàm vô t cơ b n thư ng g p xdx I1 = ∫ x ±a 2 = x 2 ± a + C. dx du I2 = ∫ x ±a2 = ln x + x 2 ± a + C  u ±a → ∫ 2 = ln u + u 2 ± a + C x 2 a I3 = ∫ x 2 ± a dx = 2 x ± a ± ln x + x 2 ± a + C. 2 dx x du u I4 = a −x 2 ∫ 2 = arcsin + C  a → a −u 2 2 = arcsin + C a ∫ Ch ng minh: xdx 1 d ( x 2 ± a) d ( x 2 ± a) I1 = ∫ x ±a 2 = 2 x ±a 2 = ∫ 2 x ±a 2 = x 2 ± a + C. ∫ dx xdx xdx dx dt dx + dt d ( x + t ) I2 = ∫ x ±a2 . t t = x 2 ± a ⇒ dt = x ±a 2 = t  → = = t x x+t = x+t dx dx d (x + t) Khi ó, I 2 = ∫ x ±a 2 = ∫ t = ∫ x+t = ln x + x 2 ± a + C I3 = ∫ x 2 ± a dx.  xdx u = x ± a ⇒ du = 2 x 2 dx ( x 2 ± a) a x 2 ± a  I = x x ± a − → ∫ = x x2 ± a − ∫ dx = 2 t  dv = dx ⇒ v = x x2 ± a x2 ± a  dx x 2 a = x x2 ± a − ∫ x 2 ± adx ± a x ±a ∫ 2 = x x 2 ± a − I 3 ± a ln x + x 2 ± a ⇒ I 3 = 2 x ± a ± ln x + x 2 ± a + C. 2 dx dx = a cos tdt  I4 = ∫ a2 − x2 . t x = a sin t ⇒   a − x = a − a sin t = a cos t  2 2 2 2 2 dx a cos t dt x  I 4 = → a −x 2 ∫ 2 a cos t ∫ = dt = t + C = arcsin + c. a ∫ M t s ví d minh h a: dx d ( x + 2) I1 = ∫ x + 4 x + 10 2 = ( x + 2) + 6 2 ∫ = ln x + 2 + x 2 + 4 x + 10 + C.  1 dx+  dx dx  2 2x + 1 I2 = ∫ 2− x− x 2 = ∫ 9  1 2 = ∫ 2 2 = arcsin 3 + C. 3  1 −x+    −x+  4  2  2  2  5 dx+  dx 1 dx 1  4 1 5 5 7 I3 = ∫ 2 x2 + 5x + 7 = 2 ∫ 5 7 = 2 ∫ 2 = 2 ln x + + x 2 + x + + C . 4 2 2 x2 + x +  5  31 2 2 x+  +  4  16 2) M t s các d ng nguyên hàm vô t thư ng g p Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
  2. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 mx + n D ng 1: Nguyên hàm I = ∫ ax 2 + bx + c dx Cách gi i: Phân tích t s ch a o hàm c a m u ta ư c m bm mx + n ( 2ax + b ) + n − ( 2ax + b ) dx  bm  2a dx = m dx I= ∫ ax + bx + c 2 dx = 2a ∫ ax + bx + c 2 2a ∫ +n − ax + bx + c  2  2a  ∫ ax + bx + c 2 = m d (ax 2 + bx + c)  bm  dx m = ∫ a 2 ax 2 + bx + c  +n −  ∫ 2a  ax 2 + bx + c a = ax 2 + bx + c + J dx Trong ó, J = ∫ ax + bx + c 2 thu c m t trong s các d ng nguyên hàm ã c p trên. Ví d i n hình: Tính các nguyên hàm sau 2x + 3 x −1 a) I1 = ∫ x2 − 2 x + 4 dx b) I 2 = 2 x2 − x + 1 dx ∫ Hư ng d n gi i: (2 x − 2) + 5 (2 x − 2) dx dx d ( x 2 − 2 x + 4) dx a) I1 = ∫ x − 2x + 4 2 dx = x − 2x + 4 2 ∫ +5 x − 2x + 4 2 ∫ =2 2 x − 2x + 4 2 +5 ∫ x − 2x + 4 2 = ∫ d ( x − 1) = 2 x2 − 2 x + 4 + 5 ∫ ( x − 1) + 3 2 = 2 x 2 − 2 x + 4 + 5ln x − 1 + x 2 − 2 x + 4 + C. 1 3 (4 x − 1) − x −1 4 dx = 1 (4 x − 1)dx − 3 dx b) I 2 = ∫ 2x − x + 1 2 dx = 4 2x − x + 1 2 ∫ 4 2x − x + 1 4 2 ∫ 2x − x + 1 2 = ∫  1 dx−  1 d (2 x − x + 1) 2 3 dx 1 3  4 = ∫ 2 2 2x − x + 1 4 2 2 − ∫ = x 1 2 2x2 − x + 1 − 4 2 ∫ 2 = x2 − +  1 7 2 2 x−  +  4  16 1 3 1 x 1 = 2x2 − x + 1 − ln x − + x 2 − + + C. 2 4 2 4 2 2 BÀI T P LUY N T P: dx 2x −1 x2 − 2 x + 2 1) ∫ x − 2x + 2 2 2) ∫ x2 − x + 1 dx 3) ∫ x2 − 2x dx x 2 − 3x + 4 2x + 1 3x − 2 4) ∫ x − x +1 2 dx 5) ∫ x + x −1 2 dx 6) ∫ x − 3x + 2 2 dx x2 + 2 x − 1 ( 2 x − 3) dx (2x 2 ) − 3 x + 1 dx 7) ∫ x2 + x − 2 dx 8) ∫ 2 − 2x − x2 9) ∫ x2 − 4 dx D ng 2: Nguyên hàm I = ∫ ( mx + n ) ax 2 + bx + c Cách gi i: 1 dt 1 n t mx + n = ⇒ mdx = − 2 ; x = − t t mt m  du  u ±a 2 ∫ = ln u + u 2 ± a + C Thay vào ta ư c I = g (t )dt   → ∫ .  du u   a −u 2 2 a ∫ = arcsin + C Ví d i n hình: Tính các nguyên hàm sau Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
