Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 3): Phần 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:117

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 3)" phần 1 trình bày các nội dung chính sau: Tích phân bất định; Phương pháp đổi biến; Các lớp hàm khả tích trong lớp các hàm sơ cấp; Tích phân xác định Riemann; Tích phân suy rộng;... Mời các bạn cùng tham khảo để nắm nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 3): Phần 1

˜ ’ THANH ˆ N THUY NGUYE ` TA BAI ˆ. P ´ CAO CA TOAN ˆ´P Tˆa.p 3 Ph´ep t´ınh t´ıch phˆan. L´y thuyˆe´t chuˆo˜ i. Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan NHA ˆ´T BA ` XUA . . ˆ´C GIA HA ’ N DAI HOC QUO ` NO ˆ. I http://tieulun.hopto.org
Mu.c lu.c 10 T´ıch phˆan bˆa´t di.nh 4 10.1 C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan . . . . . . . . . . . . 4 10.1.1 Nguyˆen h`am v`a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh . . . . . . . 4 10.1.2 Phu.o.ng ph´ap dˆo’i biˆe´n . . . . . . . . . . . . . . 12 10.1.3 Phu.o.ng ph´ap t´ıch phˆan t` u.ng phˆ `an . . . . . . . 21 10.2 C´ac l´o.p h`am kha’ t´ıch trong l´o.p c´ac h`am so. cˆa´p . . . . 30 10.2.1 T´ıch phˆan c´ac h`am h˜ u.u ty’ . . . . . . . . . . . . 30 10.2.2 T´ıch phˆan mˆo.t sˆo´ h`am vˆo ty’ do.n gia’n . . . . . 37 10.2.3 T´ıch phˆan c´ac h`am lu.o..ng gi´ac . . . . . . . . . . 48 11 T´ıch phˆan x´ ac di.nh Riemann 57 11.1 H`am kha’ t´ıch Riemann v`a t´ıch phˆan x´ac di.nh . . . . . 58 11.1.1 D - i.nh ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 11.1.2 D - iˆ`eu kiˆe.n dˆe’ h`am kha’ t´ıch . . . . . . . . . . . . 59 11.1.3 C´ac t´ınh chˆa´t co. ba’n cu’a t´ıch phˆan x´ac di.nh . . 59 11.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan x´ac d i.nh . . . . . . . . . 61 ´.ng du.ng cu’a t´ıch phˆan x´ac d i.nh . . . . . . 11.3 Mˆo.t sˆo´ u . . 78 11.3.1 Diˆe.n t´ıch h`ınh ph˘a’ng v`a thˆe’ t´ıch vˆa.t thˆe’ . . . . 78 11.3.2 T´ınh dˆo. d`ai cung v`a diˆe.n t´ıch m˘a.t tr`on xoay . . 89 11.4 T´ıch phˆan suy rˆo.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 11.4.1 T´ıch phˆan suy rˆo.ng cˆa.n vˆo ha.n . . . . . . . . . 98 11.4.2 T´ıch phˆan suy rˆo.ng cu’a h`am khˆong bi. ch˘a.n . . 107 http://tieulun.hopto.org
2 MU . C LU .C 12 T´ıch phˆan h` am nhiˆ `eu biˆe´n 117 12.1 T´ıch phˆan 2-l´o.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 12.1.1 Tru.`o.ng ho..p miˆ `en ch˜u. nhˆa.t . . . . . . . . . . . 118 12.1.2 Tru.`o.ng ho..p miˆ `en cong . . . . . . . . . . . . . . 118 12.1.3 Mˆo.t v`ai u ´.ng du.ng trong h`ınh ho.c . . . . . . . . 121 12.2 T´ıch phˆan 3-l´o.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 12.2.1 Tru.`o.ng ho..p miˆ `en h`ınh hˆo.p . . . . . . . . . . . 133 12.2.2 Tru.`o.ng ho..p miˆ `en cong . . . . . . . . . . . . . . 134 12.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 12.2.4 Nhˆa.n x´et chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 12.3 T´ıch phˆan d u.`o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 12.3.