intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Lý thuyết Cơ học môi trường liên tục

Chia sẻ: Mua Thu Vang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:361

Thêm vào BST
Báo xấu
316
lượt xem 106
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Cơ học môi trường liên tục được biên soạn với mục đích giúp người đọc có cái nhìn tổng quan và cung cấp những khái niệm cơ bản, những phương pháp cần thiết và những ứng dụng có tính minh họa của cơ học môi trường lên tục trong cách tính toán kỹ thuật. Đồng thời Tài liệu này cũng sử dụng làm Tài liệu học tập nghiên cứu cho sinh viên thuộc các ngành kỹ thuật.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết Cơ học môi trường liên tục

  1. PGS. ts. TrÇn v¨n Liªn c¬ häc m«i tr−êng liªn tôc hμ néi, 2008
  2. C¬ häc m«i tr−êng liªn tôc TrÇn V¨n Liªn Lêi nãi ®Çu C¬ häc m«i tr−êng liªn tôc lμ ngμnh khoa häc nghiªn cøu vÒ chuyÓn vÞ, biÕn d¹ng vμ øng suÊt trong c¸c m«i tr−êng liªn tôc ë ®iÒu kiÖn c©n b»ng hay chuyÓn ®éng do c¸c t¸c ®éng bªn ngoμi nh− ngo¹i lùc, chuyÓn vÞ, nhiÖt ®é, v.v... C¬ häc m«i tr−êng liªn tôc lμ c¬ së chung ®Ó nghiªn cøu vμ ph¸t triÓn c¸c ngμnh cô thÓ h¬n nh− thñy khÝ ®éng lùc, lý thuyÕt ®μn håi, lý thuyÕt dÎo, lý thuyÕt tõ biÕn, nhiÖt ®éng lùc häc, v.v... Cuèn s¸ch nμy ®−îc biªn so¹n trªn c¬ së c¸c bμi gi¶ng vÒ c¬ häc m«i tr−êng liªn tôc cña t¸c gi¶ cho c¸c líp kü s− chÊt l−îng cao (PFIEV) vμ kü s− c«ng tr×nh t¹i Tr−êng §¹i häc X©y dùng. Môc ®Ých cña t¸c gi¶ lμ gióp cho cho ng−êi ®äc kh«ng nh÷ng cã c¸i nh×n tæng quan vÒ c¸c m«n c¬ häc trong c¸c tr−êng kü thuËt mμ cßn cung cÊp nh÷ng kh¸i niÖm c¬ b¶n, nh÷ng ph−¬ng ph¸p cÇn thiÕt vμ nh÷ng øng dông cã tÝnh minh ho¹ cña c¬ häc m«i tr−êng liªn tôc trong c¸c tÝnh to¸n kü thuËt. §ång thêi cuèn s¸ch nμy cã thÓ sö dông lμm tμi liÖu häc tËp, nghiªn cøu cho sinh viªn thuéc c¸c ngμnh kü thuËt nh− x©y dùng, giao th«ng, thñy lîi, hμng h¶i, c¬ khÝ, v.v... , c¸c häc viªn cao häc vμ c¸c c¸n bé khoa häc trÎ trong lÜnh vùc chuyªn ngμnh C¬ häc vËt r¾n biÕn d¹ng. Xin c¶m ¬n Tr−êng §¹i häc X©y dùng, Bé m«n søc bÒn vËt liÖu ®· t¹o ®iÒu kiÖn vμ ñng hé trong viÖc hoμn thμnh cuèn s¸ch nμy. §Æc biÖt xin c¶m ¬n GS TSKH §μo Huy BÝch, GS TS NguyÔn V¨n Phã, GS TSKH NguyÔn TiÕn Khiªm, PGS TS Lª Ngäc Hång, PGS TS Lª Ngäc Th¹ch vμ PGS TS T« V¨n TÊn cïng c¸c ®ång nghiÖp ë Bé m«n søc bÒn vËt liÖu Tr−êng §¹i häc X©y dùng ®· ®äc kü vμ cho nhiÒu ý kiÕn x¸c ®¸ng vÒ néi dung còng nh− c¸ch tr×nh bμy. Cuèn s¸ch nμy ch¾c kh«ng tr¸nh khái nh÷ng sai sãt, mong r»ng sÏ nhËn ®−îc nh÷ng gãp ý cña c¸c ®ång nghiÖp. C¸c ý kiÕn gãp ý lu«n ®−îc ®ãn nhËn mét c¸ch tr©n träng vμ xin göi vÒ: Bé m«n søc bÒn vËt liÖu - Tr−êng §¹i häc X©y dùng, 55 ®−êng Gi¶i phãng, Hμ Néi, Tel (04)38691462. T¸c gi¶ 1
  3. C¬ häc m«i tr−êng liªn tôc TrÇn V¨n Liªn Môc lôc Lêi nãi ®Çu 1 Môc lôc 2 Danh môc ký hiÖu 5 Më ®Çu 0.1. Kh¸i niÖm vÒ c¬ häc m«i tr−êng liªn tôc 9 0.2. C¸c gi¶ thiÕt c¬ b¶n cña c¬ häc m«i tr−êng liªn tôc 10 Ch−¬ng 1. Kh¸i niÖm vÒ ten x¬ 1.1. Kh¸i niÖm vÒ ®¹i l−îng v« h−íng, vÐc t¬ vμ ten x¬ 13 1.2. Tr−êng v« h−íng 14 1.3. VÐc t¬ vμ tr−êng vÐc t¬ 15 1.4. Ten x¬ trong hÖ täa ®é Descartes vu«ng gãc 20 Ch−¬ng 2. Tr¹ng th¸i biÕn d¹ng 2.1. Nghiªn cøu chuyÓn ®éng theo Lagrange vμ Euler 38 2.2. Ten x¬ biÕn d¹ng trong hÖ täa ®é Descartes vu«ng gãc 44 2.3. Nghiªn cøu tr¹ng th¸i biÕn d¹ng cña m«i tr−êng liªn tôc 55 2.4. C¸c ph−¬ng tr×nh t−¬ng thÝch biÕn d¹ng 60 2.5. Ten x¬ tèc ®é biÕn d¹ng 63 Ch−¬ng 3. Tr¹ng th¸i øng suÊt 3.1. Ngo¹i lùc 66 3.2. Tr¹ng th¸i øng suÊt 67 3.3. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n c©n b»ng hay chuyÓn ®éng 70 3.4. Ten x¬ øng suÊt 75 3.5. Nghiªn cøu tr¹ng th¸i øng suÊt cña m«i tr−êng liªn tôc 78 3.6. Ph©n tÝch ten x¬ øng suÊt thμnh ten x¬ lÖch vμ ten x¬ cÇu 84 Ch−¬ng 4. C¸c ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña c¬ häc m«i tr−êng liªn tôc 4.1. §Þnh luËt b¶o toμn khèi l−îng. 92 4.2. §Þnh luËt biÕn thiªn ®éng l−îng. §Þnh luËt biÕn thiªn m«men ®éng l−îng 94 4.3. C¸c qu¸ tr×nh nhiÖt ®éng lùc cña m«i tr−êng 97 4.4. §Þnh luËt nhiÖt ®éng lùc häc thø nhÊt 98 4.5. §Þnh luËt nhiÖt ®éng lùc häc thø hai 102 4.6. C¸c ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña c¬ häc m«i tr−êng liªn tôc 105 Ch−¬ng 5. Lý thuyÕt ®μn håi tuyÕn tÝnh 5.1. §Þnh luËt Hooke tæng qu¸t 110 5.2. §Þnh luËt Hooke cho vËt thÓ ®μn håi tuyÕn tÝnh, thuÇn nhÊt vμ ®¼ng h−íng 116 5.3. C¸ch ®Æt bμi to¸n cña lý thuyÕt ®μn håi tuyÕn tÝnh, thuÇn nhÊt vμ ®¼ng h−íng 122 5.4. C¸ch gi¶i bμi to¸n ®μn håi theo chuyÓn vÞ. Ph−¬ng tr×nh LamÐ 126 2
