Luyện thi ĐH môn Toán 2015: Bài toán khoảng cách trong hàm số (Phần 2) - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y<br /> <br /> NG VI T HÙNG<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> BÀI TOÁN KHO NG CÁCH TRONG HÀM S<br /> Th y<br /> III. T NG KHO NG CÁCH N HAI TR C T A<br /> <br /> - P2<br /> <br /> ng Vi t Hùng<br /> <br /> Gi s có th hàm s y = f(x) trong ó f(x) hàm phân th c b c nh t. Bài toán t ra là tìm i m M thu c th có t ng kho ng cách t M n hai tr c t a Gi s M ( a; f ( a) ) , t ng kho ng cách t M n các tr c t a là d = a + f (a)<br />  M 0 ( 0; y0 ) G i  là giao i m c a  M 0 ( x0 ;0 ) <br /> <br /> Ox, Oy nh nh t.<br /> <br /> th và tr c Ox ho c Oy (thông thư ng ta l y giao v i tr c Ox).<br /> <br /> Khi ó d = y0 = k > 0 a 1).<br /> Khi 0 ≤ xo < 1  d = xo − →<br /> <br /> nh hơn 1, ta ch c n xét hàm d khi |xo| < 1, (vì khi |xo| > 1<br /> <br />  xo = −1 2 xo − 1 3xo + 1 9 x 2 + 6 xo − 3 =  d ′ = o → =0⇔  2  xo = 1 3xo + 1 3 xo + 1 ( 3xo + 1)  3  1 2 L p b ng bi n thiên ta ư c d min = d   = . 3 3<br /> Khi −1 < xo < 0  d = − xo − →<br /> 2 xo − 1 −3 xo − 2 xo + 1 −4 =  d ′ = → 2  d = a + →<br /> <br /> NG VI T HÙNG<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> 2a − 4 ≥ a > 2  d > 2, ∀ a > 2 → a +1 2a − 4 2a − 4 2a − 4 2a − 4 N u > 2  d = a + → ≥ > 2  d > 2, ∀ → >2 a +1 a +1 a +1 a +1<br /> <br /> a ≤2 1  Do ó, tìm GTNN c a d, ta ch xét :  2a − 4 ⇔ ≤ a ≤ 2. , (*) 2 ≤2   a +1 1 4 − 2a 6 6 V i < a < 2  d = a + → =a−2+ = a +1+ − 3 ≥ 2 6 − 3, 2 a +1 a +1 a +1 D u “=” x y ra khi a = 6 − 1 (th a mãn (*)).<br /> <br /> (2)<br /> <br /> T (1), (2) suy ra d min = 2 6 − 3 ⇔ a = 6 − 1  M →<br /> V y i m M c n tìm là M =<br /> <br /> (<br /> <br /> 6 − 1; 2 − 6<br /> <br /> )<br /> <br /> (<br /> <br /> 6 − 1; 2 − 6<br /> <br /> )<br /> <br /> IV. KHO NG CÁCH GI A HAI<br /> <br /> I M TRÊN HAI NHÁNH C A<br /> <br /> TH<br /> <br /> g ( x) k . =α+ h( x ) x−a th có ti m c n ng x = a, khi ó ph n th n m bên ph i x = a ư c g i là nhánh trái c a n m bên ph i ư ng x = a ư c g i là nhánh ph i c a th . G i M ( x1 ; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) tương ng là các i m thu c nhánh trái và nhánh ph i c a th . Gi s có th hàm s y = f ( x) =<br /> a − x1 > 0 Khi ó x1 < a < x2 ⇔   x2 − a > 0 Kho ng cách gi a hai i m MN ư c cho b i MN =<br /> <br /> th , ph n<br /> <br /> th<br /> <br /> ( x2 − x1 )<br /> <br /> 2<br /> <br /> + ( y2 − y1 ) =<br /> 2<br /> <br /> ( x2 − x1 )<br /> <br /> 2<br /> <br />  k k  + −   x2 − a x1 − a <br /> <br /> 2<br /> <br /> t1 = a − x1 ⇒ t1 > 0  x1 − a = −t1 ⇔ t  t2 = x2 − a ⇒ t2 > 0  x2 − a = t2 Thay vào bi u th c tính MN và dùng Cô-si ánh giá ta thu ư c MNmin. x+3 Ví d : [ VH]. Cho hàm s y = , (C ) . x−3 Tìm trên (C) hai i m A, B thu c hai nhánh khác nhau sao cho dài AB ng n nh t . Hư ng d n gi i: x+3 6 Ta có y = =1+ x −3 x−3<br />  6   6  G i A  x1 ;1 +  ; B  x2 ;1 +  là các i m thu c x1 − 3   x2 − 3  <br /> <br /> th hàm s ⇒ AB = ( x2 − x1 )<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br />  6 6  + −   x2 − 3 x1 − 3 <br /> <br /> 2<br /> <br /> 3 − x1 > 0 Gi s A thu c nhánh trái và B thu c nhánh ph i, khi ó x1 < 3 < x2 ⇔   x2 − 3 > 0 t1 = 3 − x1 ⇒ t1 > 0  x1 − 3 = −t1 t  ⇔ ⇒ x2 − x1 = t2 + t1 t2 = x2 − 3 ⇒ t2 > 0  x2 − 3 = t2<br /> <br /> Ta có AB = ( t2 + t1 )<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br />  6 6 36 36 72  2 36   2 36   72  2 +  +  = t12 + t2 + 2 + 2 + 2t1t2 + =  t1 + 2  +  t2 + 2  +  2t1t2 +  t1t2  t1t2  t1 t2 t1   t2    t2 t1 <br /> <br /> 2<br /> <br /> Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn<br /> <br /> t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015!<br /> <br /> Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y<br /> t12 +<br /> <br /> NG VI T HÙNG<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> 36 36 ≥ 2 t12 . 2 = 12 t12 t1 36 2 36 ≥ 2 t2 . 2 = 12 2 t2 t2 72 72 ≥ 2 2t1t2 . = 24 t1t2 t1t2<br /> <br /> Theo b t<br /> <br /> ng th c Cô-si ta có<br /> <br /> 2 t2 +<br /> <br /> 2t1t2 +<br /> <br />  36   2 36   72  Khi ó AB 2 =  t12 + 2  +  t2 + 2  +  2t1t2 +  ≥ 12 + 12 + 24 = 72 ⇒ AB ≥ 6 2 t1t2  t1   t2     2 36 t1 = 2 t1 t1 = 6   A 3 − 6;1 − 6     2 36   t1 = 6  x1 = 3 − 6  ⇒ ABmin = 6 2 ⇔ t2 = 2 ⇔ t2 = 6 ⇔  ⇔   → t2 t2 = 6  x2 = 3 + 6  t t = 6  A 3 + 6;1 + 6     12  72 2t1t2 = t1t2  <br /> <br /> ( (<br /> <br /> ) )<br /> <br /> V. M T S<br /> <br /> BÀI TOÁN KHO NG CÁCH K T H P V I TƯƠNG GIAO<br /> <br /> Cho hàm s<br /> Hai Gi s<br /> <br /> (C ) : y =<br /> <br /> ax + b và ư ng th ng d : y = mx + n. cx + d<br /> <br /> th c t nhau t i hai i m phân bi t A, B khi phương trình<br /> A ( xA ; y A ) , B ( xB ; yB )<br /> <br /> ax + b d = mx + n có hai nghi m phân bi t khác − . cx + d c là các giao i m, khi ó A ( xA ; mxA + n ) , B ( xB ; mxB + n )<br /> 2<br /> <br />  AB = →<br /> <br /> ( x A − xB )<br /> <br /> 2<br /> <br /> + ( y A − yB ) =<br /> <br /> ( x A − xB )<br /> <br /> 2<br /> <br /> +m<br /> <br /> 2<br /> <br /> ( x A − xB )<br /> <br /> 2<br /> <br /> =<br /> <br /> (m<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2 + 1  ( x A + xB ) − 4 x A x B   <br /> <br /> )<br /> <br /> x A − xB<br /> <br /> m2 + 1<br /> <br /> giao i m ta ư c k t qu c a bài toán.  −b + ∆  xA = ∆ 2 ∆′  2a Ngoài cách bi n i trên ta có th th c hi n như sau :   xA − xB = → = a a −b − ∆ x =  B 2a  ∆ 2 ∆′ Khi ó AB = x A − xB m 2 + 1 = . m2 + 1 = . m2 + 1 a a<br /> <br /> S d ng Vi-ét cho phương trình hoành<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> 2x + 4 . 1− x G i d là ư ng th ng i qua M(1; 1) có h s góc là k .Tìm k d c t (C) t i hai i m A, B sao cho AB = 3 10. Hư ng d n gi i: ư ng th ng d qua M(1; 3) và có h s góc k nên d : y = k(x −1) + 1. 