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co. ba’n . . . . . . . . . . . . . . 144 12.3.2 T´ınh t´ıch phˆan du.`o.ng . . . . . . . . . . . . . . 146 12.4 T´ıch phˆan m˘a.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 12.4.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co. ba’n . . . . . . . . . . . . . . 158 12.4.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan m˘a.t . . . . . . . . 160 12.4.3 Cˆong th´ u.c Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . 162 12.4.4 Cˆong th´ u.c Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 13 L´ y thuyˆ e´t chuˆ ˜i o 177 13.1 Chuˆ˜o i sˆo´ du.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 13.1.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co. ba’n . . . . . . . . . . . . . . 178 13.1.2 Chuˆ˜o i sˆo´ du.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 13.2 Chuˆ˜o i hˆo.i tu. tuyˆe.t d ˆo´i v`a hˆo.i tu. khˆong tuyˆe.t d ˆo´i . . . 191 13.2.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co. ba’n . . . . . . . . . . . . . . 191 13.2.2 Chuˆ˜o i dan dˆa´u v`a dˆa´u hiˆe.u Leibnitz . . . . . . 192 13.3 Chuˆ˜o i l˜ uy th` u.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 13.3.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co. ba’n . . . . . . . . . . . . . . 199 13.3.2 D - iˆ`eu kiˆe.n khai triˆe’n v`a phu.o.ng ph´ap khai triˆe’n 201 13.4 Chuˆo˜ i Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 13.4.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co. ba’n . . . . . . . . . . . . . . 211 http://tieulun.hopto.org
MU . C LU .C 3 `e su.. hˆo.i tu. cu’a chuˆo˜ i Fourier . . . 212 13.4.2 Dˆa´u hiˆe.u du’ vˆ 14 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an 224 14.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . 225 14.1.1 Phu.o.ng tr`ınh t´ach biˆe´n . . . . . . . . . . . . . . 226 14.1.2 Phu.o.ng tr`ınh d a˘’ ng cˆa´p . . . . . . . . . . . . . 231 14.1.3 Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . 237 14.1.4 Phu.o.ng tr`ınh Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . 244 14.1.5 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan to`an phˆ `an . . . . . . . . 247 14.1.6 Phu.o.ng tr`ınh Lagrange v`a phu.o.ng tr`ınh Clairaut255 14.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p cao . . . . . . . . . . . . . . 259 14.2.1 C´ac phu.o.ng tr`ınh cho ph´ep ha. thˆa´p cˆa´p . . . . 260 14.2.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh cˆa´p 2 v´o.i hˆe. sˆo´ h˘a`ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 14.2.3 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh thuˆ `an nhˆa´t cˆa´p n (ptvptn cˆa´p n ) v´o.i hˆe. sˆo´ h˘`ang . . . . . . 273 14.3 Hˆe. phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh cˆa´p 1 v´o.i hˆe. sˆo´ h˘`ang290 15 Kh´ ai niˆe.m vˆ`e phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an da.o h` am riˆ eng 304 15.