Lý thuyết đường trắc địa

Chia sẻ: ĐInh ĐInh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết trình bày những nội dung sau: Định nghĩa đường trắc địa, điều kiện cần và đủ để một đường cong là đường trắc địa, tính chất đặc trưng của đường trắc địa, phương trình đường trắc địa, điều kiện tồn tại đường trắc địa trên mặt, độ cong trắc địa. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết đường trắc địa

Năm học 2010 – 2011 LÝ THUYẾT ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA Nguyễn Thị Hồng Linh (SV năm 4, Khoa Toán - Tin học) GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh 1. Các kiến thức chuẩn bị - Cung trong \ n - Cung trong \3 - Mặt trong \3 - Cung trên mặt trong \3 2. Đường trắc địa trên mặt 2.1. Định nghĩa đường trắc địa 2.2. Điều kiện cần và đủ để một đường cong là đường trắc địa Định lý 2.2.1: Điều kiện cần và đủ Điều kiện cần và đủ để đường cong tham số u = u (t ), v = v(t ) trên mặt r = r (u, v) là đường trắc địa: ∂T ∂T U −V =0 ∂v ∂u Với U ,V được xác định như sau: d ⎛ ∂T ⎞ ∂T 1 dT ∂ T U = ⎜ ⎟− = dt ⎝ ∂ u ⎠ ∂ u 2T dt ∂ u d ⎛ ∂T ⎞ ∂T 1 dT ∂ T V = ⎜ ⎟ − = dt ⎝ ∂ v ⎠ ∂ v 2T dt ∂ v 1 T = ( Eu 2 + 2 Fuv + Gv 2 ) 2 Định lý 2.2.2 (i) Điều kiện cần và đủ để đường cong v = c o n s t là đường trắc địa : EE2 + FE1 − 2EF1 = 0 (ii) Điều kiện cần và đủ để đường cong u = c ons t là đường trắc địa : GG1 + FG2 − 2GF2 = 0 Hệ quả: Khi tham số hóa đường cong là trực giao thì (i) v = c ons t là đường trắc địa khi và chỉ khi E2 = 0 91
Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH (ii) u = c ons t là đường trắc địa khi và chỉ khi G1 = 0 Định lý 2.2.3 Đường cong tham số hóa v = v(u ) là đường trắc địa khi và chỉ khi v thỏa phương trình vi phân cấp hai sau : v + P v 3 + Q v 2 + R v + S = 0 Với P , Q , R , S là những hàm của u , v và được xác định theo E , F , G 2.3. Tính chất đặc trưng của đường trắc địa Định lý: Đường cong u = u (t ), v = v(t ) trên mặt r = r (u, v) là đường trắc địa khi và chỉ khi pháp tuyến chính tại mọi điểm trên đường cong trùng với pháp tuyến của mặt. Hệ quả: Một đường cong là đường trắc địa trên mặt khi và chỉ khi mặt phẳng trực đạc là mặt trùng với tiếp diện của mặt S tại mọi điểm trên đường cong. 2.4. Phương trình đường trắc địa Định lý 2.4.1. Phương trình chuẩn tắc Trên mặt S , cho đường cong α có tham số hóa tự nhiên, khi đó phương trình chuẩn tắc đường trắc địa sẽ là : d ⎛ ∂T ⎞ ∂T U= ⎜ ⎟− =0 ds ⎝ ∂u ' ⎠ ∂u d ⎛ ∂T ⎞ ∂T V= ⎜ ⎟− =0 ds ⎝ ∂v ' ⎠ ∂v Định lý 2.4.2. Lấy tham số hóa của đường cong là tham số hóa tự nhiên. Phương trình vi phân của đường trắc địa là 1 ⎛ 1 ⎞ Eu ''+ Fv ''+ E1u '2 + E2u ' v '+ ⎜ F2 − G1 ⎟ v '2 = 0 2 ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 ⎞ 1 Fu ''+ Gv ''+ ⎜ F1 − E2 ⎟ u '2 + G1u ' v '+ G2v '2 = 0 ⎝ 2 ⎠ 2 Định nghĩa 2.4.3. Tham số hóa trực giao của mặt r = r (u, v) được gọi là tham số hóa Clairaut theo u nếu E , G là các hàm chỉ phụ thuộc vào u 92