  3. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 dx dx a) I1 = ∫ ( x + 1) x2 + 2 x + 2 b) I 2 = ∫ ( 2 x + 3) x2 + 3x − 1 Hư ng d n gi i:  1 dt dt x = −1 1  t 2 t2 ∫ ∫ a) t x +1 = ⇒   I1 = − → t =− = t  dx = − dt 2 2 1 1   1  1 1   1    t2  − 1 + 2  − 1 + 2  − 1 + 2  − 1 + 2 t t   t  t t  t  2 dt 1  1  1 − ∫ = − ln t + t + 1 = − ln +   + + 1 + C. 2 1+ t 2 x +1  x +1 x +1  1 1 dt 1  x = 2t − 2 1 dt dt 2t 2 b) t 2x + 1 = ⇒  t  dx = − dt  I 2 = − → 1  1 1 2 ∫ =− 2 ∫ 2 =− ∫ 1 − 9t 2 − 4t =  1 1 1 9t − −t   2t 2  −  + 3 −  − 1 4 4 t  2t 2   2t 2   2 d t +  1 dt 1 dt 1  9 1  9t + 2  =− 3 ∫ 1 2 4 =− 3 ∫ 13  2  2 =− 3 ∫ 2 = − arcsin  3  13   + C. −t − t  13   2  2 9 9 − t +    − t +  81  9   9   9 BÀI T P LUY N T P: dx 2x −1 dx 1) ∫ ( x − 1) x 2 − 2 x + 2 2) ∫ x2 − x + 1 dx 3) ∫ ( x − 1) x 2 + 3x + 2 dx dx dx dx 4) ∫ ( 2 x + 1) x2 − 2x + 2 dx 5) ∫ ( x + 2) x2 − 4 x − 3 dx 6) ∫x x4 + 2 x2 − 1 dx Ax + B D ng 3: Nguyên hàm I = ∫ ( mx + n ) ax 2 + bx + c dx Cách gi i: Ta phân tích t s ch a (mx + n) như sau: A An Ax + B ( mx + n ) + B −  An  m dx = A dx dx I= ∫ ( mx + n ) ax 2 + bx + c dx = m ∫ ( mx + n ) ax 2 + bx + c m ∫ +B− ax 2 + bx + c  m   ∫ ( mx + n ) ax 2 + bx + c dx dx Các nguyên hàm I1 = ∫ ax 2 + bx + c và I 2 = ∫ ( mx + n ) ax 2 + bx + c ã xét n ph n trên. Ví d i n hình: Tính các nguyên hàm sau ( 3 x − 4 ) dx ( 2 x + 1) dx a) I1 = ∫ (2 − x) x2 − 1 b) I 2 = ∫ ( x + 1) x2 − 4 Hư ng d n gi i: I1 = ∫ ( 3x − 4 ) dx = 2 − 3 ( 2 − x ) dx = 2 dx dx a) Ta có ( 2 − x ) x2 − 1 ∫ ( 2 − x ) x2 − 1 ∫ ( 2 − x ) x 2 − 1 − 3∫ x −12 = 2 J − 3ln x + x 2 − 1  1 x =2− dx 1   t Xét J = ∫ (2 − x) x2 − 1 . t 2− x = ⇒ t  dx = dt   t2 Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
  4. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 dt t2 dt 1 dt 1 dt 1 2 4 1 ⇒J= ∫1 2 = ∫ 3t − 4t + 1 2 = 3∫ 4 1 = 3∫ 2 = 3 ln t − 3 + t2 − t + + C 3 3  1 t2 − t +  2 1  2 −  −1 3 3 t −  − t  t  3 9 2 2 4 1 Khi ó ta ư c I1 = ln t − + t 2 − t + − 3ln x + x 2 − 1 + C . 3 3 3 3 ( 2 x + 1) dx = 2 ( x + 1) − 1 dx = 2 dx dx b) Ta có I 2 = ∫ ( x + 1) x2 − 4 ∫ ( x + 1) x2 − 4 ∫ x −4 2 + ∫ ( x + 1) x −42 = 2ln x + x 2 − 4 + K  1 x = −1 dx 1   t Xét K = ∫ ( x + 1) x − 4 2 . t x +1 = ⇒  t  dx = − dt   t2 dt dx t2 dt 1 dt 1 dt ⇒K = ∫ ( x + 1) x 2 − 4 =− 1 1  2 ∫ =− 1 − 2t − 3t 2 =− 3 ∫ ∫ 1 2 =− 3∫ 4  1 2 = − 1 − 4 − t − t2 − t +   3 3 t t  9  3  1 d t +  1  3 1  3t + 1  =− 3 ∫ 2 2 =− 3 arcsin   2  +C  2  1   − t +   3  3 1  3t + 1  Khi ó, I 2 = 2ln x + x 2 − 4 − arcsin   + C. 3  2  BÀI T P LUY N T P: ( 2 x + 3) dx ( 2 x − 1) dx ( x + 2 ) dx 1) ∫ ( x + 1) x 2 + 2 x + 2 2) ∫ ( x − 1) x 2 − 3x + 2 3) ∫ ( x + 1) x2 − 2 x + 3 ( 2 x − 3) dx ( x + 2 ) dx 4) ∫ ( 2 x − 1) x2 + 2 5) ∫ (1 − x ) x2 + 1 dx D ng 4: Nguyên hàm I = ∫ ( x + a )( x + b) Cách gi i: dx dx 1 x+a + x+b dx 2dt Cách 1: t t = x + a + x + b ⇒ dt = + = dx  → = 2 x + a 2 x + b 2 ( x + a )( x + b) ( x + a)( x + b) t Khi ó, I = ∫ dx ( x + a)( x + b) = 2dt t ∫ = 2ln t + C = 2ln ( x + a + x + b + C. ) dx dx dx Cách 2: Ta có I = ∫ ( x + a )( x + b) = ∫ x + ( a + b ) x + ab 2 = ∫ a+b 2 ( a + b) 2  x+  + ab −  2  4  a+b dx+   2  a+b = ∫ a+b 2 (a + b)2 = ln x + 2 + ( x + a )( x + b) + C   x+  + ab −  2  4 Bình lu n: Tho t nhìn, ta tư ng hai cách gi i cho hai áp án khác nhau, nhưng không ph i v y. ( ) ( ) ( ) 2 Th t v y, 2ln x + a + x + b = ln x+a + x+b = ln x + a + x + b + 2 ( x + a)( x + b) = a+b (  = ln 2 x + a + b + 2 ( x + a)( x + b) = ln  x +  2 )  + ( x + a )( x + b)  + ln 2  Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