  4. C¬ häc m«i tr−êng liªn tôc TrÇn V¨n Liªn 5.5. C¸ch gi¶i bμi to¸n ®μn håi theo øng suÊt. Ph−¬ng tr×nh Beltrami – Michell 128 5.6. §Þnh lý Kirchhoff vÒ sù duy nhÊt nghiÖm cña bμi to¸n ®μn håi tÜnh 131 5.7. C¸ch ®Æt bμi to¸n thuËn vμ ng−îc cña lý thuyÕt ®μn håi. Nguyªn lý côc bé 133 Saint Venant. Nguyªn lý ®éc lËp t¸c dông 5.8. KÐo nÐn thanh th¼ng h×nh l¨ng trô 136 5.9. Xo¾n thanh th¼ng h×nh l¨ng trô 138 Ch−¬ng 6. Bμi to¸n ph¼ng cña lý thuyÕt ®μn håi trong hÖ täa ®é Descartes vu«ng gãc 6.1. Tr¹ng th¸i biÕn d¹ng ph¼ng 144 6.2. Tr¹ng th¸i øng suÊt ph¼ng. Tr¹ng th¸i øng suÊt ph¼ng suy réng 147 6.3. C¸c ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña bμi to¸n ph¼ng 151 6.4. Hμm øng suÊt Airy 153 6.5. Hμm øng suÊt cã d¹ng ®a thøc ®¹i sè 158 6.6. Hμm øng suÊt cã d¹ng chuçi l−îng gi¸c 167 6.7. Ph−¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n 170 Ch−¬ng 7. Bμi to¸n ph¼ng cña lý thuyÕt ®μn håi trong hÖ täa ®é cùc 7.1. C¸c ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n 178 7.2. Tr−êng hîp øng suÊt kh«ng phô thuéc vμo gãc cùc: Bμi to¸n ®èi xøng trôc vμ 182 bμi to¸n uèn thuÇn tóy thanh cong 7.3. Bμi to¸n nªm chÞu lùc tËp trung t¹i ®Ønh 189 7.4. Bμi to¸n b¸n ph¼ng chÞu lùc tËp trung trªn biªn 194 7.5. Bμi to¸n b¸n kh«ng gian chÞu lùc tËp trung trªn biªn 199 Ch−¬ng 8. TÊm máng ®μn håi 8.1. §Þnh nghÜa vμ gi¶ thiÕt 201 8.2. Quan hÖ chuyÓn vÞ vμ biÕn d¹ng 202 8.3. øng lùc. Quan hÖ vËt lý 203 8.4. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n c©n b»ng 206 8.5. §iÒu kiÖn biªn 211 8.6. Ph©n lo¹i bμi to¸n tÊm máng 214 8.7. Uèn tÊm h×nh ch÷ nhËt 216 8.8. Ph−¬ng ph¸p sai ph©n 220 8.9. Bμi to¸n tÊm trong hÖ täa ®é cùc 224 Ch−¬ng 9. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n trong bμi to¸n ®μn håi tuyÕn tÝnh 9.1. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n 228 9.2. M« t¶ to¸n häc ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n 231 9.3. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n trong bμi to¸n thanh 239 9.4. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n trong bμi to¸n ph¼ng cña lý thuyÕt ®μn håi 254 9.5. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n trong bμi to¸n tÊm chÞu uèn 261 3
  5. C¬ häc m«i tr−êng liªn tôc TrÇn V¨n Liªn 9.6. Ph−¬ng ph¸p ma trËn ®é cøng ®éng lùc 264 Ch−¬ng 10. Lý thuyÕt dÎo 10.1. Quan hÖ øng suÊt – biÕn d¹ng ngoμi giíi h¹n ®μn håi 273 10.2. §iÒu kiÖn dÎo. MÆt ch¶y vμ ®−êng cong ch¶y 276 10.3. C¸c lý thuyÕt dÎo ®¬n gi¶n 280 10.4. VÒ c¸c lý thuyÕt dÎo hiÖn nay 287 10.5. C¸ch ®Æt bμi to¸n vμ ph−¬ng ph¸p gi¶i cña lý thuyÕt dÎo 289 10.6. C¸c ®−êng tr−ît cña tr¹ng th¸i biÕn d¹ng ph¼ng 292 10.7. Bμi to¸n èng h×nh trô chÞu ¸p lùc trong 298 Ch−¬ng 11. Lý thuyÕt tõ biÕn 11.1. ¶nh h−ëng cña thêi gian ®Õn øng suÊt vμ biÕn d¹ng 302 11.2. Lý thuyÕt tõ biÕn 305 11.3. C¸c m« h×nh c¬ häc cña vËt thÓ biÕn d¹ng 308 11.4. C¸ch ®Æt bμi to¸n vμ ph−¬ng ph¸p gi¶i cña lý thuyÕt tõ biÕn 313 11.5. Mét sè vÝ dô tÝnh to¸n theo lý thuyÕt tõ biÕn æn ®Þnh 316 Ch−¬ng 12. C¬ häc chÊt láng vμ chÊt khÝ 12.1. ¸p suÊt thñy tÜnh. Ten x¬ øng suÊt nhít 320 12.2. ChÊt láng nhít tuyÕn tÝnh Newton 321 12.3. ChÊt láng lý t−ëng 324 12.4. Kh¸i niÖm vÒ dßng ch¶y dõng, dßng kh«ng xo¸y, dßng ch¶y cã thÕ 327 Bμi tËp 329 Tμi liÖu tham kh¶o 351 Phô lôc A. Ma trËn vμ c¸c phÐp tÝnh ma trËn 352 Phô lôc B. Ch−¬ng tr×nh phÇn tö h÷u h¹n tÝnh to¸n sè vμ symbolic trªn MatLab 361 4
  6. C¬ häc m«i tr−êng liªn tôc TrÇn V¨n Liªn Danh môc c¸c ký hiÖu HÖ täa ®é, ten x¬ x1 , x2 , x3 C¸c täa ®é Euler cña hÖ Descartes vu«ng gãc X1 , X2 , X3 C¸c täa ®é Lagrange cña hÖ Descartes vu«ng gãc x, y, z Täa ®é Descartes vu«ng gãc r, θ, z Täa ®é cùc (trô) r ei VÐc t¬ ®¬n vÞ cña hÖ trôc täa ®é r ν, ξ, η HÖ täa ®é trªn mÆt c¾t cã ph¸p tuyÕn ngoμi ν t Thêi gian V MiÒn kh«ng gian do m«i tr−êng liªn tôc chiÕm chç S MÆt biªn cña thÓ tÝch V r r ν (ν 1 ,ν 2 ,ν 3 ); l (l1 , l 2 , l 3 ) VÐc t¬ ph¸p tuyÕn ngoμi cña mÆt δij Ten x¬ Kronecker eijk Ten x¬ Levi – Civita ai , aij , aijk Ten x¬ h¹ng 1 (vÐc t¬), h¹ng 2, h¹ng 3 I1 , I2 , I3 BÊt biÕn thø nhÊt, thø hai vμ thø ba cña ten x¬ h¹ng hai ∇ To¸n tö nabla Δ, Δ1 To¸n tö Laplace ba chiÒu, hai chiÒu cij Ma trËn c¸c c«sin chØ ph−¬ng grad Gra®iªn cña hμm v« h−íng div, rot §ive vμ r«ta cña tr−êng vÐc t¬ J Ma trËn Jacobian cña phÐp biÕn ®æi det(A) §Þnh thøc cña ma trËn A H»ng sè, ®Æc tr−ng c¬ häc vËt liÖu E M«®un ®μn håi Young G M«®un ®μn håi khi tr−ît ν HÖ sè në ngang Poisson ρ MËt ®é khèi l−îng λ, μ C¸c h»ng sè LamÐ K M«®un biÕn d¹ng thÓ tÝch D §é cøng trô Et M«®un t¸i bÒn σtl Giíi h¹n tû lÖ σch , τch Giíi h¹n ch¶y khi kÐo, khi tr−ît thuÇn tóy σb (σb,k , σb,n) Giíi h¹n bÒn (khi kÐo, khi nÐn) σdh Giíi h¹n bÒn dμi h¹n H M«®un ®μn håi tøc thêi η HÖ sè nhít hay hÖ sè c¶n trong cña vËt liÖu λ*, μ* C¸c hÖ sè nhít cña chÊt láng 5
