Lý thuyết và các dạng bài tập về giải tích và hình học lớp 12

Chia sẻ: Pham Linh Dan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

255
lượt xem 59
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các bạn học sinh và quý thầy cô tham khảo miễn phí Lý thuyết và các dạng bài tập về giải tích và hình học lớp 12 để hệ thống kiến thức học tập cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề thi

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết và các dạng bài tập về giải tích và hình học lớp 12

PHẦN GIẢI TÍCH: Tóm tắt lý thuyết các dạng bài tập PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I. Định nghĩa Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a,b) 1) f tăng trên (a,b) nếu với mọi x1, x2 (a,b) mà x11 . ln x 5 3 Bài 5 : Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm : x  x  2 x  1  0 2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1.Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xác định trên (a,b) và điểm x0 (a,b) .  Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y= f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x0 ta có f(x) < f(x0) (x ≠ x0).  Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x0 ta có f(x)>f(x0) (x ≠ x0). 2. Điều kiện để hàm số có cực trị: Định lý fermat: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm tại x0(a,b) và đạt cực trị tại điểm đó thì f’(x) = 0. Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x0 (có thể trừ tại x0) a) Nếu f’(x0) > 0 trên khoảng (x0 ; x0); f’(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + ) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x). b) Nếu f’(x) 0 trên khoảng (x0; + x0) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x). -1-
Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x0, đạo hàm đổi dấu thì điểm x0 là điểm cực trị. Định lí 2. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x0 và f’(x0) = 0, f''(xo)  0 thì xo là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa 1) Nếu f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu. 2) Nếu f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại. Nói cách khác: 1) f’(x0) = 0, f”(x0) > 0  x0 là điểm cực tiểu. 2) f’(x0) = 0, f”(x0) < 0 x0 là điểm cực đại. B . CÁC BÀI TẬP: 4 2 Bài 1: Cho hàm số y   x  2mx  2m  1 (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3. b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số (1). x 2  mx  2m  4 Bài 2: Cho hàm số y  x2 a) Khảo sát hàm số khi m=-1. b) Xác định m để hàm số có hai cực trị. 3 2 Bài 3: Cho hàm số y  2 x  3(m  1) x  6 mx  2m a)Khảo sát hàm số khi m = 1 gọi đồ thị là (C). Chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C). b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó. c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;). x 2  2kx  k 2  1 Bài 4: Cho hàm số y với tham số k. xk 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k=1 2)Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(3;0) có hệ số góc a. Biện luận theo a số giao điểm của (C) và (d). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A. 3)Chứng minh với mọi k đồ thị luôn có cực đại, cực tiểu và tổng tung độ của chúng bằng 0. 1 3 Bài 5: Định m để hàm số y  x  mx 2  (m2  m  1) x  1 đạt cực tiểu tại x = 1. 3 2 x xm Bài 6: Cho hàm số y  Xác định m sao cho hàm số. x 1 a) Có cực trị. b) Có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau. 3 2 Bài 7: Cho hàm số y  f ( x )   x  3x  3mx+3m-4 a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn m. b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu: x  D : f ( x)  M (ký hiệu M=maxf(x) ) x0  D : f ( x0 )  M Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu: x  D : f ( x)  m (ký hiệu m=minf(x) ) x0  D : f ( x0 )  m 2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b) + Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b) + Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên (a,b) 3) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b]. + Tìm các điểm tới hạn x1,x2, ..., xn của f(x) trên [a,b]. + Tính f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn ), f(b). + Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên -2-
M  max f ( x) ; m  min f ( x) [ a ,b ] [ a ,b ] B. CÁC BÀI TẬP: Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: 3 2 a) y  2 x  3 x  1 trên [-2;-1/2] ; [1,3). b) y  x  4  x2 . 4 3 c) y  2s inx- sin x trên đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ) 3 d) y  2cos2x+4sinx x[0,π/2] (TN-THPT 01-02/1đ) e) y  x 2  3x  2 trên đoạn [-10,10]. Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= x  1  3x 2  6x  9 trên đoạn[-1,3]. 6 x2  3 Bài 3: Chứng minh rằng  2  2 với mọi giá trị x. 7 x x2 4. LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1) Định nghĩa : +Cung AB lồi nếu mọi điểm của cung tiếp tuyến luôn ở phía trên cung. +Cung AB lõm nếu mọi điểm của cung tiếp tuyến luôn ở phía dưới cung. 2) Dấu hiệu lồi lõm và điểm uốn. Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên (a;b). + Nếu f”(x)0 với mọi x(a,b) thì đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó. + Nếu f’’(x) đổi dấu khi xđi qua x0 thì điểm M0(x0,f(x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số. B. CÁC BÀI TẬP: 3 2 Bài 1: Tìm a,b để hàm số y  x  ax  x  b nhận điểm (1;1) làm điểm uốn. 2x  1 Bài 2: Chứng minh rằng đồ thị hàm số y  2 có ba điểm uốn thẳng hàng. x  x 1 3 2 Bài 3: Cho hàm số y  x  3 x  2 viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc bé nhất. 5. TIỆM CẬN A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1) Tiệm cận đứng: Nếu lim f ( x)   thì đường thẳng (d) có phương trình x=x0 là tiệm cân đứng của đồ thị (C). x  x0 2) Tiệm cận ngang: Nếu lim f ( x )  y0 thì đường thẳng (d) có phương trình y=x0 là tiệm cân ngang của đồ thị (C). x  3) Tiệm cận xiên: Điều kiện cần và đủ để đuờng thẳng (d) là một tiệm cận của đồ thị (C) là lim [f ( x)  (ax+b)]  0 x  hoặc lim [f ( x)  (ax+b)]  0 x  hoặc lim[f ( x)  (ax+b)]  0 . x  4) Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b. f ( x) a  lim b= lim[f ( x)  ax] . x  x x  B. CÁC BÀI TẬP: -3-