Năm học 2010 – 2011 Tham số hóa trực giao của mặt r = r (u, v) được gọi là tham số hóa Clairaut theo v nếu E , G là các hàm chỉ phụ thuộc vào v Hệ quả Nếu tham số hóa của mặt là tham số Clairaut theo u thì đường kinh tuyến v = v 0 là đường trắc địa ; đường vĩ tuyến u = u0 là đường trắc địa khi và chỉ khi G1 ( u0 ) = 0 Nếu tham số hóa của mặt là tham số Clairaut theo v thì đường vĩ tuyến u = u 0 là đường trắc địa ; Đường kinh tuyến v = v0 là đường trắc địa khi và chỉ khi E2 ( v0 ) = 0 2.5. Điều kiện tồn tại đường trắc địa trên mặt Định lý 2.5.1. Có duy nhất một đường trắc địa đi qua một điểm cho trước và có phương xác định cho trước trên mặt. Định lý 2.5.2. Mọi điểm P trên mặt điều có một lân cận N với tính chất: Mọi điểm của N đều có thể được nối với nhau bởi một cung trắc địa duy nhất nằm trong N . 2.6. Tọa độ cực trắc địa Định nghĩa 2.6.1. Quỹ đạo trực giao của họ đường trắc địa v = const trên mặt được gọi là song song trắc địa. u và v được gọi là tham số trắc địa Định nghĩa 2.6.2 Cho O là một điểm cố định trên mặt S . Xét họ đường trắc địa tại O với tham số v = c ons t . Cố định một đường trắc địa α0 qua O . Lấy quỹ đạo trực giao của họ đường trắc địa đã cho là trắc địa song song u = c ons t . Ở đây u là khoảng cách từ quỹ đạo trực giao đến O dọc một số cung trắc địa. Lấy P là một điểm bất kì trên mặt S . Khi đó u có thể lấy là khoảng cách từ O dọc đường trắc địa α nối với O và P . Gọi v là góc giữa α0 và α được đo tại O. Tham số (u; v) được định nghĩa như trên gọi là tọa độ cực trắc địa của P . Hệ tọa độ (u; v) được gọi là hệ tọa độ cực trắc địa. u = cons t được gọi là vòng tròn trắc địa 2.7. Độ cong trắc địa r '' = kn N + ( λ r1 + µ r2 ) Định nghĩa 2.7.1. 93
Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH ( λ; µ ) được gọi là vecto độ cong trắc địa tại P và được kí hiệu là K g . Định lý 2.7.2. Đường cong trên mặt là đường trắc địa khi và chỉ khi vecto độ cong trắc địa tại mọi điểm trên đường cong là vecto_không. Định nghĩa 2.7.3. Độ cong trắc địa tại một điểm bất kì trên đường cong được kí hiệu là k g , được định nghĩa là độ dài của vecto độ cong trắc địa với dấu xác định riêng. k g mang dấu dương ( hoặc âm ) nếu góc giữa vecto độ cong trắc địa và tiếp tuyến của đường cong là π π (hoặc − ). 2 2 Do đó ta có kg = ± λ 2 + µ 2 Định lý 2.7.4. Đường cong trên mặt là đường trắc địa khi và chỉ khi độ cong trắc địa của nó bằng không tại mọi điểm Định lý 2.7.5. Cho đường cong r ( s ) = r ( u ( s ); v ( s ) ) trên mặt r = r (u; v) . Xét điểm P trên đường cong, ta có: (i) k g = ( N , r ', r '') (ii) k g = s −3 ( N , r, r) Hệ quả: Tất cả các đường thẳng nằm trên mặt đều là đường trắc địa 3. Tìm đường trắc địa trên một số mặt cụ thể 3.1. Mặt phẳng 3.2. Mặt cầu: x2 + y 2 = R2 3.3. Mặt trụ tròn thẳng: x 2 + y 2 = a 2 z2 3.4. Mặt nón: 2 = x 2 + y 2 a 3.5. Mặt xuyến 3.6. Paraboloid elliptic: z = x 2 + y 2 3.7. Hyperbolic một tầng: x 2 + y 2 − z 2 = 1 4. Vẽ đường trắc địa trên một số mặt cụ thể 94
Năm học 2010 – 2011 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. John Oprea (1997), Differential Geometry and its Application, Prentice Hall. 2. M.P. Do Carmo (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall 3. Đoàn Quỳnh (2009), Hình học vi phân, Nxb Đại Học Sư Phạm. 4. Phạm Huy Điển (2007), Tính toán lập trình và giảng dạy toán học trên Mapple, Nxb Khoa học và Kỹ thuật. 95