  7. C¬ häc m«i tr−êng liªn tôc TrÇn V¨n Liªn χ* HÖ sè nhít khèi cña chÊt láng M«i tr−êng liªn tôc m Khèi l−îng r R VÐc t¬ ®éng l−îng cña m«i tr−êng r H VÐc t¬ m« men ®éng l−îng cña m«i tr−êng K §éng n¨ng cña m«i tr−êng Néi n¨ng cña m«i tr−êng hay thÕ ®μn håi toμn phÇn cho U vËt thÓ ®μn håi Néi n¨ng riªng (mËt ®é néi n¨ng) cña m«i tr−êng hay thÕ u ®μn håi trªn mét ®¬n vÞ khèi l−îng cho vËt thÓ ®μn håi Q NhiÖt n¨ng cña m«i tr−êng A C«ng c¬ n¨ng cña m«i tr−êng b H»ng sè bøc x¹ nhiÖt r c (c1 , c 2 , c 3 ) VÐc t¬ vËn tèc truyÒn nhiÖt T NhiÖt ®é tuyÖt ®èi (Kelvin) k HÖ sè truyÒn nhiÖt Fourier S Entr«pi cña m«i tr−êng s MËt ®é entr«pi p ¸p suÊt nhiÖt ®éng θ& Tèc ®é biÕn d¹ng thÓ tÝch W ThÕ n¨ng biÕn d¹ng trªn mét ®¬n vÞ thÓ tÝch W* C«ng bï Wθ ThÕ n¨ng biÕn d¹ng thÓ tÝch WD ThÕ n¨ng biÕn d¹ng h×nh d¸ng WP C«ng biÕn d¹ng dÎo ChuyÓn vÞ, biÕn d¹ng u (u 1 , u 2 , u 3 ); u (u x , u y , u z ) r r ChuyÓn vÞ cña ®iÓm vËt chÊt trong hÖ täa ®é Descartes vμ r u (u r , u θ , u z ) hÖ täa ®é cùc (trô) r v (v1 , v 2 , v 3 ) VËn tèc chuyÓn ®éng r w(w1 , w2 , w3 ) Gia tèc chuyÓn ®éng Gij Ten x¬ biÕn d¹ng h÷u h¹n Green Aij Ten x¬ biÕn d¹ng h÷u h¹n Almansi εij Ten x¬ biÕn d¹ng bÐ ωij Ten x¬ quay tuyÕn tÝnh r r VÐc t¬ quay tuyÕn tÝnh θ BiÕn d¹ng thÓ tÝch tû ®èi γ BiÕn d¹ng gãc εtb §é d·n trung b×nh cña ten x¬ biÕn d¹ng bÐ ε1 , ε2 , ε3 C¸c biÕn d¹ng chÝnh cña ten x¬ biÕn d¹ng bÐ r εν BiÕn d¹ng dμi t−¬ng ®èi theo ph−¬ng ν 6
  8. C¬ häc m«i tr−êng liªn tôc TrÇn V¨n Liªn ε ijD Ten x¬ lÖch biÕn d¹ng ε ijS Ten x¬ cÇu biÕn d¹ng Γ C−êng ®é biÕn d¹ng tr−ît εu C−êng ®é biÕn d¹ng ε ij Ten x¬ chØ h−íng biÕn d¹ng eij Ten x¬ tèc ®é biÕn d¹ng ζij Ten x¬ xo¸y biÕn d¹ng ε ij Ten x¬ tèc ®é biÕn d¹ng bÐ & εu & C−êng ®é tèc ®é biÕn d¹ng εE BiÕn d¹ng ®μn håi εP BiÕn d¹ng dÎo, biÕn d¹ng d− εC BiÕn d¹ng tõ biÕn w §é vâng cña tÊm Ngo¹i lùc, øng suÊt r r F (F1 , F2 , F3 ); F (Fx , Fy , Fz ) Lùc thÓ tÝch trong hÖ täa ®é Descartes vμ hÖ täa ®é cùc r F (Fr , Fθ , Fz ) (trô) r K (K 1 , K 2 , K 3 ) Lùc khèi r r Pν (Pν 1 , Pν 2 , Pν 3 ); Pν (Pνx , Pνy , Pνz ) r Lùc mÆt trªn biªn cã ph¸p tuyÕn ν r r pν ( pν 1 , pν 2 , pν 3 ) VÐc t¬ øng suÊt toμn phÇn trªn mÆt c¾t cã ph¸p tuyÕn ν σij Ten x¬ øng suÊt r r σ ν VÐc t¬ øng suÊt ph¸p trªn mÆt c¾t cã ph¸p tuyÕn ν r σ ξη VÐc t¬ øng suÊt tiÕp trªn mÆt ph¼ng ξη σtb Gi¸ trÞ øng suÊt ph¸p trung b×nh cña ten x¬ øng suÊt σ1 , σ2 , σ3 C¸c øng suÊt chÝnh cña ten x¬ øng suÊt σ ijD Ten x¬ lÖch øng suÊt σ S ij Ten x¬ cÇu øng suÊt τ1 , τ2 , τ3 C¸c øng suÊt tiÕp chÝnh T C−êng ®é øng suÊt tiÕp σu C−êng ®é øng suÊt σ ij Ten x¬ chØ h−íng øng suÊt σ ij & Ten x¬ tèc ®é øng suÊt τij Ten x¬ øng suÊt nhít S Hμm tæng øng suÊt φ Hμm xo¾n Saint Venant Ψ Hμm øng suÊt Prandtl ϕ Hμm øng suÊt Airy 7
  9. C¬ häc m«i tr−êng liªn tôc TrÇn V¨n Liªn Nx , Ny , Sx , Sy , S, Qx , Qy , C¸c thμnh phÇn øng lùc trªn mÆt trung b×nh cña tÊm Mx , My , Mxy , Myx , H p T¶i träng ngang ph©n bè cña tÊm F Hμm øng lùc Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n M, C, K Ma trËn khèi l−îng, c¶n, ®é cøng cña c¶ hÖ U VÐc t¬ chuyÓn vÞ nót cña c¶ hÖ trong hÖ täa ®é tæng thÓ P VÐc t¬ t¶i träng quy vÒ nót cña c¶ hÖ ue Tr−êng chuyÓn vÞ cña phÇn tö trong hÖ täa ®é ®Þa ph−¬ng Ue VÐc t¬ chuyÓn vÞ nót trong hÖ täa ®é cña phÇn tö Ne=(N1 , N2 , ...) Hμm d¹ng cña phÇn tö h÷u h¹n Be Ma trËn quan hÖ biÕn d¹ng – chuyÓn vÞ nót cña phÇn tö εe , σe VÐc t¬ c¸c thμnh phÇn biÕn d¹ng, øng suÊt cña phÇn tö De Ma trËn c¸c h»ng sè ®μn håi cña phÇn tö h÷u h¹n Me , Ce , Ke Ma trËn khèi l−îng, c¶n, ®é cøng cña tõng phÇn tö PV , PS VÐc t¬ t¶i träng thÓ tÝch, lùc mÆt quy vÒ nót Pσ ; Pε 0 0 VÐc t¬ t¶i träng quy vÒ nót do øng suÊt, biÕn d¹ng ban ®Çu PC VÐc t¬ t¶i träng tËp trung t¹i nót trong hÖ täa ®é tæng thÓ Ma trËn chuyÓn ®æi c¸c chuyÓn vÞ nót tõ hÖ täa ®é ®Þa Te ph−¬ng sang hÖ täa ®é tæng thÓ A DiÖn tÝch tiÕt diÖn thanh I M« men qu¸n tÝnh cña tiÕt diÖn thanh Ae DiÖn tÝch phÇn tö tam gi¸c ph¼ng h §é dÇy cña phÇn tö tam gi¸c ph¼ng, phÇn tö tÊm i Sè ¶o i = − 1 ˆ K Ma trËn ®é cøng ®éng lùc Uˆ VÐc t¬ biªn ®é phøc cña chuyÓn vÞ nót ˆ P VÐc t¬ biªn ®é phøc cña t¶i träng quy vÒ nót ω TÇn sè dao ®éng ωi TÇn sè dao ®éng riªng cña hÖ λ Tham sè ®éng lùc Φe Biªn ®é cña chuyÓn vÞ däc trôc hay chuyÓn vÞ ngang * qe Biªn ®é cña t¶i träng däc trôc hay t¶i träng ngang ˆ E M«®un ®μn håi phøc μ1 , μ2 HÖ sè c¶n nhít cña vËt liÖu vμ m«i tr−êng K1 , K2 , K3 , K4 C¸c hμm Krylov q e1 , q e 2 , q e3 , q e 4 vμ qe C¸c thμnh phÇn vμ vÐc t¬ t¶i träng ˆ Re1 , Re2 , Re3 , Re4 vμ Re C¸c thμnh phÇn vμ vÐc t¬ øng lùc t¹i tiÕt diÖn thanh 8