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p 1 tuyˆe´n t´ınh dˆo´i v´o.i c´ac da.o h`am riˆeng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 15.2 Gia’i phu.o.ng tr`ınh d a.o h`am riˆeng cˆa´p 2 d o.n gia’n nhˆa´t 310 15.3 C´ac phu.o.ng tr`ınh vˆa.t l´ y to´an co. ba’n . . . . . . . . . . 313 15.3.1 Phu.o.ng tr`ınh truyˆ `en s´ong . . . . . . . . . . . . 314 . . 15.3.2 Phu o ng tr`ınh truyˆ `en nhiˆe.t . . . . . . . . . . . . 317 15.3.3 Phu.o.ng tr`ınh Laplace . . . . . . . . . . . . . . 320 T` e.u tham kha’o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai liˆ 327 http://tieulun.hopto.org
Chu.o.ng 10 T´ıch phˆ a´t di.nh an bˆ ac phu.o.ng ph´ 10.1 C´ ap t´ınh t´ıch phˆ an . . . . . . 4 10.1.1 Nguyˆen h`am v` a t´ıch phˆ an bˆa´t di.nh . . . . . 4 10.1.2 Phu.o.ng ph´ o’i biˆe´n . . . . . . . . . . . . 12 ap dˆ 10.1.3 Phu.o.ng ph´ ap t´ıch phˆ u.ng phˆ an t` `an . . . . . 21 10.2 C´ o.p h` ac l´ am kha’ t´ıch trong l´ o.p c´ ac h`am . a´p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 so cˆ 10.2.1 T´ıch phˆ an c´ ac h` u.u ty’ . . . . . . . . . 30 am h˜ 10.2.2 T´ıch phˆ an mˆ o´ h` o.t sˆ am vˆ o ty’ do.n gia’n . . . 37 10.2.3 T´ıch phˆ an c´ ac h` am lu.o..ng gi´ac . . . . . . . 48 10.1 ac phu.o.ng ph´ C´ ap t´ınh t´ıch phˆ an 10.1.1 Nguyˆ en h` am v` a t´ıch phˆ a´t di.nh an bˆ - i.nh ngh˜ıa 10.1.1. H`am F (x) du.o..c go.i l`a nguyˆen h`am cu’a h`am D f (x) trˆen khoa’ng n`ao d´o nˆe´u F (x) liˆen tu.c trˆen khoa’ng d´o v`a kha’ vi http://tieulun.hopto.org
10.1. C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan 5 ta.i mˆo˜ i diˆe’m trong cu’a khoa’ng v`a F 0(x) = f(x). - i.nh l´ D y 10.1.1. (vˆ `e su.. tˆ `on ta.i nguyˆen h`am) Mo.i h` am liˆen tu.c trˆen `eu c´ doa.n [a, b] dˆ o nguyˆen h` am trˆen khoa’ng (a, b). - i.nh l´ D y 10.1.2. C´ ac nguyˆen h` am bˆ a´t k`y cu’a c` ung mˆo.t h` am l` a chı’ kh´ . ac nhau bo’ i mˆ o.t h˘ `ng sˆ a o´ cˆ o.ng. Kh´ac v´o.i da.o h`am, nguyˆen h`am cu’a h`am so. cˆa´p khˆong pha’i bao gi`o. c˜ ung l`a h`am so. cˆa´p. Ch˘a’ng ha.n, nguyˆen h`am cu’a c´ac h`am e−x , 2 1 cos x sin x cos(x2), sin(x2), , , ,... l`a nh˜ u.ng h`am khˆong so. cˆa´p. lnx x x - i.nh ngh˜ıa 10.1.2. Tˆa.p ho..p mo.i nguyˆen h`am cu’a h`am f (x) trˆen D khoa’ng (a, b) du.o..c go.i l`a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh cu’a h`am f (x) trˆen khoa’ng (a, b) v`a du.o..c k´ y hiˆe.u l`a Z f (x)dx. Nˆe´u F (x) l`a mˆo.t trong c´ac nguyˆen h`am cu’a h`am f (x) trˆen khoa’ng (a, b) th`ı theo di.nh l´ y 10.1.2 Z f(x)dx = F (x) + C, C ∈ R trong d´o C l`a h˘`ang sˆo´ t` uy y u.c cˆ ´ v`a d˘a’ng th´ u.c gi˜ `an hiˆe’u l`a d˘a’ng th´ u.a hai tˆa.p ho..p. C´ac t´ınh chˆa´t co. ba’n cu’a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh: Z 1) d f (x)dx = f(x)dx. Z 0 2) f (x)dx = f (x). Z Z 3) df(x) = f 0 (x)dx = f(x) + C. T`u. di.nh ngh˜ıa t´ıch phˆan bˆa´t di.nh r´ ut ra ba’ng c´ac t´ıch phˆan co. ba’n (thu.`o.ng du.o..c go.i l`a t´ıch phˆan ba’ng) sau dˆay: http://tieulun.hopto.org
