zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Luyện thi ĐH môn Toán: Phương trình phức (Phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Nguyễn Thị Oanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Báo xấu

61
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Luyện thi ĐH môn Toán: Phương trình phức (Phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp các bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về phương trình phức thật hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi ĐH môn Toán: Phương trình phức (Phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 03. PHƯƠNG TRÌNH PHỨC – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN [Tab Toán học – Khóa Chuyên đề LTĐH – Chuyên đề Số phức] I. CĂN BẬC HAI SỐ PHỨC Cho số phức z = a + bi, số phức w = x + yi được gọi là căn bậc hai của số phức z nếu w2 = z hay (x + yi)2 = a + bi. Chú ý : Khi b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản sau : +) TH1 : a > 0 ⇒ ω = ± a +) TH2 : a < 0 ⇒ z = i 2 a ⇒ ω = ±i a Khi b ≠ 0, để tìm căn bậc 2 của z ta giải hệ phương trình từ đồng nhất thức: (x + yi)2 = a + bi x2 − y2 = a hay x − y + 2 xyi = a + bi ⇔  2 2 2 xy = b Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau a. z = 5 b. z = –7 c. z = −1 − 2 6i Hướng dẫn giải: a. z = 5 ⇒ ω = ± 5 b. z = −7 = 7i 2 ⇒ ω = ±i 7 c. Gọi w = x + yi là căn bậc hai của số phức z = −1 − 2 6i , ta có  − 6 y = x2 = 2   x − y =2 − 12  x  ( x + yi ) = −1 − 2 6i ⇔ x 2 − y 2 + 2 xyi = −1 − 2 6i ⇔  ⇔ ⇔ 2 2 − 6 2 xy = −2 6  x 2 −  − 6  = −1  y =     x   x  Hệ phương trình trên có 2 nghiệm ( )( 2; − 3 ; − 2; 3 ) Vậy có 2 căn bậc hai của −1 − 2 6i là 2 − 3i và − 2 + 3i Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính căn bậc hai của các số phức sau : a. z = −1 + 4 3i b. z = 4 + 6 5i c. z = –18i d. z = 4i e. z = −5 − 12i f. z = 11 + 4 3i 1 2 g. z = −40 + 42i h. z = + i i. z = −8 + 6i 4 2 Ví dụ 3: [ĐVH]. Viết các số phức sau dưới dạng chính phương ? a) z = −21 + 20i = ..................................... b) z = 1 + 4 3i = ....................................... c) z = −15 + 8i = ..................................... d) z = −1 − 2 2i = ....................................... e) z = 5 − 12i = ..................................... f) z = 13 + 8 3i = ....................................... Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 g) z = 22 − 10 2i = ....................................... II. PHƯƠNG TRÌNH PHỨC BẬC 2 Xét phương trình phức bậc 2 : Az2 + Bz + C = 0 có ∆ = B2 – 4AC. TH1: Các hệ số A, B, C là các số thực. Tính ∆ = B 2 − 4 AC −B ± ∆ + Nếu ∆ > 0 thì phương trình có nghiệm thực z = 2A −B ± i ∆ + Nếu ∆ < 0 ⇒ ∆ = −i 2 ∆ ⇒ ∆ = ±i ∆ ⇒ z = 2A TH2: Các hệ số A, B, C là các số phức. Tính ∆ = B 2 − 4 AC = a + bi = ( x + yi ) 2 − B ± ( x + yi ) Khi đó phương trình có nghiệm z = 2A Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức a. z 2 + 2z + 5 = 0 b. z 2 − 4z + 20 = 0 2 2 c. (z + i)(z – 2iz – 1) = 0 d. z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0 Hướng dẫn giải: a. z + 2 z + 5 = 0. 2 Ta có ∆ ' = −4 = 4i 2 ⇒ ∆ = ±2i ⇒ z = −1 ± 2i b. Ta có ∆ ' = −16 = 16i 2 ⇒ ∆ = ±4i ⇒ z = 2 ± 4i  z 2 = −i c. ( z 2 + i )( z 2 − 2iz − 1) = 0 ⇔  2  z − 2iz − 1 = 0  1 1 2  z = − i 1 1  1− i  2 2 TH1 : z + i = 0 ⇔ z = −i = ( −2i ) = (1 − i ) =  2 2 2  ⇒ 2 2  2   1 1  z = − 2 + 2 i TH2 : z 2 − 2iz − 1 = 0 ⇔ z 2 − 2iz + i 2 = 0 ⇔ ( z − i ) 2 = 0 ⇔ z = i. 1 1 −1 1 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là z1 = − i; z 2 = + i; z3 = i. 2 2 2 2 Nhận xét : Ngoài các cách giải chuẩn mực ở trên, chúng ta có thể giải tắt mà không cần tính toán ∆ hay ∆’ như sau a. z 2 + 2 z + 5 = 