  10. C¬ häc m«i tr−êng liªn tôc TrÇn V¨n Liªn Më ®Çu 0.1. kh¸i niÖm vÒ c¬ häc M«i tr−êng liªn tôc 0.1.1. §èi t−îng, môc ®Ých vμ ph¹m vi cña c¬ häc m«i tr−êng liªn tôc §èi t−îng cña c¬ häc m«i tr−êng liªn tôc lμ nh÷ng vËt thÓ h÷u h¹n cã cÊu t¹o vËt chÊt liªn tôc vμ kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c ®iÓm cña chóng thay ®æi trong thêi gian chuyÓn ®éng. C¸c vËt thÓ nμy ®−îc gäi lμ c¸c “m«i tr−êng liªn tôc” hay c¸c “continuum”. Kh¸i niÖm “m«i tr−êng” ®−îc dïng ®Ó chØ vËt thÓ víi ý nghÜa lμ kÝch th−íc cña vËt thÓ lín h¬n rÊt nhiÒu so víi kÝch th−íc cña c¸c h¹t vËt chÊt, c¸c ph©n tö, c¸c m¹ng tinh thÓ cÊu t¹o nªn vËt chÊt. TÝnh chÊt “liªn tôc” ®−îc hiÓu lμ t¹i mçi ®iÓm h×nh häc trong kh«ng gian cña vËt thÓ, ta lu«n cã thÓ lÊy ra ®−îc mét phÇn tö vËt chÊt bÐ tïy ý bao quanh ®iÓm ®ã (hay lμ vËt chÊt lÊp ®Çy kh«ng gian vËt thÓ). Môc ®Ých cña c¬ häc m«i tr−êng liªn tôc lμ thiÕt lËp c¸c tÝnh chÊt chung vμ c¸c quy luËt chuyÓn ®éng cña m«i tr−êng liªn tôc nh− quy luËt vÒ lùc do chÊt láng t¸c dông lªn c¸c vËt chuyÓn ®éng trong nã; sù liªn quan gi÷a t¶i träng ngoμi vμ biÕn d¹ng cña vËt thÓ r¾n, v.v... NÕu c¬ häc lý thuyÕt nghiªn cøu c©n b»ng hay chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm, hÖ chÊt ®iÓm rêi r¹c vμ vËt r¾n tuyÖt ®èi th× c¬ häc m«i tr−êng liªn tôc lμ mét phÇn réng lín cña c¬ häc, nghiªn cøu chuyÓn ®éng cña c¸c m«i tr−êng cã biÕn d¹ng nh− c¸c chÊt khÝ, chÊt láng, vËt r¾n biÕn d¹ng vμ c¸c m«i tr−êng ®Æc biÖt nh− tr−êng ®iÖn tõ, tr−êng bøc x¹, tr−êng hÊp dÉn, v.v... C¸c ph−¬ng tr×nh c©n b»ng hay chuyÓn ®éng cña c¬ häc m«i tr−êng liªn tôc lμ sù më réng c¸c ph−¬ng tr×nh cña c¬ häc lý thuyÕt. C¬ häc m«i tr−êng liªn tôc lμ c¬ së chung ®Ó ph¸t triÓn lý thuyÕt ®μn håi, lý thuyÕt dÎo, lý thuyÕt tõ biÕn, thñy ®éng lùc häc, khÝ ®éng lùc häc, nhiÖt ®éng lùc häc vμ nhiÒu ngμnh kh¸c cña vËt lý vμ c¬ häc. TÝnh chÊt chung vμ sù liªn hÖ mËt thiÕt gi÷a c¸c ngμnh c¬ häc vμ vËt lý kÓ trªn, mμ tho¹t tiªn t−ëng nh− kh¸c nhau, b¾t buéc ta ph¶i nghiªn cøu chóng nh− mét thÓ thèng nhÊt. 0.1.2. Néi dung vμ ph−¬ng ph¸p cña c¬ häc m«i tr−êng liªn tôc C¸c nghiªn cøu vÒ c¬ häc m«i tr−êng liªn tôc ph¸t triÓn theo hai h−íng: - Nghiªn cøu tÝnh chÊt c¬ häc cña m«i tr−êng, tøc lμ ph¸t hiÖn vμ nghiªn cøu c¸c quy luËt vËt lý cña m«i tr−êng khi chÞu t¸c dông cña lùc ngoμi. - ThiÕt lËp c¸c bμi to¸n c¬ häc thμnh c¸c bμi to¸n to¸n häc vμ ph¸t triÓn ph−¬ng ph¸p gi¶i c¸c bμi to¸n cô thÓ. 9
  11. C¬ häc m«i tr−êng liªn tôc TrÇn V¨n Liªn B¶n th©n viÖc gi¶i quyÕt c¸c bμi to¸n cô thÓ cña c¬ häc m«i tr−êng liªn tôc b»ng to¸n häc còng ®−îc xem lμ c¬ häc m«i tr−êng liªn tôc. §iÒu ®ã gi¶i thÝch r»ng thËm chÝ trong nh÷ng tr−êng hîp ®¬n gi¶n nhÊt, c¸c bμi to¸n cña c¬ häc m«i tr−êng liªn tôc ®−îc ®Æt ra vÒ mÆt to¸n häc còng rÊt khã vμ kh«ng thÓ gi¶i ®−îc mét c¸ch cã hiÖu qu¶ b»ng c¸c ph−¬ng tiÖn to¸n häc hiÖn ®¹i. Do ®ã buéc ph¶i thay ®æi c¸ch ®Æt bμi to¸n vμ t×m c¸ch gi¶i gÇn ®óng dùa trªn c¬ së c¸c gi¶ thuyÕt vμ c¸c kiÕn thøc c¬ häc kh¸c nhau. 0.2. C¸c gi¶ thiÕt c¬ b¶n cña c¬ häc m«i tr−êng liªn tôc 0.2.1. Quan ®iÓm hiÖn t−îng vÜ m« CÊu tróc cña c¸c ph©n tö vμ c¸c lùc t−¬ng t¸c gi÷a chóng rÊt phøc t¹p, kh«ng ph¶i lóc nμo còng biÕt ®−îc. Ta kh«ng thÓ theo dâi chuyÓn ®éng cña tõng h¹t c¬ b¶n, v× chóng rÊt nhiÒu vμ ch−a biÕt tr−íc lùc t−¬ng t¸c gi÷a chóng víi nhau. §iÒu quan träng lμ cÇn chó ý r»ng, th«ng th−êng kh«ng cÇn thiÕt ph¶i biÕt chuyÓn ®éng cña tõng h¹t c¬ b¶n. Trªn thùc tÕ, ta chØ cÇn mét sè ®Æc tr−ng trung b×nh quy −íc dùa trªn c¸c quy luËt vμ c¸c gi¶ thuyÕt chung thu ®−îc b»ng thùc nghiÖm trªn c¸c vËt thÓ cã kÝch th−íc vÜ m« (h÷u h¹n). §©y lμ quan ®iÓm hiÖn t−îng vÜ m« - chØ chó ý ®Õn c¸c qu¸ tr×nh, c¸c hiÖu øng vμ c¸c tÝnh chÊt quan träng ®èi víi vËt thÓ h÷u h¹n mμ ta quan s¸t hoÆc sö dông trong nh÷ng hiÖn t−îng kh¸c nhau cña thiªn nhiªn vμ kü thuËt. Mét ph−¬ng ph¸p kh¸c nghiªn cøu c¸c m«i tr−êng vËt chÊt ®· ®−îc ph¸t triÓn trong vËt lý lμ ph−¬ng ph¸p thèng kª dùa trªn quan ®iÓm x¸c xuÊt sö dông c¸c ®Æc tr−ng trung b×nh tõ tËp hîp lín c¸c h¹t. C¸c ph−¬ng ph¸p thèng kª lu«n dïng nh÷ng gi¶ thuyÕt bæ sung vÒ tÝnh chÊt cña h¹t, t−¬ng t¸c cña chóng vμ gi¶n −íc c¸c tÝnh chÊt vμ t−¬ng t¸c nμy. CÇn l−u ý r»ng trong nhiÒu tr−êng hîp kh«ng tån t¹i c¬ së ®Ó x©y dùng c¸c ph−¬ng ph¸p nh− vËy. Tuy nhiªn chóng kh«ng ph¶i lμ ph−¬ng tiÖn hiÖu qu¶ ®Ó gi¶i c¸c bμi to¸n, v× c¸c ph−¬ng tr×nh t−¬ng øng thu ®−îc v« cïng phøc t¹p. 0.2.2. Gi¶ thuyÕt vÒ tÝnh chÊt liªn tôc cña m«i tr−êng TÊt c¶ vËt chÊt cÊu t¹o tõ c¸c h¹t riªng lÎ nh−ng chóng cã rÊt nhiÒu trong mäi thÓ tÝch bÊt kú mμ ta quan t©m, nªn cã thÓ xem gÇn ®óng nh− m«i tr−êng chiÕm chç kh«ng gian mét c¸ch liªn tôc. Gi¶ thiÕt vÒ tÝnh liªn tôc cña m«i tr−êng vËt chÊt ®−îc ®Æt ra xuÊt ph¸t tõ quan ®iÓm vÜ m«. Nh− vËy, “m«i tr−êng liªn tôc” hay “continuum” dïng ®Ó chØ nh÷ng vËt thÓ cã cÊu t¹o vËt chÊt liªn tôc vμ kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c ®iÓm cña chóng thay ®æi trong thêi gian chuyÓn ®éng. 10