6 Chu.o.ng 10. T´ıch phˆan bˆa´t di.nh Z I. 0.dx = C. Z II. 1dx = x + C. Z xα+1 III. xαdx = + C, α 6= −1 α+1 Z dx IV. = ln|x| + C, x 6= 0. x Z Z x ax V. a dx = + C (0 < a 6= 1); ex dx = ex + C. lna Z VI. sin xdx = − cos x + C. Z VII. cos xdx = sin x + C. Z dx π VIII. 2 = tgx + C, x 6= + nπ, n ∈ Z. cos x 2 Z dx IX. = −cotgx + C, x 6= nπ, n ∈ Z. sin2 x  Z arc sin x + C, dx X. √ = −1 < x < 1. 1 − x2 −arc cos x + C  Z arctgx + C, dx XI. = 1 + x2 −arccotgx + C. Z √ dx XII. √ = ln|x + x2 ± 1| + C x2 ± 1 (trong tru.`o.ng ho..p dˆa´u tr` u. th`ı x < −1 ho˘a.c x > 1). Z dx 1
1 + x
XIII. = ln
+ C, |x| = 6 1. 1 − x2 2 1−x C´ac quy t˘´ac t´ınh t´ıch phˆan bˆa´t di.nh: http://tieulun.hopto.org
10.1. C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan 7 Z Z 1) kf (x)dx = k f (x)dx, k 6= 0. Z Z Z 2) [f(x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx. Z 3) Nˆe´u f(x)dx = F (x) + C v`a u = ϕ(x) kha’ vi liˆen tu.c th`ı Z f (u)du = F (u) + C. ´ V´I DU CAC . V´ı du. 1. Ch´ u.ng minh r˘`ang h`am y = signx c´o nguyˆen h`am trˆen khoa’ng bˆa´t k` y khˆong ch´ u.a diˆe’m x = 0 v`a khˆong c´o nguyˆen h`am trˆen mo.i khoa’ng ch´ u.a diˆe’m x = 0. Gia’i. 1) Trˆen khoa’ng bˆa´t k` u.a diˆe’m x = 0 h`am y = signx y khˆong ch´ l`a h˘a`ng sˆo´. Ch˘a’ng ha.n v´o.i mo.i khoa’ng (a, b), 0 < a < b ta c´o signx = 1 v`a do d´o mo.i nguyˆen h`am cu’a n´o trˆen (a, b) c´o da.ng F (x) = x + C, C ∈ R. 2) Ta x´et khoa’ng (a, b) m`a a < 0 < b. Trˆen khoa’ng (a, 0) mo.i nguyˆen h`am cu’a signx c´o da.ng F (x) = −x + C1 c`on trˆen khoa’ng (0, b) nguyˆen h`am c´o da.ng F (x) = x + C2. V´o.i mo.i c´ach cho.n h˘`ang sˆo´ C1 v`a C2 ta thu du.o..c h`am [trˆen (a, b)] khˆong c´o da.o h`am ta.i diˆe’m x = 0. Nˆe´u ta cho.n C = C1 = C2 th`ı thu du.o..c h`am liˆen tu.c y = |x| + C nhu.ng khˆong kha’ vi ta.i diˆe’m x = 0. T` u. d´o, theo di.nh ngh˜ıa 1 h`am signx khˆong c´o nguyˆen h`am trˆen (a, b), a < 0 < b. N V´ı du. 2. T`ım nguyˆen h`am cu’a h`am f (x) = e|x| trˆen to`an tru.c sˆo´. Gia’i. V´o.i x > 0 ta c´o e|x| = ex v`a do d´o trong miˆ `en x > 0 mˆo.t trong c´ac nguyˆen h`am l`a ex . Khi x < 0 ta c´o e|x| = e−x v`a do vˆa.y trong miˆ `en x < 0 mˆo.t trong c´ac nguyˆen h`am l`a −e−x + C v´o.i h˘`ang sˆo´ C bˆa´t k`y. Theo di.nh ngh˜ıa, nguyˆen h`am cu’a h`am e|x| pha’i liˆen tu.c nˆen n´o http://tieulun.hopto.org
8 Chu.o.ng 10. T´ıch phˆan bˆa´t di.nh `eu kiˆe.n pha’i tho’a m˜an diˆ lim ex = lim (−e−x + C) x→0+0 x→0−0 u.c l`a 1 = −1 + C ⇒ C = 2. t´ Nhu. vˆa.y   ex nˆe´u x > 0,   F (x) = 1 nˆe´u x = 0,    −e−x + 2 nˆe´u x < 0 u.ng minh r˘`ang F (x) l`a nguyˆen l`a h`am liˆen tu.c trˆen to`an tru.c sˆo´. Ta ch´ h`am cu’a h`am e|x| trˆen to`an tru.c sˆo´. Thˆa.t vˆa.y, v´o.i x > 0 ta c´o F 0(x) = ex = e|x|, v´o.i x < 0 th`ı F 0(x) = e−x = e|x|. Ta c`on cˆ `an pha’i ch´ u.ng minh r˘a`ng F 0(0) = e0 = 1. Ta c´o F (x) − F (0) ex − 1 F+0 (0) = lim = lim = 1, x→0+0 x x→0+0 x F (x) − F (0) −e−x + 2 − 1 F−0 (0) = lim = lim = 1. x→0−0 x x→0−0 x Nhu. vˆa.y F+0 (0) = F−0 (0) = F 0(0) = 1 = e|x|. T`u. d´o c´o thˆe’ viˆe´t:  Z ex + C, x
x
F (x) = ln|x| + 2 − ln2 = ln