0 ⇔ ( z + 1) + 4 = 0 ⇔ ( z + 1) − 4i 2 = 0 ⇔ ( z + 1) 2 = (2i ) 2 ⇒ z = −1 ± 2i 2 2 b. z 2 − 4 z + 20 = 0 ⇔ ( z − 2 ) + 16 = 0 ⇔ ( z − 2) 2 = 16i 2 = (4i ) 2 ⇒ z = 2 ± 4i 2 d. z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0. Ta có ∆ = (1 – 3i)2 + 8(1 + i) = 2i = (1 + i)2  3i − 1 + 1 + i  z1 = 2 = 2i Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là   z = 3i − 1 − 1 − i = i − 1  2 2 Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức  iz + 3  iz + 3 2 a)   − 3. −4 = 0 b) z 3 − 8 = 0 c) 4 z 4 − 3 z 2 − 1 = 0  z − 2i  z − 2i Hướng dẫn giải:  iz + 3  iz + 3 2 a)   − 3. −4 = 0  z − 2i  z − 2i Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 iz + 3 t = −1 Đặt = t ⇒ t 2 − 3t − 4 = 0 ⇔  z − 2i t = 4 iz + 3 −3 − 8i (−3 − 8i ) ( i + 4 ) −4 − 35i Với t = 4 ⇔ = 4 ⇔ iz + 3 = 4( z − 2i ) ⇔ z (i − 4) = −3 − 8i ⇒ z = = = z − 2i i−4 i 2 − 16 −17 4 35 ⇒z= + i 17 17 iz + 3 2i − 3 ( 2i − 3)( i − 1) 1 − 5i Với t = −1 ⇔ = −1 ⇔ iz + 3 = 2i − z ⇔ z ( i + 1) = 2i − 3 ⇒ z = = = z − 2i i +1 i2 −1 −2 1 5 ⇒z=− + i 2 2 4 35 1 5 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phức là z1 = + i; z 2 = − + 17 17 2 2 b) z3 – 8 = 0⇔ (z – 2)(z2 + 2z + 4 ) = 0 TH1 : z – 2 = 0 ⇔ z = 2 TH2 : z 2 + 2 z + 4 = 0 ⇔ ( z + 1) 2 = −3 = 3i 2 ⇒ z = −1 ± i 3 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phức là z1 = 2; z 2 = −1 − i 3; z3 = −1 + i 3 c) 4 z 4 − 3 z 2 − 1 = 0 . t = 1 Đặt z = t. Phương trình đã cho tương đương với 4t − 3t − 1 = 0 ⇔  2 2 t = − 1  4 −1 Giải phương trình tìm được t = 1 hoặc t = . 4 Với t = 1 ta được z = 1 ⇒ z = ± 1 2 1 i2 i Với t = − = = 0 ⇔ z = ± 4 4 2 i Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức là z = ±1; z = ± . 2 Ví dụ 3: [ĐVH]. Gọi z1, z2 là các nghiệm của các phương trình z2 + 2z + 5 = 0. Tính giá trị các biểu thức sau 2 2 2 2 A = z1 + z2 ; B = z1 + z2 − 4 z1 z2 Hướng dẫn giải:  z1 = −1 + 2i Ta có z 2 + 2 z + 5 = 0 ⇔ ( z + 1) 2 = −4 = (2i ) 2 ⇒   z2 = −1 − 2i  z1 = 1 + 4 = 5  z1 = −1 − 2i  z1 = 5 Khi ta có  và  ⇒  z2 = 1 + 4 = 5  z1 = −1 + 2i  z2 = 5  2 2 A = z1 + z2 = 5 + 5 = 10 2 2 B = z1 + z2 − 4 z1 z2 = 5 + 5 − 4. 5. 5 = −10 Vậy A = 10 và B = –10 Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức: a) z 2 + 2z + 5 = 0 b) z 2 − 4z + 20 = 0 c) −3z 2 + z − 5 = 0 d) 4z 2 + 9 = 0 e) 3z 2 − z + 2 = 0 f) z 2 − 3z + 1 = 0 Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức: Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a) z 2 + 2(i − 2)z + 3 − 2i = 0 b) z 2 − (i + 3)z − 2 − 2i = 0 c) z 2 − (3 + i)z + 4 + 3i = 0 d) iz 2 − z + 3 + i = 0 e) iz 2 + 2iz − 4 = 0 f) z 2 − (3 − i)z + 4 − 3i = 0 g) 3iz 2 − 2z − 4 + i = 0 h) z 2 − 8(1 − i)z + 63 − 16i = 0 Ví dụ 6: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức: a) z 2 − (1 + i) z + 6 + 3i = 0 b) z 2 + (1 + i) z − 10 + 11i = 0 c) 2(1 + i) z 2 − 4(2 − i) z − 5 − 3i = 0 Ví dụ 7: [ĐVH]. Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình: z 2 − 4 z + 5 = 0 . Tính giá trị của các biểu thức P = ( z1 − 1) + ( z2 − 1) 2013 2013 Ví dụ 8: [ĐVH]. Gọi z1 , z2 là 2 nghiệm phức của phương trình: 2(1 + i) z 2 − 4(2 − i) z − 5 − 3i = 0 . Tính giá trị của các biểu thức A = z1 + z2 2 2 Ví dụ 9: [ĐVH]. Gọ z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình: z 2 − 2 z + 4 = 0 . Tính giá trị của các biểu z1 + 2 z2 + z1 z2 2 thức: P = z1 + z2 2 2 Ví dụ 10: [ĐVH]. Trong mặt phẳng toạ độ, giả sử điểm A biểu diễn nghiệm z1 của phương trình: 1+ i z 2 − 2 z + 5 = 0 và điểm B biểu diễn số phức z2 = z1 . Tính diện tích của tam giác OAB, với O là gốc toạ 2 độ. Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023

240 tài liệu

1111 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.