2x + 4 Phương trình hoành giao i m: = kx + 1 − k ⇔ g ( x) = kx 2 + ( 3 − 2k ) x + k + 3 = 0, (1) 1− x hai th c t nhau t i hai i m A, B phân bi t thì (1) có hai nghi m phân bi t khác 1. k ≠ 0 k ≠ 0  k ≠ 0 2  Ta có i u ki n: ∆ = ( 3 − 2k ) − 4k ( k + 3) > 0 ⇔  ⇔ 9 ( *) 9 − 24k > 0 k <  g (1) = 6 ≠ 0  24  V i i u ki n (*) thì d c t (C) t i hai i m A, B. 3k − 3 3   x1 + x2 = k = 3 − k  Theo nh lí Vi-ét ta có  x x = k + 3 =1+ 3  1 2 k k <br /> <br /> Ví d 1: [ VH]. Cho hàm s<br /> <br /> (C ) : y =<br /> <br /> Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn<br /> <br /> t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015!<br /> <br /> Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y<br /> <br /> NG VI T HÙNG<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> 2<br /> <br /> G i A ( x1 ; kx1 + 3 − k ) ; B ( x2 ; kx2 + 3 − k ) ⇒ AB =<br /> <br /> ( x2 − x1 )<br /> <br /> 2<br /> <br /> + k 2 ( x2 − x1 ) =<br /> <br /> (k<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2 + 1) ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2   <br /> <br /> 2  3 12  Theo gi thi t ta có AB = 3 10 ⇔ AB 2 = 90 ⇔ ( k 2 + 1)  3 −  − 4 −  = 90 k k   <br /> <br /> ⇔ ( 9 − 24k ) ( k 2 + 1) = 90k 2 ⇔ 24k 3 + 81k 2 + 24k + 9 = 0 ⇔ 3 ( k + 3) ( 8k 2 + 3k − 1) = 0<br />  k = −3  k = −3   2 → ⇔  k = −3 ± 41 8k + 3k − 1 = 0  16 <br /> <br /> (**)<br /> <br /> V y v i k th a mãn (**) thì d c t (C) t i A, B và AB = 3 10. 3x − 2 Ví d 2: [ VH]. Cho hàm s ( C ) : y = . x −1 Vi t phương trình ư ng th ng d i qua M(1; 3) c t (C) t i hai i m phân bi t A, B sao cho AB = 2 3. Hư ng d n gi i: ư ng th ng d qua M(1; 3) và có h s góc k nên d : y = k(x −1) + 3. 3x − 2 Phương trình hoành giao i m: = kx + 3 − k ⇔ g ( x) = kx 2 − 2kx + k − 1 = 0, (1) x −1 hai th c t nhau t i hai i m A, B phân bi t thì (1) có hai nghi m phân bi t khác 1. k ≠ 0 k ≠ 0  ⇔ k > 0 ( *) Ta có i u ki n:  ∆ ' = k 2 − k ( k − 1) > 0 ⇔  k > 0  g (1; k ) = −1 ≠ 0 <br /> <br /> G i A ( x1 ; kx1 + 3 − k ) ; B ( x2 ; kx2 + 3 − k ) ⇒ AB =<br /> <br /> ( x2 − x1 )<br /> <br /> 2<br /> <br /> + k 2 ( x2 − x1 ) = x2 − x1<br /> 2<br /> <br /> k2 +1 .<br /> <br /> Trong ó x1; x2 là hai nghi m c a phương trình (1). 2 ∆' 2 k T ó ta ư c AB = . k2 +1 = . k 2 + 1 = 2 3 ⇔ k ( k 2 + 1) = k a k<br /> ⇔ k 2 + 1 = 3k ⇔ k 2 − 3k + 1 = 0 ⇔ k = i chi u v i (*) ta ư c k = 3± 5 . 2<br /> <br /> 3 ⇔ k ( k 2 + 1) = 3k 2<br /> <br /> 3± 5 là giá tr c n tìm. 2 2x Ví d 3: [ VH]. Cho hàm s ( C ) : y = . x −1 Tìm các giá tr c a m ư ng th ng d : y = mx − m + 2 c t th (C) t i hai i m phân bi t A, B sao cho o n AB có dài nh nh t. Hư ng d n gi i: 2x Phương trình hoành giao i m: = mx − m + 2 ⇔ g ( x) = mx 2 − 2mx + m − 2 = 0, (1) x −1 hai th c t nhau t i hai i m A, B phân bi t thì (1) có hai nghi m phân bi t khác 1. m ≠ 0 m ≠ 0   m > 0 ( *) → Ta có i u ki n: ∆ ' = m 2 − m ( m − 2 ) > 0 ⇔  2m > 0  g (1) = −2 ≠ 0  Gi s A ( x1 ; mx1 − m + 2 ) ; B ( x2 ; mx2 − m + 2 )  AB = →<br /> <br /> ( x2 − x1 )<br /> <br /> 2<br /> <br /> + m 2 ( x2 − x1 ) = x2 − x1<br /> 2<br /> <br /> m2 + 1<br /> <br /> 2m ( m 2 + 1) 2 ( m 2 + 1) 2 ∆' 2 2m 2 2 ⇔ AB = . m +1 = . m +1 = 2 =2 ≥ 2 4 = 4. a m m2 m V y ABmin = 4 khi m = 1. 