  5. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95   a+b  ′   a+b  ′ Và rõ ràng, ln  x + + ( x + a )( x + b)  + ln 2  = ln  x + + ( x + a )( x + b)     2     2  Như v y, th c ch t hai cách gi i u cho cùng m t phép toán, có chăng, ó là s khác bi t trong vi c tính o hàm cu i cùng ki m tra!!! dx D ng 5: Nguyên hàm I = ∫ x+a ± x+b Cách gi i: Các nguyên hàm d ng này ư c gi i ơn gi n b ng phép tr c căn th c. Th t v y, I = dx ∫ x+a + x+b = x+a a −b x+b dx =∫ 1 a −b x + a dx x + b dx (∫ ∫ ) Ví d i n hình: Tính các nguyên hàm sau dx dx dx a) I1 = ∫ x − 4x + 3 2 b) I 2 = x+2 + x−3 ∫ c) I 3 = 2x + 1 − 2x + 5 ∫ Hư ng d n gi i: dx a) I1 = ∫ x − 4x + 3 2 dx dx d ( x − 2) Cách 1: I1 = ∫ = = ∫ ∫ = ln x − 2 + x 2 − 4 x + 3 + C. x − 4x + 3 2 ( x − 2) − 1 2 ( x − 2) − 1 2 dx Cách 2: I1 = ∫ ( x − 1)( x − 3) . 1 1 1  1  x −1 + x − 2  dx 2dt t t = x − 1 + x − 3 ⇒ dt =  +  dx =  dx ⇔ = 2  x −1 x −3  2 ( x − 1)( x − 3)   ( x − 1)( x − 3) t  dx dt Khi ó, I1 = ∫ ( x − 1)( x − 3) =2 t ∫ = 2ln t + C = 2ln x − 1 + x − 3 + C. b) I 2 = ∫ dx x+ 2 + x−3 = x+2 − x−3 ∫ ( x + 2) − ( x − 3) dx = 5 ∫ ( 1 ) x + 2 − x − 3 dx = 2 15 ( ( x + 2)3 − ( x − 3)3 + C . ) c) I 3 = 2x + 1 + 2x + 5 ∫ ( 2 x + 1) − ( 2 x + 5) dx = − 4 ∫ ( 1 2 x + 1 + 2 x + 5 dx = − ) 1 6 ( (2 x + 1)3 + (2 x + 5)3 + C. ) BÀI T P LUY N T P: 1 2 0 dx dx dx 1) 0 ∫ x +1 + x 2) ∫ 1 x +1 + x −1 3) ∫ −1 x+4+ x+2 2 2 2 1 x x x3 4) ∫ 0 2+ x + 2− x dx 5) ∫ 1 x+2 + 2− x dx 6) ∫ x+ 0 x2 + 1 dx 1 3 dx dx 7) ∫ x+9 − x dx 8) ∫ x2 − 5 x + 6 9) ∫ ( x + 3)( x + 5) 0 LUY N T P T NG H P V NGUYÊN HÀM C A HÀM VÔ T 1 x +1 dx 1) ∫1+ x +1 dx 2) ∫x x−2 dx 3) ∫1+ 3 x +1 dx x x 4) ∫ x+4x 5) ∫ x−3x dx 6) ∫ x( x + 1) dx dx dx dx 7) ∫ x + x + 24 x 3 8) ∫ 3 (2 x + 1)2 − 2 x + 1 9) ∫ x2 + 6 x + 8 Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
  6. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài li u bài gi ng: 05. M T S KĨ THU T TÌM NGUYÊN HÀM H U T - P1 Th y ng Vi t Hùng I. KĨ THU T PHÂN TÍCH T CÓ CH A NGHI M C A M U S Ví d 1. Tính các nguyên hàm sau dx dx dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ c) I 3 = ∫ x( x − 1)( x + 7)( x + 8) x + 10 x 2 + 9 4 x + 20 x 5 Ví d 2. Tính các nguyên hàm sau dx dx dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ c) I 3 = ∫ x − 7 x5 9 x + 13x 7 x + 9x 6 Ví d 3. Tính các nguyên hàm sau dx dx dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ c) I 3 = ∫ ( x + 1)( x − 2)( x3 + 3) 2 2 x −1 4 3x + 5 x 100 Ví d 4. Tính các nguyên hàm sau dx x19 dx x 4 dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ c) I 3 = ∫ x(2 x50 + 7)2 (2 + x10 ) 2 x4 − 1 Ví d 5. Tính các nguyên hàm sau dx dx dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ c) I 3 = ∫ x( x − 1)( x + 2)( x + 3) x + 4x2 + 3 4 x − 10 x3 7 x 2 dx 1 − x 2010 d) I 4 = ∫ e) I 5 = ∫ dx x4 − 1 x (1 + x 2010 ) H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  7. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài li u bài gi ng: 05. M T S KĨ THU T TÌM NGUYÊN HÀM H U T - P2 Th y ng Vi t Hùng I. KĨ THU T PHÂN TÍCH T CÓ CH A NGHI M C A M U S II. KĨ THU T PHÂN TÍCH T CÓ CH A O HÀM C A M U Ví d 1. Tính các nguyên hàm sau x dx x2 − 1 x2 + 1 a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ dx c) I 3 = ∫ dx x4 −1 x4 + 1 x4 + 1 Ví d 2. Tính các nguyên hàm sau x 2 dx dx x 4 dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ c) I 3 = ∫ x4 −1 x +1 4 x4 + 1 Ví d 3. Tính các nguyên hàm sau dx dx dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ c) I 3 = ∫ x − x2 + 1 4 x + x2 + 1 4 x − 3x 2 + 1 4 Ví d 4. Tính các nguyên hàm sau x2 − 1 a) I1 = ∫ dx x 4 − 5 x3 − 4 x 2 − 5 x + 1 x2 + 1 b) I 2 = ∫ 4 dx x + 2 x3 − 10 x 2 − 2 x + 1 x2 + 3 c) I 3 = ∫ 4 dx x − 2 x3 − 2 x 2 + 6 x + 9 H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  8. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài li u bài gi ng: 05. M T S KĨ THU T TÌM NGUYÊN HÀM H U T - P3 Th y ng Vi t Hùng I. KĨ THU T PHÂN TÍCH T CÓ CH A NGHI M C A M U S II. KĨ THU T PHÂN TÍCH T CÓ CH A O HÀM C A M U III. KĨ THU T X LÍ NGUYÊN HÀM CÓ M U B C 6 Ví d 1. Tính các nguyên hàm sau x 2 dx x 2 dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ x6 − 1 x6 − 1 Ví d 2. Tính các nguyên hàm sau x dx x3 dx x 4 dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ c) I 3 = ∫ x6 − 1 x6 − 1 x6 − 1 Ví d 3. Tính các nguyên hàm sau x4 − 1 x4 + 1 a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ dx x6 − 1 x6 − 1 Ví d 4. Tính các nguyên hàm sau dx x2 + x a) I1 = ∫ 6 b) I 2 = ∫ 6 dx x +1 x +1 IV. KĨ THU T CH NG NH TH C Ví d 5. Tính các nguyên hàm sau ( x − 5 ) dx ( 2 x + 3) ( 7 x − 1) dx 10 7 99 a) I1 = ∫ b) I2 = ∫ dx c) I3 = ∫ ( x + 2) ( x − 1) ( 2 x + 1) 12 9 101 dx dx dx d) I 4 = ∫ e) I 5 = ∫ f) I 6 = ∫ ( x + 3) ( x + 5 ) ( 2 x − 1) ( 3x − 1) ( 3x − 2 ) ( 3 x + 4 ) 5 3 3 4 7 3 H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  9. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài li u bài gi ng: 06. KĨ THU T NG NH T TÌM NGUYÊN HÀM Th y ng Vi t Hùng 1) Khái ni m v phân th c ơn gi n M t phân s ư c g i là ơn gi n n u nó có m t trong các d ng sau mx + n mx + n , ( b 2 − 4ac < 0 ) k k ; ; ; ax + b ( ax + b) n ax + bx + c (ax + bx + c)n 2 2 Ví du 1: Các phân th c sau ư c g i là phân th c ơn gi n 1 2 2 5 5 ; ; ; ; x + 1 3x − 1 (2 x + 3) 4 x + 3 x + 10 (2 x + x + 4)3 2 2 1 2 Ví du 2: Các phân th c sau chưa ư c g i là phân th c ơn gi n ; ... x −1 2 2x + x − 3 2 2) Quy t c ng nh t P( x) Xét phân th c . Ta xét m t s trư ng h p có th x y ra Q( x) TH1: Q( x) = ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) ...( x − xn ) P( x) P( x) A A2 A3 An Khi ó luôn ư c phân tích ư c dư i d ng = 1 + + + ... + Q( x) Q ( x) x − x1 x − x2 x − x3 x − xn  P( x) ≡ A1 ( x − x2 )( x − x3 ) .. ( x − xn ) + A2 ( x − x1 )( x − x3 ) ...( x − xn ) + ... An ( x − x1 )( x − x2 ) ...( x − xn −1 ) → B ng phép ng nh t h s tương ng ta tìm ư c các giá tr A1; A2… Ngoài ra, chúng ta cũng có th s d ng phương pháp gán các giá tr c bi t. Ví d 1: Phân tích các phân th c sau thành phân th c ơn gi n 2x − 1 x2 + x + 1 a) b) 3 x2 + 2 x − 5 x x2 − 4 ( ) Hư ng d n gi i 2x −1 2x −1 A B a) Ta có 2 = = +  2 x − 1 ≡ A(3 x − 5) + B( x − 1), → (*) 3 x + 2 x − 5 ( x − 1)(3x + 5) x − 1 3x − 5 + Phương pháp h s b t nh:  1 2 = 3 A + B A = − 2  ng nh t h s tương ng c a (*) ta ư c  ⇔  −1 = −5 A − B B = 7   2 2x −1 −1 7 Khi ó 2 = + 3 x + 2 x − 5 2( x − 1) 2(3 x − 5) + Phương pháp gán giá tr c bi t: 1 Cho x = 1 ⇒ −2 A = 1 ⇔ A = − 2 1 7 Cho x = 2 ⇒ A + B = 3 ⇔ B = 3 − A = 3 + = 2 2 2x −1 −1 7 Khi ó 2 = + 3 x + 2 x − 5 2( x − 1) 2(3 x − 5) x2 + x + 1 x2 + x + 1  x 2 + x + 1 ≡ A ( x 2 − 4 ) + Bx ( x − 2 ) + Cx ( x + 2 ) A B C b) = = + + → x ( x − 4) 2 x ( x + 2 )( x − 2 ) x x + 2 x − 2 1 + Cho x = 0 ⇒ −4 A = 1 ⇔ A = − . 