  12. C¬ häc m«i tr−êng liªn tôc TrÇn V¨n Liªn ViÖc lý t−ëng hãa nh− vËy lμ cÇn thiÕt, bëi v× khi nghiªn cøu chuyÓn ®éng cña m«i tr−êng liªn tôc, ta sö dông c«ng cô tÝnh to¸n lμ c¸c phÐp tÝnh vi ph©n vμ tÝch ph©n cña c¸c hμm liªn tôc. 0.2.3. Gi¶ thuyÕt kh«ng gian Euclide Kh«ng gian lμ tËp hîp c¸c ®iÓm ®−îc cho tr−íc b»ng nh÷ng con sè gäi lμ täa ®é cña ®iÓm. Kh«ng gian Euclide lμ kh«ng gian mμ trong ®ã ta cã thÓ x©y dùng mét hÖ täa ®é Descartes duy nhÊt cho mäi ®iÓm cña kh«ng gian. VÞ trÝ c¸c ®iÓm cña kh«ng gian hoμn toμn x¸c ®Þnh nhê hÖ täa ®é Descartes vu«ng gãc duy nhÊt cho toμn bé kh«ng gian x, y, z. Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm M1(x1,y1,z1) vμ ®iÓm M2(x2,y2,z2) bÊt kú x¸c ®Þnh theo c«ng thøc r= (x1 − x2 )2 + ( y1 − y 2 )2 + (z1 − z 2 )2 (0.2.1) C¬ häc m«i tr−êng liªn tôc gi¶ thiÕt kh«ng gian lμ Euclide ba chiÒu. C¬ häc x©y dùng trong c¸c kh«ng gian Euclide gäi lμ c¬ häc Newton. Kinh nghiÖm chøng tá r»ng kh«ng gian vËt lý thùc trong ph¹m vi kh«ng lín l¾m víi ®é chÝnh x¸c cao cã thÓ xem lμ kh«ng gian Euclide. Kh«ng ph¶i bÊt kú kh«ng gian nμo ®Òu cã thÓ vÏ mét hÖ täa ®é Descartes duy nhÊt cho toμn kh«ng gian. §Ó ®¬n gi¶n ta xÐt kh«ng gian hai chiÒu. Râ rμng lμ trªn mÆt ph¼ng bao giê ta còng cã thÓ vÏ mét hÖ täa ®é Descartes duy nhÊt cã hai täa ®é cho toμn mÆt ph¼ng. Trªn mÆt cÇu b¸n kÝnh cong cña nã kh¸c kh«ng, ta kh«ng thÓ vÏ mét hÖ cã hai täa ®é, ®Ó kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt kú trªn ®ã lμ ®é dμi cung ®−êng trßn lín ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c«ng thøc (0.2.1). Trªn mÆt cÇu chØ cã thÓ vÏ hÖ täa ®é Descartes trong miÒn l©n cËn bÐ cña mçi ®iÓm. Trong tr−êng hîp kh«ng gian ba chiÒu còng kh«ng ph¶i lóc nμo còng cã thÓ vÏ mét hÖ täa ®é Descartes duy nhÊt cho toμn kh«ng gian. §Ó tr¸nh nhÇm lÉn gi÷a ®iÓm cña m«i tr−êng liªn tôc vμ ®iÓm cña kh«ng gian do m«i tr−êng liªn tôc chiÕm chç, ta dïng kh¸i niÖm “®iÓm” ®Ó chØ vÞ trÝ trong kh«ng gian cè ®Þnh, cßn kh¸i niÖm “phÇn tö” hay “h¹t” ®Ó chØ vËt chÊt chøa trong thÓ tÝch v« cïng bÐ cña m«i tr−êng liªn tôc (chÊt ®iÓm). 0.2.4. Gi¶ thuyÕt thêi gian tuyÖt ®èi trong c¸c hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh Kh¸i niÖm thêi gian liªn quan ®Õn thùc nghiÖm vμ rÊt cÇn thiÕt trong c¬ häc. Mçi hiÖn t−îng c¬ häc bÊt kú lu«n lu«n ®−îc m« t¶ theo quan ®iÓm ng−êi quan s¸t nμo ®ã. Nãi chung, thêi gian cã thÓ phô thuéc vμo hÖ quy chiÕu cña ng−êi quan s¸t. HÖ quy chiÕu, trong ®ã chuyÓn ®éng tù do cña c¸c m«i tr−êng (lμ chuyÓn ®éng cña c¸c vËt hay m«i tr−êng kh«ng chÞu t¸c ®éng cña lùc ngoμi) x¶y ra víi vËn tèc kh«ng ®æi, ®−îc gäi lμ hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh. NÕu hai hÖ chuyÓn ®éng th¼ng ®Òu víi nhau, 11
  13. C¬ häc m«i tr−êng liªn tôc TrÇn V¨n Liªn trong ®ã mét hÖ lμ quy chiÕu qu¸n tÝnh, th× hÖ kia còng lμ hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh. Do ®ã mäi hÖ quy chiÕu chuyÓn ®éng th¼ng ®Òu ®èi víi mét hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh còng lμ hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh. C¬ häc m«i tr−êng liªn tôc gi¶ thiÕt thêi gian tuyÖt ®èi, lý t−ëng, tr«i qua nh− nhau ®èi víi mäi ng−êi quan s¸t trong c¸c hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh: trong tμu háa, trong m¸y bay, trong gi¶ng ®−êng, v.v... do ®ã ta sÏ dïng thêi gian tuyÖt ®èi lý t−ëng hãa ®Ó m« t¶ thùc tÕ vμ nã chØ ®óng khi kh«ng kÓ ®Õn c¸c hiÖu øng cña lý thuyÕt t−¬ng ®èi hÑp. Trªn ®©y, ta ®· ®−a ra ba gi¶ thuyÕt c¬ b¶n dïng ®Ó x©y dùng lý thuyÕt chuyÓn ®éng cña c¸c vËt thÓ biÕn d¹ng. C¸c kÕt luËn rót ra tõ lý thuyÕt nμy th−êng phï hîp víi thùc nghiÖm, nh−ng kh«ng ph¶i lóc nμo còng vËy. Trong nh÷ng tr−êng hîp cÇn thiÕt, m« h×nh kh«ng gian vμ thêi gian cã thÓ chÝnh x¸c hãa vμ më réng. Nh−ng tÊt c¶ nh÷ng sù më réng sau nμy ®Òu x©y dùng trªn c¬ së c¬ häc Newton dùa vμo c¸c gi¶ thuyÕt c¬ b¶n ®· tr×nh bμy ë trªn. B¶n chÊt cña c¸c gi¶ thuyÕt ®ã trë nªn dÔ hiÓu h¬n trong qu¸ tr×nh ph¸t triÓn lý thuyÕt sau nμy. Tãm l¹i, c¬ häc m«i tr−êng liªn tôc lμ ngμnh khoa häc nghiªn cøu, thiÕt lËp c¸c tÝnh chÊt, c¸c quy luËt chuyÓn ®éng cña m«i tr−êng víi gi¶ thiÕt r»ng m«i tr−êng lμ liªn tôc (continuum) trong kh«ng gian Euclide vμ dïng thêi gian tuyÖt ®èi, lý t−ëng, nh− nhau víi mäi ng−êi quan s¸t trong c¸c hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh. 12