2x + 1 Ví d 4: [ VH]. Cho hàm s ( C ) : y = . x+2 Tìm m ư ng th ng d : y = −x + m c t (C) t i hai i m A, B sao cho AB nh nh t. Hư ng d n gi i:<br /> <br /> Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn<br /> <br /> t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015!<br /> <br /> Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y Phương trình hoành giao i m: :<br /> <br /> NG VI T HÙNG<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> 2x + 1 = − x + m ⇔ g ( x) = x 2 + (4 − m) x + 1 − 2m = 0, x+2 hai th c t nhau t i hai i m A, B phân bi t thì (1) có hai nghi m phân bi t khác −2.  2  ∆ = ( 4 − m ) 2 − 4 (1 − 2m ) > 0  m + 12 > 0 3  Ta có i u ki n:  ⇔  m ≠ (*) → 3 2  g (−2) = 2m − 3 ≠ 0 m ≠  2 <br /> Gi s A ( x1 ; − x1 + m ) ; B ( x2 ; − x2 + m )  AB 2 = ( x2 − x1 ) + ( x1 − x2 ) = 2 ( x2 − x1 ) →<br /> 2 2 2<br /> <br /> (1)<br /> <br /> ⇔ AB = x2 − x1<br /> <br /> 2 = ∆ 2 = 2. m 2 + 12 ≥ 2 12 = 2 6 ⇔ m = 0 .<br /> <br /> Khi m = 0 thì AB nh nh t b ng 2 6.<br /> VI. M T S BÀI TOÁN KHO NG CÁCH K T H P V I TI P TUY N<br /> <br /> 2x + 1 5 . =2+ x−2 x−2 G i d là ti p tuy n c a (C) t i M(0; 1). Hãy tìm trên (C) nh ng i m có hoành n d là ng n nh t. Hư ng d n gi i: 5 5 Ta có : y′ = − ⇒ y′(0) = − . 2 4 ( x − 2)<br /> <br /> Ví d 1: [ VH]. Cho hàm s<br /> <br /> (C ) : y =<br /> <br /> x > 1 mà kho ng cách t<br /> <br /> ó<br /> <br /> 5 5 ( x − 0) + 1 = − x + 1 ⇔ 5x + 4 y − 4 = 0 4 4 G i M ( x; y ) ∈ (C ) v i x > 1. Kho ng cách t M n d là d(M; d) thì Phương trình ti p tuy n d t i M : y = −<br /> 5x − 4 y + 4 5  1 20  5x + 4  2 + 5x + 4 + −4 = x−2 x−2 25 + 16 41 41 41  x = 0 20 20 ⇒ g ( x) = 5 x + 4 + , ( x > 1) ; g '( x) = 5 − =0⇔ 2 x−2 ( x − 2) x = 4 L p b ng bi n thiên, ta th y min g(x) = g(4) = 34 34 9  9 K t lu n : min h( M ;d ) = khi x = 4; y = ⇒ N  4;  . 2 41  2 2x + 1 Ví d 2: [ VH]. Cho hàm s ( C ) : y = . x−2 Tìm hai i m M, N thu c (C) sao cho ti p tuy n t i M, N song song v i nhau và kho ng cách gi a hai ti p tuy n là l n nh t. Hư ng d n gi i: 2x + 1 5 5 Ta có y = =2+ ⇒ y′ = − . 2 x−2 x−2 ( x − 2)<br /> <br /> ⇒ d ( M ;d ) =<br /> <br /> =<br /> <br /> 1<br /> <br /> 5x − 4 y + 4 =<br /> <br /> 1<br /> <br /> 5  2 kM = − ( x1 − 2 )  G i M ( x1 ; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) ∈ ( C ) , ( x1 ≠ x2 ) ⇒  5 k = − N 2  ( x2 − 2 )  N u hai ti p tuy n song song v i nhau thì 5 5 2 2 kM = k N ⇔ − =− ⇔ ( x2 − 2 ) − ( x1 − 2 ) = 0 ⇔ ( x2 − x1 )( x2 + x1 − 4 ) = 0 2 2 ( x1 − 2 ) ( x2 − 2 ) ⇔ x1 + x2 − 4 = 0 ⇔ x1 − 2 = 2 − x2 Kho ng cách hai ti p tuy n ng n nh t khi MN vuông góc v i hai ti p tuy n ⇔ kMN .kM = −1 Trong ó k MN =<br /> <br /> ( *)<br /> <br />  −5 ( x2 − x1 ) y2 − y1 1 5   5  5 = =−  2 +  −2+  = x2 − x1 ( x2 − x1 )  x2 − 2   x1 − 2   ( x2 − x1 )( x2 − 2 )( x1 − 2 ) ( x2 − 2 )( x1 − 2 )<br /> <br /> Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn<br /> <br /> t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015!<br /> <br />