4 H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  10. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 7 + Cho x = 2 ⇒ 8C = 7 ⇔ C = . 8 3 + Cho x = −2 ⇒ −8B = 3 ⇔ B = − . 8 x + x + 1 −1 2 3 7 Khi ó = − + x ( x − 4) 2 4x 8( x + 2) 8( x − 2) TH2: Q( x) = ( x − x1 )( x − x2 ) ...( x − xk ) ...( x − xn ) m P ( x) A A2  B B2 Bm  An Khi ó = 1 + + 1 + + ... m  + ... + Q ( x) x − x1 x − x2  x − xk ( x − xk ) 2 ( x − xk )  x − xn Ví d 2: Phân tích các phân th c sau thành phân th c ơn gi n x2 − x + 5 3x + 1 a) 2 b) x ( x + 3) ( x + 1) x 2 + 4 x + 4 ( ) Hư ng d n gi i x − x+5 A B 2 C Ax + B C a) Ta có 2 = + 2+ = +  x 2 − x + 5 ≡ ( Ax + B ) ( x + 3) + Cx 2 → x ( x + 3) x x x+3 x 2 x+3 17 + Cho x = −3 ⇒ 9C = 17 ⇔ C = . 9 5 + Cho x = 0 ⇒ 3B = 5 ⇔ B = . 3 17 5− + Cho x = 1 ⇒ 5 = 4 ( A + B ) + C ⇔ A + = 5 9 ⇒ A = −8 3 4 9 x − x+5 2 8 5 17 Khi ó, 2 =− + 2 + x ( x + 3) 9 x 3x 9( x + 3) 3x + 1 A B C = + +  3x + 1 ≡ A ( x + 2 ) + B ( x + 2 )( x + 1) + C ( x + 1) → 2 b) Ta có ( x + 1) ( x + 4 x + 4 ) x + 1 x + 2 ( x + 2 ) 2 2 + Cho x = −2 ⇒ −C = −5 ⇔ C = 5. + Cho x = −1 ⇒ A = −2. + Cho x = 0 ⇒ 1 = 4 A + 2 B + C ⇔ −8 + 2 B + 5 = 1 ⇒ B = 2 3x + 1 −2 2 5 Khi ó, = + + ( x + 1) ( x + 4 x + 4 ) x + 1 ( x + 2 ) ( x + 2 )2 2 TH3: Q( x) = ( x − x1 )( x − x2 ) ...( ax 2 + bx + c ) ...( x − xn ) ; b 2 − 4ac < 0 P( x) A1 A2 mx + n An Khi ó = + + + ... + , ng nh t ta thu ư c các h s tương ng. Q ( x) x − x1 x − x2 ax 2 + bx + c x − xn Ví d 3: Phân tích các phân th c sau thành phân th c ơn gi n 2 x2 − x + 1 x−3 a) b) 3 x ( x + x + 2) 2 x −1 Hư ng d n gi i 2x − x + 1 2 Bx + C  2 x 2 − x + 1 ≡ A ( x 2 + x + 2 ) + ( Bx + C ) x A a) Ta có = + 2 → x( x + x + 2) x x + x + 2 2 1 + Cho x = 0 ⇒ 2 A = 1 ⇔ A = . 2 3 + L i có, A + B = 2 ⇒ B = , ( ng nh t h s c a x2) 2 3 + Ta cũng có A + C = −1 ⇒ C = − , ( ng nh t h s c a x) 2 H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  11. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 2 x2 − x + 1 1 3 x −1 Khi ó, = + x( x + x + 2) 2 x 2 x 2 + x + 2 2 x−3 x−3 Bx + C  2 x 2 − x + 1 ≡ A ( x 2 + x + 1) + ( Bx + C )( x − 1) A b) Ta có 3 = = + 2 → x − 1 ( x − 1) ( x + x + 1) x − 1 x + x + 1 2 2 + Cho x = 1 ⇒ 3 A = 2 ⇔ A = . 3 4 + L i có, A + B = 2 ⇒ B = , ( ng nh t h s c a x2) 3 1 + Ta cũng có A − C = 1 ⇒ C = − , ( ng nh t h s t do) 3 x−3 2 4x −1 Khi ó, 3 = + x − 1 3 ( x − 1) 3 ( x 2 + x + 1) 3) Áp d ng vào bài toán tìm nguyên hàm Ví d 1: Tính các nguyên hàm sau 2x + 1 x2 + x + 2 a) I1 = ∫ 2 dx b) I 2 = ∫ dx 3x − x − 2 x2 − 4 x + 3 Hư ng d n gi i 2x + 1 2x + 1 a) Ta có I1 = ∫ dx = ∫ dx 3x − x − 2 2 ( x − 1)(3 x + 2) 2x + 1 A B Xét = +  2 x + 1 ≡ A(3 x + 2) + B ( x − 1) → ( x − 1)(3 x + 2) x − 1 3x + 2 3 + Cho x = 1 ⇒ 5 A = 3 ⇔ A = 5 1 + Cho x = 0 ⇒ 2 A − B = 1 ⇔ B = 2 A − 1 = 5 2x + 1  3 1  3 1 Khi ó, I1 = ∫ dx = ∫  +  dx = ln x − 1 + ln 3x + 2 + C. ( x − 1)(3x + 2)  5( x − 1) 5(3 x + 2)  5 15 x2 + x − 2 x2 + x − 2 b) Ta có I 2 = ∫ dx = ∫ dx x2 − 4x + 3 ( x − 1)( x − 3) x2 + x + 2 A B Xét = +  x 2 + x + 2 ≡ A( x − 3) + B ( x − 1) → ( x − 