  14. C¬ häc m«i tr−êng liªn tôc TrÇn V¨n Liªn Ch−¬ng 1 kh¸i niÖm vÒ ten x¬ 1.1. Kh¸i niÖm vÒ ®¹i l−îng v« h−íng, vÐc t¬ vμ ten x¬ Trong to¸n häc vμ vËt lý nãi chung, ®Æc biÖt trong c¬ häc nãi riªng, ta th−êng gÆp c¸c lo¹i ®¹i l−îng kh¸c nhau: - §¹i l−îng v« h−íng lμ ®¹i l−îng mμ nã ®−îc ®Æc tr−ng b»ng mét con sè theo mét ®¬n vÞ ®o ®· chän nh− nhiÖt ®é, khèi l−îng, tû khèi, n¨ng l−îng, ®é Èm, v.v... - §¹i l−îng vÐc t¬ lμ ®¹i l−îng mμ nã ®−îc ®Æc tr−ng kh«ng nh÷ng b»ng con sè chØ sè ®o cña nã theo mét ®¬n vÞ ®o x¸c ®Þnh, mμ cßn b»ng h−íng cña nã trong kh«ng gian nh− chuyÓn dÞch cña chÊt ®iÓm, vËn tèc, gia tèc, lùc, v.v... CÇn ph©n biÖt ba lo¹i vÐc t¬: vÐc t¬ tù do cã ®iÓm ®Æt chän tïy ý; vÐc t¬ tr−ît cã ®iÓm ®Æt thay ®æi däc theo chÝnh vÐc t¬ ®ã, vÝ dô lùc ®Æt vμo mét vËt thÓ r¾n lμ vÐc t¬ tr−ît; vÐc t¬ buéc cã ®iÓm ®Æt cè ®Þnh, vÝ dô nh− khi xÐt chuyÓn ®éng cña ®iÓm vËt chÊt ph¶i lÊy ®iÓm t¸c dông lùc lμ vÞ trÝ cña ®iÓm vËt chÊt ®ã. ViÖc nghiªn cøu c¸c vÐc t¬ buéc vμ c¸c vÐc t¬ tr−ît dÉn ®Õn viÖc nghiªn cøu c¸c vÐc t¬ tù do, v× vËy d−íi ®©y ta chØ xÐt c¸c vÐc t¬ tù do. - §¹i l−îng ten x¬ ®Æc tr−ng cho tr¹ng th¸i cña vËt thÓ nh− tr¹ng th¸i biÕn d¹ng, tr¹ng th¸i øng suÊt cña m«i tr−êng liªn tôc, sù ph©n bè c¸c m«men qu¸n tÝnh ®èi víi c¸c trôc kh¸c nhau ®i qua ®iÓm nμo ®ã cña vËt thÓ r¾n, n¨ng xung l−îng cña tr−êng ®iÖn tõ, ®é cong cña mçi ®iÓm trong kh«ng gian phi Euclide, v.v... Ten x¬ lμ ®¹i l−îng tæng qu¸t bao hμm c¶ c¸c ®¹i l−îng v« h−íng vμ vÐc t¬. Dùa vμo kh¸i niÖm ten x¬, ta cã thÓ bao qu¸t mäi ®Æc tr−ng cña tÊt c¶ c¸c ®¹i l−îng, xem chóng lμ c¸c ten x¬ h¹ng kh«ng (v« h−íng), h¹ng mét (vÐc t¬) vμ h¹ng bÊt kú. Ten x¬ cã ®Æc ®iÓm chung lμ kh«ng phô thuéc vμo c¸ch chän hÖ täa ®é dïng ®Ó m« t¶ chóng, nghÜa lμ trong mét hÖ täa ®é cã thÓ cho ten x¬ b»ng mét hÖ thèng ®¹i l−îng nμo ®Êy, gäi lμ c¸c thμnh phÇn cña ten x¬. NÕu c¸c thμnh phÇn cña ten x¬ ®· cho trong mét hÖ täa ®é, th× nã ®−îc x¸c ®Þnh trong bÊt kú mét hÖ täa ®é nμo kh¸c, v× trong ®Þnh nghÜa ten x¬ ®· bao hμm quy luËt biÕn ®æi c¸c thμnh phÇn cña nã. C¸c qui luËt vËt lý vμ c¬ häc th−êng ®−îc biÓu diÔn d−íi d¹ng c¸c hÖ thøc ten x¬. ViÕt c¸c ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng ten x¬, cho phÐp thiÕt lËp c¸c quy luËt bÊt biÕn, kh«ng phô thuéc vμo c¸ch chän hÖ täa ®é. Do tÝnh chÊt tuyÕn tÝnh vμ ®ång nhÊt cña c¸c phÐp biÕn ®æi ten x¬, nªn c¸c ph−¬ng tr×nh ten x¬ ®· ®óng trong hÖ täa ®é nμy, còng ®óng trong hÖ täa ®é kh¸c. TÝnh bÊt biÕn cña c¸c hÖ thøc ten x¬ ®èi víi phÐp 13
  15. C¬ häc m«i tr−êng liªn tôc TrÇn V¨n Liªn biÕn ®æi hÖ täa ®é lμ mét trong nh÷ng nguyªn nh©n c¬ b¶n ®Ó sö dông cã hiÖu qu¶ phÐp tÝnh ten x¬ trong c¬ häc vμ vËt lý. 1.2. Tr−êng v« h−íng Tr−êng v« h−íng lμ mét hμm v« h−íng cña c¸c täa ®é ®iÓm trong miÒn x¸c ®Þnh cña hμm sè ϕ ( x1 , x 2 , x3 , t ) víi x1 , x2 , x3 lμ c¸c täa ®é kh«ng gian, cßn t lμ thêi gian. Gra®iªn cña tr−êng v« h−íng lμ vÐc t¬ cã h−íng mμ hμm ϕ t¨ng nhanh nhÊt vμ cã ®é lín b»ng ®¹o hμm theo h−íng ®ã ∂ϕ r ∂ϕ r ∂ϕ r gradϕ = ∇ϕ = e1 + e2 + e3 (1.2.1) ∂x1 ∂x 2 ∂x3 r r r víi e1 , e2 , e3 lμ c¸c vÐc t¬ chØ ph−¬ng ®¬n vÞ cña hÖ täa ®é c¬ së Ox1x2x3 , ký hiÖu∇ ®äc lμ ‘nabla’. VÒ mÆt h×nh häc, vÐc t¬ gra®iªn vu«ng gãc víi mÆt møc (hay mÆt ®¼ng trÞ) ®−îc x¸c ®Þnh tõ ph−¬ng tr×nh ϕ ( x1 , x 2 , x3 , t ) = const . Khi ®ã vÐc t¬ ph¸p tuyÕn ®¬n vÞ r ν t¹i ®iÓm cho tr−íc cña mÆt nμy lμ ∂ϕ r ∂ϕ r ∂ϕ r e1 + e2 + e3 r gradϕ ∂x1 ∂x 2 ∂x3 ν = = (1.2.2) gradϕ 2 ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ 2 ⎞ ⎛ ∂ϕ ⎞ 2 ⎜ ⎜ ∂x ⎟ + ⎜ ∂x ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂x ⎟ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3⎠ Ký hiÖu Δ víi ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ Δϕ = ∇∇ϕ = + 2 + 2 (1.2.3) ∂x12 ∂x 2 ∂x3 ®−îc gäi lμ to¸n tö Laplace, ®äc lμ ‘laplacien’. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hμm riªng ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ Δϕ = + 2 + 2 =0 (1.2.4) ∂x12 ∂x 2 ∂x3 ®−îc gäi lμ ph−¬ng tr×nh Laplace vμ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh Laplace ®−îc gäi lμ hμm ®iÒu hßa. Theo ®Þnh lý trung b×nh cña hμm ®iÒu hßa, gi¸ trÞ cña hμm ®iÒu hßa t¹i mét ®iÓm nμo ®ã b»ng trung b×nh sè häc cña c¸c gi¸ trÞ hμm sè trªn mét mÆt cÇu (vμ do ®ã c¶ theo thÓ tÝch) bÊt kú víi t©m t¹i ®iÓm ®· cho. Ph−¬ng tr×nh ⎛ ∂2 ∂2 ∂ 2 ⎞⎛ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ⎞ Δ2ϕ = ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ = 0 ⎜ ∂x ⎟⎜ ⎟ (1.2.5) ⎝ 1 ∂x 2 ∂x3 ⎠⎝ ∂x1 ∂x 2 ∂x3 ⎠ ®−îc gäi lμ ph−¬ng tr×nh song ®iÒu hßa hay ®iÒu hßa kÐp vμ nghiÖm ph−¬ng tr×nh nμy ®−îc gäi lμ c¸c hμm song ®iÒu hßa hay ®iÒu hßa kÐp. 14