1)( x − 3) x − 1 x − 3 + Cho x = 1 ⇒ −2 A = 4 ⇔ A = −2 + Cho x = 3 ⇒ 2 B = 14 ⇔ B = 7 x2 + x − 2  −2 7  Khi ó, I 2 = ∫ 2 dx = ∫  +  dx = 7 ln x − 3 − 2ln x − 1 + C. x − 4x + 3  x −1 x − 3  Ví d 2: Tính các nguyên hàm sau x2 + 3 x − 1 2x − 1 a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ dx x3 + 1 x 2 ( x + 1) Hư ng d n gi i x + 3x − 1 2 x + 3x − 1 2 a) Ta có I1 = ∫ dx = ∫ dx x +1 3 ( x + 1)( x 2 − x + 1) x 2 + 3x − 1 A Bx + C Xét = + 2  x 2 + 3 x − 1 ≡ A( x 2 − x + 1) + ( Bx + C )( x + 1) → ( x + 1)( x − x + 1) x + 1 x − x + 1 2 + Cho x = −1 ⇒ 3 A = −3 ⇔ A = −1 + ng nh t h s c a x2 ta ư c A + B = 1 ⇒ B = 2 + ng nh t h s t do ta ư c A + C = −1 ⇒ C = 0 x 2 + 3x − 1  −1 2x  (2 x − 1) + 1 Khi ó, I1 = ∫ dx = ∫  +  dx = − ln x + 1 + ∫ 2 dx = x3 + 1  x + 1 x2 − x + 1  x − x +1 H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  12. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95  1 dx−  d ( x − x + 1) 2 dx  2 = − ln x + 1 + ∫ 2 +∫ 2 = − ln x + 1 + ln x 2 − x + 1 + ∫ = x − x +1 x − x +1  1  3 2 2 x−  +   2  2  2  2x −1  − ln x + 1 + ln x 2 − x + 1 + arctan  +C 3  3  2x −1 A B C  b) Ta có I 2 = ∫ 2 dx = ∫  + 2 +  dx x ( x + 1) x x x +1 2x − 1 A B C Xét 2 = + 2+  2 x − 1 ≡ Ax( x + 1) + B ( x + 1) + Cx 2 → x ( x + 1) x x x +1 + Cho x = −1 ⇒ 3 A = −3 ⇔ A = −1 + ng nh t h s c a x2 ta ư c A + B = 1 ⇒ B = 2 + ng nh t h s t do ta ư c A + C = −1 ⇒ C = 0 x 2 + 3x − 1  −1 2x  (2 x − 1) + 1 Khi ó, I1 = ∫ dx = ∫  + 2  dx = − ln x + 1 + ∫ 2 dx = x +1 3  x +1 x − x +1 x − x +1  1 dx−  d ( x − x + 1) 2 dx  2 = − ln x + 1 + ∫ 2 +∫ 2 = − ln x + 1 + ln x 2 − x + 1 + ∫ = x − x +1 x − x +1  1  3 2 2 x−  +   2  2  2  2x −1  − ln x + 1 + ln x 2 − x + 1 + arctan  +C 3  3  Ví d 3: Tính các nguyên hàm sau x x2 + x + 2 a) I1 = ∫ 3 dx b) I 2 = ∫ dx x −1 x ( x 2 − 9) Hư ng d n gi i x x a) Ta có I1 = ∫ 3 dx = ∫ dx x −1 ( x − 1)( x 2 + x + 1) x A Bx + C Xét = + 2  x ≡ A( x 2 + x + 1) + ( Bx + C )( x − 1) → ( x − 1)( x + x + 1) x − 1 x + x + 1 2 1 + Cho x = 1 ⇒ 3 A = 1 ⇔ A = 3 1 + ng nh t h s c a x2 ta ư c A + B = 0 ⇒ B = − 3 1 + ng nh t h s t do ta ư c A − C = 0 ⇒ C = 3 1 3 (2 x + 1) − x 1 1 x −1 1 1 2 2 dx = Khi ó, I1 = ∫ 3 3( x − 1) 3 ∫ x 2 + x + 1 dx = − dx = ln x − 1 − ∫ x −1 3 3 x2 + x + 1 1 d ( x 2 + x + 1) 1 2x + 1 = ln x − 1 − ln ( x 2 + x + 1) + 1 dx 1 1 = ln x − 1 − ∫ 2 + ∫ arctan +C 3 6 x + x +1 2  1  3 2 2 3 3 3 x+  +   2  2  x2 + x + 2 x2 + x + 2 b) Ta có I 2 = ∫ dx = ∫ dx x( x 2 − 9) x( x + 3)( x − 3) x2 + x + 2 A B C Xét = + +  x 2 + x + 2 ≡ A( x 2 − 9) + Bx( x − 3) + Cx( x + 3) → x( x + 3)( x − 3) x x + 3 x − 3 2 + Cho x = 0 ⇒ −9 A = 2 ⇔ A = − 9 H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  13. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 7 + Cho x = 3 ⇒ 18C = 14 ⇔ C = 9 4 + Cho x = −3 ⇒ −18B = 8 ⇔ B = − 9 x +x+2 2  2 4 7  2 4 7 Khi ó, I 2 = ∫ dx = ∫  − − +  dx = − ln x − ln x + 3 + ln x − 3 + C . x( x − 9) 2  9 x 9( x + 3) 9( x − 3)  9 9 9 BÀI T P LUY N T P: Tính các nguyên hàm, tích phân sau: 0 2 x3 − 6 x 2 + 9 x + 9 3 3x 2 + 3 x + 3 a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ dx −1 x 2 − 3x + 2 2 x − 3x + 2 3 2x + 3 x −1 c) I 3 = ∫ 2 dx d) I 4 = ∫ dx x ( x − 1) ( x + 2) 2 (2 x + 3) 1 − 2 x2 x +1 e) I 5 = ∫ dx f) I 6 = ∫ dx ( x + 1)( x 2 + x + 4) 2 x( x 2 + 4 x + 5) H c offline: Ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  14. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài li u bài gi ng: 08. PP T NG PH N TÌM NGUYÊN HÀM Th y ng Vi t Hùng CƠ S PHƯƠNG PHÁP: Công th c nguyên hàm t ng ph n I = ∫ P ( x).Q ( x)dx = ∫ udv = uv − ∫ vdu ưu tiên khi l a ch n t u: Hàm logarith, lnx → hàm a th c → hàm lư ng giác = hàm mũ. ( N u I có ch a ln n [ g ( x)] thì t u = ln n [ g ( x)]  du = ln n [ g ( x)] ' → ) N u I có ch a hàm a th c (không ch a hàm loga) thì t u = P(x) N u I có ch a c hàm lư ng giác và hàm mũ thì ta có th t tùy ý, tuy nhiên qua trình tính s g m các vòng l p. vi c tính toán úng thì trong m i vòng l p, các thao tác t u ph i cùng d ng hàm v i nhau. Chú ý: V i các bài toán tìm nguyên hàm t ng ph n, chúng ta có th s d ng cách gi i truy n th ng ( t u, tìm v) ho c cách gi i nhanh(chuy n nguyên hàm c n tính v d ng ∫ udv ) mà không c n t u, v. Tuy nhiên cách gi i nhanh ch có th dùng ư c khi h c sinh ph i r t thành th o vi phân. Ví d 1. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: ∫ a) I1 = x sin x dx ∫ b) I 2 = xe3 x dx ∫ c) I 3 = x 2 cos x dx ∫ d) I 4 = x ln x dx Hư ng d n gi i: ∫ a) I1 = x sin x dx u = x du = dx Cách 1: t  ←  → sin xdx = dv v = − cos x ∫ ∫  I1 = x sin xdx = − x cos x + cos xdx = − x cos x + sin x + C. → Cách 2: I1 = x sin x dx = − xd (cos x) = −  x cos x − cos x dx  = − x cos x + sin x + C ∫ ∫ ∫   ---------------------------------------------------- ∫ b) I 2 = xe3 x dx du = dx u = x   Cách 1: t  3 x ← → 1 3x e dx = dv  v = 3 e  1 1 1 1 3x 1 1 ∫ 3 3∫  I 2 = xe3 x dx = xe3 x − e3 x dx = xe3 x − → 3 9 ∫ e d (3 x) = xe3 x − e3 x + C 3 9 ∫ ( ) 1 1  3x 1  3x 1 3x  1 1  ∫ Cách 2: I 2 = xe3 x dx = x d e3 x = xe − e3 x dx  =  xe − ∫ ∫ e d (3 x)  =  xe3 x − e3 x  + C 3 3  3 3  3 3  ------------------------------------------------------------ ∫ c) I 3 = x 2 cos x dx u = x 2   du = 2 xdx Cách 1: t  ←  → cos x dx = dv  v = sin x ∫ ∫ Khi ó I 3 = x 2 cos x dx = x 2 sin x − 2 x sin x dx = x 2 sin x − 2 J u = x  du = dx Xét J = ∫ x sin x dx. t  sin x dx = dv ← → v = − cos x ∫  J = − x cos x + cos xdx = − x cos x + sin x →  I 3 = x 2 sin x − 2 ( − x cos x + sin x ) + C. → ∫ ∫ ∫ ∫ Cách 2: I 3 = x 2 cos x dx = x 2 d (sin x) = x 2 sin x − sin x d ( x 2 ) = x 2 sin x − 2 x sin x dx Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
  15. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 ∫ ∫ = x 2 sin x + 2 xd (cos x) = x 2 sin x + 2 x cos x − 2 cos x dx = x 2 sin x + 2 x cos x − 2sin x + C. ------------------------------------------------------------ ∫ d) I 4 = x ln x dx  dx u = ln x  du = x  x2 x 2 dx x 2 x2 Cách 1: t   x dx = dv ←  → v = x 2 ∫  I 4 = x ln x dx = ln x − → 2 2 x . = ln x − 2 4 + C. ∫   2  x2  x2 x2 x2 x 2 dx x 2 x2 ∫ ∫ Cách 2: I 4 = x ln x dx = ln x d   = ln x − d ( ln x ) = ln x − ∫ = ln x − + C. ∫  2  2 2 2 2 x 2 4 Ví d 2. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: ∫ a) I 5 = x 2 ln x dx b) I 6 = x ln 2 ( x + 1) dx ∫ c) I 7 = ∫ ln ( x + ) 1 + x 2 dx d) I8 = ∫e x sin x dx Hư ng d n gi i: ∫ a) I 5 = x 2 ln x dx  dx   u = ln x  du = x  x3 x 3 dx x 3 x3 Cách 1: t  2  x dx = dv  ← → v = x 3 ∫  I 5 = x 2 ln x dx = ln x − → 3 3 x . = ln x − + C . 3 9 ∫   3  x  x3 3 x3 x3 x3 dx x3 x3 ∫ ∫ Cách 2: I 5 = x 2 ln x dx = ln x d   = ln x − d ( ln x ) = ln x − ∫ = ln x − + C. ∫  3  3 3 3 3 x 3 9 ------------------------------------------------------------ b) I 6 = x ln 2 ( x + 1) dx ∫  x2  x2 Ta có I 6 = x ln 2 ( x + 1) dx = ln 2 ( x + 1) d   = ln 2 ( x + 1) − ∫ ∫ 2  2 x2 2 d ln 2 ( x + 1) ∫ ( )  x 2 x 2ln ( x + 1) 2 x 2 x2 x2 = ln 2 ( x + 1) − . ∫ dx = ln 2 ( x + 1) − ∫ ln ( x + 1) dx = ln 2 ( x + 1) − J 2 2 x +1 2 x +1 2 x 2 ( x − 1) + 1 2  1  Xét J = ∫ ln ( x + 1) dx = ∫ln ( x + 1) dx =  x − 1 + ∫  ln ( x + 1) dx = x +1 x +1  x +1  x2  = ln ( x + 1) d  − x  + ln ( x + 1) d ( ln ( x + 1) ) = dx = ∫ ( x − 1) ln ( x + 1) dx + ∫ ln ( x + 1) x +1 ∫  2  ∫ x 2  x 2  ln ( x + 1)  x 2 2  1 x2 − 2 x ln 2 ( x + 1) =  − x  ln ( x + 1) −  − x  d ( ln ( x + 1) ) + ∫ =  − x  ln ( x + 1) − dx + ∫  2   2  2  2  2 x +1 2 x2 − 2x  3  x2 Xét K = x +1∫ dx =  x − 3 +  x +1 ∫dx = 2 − 3x + 3ln x + 1  x2  1  x2  ln 2 ( x + 1)  J =  − x  ln ( x + 1) −  − 3x + 3ln x + 1  + → + C.  2  2 2  2 x 2 ln 2 ( x + 1)  x 2  1  x2  ln 2 ( x + 1) T ó ta ư c I 6 = −  − x  ln ( x + 1) +  − 3x + 3ln x + 1  − + C. 2  2  2 2  2 ------------------------------------------------------------ ∫ ( c) I 7 = ln x + 1 + x 2 dx ) Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
  16. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 x 1+ ( ) ( ) ( Ta có I 7 = ln x + 1 + x 2 dx = x ln x + 1 + x 2 − xd  ln x + 1 + x 2  = x ln x + 1 + x 2 − ∫     ∫ x + 1 + x2 ) 1 + x 2 x dx ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) 1 d x +1 ( ) 2 x dx = x ln x + 1 + x 2 − ∫ 1 + x2 = x ln x + 1 + x 2 − 2 ∫ 1+ x 2 = x ln x + 1 + x 2 − 1 + x 2 + C. ( ) V y I 7 = x ln x + 1 + x 2 − 1 + x 2 + C. ------------------------------------------------------------ ∫ d) I8 = e x sin x dx ∫ ( ) Ta có I8 = e x sin x dx = sin x d e x = e x sin x − e x d ( sin x ) = e x sin x − e x cos x dx = e x sin x − cos x d e x ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) = ex sin x − ∫ cos x d ( e ) = e x x sin x − e x cos x − e x d ( cos x )  = e x sin x −  e x cos x + e x sin x dx  ∫ ∫     e x sin x − e x cos x = e x sin x −  e x cos x + I8  = e x sin x − e x cos x − I8  I8 =   → + C. 2 Nh n xét: Trong nguyên hàm I8 chúng ta th y r t rõ là vi c tính nguyên hàm g m hai vòng l p, trong m i vòng ta u nh t quán t u là hàm lư ng giác (sinx ho c cosx) và vi c tính toán không th tính tr c ti p ư c. BÀI T P LUY N T P: Bài 1. Tính các nguyên hàm sau:  1 a) I1 = ∫  x +  ln x dx b) I 2 = ∫ x ln(3 + x 2 )dx  x c) I 3 = ∫ ( x 2 + 2 x)sin x dx d) I 4 = ∫ ln ( x 2 + x ) dx Bài 2. Tính các nguyên hàm sau: a) I 5 = ∫ x ln( x 2 + 1) dx b) I 6 = ∫ x tan 2 x dx c) I 7 = ∫ x 2 ln( x 2 + 1) dx d) I8 = ∫ x sin x dx Bài 3. Tính các nguyên hàm sau: ln( x − 1) ln(2 x + 1) a) I 9 = ∫ dx b) I10 = ∫ dx (2 x + 1)2 (1 − 3 x)2 x2e x c) I11 = ∫ x.sin x.cos 2 x dx d) I12 = ∫ dx ( x + 2) 2 Bài 4. Tính các nguyên hàm sau: 1+ x a) I13 = ∫ x.ln dx b) I14 = ∫ ln( x + 1 + x 2 ) dx 1− x x ln( x + 1 + x 2 ) x ln( x + 1 + x 2 ) c) I15 = ∫ dx d*) I16 = ∫ dx 1 + x2 x + 1 + x2 Bài 5. Tính các nguyên hàm sau: x ln x 17) I17 = ∫ x ln( x + 1 + x 2 ) dx b) I18 = ∫ dx ( x 2 + 1) 2  1 1  19) I19 = ∫ cos(ln x)dx d) I 20 = ∫  − 2  dx  ln x ln x  Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.04: Bộ 290+ Đề Thi Vào Lớp 10 Năm 2020
290 tài liệu
511 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2