  16. C¬ häc m«i tr−êng liªn tôc TrÇn V¨n Liªn VÝ dô 1.2.1: T×m vÐc t¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng ®i qua ba ®iÓm A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) cho tr−íc n»m trªn c¸c trôc täa ®é nh− trªn h×nh 1.2.1. Gi¶i: Ph−¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng ®i qua ba ®iÓm A, B, C lμ x2 x1 x 2 x3 B ϕ ( x1 , x 2 , x3 ) = + + −1 = 0 a b c ν VÐc t¬ gra®iªn cã d¹ng e2 1r 1r 1r x1 gradϕ = e1 + e2 + e3 O e1 a b c A e3 Do ®ã, vÐc t¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng lμ C 1r 1r 1r e1 + e2 + e3 r gradϕ a b c x3 ν = = gradϕ 2 2 ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ 2 H×nh 1.2.1. ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝a⎠ ⎝b⎠ ⎝c⎠ NÕu mÆt ph¼ng ABC nghiªng ®Òu ba trôc täa ®é ( a = b = c ) , vÐc t¬ ph¸p tuyÕn lμ r ±1 r ±1 r ±1 r r⎛ 1 1 1 ⎞ ν = e1 + e2 + e3 , th«ng th−êng ta hay chän ν ⎜ ⎜ , , ⎟. ⎟ 3 3 3 ⎝ 3 3 3⎠ 1.3. VÐc t¬ vμ tr−êng vÐc t¬ 1.3.1. C¸c phÐp tÝnh vÐc t¬ Trong kh«ng gian ba chiÒu, ta lËp mét hÖ täa ®é Descartes vu«ng gãc Ox1x2x3 lμ mét r tam diÖn thuËn theo quy t¾c bμn tay ph¶i. Mét vÐc t¬ a bÊt kú trong kh«ng gian ®−îc x¸c ®Þnh bëi ba h×nh chiÕu a1 , a2 , a3 cña nã trªn c¸c trôc täa ®é (h×nh 1.3.1) vμ r a1 , a2 , a3 ®−îc gäi lμ c¸c täa ®é vu«ng gãc hay lμ c¸c thμnh phÇn cña vÐc t¬ a . §é dμi r cña vÐc t¬ a x¸c ®Þnh theo c«ng thøc x2 r a2 a = a2 + a2 + a2 (1.3.1) 1 2 3 a §−êng chÐo OB cña h×nh b×nh hμnh dùng trªn c¸c vÐc r r r r t¬ OA = a vμ AB = b lμ tæng cña hai vÐc t¬ OB = a + b , r r cßn ®−êng chÐo CA lμ hiÖu cña c¸c vÐc t¬ nμy CA = a − b O a1 (h×nh 1.3.2). x1 r r a3 TÝch v« h−íng (hay tÝch trong) cña hai vÐc t¬ a vμ b lμ x3 mét ®¹i l−îng v« h−íng cã gi¸ trÞ b»ng tÝch ®é dμi cña H×nh 1.3.1. c¸c vÐc t¬ ®ã víi c«sin cña gãc gi÷a chóng 15
  17. C¬ häc m«i tr−êng liªn tôc TrÇn V¨n Liªn a rr rr r r r r C B a.b = b .a = a b . cos(a , b ) (1.3.2) a+b r r NÕu vÐc t¬ a vu«ng gãc víi vÐc t¬ b th× tÝch v« h−íng b cña hai vÐc t¬ nμy b»ng kh«ng. TÝch v« h−íng cña c¸c a-b b vÐc t¬ ®¬n vÞ täa ®é lμ a O A r r ⎧1 i = j ei .e j = δ ij = ⎨ (1.3.3) H×nh 1.3.2. ⎩0 i ≠ j r r r NÕu b = 1 th× h×nh chiÕu cña vÐc t¬ a lªn vÐc t¬ b b»ng tÝch v« h−íng cña hai vÐc t¬ r r nμy. Täa ®é ai lμ tÝch v« h−íng cña vÐc t¬ a vμ vÐc t¬ ®¬n vÞ ei rr ai = a.ei (1.3.4) r r r TÝch vÐc t¬ (hay tÝch ngoμi, tÝch cã h−íng) cña hai vÐc t¬ a vμ b lμ mét vÐc t¬ c cã r r ®é lín b»ng diÖn tÝch h×nh b×nh hμnh dùng trªn c¸c vÐc t¬ a , b vμ cã h−íng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng cña c¸c vÐc t¬ nμy sao cho tam diÖn h×nh thμnh bëi c¸c vÐc t¬ r r r a , b , c lμ tam diÖn thuËn (h×nh 1.3.3) c=a×b r r r r r r r r b c = a × b ; c = a b sin(a , b ) (1.3.5) BiÓu diÔn d−íi d¹ng ®Þnh thøc r r r ⎛ e1 e2 e3 ⎞ a r r ⎜ ⎟ a × b = det⎜ a1 a 2 a3 ⎟ (1.3.6) ⎜b b b3 ⎟ ⎝ 1 2 ⎠ d=b×a TÝch vÐc t¬ kh«ng cã tÝnh giao ho¸n tøc lμ H×nh 1.3.3. r r r r r v c = a × b = −b × a = −d r r r TÝch hçn hîp (hay tÝch vÐc t¬ kÐp) cña ba vÐc t¬ a , b , c lμ mét ®¹i l−îng v« h−íng cã gi¸ trÞ b»ng thÓ tÝch h×nh hép giíi h¹n bëi c¸c vÐc t¬ nμy. TÝch hçn hîp nμy lμ sè r r r d−¬ng nÕu c¸c vÐc t¬ a , b , c lËp thμnh mét tam diÖn thuËn ⎛ a1 a2 a3 ⎞ [ ] r rr r r r ⎜ ab c = a.(b × c ) = det⎜ b1 b2 ⎟ b3 ⎟ (1.3.7) ⎜c c3 ⎟ ⎝ 1 c2 ⎠ 1.3.2. BiÕn ®æi cña c¸c thμnh phÇn vÐc t¬ khi quay trôc täa ®é r Gi¶ thiÕt hÖ trôc täa ®é Descartes ban ®Çu xi víi c¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ ei xoay quanh gèc r täa ®é O trë thμnh hÖ trôc täa ®é Descartes míi xi′ víi c¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ míi ei′ nh− 16
  18. C¬ häc m«i tr−êng liªn tôc TrÇn V¨n Liªn trªn h×nh 1.3.4. Ký hiÖu C = (cij ) lμ ma trËn c¸c c«sin cña gãc hîp gi÷a trôc míi xi′ r r víi trôc cò xj vμ còng lμ gãc gi÷a vÐc t¬ ei′ vμ vÐc t¬ e j . Theo (1.3.2), ta cã r r rr cij = cos( xi′ , x j ) = cos(ei′ , e j ) = ei′e j (1.3.8) x2 x2 x′ 2 ′ x1 a x′ 2 e2 e′ 2 e′ e2 ′ e1 θ 2 e1 x1 e1 x1 e3 O ′ O ′ x3 e3 ′ e1 ′ e3 = e3 ′ x3 = x 3 ′ x1 x3 H×nh 1.3.4. H×nh 1.3.5. r r C¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ míi ei′ cã thÓ biÓu diÔn qua c¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ cò e j r r r ⎧e1′ ⎫ ⎛ c11 c12 c13 ⎞⎧e1 ⎫ ⎧e1 ⎫ ⎪r ⎪ ⎜ ⎟⎪r ⎪ ⎪r ⎪ ′ ⎨e2 ⎬ = ⎜ c21 c22 c23 ⎟⎨e2 ⎬ = C⎨e2 ⎬ (1.3.9) r ⎪e ′ ⎪ ⎜ c c c ⎟⎪e ⎪ r r ⎪e ⎪ ⎩ 3 ⎭ ⎝ 31 32 33 ⎠⎩ 3 ⎭ ⎩ 3⎭ Ng−îc l¹i, ký hiÖu C ′ = (cij ) lμ ma trËn c¸c c« sin cña gãc hîp gi÷a trôc cò xi víi trôc ′ míi x′j , ta cã r r rr ′ cij = cos( xi , x ′j ) = cos(ei , e′j ) = ei e′j (1.3.10) So s¸nh (1.3.8) vμ (1.3.10), ta thÊy ngay r»ng c'ij = c ji tøc lμ ma trËn C ′ = (cij ) vμ ma ′ trËn C = (cij ) lμ chuyÓn vÞ cña nhau. r r Tõ (1.3.10), ta biÓu diÔn c¸c vÐc t¬ c¬ së cò ei qua c¸c vÐc t¬ c¬ së míi e ′ j r r r ⎧ e1 ⎫ ⎛ c11′ ′ c12 ′ c13 ⎞⎧ e1′ ⎫ ⎧ e1′ ⎫ ⎪r ⎪ ⎜ ⎟⎪ r ⎪ ⎪r ⎪ ⎨e2 ⎬ = ⎜ c ′ 21 c′ 22 ′ ′ c23 ⎟⎨e2 ⎬ = C ′⎨e2 ⎬ ′ (1.3.11) r ⎪e ⎪ ⎜ c ′ r⎪ r⎪ ⎩ 3 ⎭ ⎝ 31 ′ c32 c33 ⎟⎪e3′ ⎭ ′ ⎠⎩ ⎪e ′ ⎩ 3⎭ So s¸nh (1.3.9) vμ (1.3.11), ta thÊy r»ng ma trËn C ′ = (cij ) vμ ma trËn C = (cij ) lμ ′ nghÞch ®¶o cña nhau. 17
  19. C¬ häc m«i tr−êng liªn tôc TrÇn V¨n Liªn Nh− vËy, ma trËn c¸c c«sin chØ ph−¬ng (cij ) lËp thμnh mét ma trËn trùc giao C ′ = C −1 = C T (1.3.12) Khi hÖ trôc täa ®é Descartes ban ®Çu Ox1x2x3 quay trong mÆt ph¼ng Ox1x2 mét gãc θ ng−îc chiÒu kim ®ång hå quanh trôc x3 trë thμnh hÖ trôc täa ®é míi Ox1 x′ x3 nh− ′ 2 ′ trªn h×nh 1.3.5, ma trËn c¸c c«sin chØ ph−¬ng cã d¹ng ⎛ cos θ ⎜ ( cos 90 0 − θ ) cos 90 0 ⎞ ⎛ cos θ ⎟ ⎜ sin θ 0⎞ ⎟ ( C = (cij ) = ⎜ cos 90 0 + θ ) cos θ cos 90 0 ⎟ = ⎜ − sin θ cos θ 0⎟ (1.3.13) ⎜ cos 90 0 cos 90 0 cos 0 0 ⎟ ⎜ 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 0 ⎠ r B©y giê ta xÐt sù thay ®æi cña c¸c thμnh phÇn vÐc t¬ a khi quay hÖ trôc täa ®é. Khi r r ®ã b¶n th©n vÐc t¬ a kh«ng thay ®æi, nh−ng c¸c thμnh phÇn täa ®é ai cña vÐc t¬ a trong hÖ trôc cò xj sÏ thay ®æi thμnh ai′ trong hÖ trôc míi xi′ . Ta cã khai triÓn r 3 r 3 r a = ∑ ai ei = ∑ ai′ei′ (1.3.14) i =1 i =1 rr rr víi ai = a.ei vμ ai′ = a.ei′ . Sö dông (1.3.8) kÕt hîp víi (1.3.9), ta ®−îc rr r 3 r 3 rr 3 ai′ = a.ei′ = a.∑ cij e j = ∑ cij a.e j =∑ cij a j (1.3.15) i =1 i =1 i =1 T−¬ng tù, sö dông (1.3.10) kÕt hîp víi (1.3.11) ta cã rr r 3 r 3 rr 3 ai = a.ei = a.∑ cij e ′ = ∑ c ji a.e ′ =∑ c ji a ′j ′ j j (1.3.16) i =1 i =1 i =1 1.3.3. Tr−êng vÐc t¬ Tr−êng vÐc t¬ lμ mét hμm vÐc t¬ cña c¸c täa ®é ®iÓm trong miÒn kh«ng gian x¸c r ®Þnh cña hμm sè a ( x1 , x2 , x3 , t ) víi x1 , x2 , x3 lμ c¸c täa ®é kh«ng gian, t lμ thêi gian. §¹i l−îng v« h−íng r r ∂a ∂a ∂a div(a ) = ∇.a = 1 + 2 + 3 (1.3.17) ∂x1 ∂x 2 ∂x3 r ®−îc gäi lμ ®ive (hay ph©n kú) cña tr−êng vÐc t¬ a . §¹i l−îng vÐc t¬ r r r ⎛ e1 e2 e3 ⎞ ⎜ ⎟ r r ∂ ∂ ∂ ⎟ ⎛ ∂a3 ∂a2 ⎞ r ⎛ ∂a1 ∂a3 ⎞ r ⎛ ∂a2 ∂a1 ⎞ r rot(a ) = ∇ × a = det⎜ =⎜ − ⎟e1 + ⎜ ⎜ ∂x − ∂x ⎟e2 + ⎜ ∂x − ∂x ⎟e3 (1.3.18) ⎜ ⎟ ⎜ ∂x1 ∂x2 ∂x3 ⎟ ⎜ ∂x2 ∂x3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎟ 1 ⎠ ⎝ 1 2 ⎠ ⎜a a3 ⎟ ⎝ 1 a2 ⎠ r ®−îc gäi lμ r«ta (hay xo¸y) cña tr−êng vÐc t¬ a . 18
  20. C¬ häc m«i tr−êng liªn tôc TrÇn V¨n Liªn r r C¸c ®¹i l−îng div(a ) ; rot (a ) ®ãng vai trß quan träng trong nghiªn cøu c¸c m«i tr−êng liªn tôc. Gi¸ trÞ ®ive liªn quan ®Õn l−îng vËt chÊt ®i qua mÆt cña mét thÓ tÝch v« cïng bÐ bao quanh ®iÓm ®ang xÐt. VÐc t¬ r«ta liªn quan ®Õn chuyÓn ®éng quay cña c¸c chÊt ®iÓm quanh ®iÓm ®ang xÐt. r r r r r VÝ dô 1.3.1: Khai triÓn vÐc t¬ a (1,2,1) thμnh hai vÐc t¬ a = σ v + τ v trong ®ã vÐc t¬ σ v theo ph−¬ng ph¸p tuyÕn víi mÆt ph¼ng ABC nghiªng ®Òu víi ba trôc täa ®é (vÝ dô r 1.2.1), vÐc t¬ τ v n»m trong mÆt ph¼ng ABC. Gi¶i: VÐc t¬ ph¸p tuyÕn ngoμi cña mÆt ph¼ng ABC nghiªng ®Òu ba trôc täa ®é lμ ( r ) r r ν 1 3 ,1 3 ,1 3 . H×nh chiÕu cña vÐc t¬ a lªn ph−¬ng ph¸p tuyÕn ν lμ ⎧1 ⎫ r rr ⎛ 1 1 1 ⎞⎪ ⎪ 4 σ v = ν .a = ⎜ ⎜ ⎟ ⎨2 ⎬ = ⎟ ⎝ 3 3 3 ⎠⎪ ⎪ 3 ⎩1 ⎭ r vμ thu ®−îc vÐc t¬ σ v ⎧1 3 ⎫ ⎧4 3⎫ r r r 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ σv = σvν = ⎨1 3 ⎬ = ⎨4 3⎬ 3⎪ ⎩1 3 ⎪ ⎪4 ⎭ ⎩ 3⎪ ⎭ r Tõ ®ã ta x¸c ®Þnh ®−îc vÐc t¬ τ v n»m trong mÆt ph¼ng ABC ⎧1 ⎫ ⎧4 3⎫ ⎧− 1 3⎫ r r r ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ τ ν = a − σ v = ⎨2 ⎬ − ⎨4 3⎬ = ⎨ 2 3⎬ ⎪1 ⎪ ⎪4 3⎪ ⎪− 1 3⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ r §é dμi vÐc t¬ τ v theo (1.3.1) lμ 2 2 2 ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ r 6 τν = ⎜ − ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ − ⎟ = ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 3 r r §Ó kiÓm tra kÕt qu¶ tÝnh, dùa vμo ®iÒu kiÖn vÐc t¬ σ v vu«ng gãc víi vÐc t¬ τ v nªn tÝch v« h−íng cña hai vÐc t¬ nμy b»ng kh«ng ⎧− 1 3⎫ r r ⎛ 1 1 1 ⎞⎪ ⎪ σ v .τ ν = ⎜ ⎜ ⎟⎨ 2 3⎬ = 0 ⎟ ⎝ 3 3 3 ⎠⎪ ⎪ ⎩− 1 3⎭ r2 r r 2 Còng cã thÓ kiÓm tra dùa vμo hÖ thøc Pitago a = σ ν + τ ν , ta cã 2 19
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí
65 tài liệu
2418 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2