Bài 1:  x2  4 x  5 1. Khảo sát hàm số . y  x2  x 2  (m  4) x  m 2  4m  5 2. Xác định m để đồ thị hàm số y  có các tiệm cận trùng với các tiệm xm2 cận của đồ thị hàm số khảo sát trên. (TN-THPT 02-03/3đ) Bài 2: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số a) y  x2  1 x3  x  1 b) y x2 1 3x 2  x  1 c) y . 1  2x x2  x 1 d) y 3  2 x  5x 2 PHẦN II: ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ Các bước khảo sát hàm số : Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ 1. Tập xác định 1. Tập xác định 2. Sự biến thiên 2. Sự biến thiên - Chiều biến thiên, cực - Chiều biến thiên, cực - Tính lồi lõm, điểm uốn, - Giới hạn, tiệm cận - Giới hạn - Bảng biến thiên - Bảng biến thiên 3. Đồ thị 3. Đồ thị - Giá trị đặt biệt - Giá trị đặt biệt - Đồ thị - Đồ thị Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.  Các dạng đồ thị hàm số:  Hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0) y y y y I I I    I  O x O x O x O x a>0 a0 a0 a0 a
ax  b  Hàm số nhất biến : y  (ad  bc  0) cx  d y y I I O x O x Dạng 1: hsố đồng biến Dạng 2: hsố nghịch biến 2 ax  bx  c  Hàm số hữu tỷ (2/1) : y (tử, mẫu không có nghiệm chung, ... ) y a1x  b1 y y y I I     I I x x O x O O x O Dạng 1: hàm số có cực trị Dạng 2: hàm số không có cực trị MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP 2 x  ( m  2 )x  m Bài 1) Cho hàm số y  , m là tham số, có đồ thị là (Cm) x 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 2) Với giá trị nào của k thì (C) và đường thẳng (D): y = k có 2 giao điểm phân biệt A và B. Trong trường hợp đó, tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB. 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy, y = 1, y = 3/2. x 2  4mx  5m Bài 2) Cho hàm số y  , có đồ thị là (Cm) x2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 2) Tìm tất cả giá trị của tham số m để trên đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua O. Bài 3) Cho các đường: y = x2 – 2x + 2, y = x2 + 4x + 5 và y = 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trên.(Học kỳ2) 2x 2  4x  3 Bài 4) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2(x  1) 2. Định m để ptrình : 2x2 – 4x – 3 + 2mx - 1 = 0 có 2 nghiêm phân biệt. x3 Bài 5 : Cho hàm số y  gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm các điểm trên (C ) có tọa độ là những số nguyên c) Chứng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt MN ;xác định m để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất d) Tìm những điểm trên trục hoành từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ được hai tiếp tuyến có tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ e) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giửa chúng bé nhất f) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I;J chứng minh rằng S là trung điểm của IJ -5-
g) Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong (C) 2 Bài 6:Cho hàm số y  ( x  1) ( 4  x ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số b) Chứng tỏ rằng đồ thị có tâm đối xứng c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(3;5) d) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau e) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt x3  6x 2  9x  4  m  0 Bài 7: 3 2 Cho hàm số y  2 x  3( m  1) x  6mx  2m a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1 chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C) b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;) Bài 8 : 3 2 5 Cho hàm số y  - x  2 x  x 3 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x3-6x2-5x+m=0. c) Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M. d) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx. e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. f) Chứng minh rằng đồ thị có tâm đối xứng. 1.ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA VÀ CĂN. Số mũ  Cơ số a Lũy thừa a    nN* aR a   a n  a.a......a ( n thừa số )  0 a0 a  a 0  1   n ( n  N ) * a0 1 a  a n  n a m a0 m  (m  Z , n  N * ) a   a n  n a m ( n a  b  b n  a) n   lim rn ( rn  Q, n  N * ) a0 a   lim a rn 2. TÍNH CHÁT CỦA LŨY THỪA. * với a > 0, b > 0, ta có      a a a a .a  a ;   a   ; (a )  a   .  ; (ab)  a .b   ;     a b b  a>1: a  a      0
b log a    log a b  log a c c log a b    . log a b 1 1 Đặc biệt: log a   log a b ; log a n b  log a b b n log a c * log b c   log a b. log b c  log a c log a b 1 1 Đặc biệt : log a b  ; log a b  log a b log b a  a  1 : log a b  log a c  b  c  0 0  a  1 : log a b  log a c  0  b  c 5. GIỚI HẠN. ex 1 ln(1  x ) lim 1 ; lim 1 x 0 x x 0 x 6. BẢNG ĐẠO HÀM. ( e x )'  e x ( e u )'  u '.e u (a x )'  a x . ln a (a u )'  u '.a u . ln a 1 u' (ln x )'  (ln u )'  x u 1 u' (log a x )'  x (log a u )'  a ln a u. ln a ( x  )'   .x  1 (  0, x  0) (u  )'   .u  1 u ' 1 u' ( n x )'  ( n u )'  n n x n1 n. n u n1 7 .CÁC DẠNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT. a) 0  a  1 a f (x)  a g (x)  f ( x)  g ( x)  f ( x)  0 hay ( g ( x)  0) log a f ( x)  log a g ( x)    f ( x)  g ( x) b) a  1 a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)  0 c) 0  a  1 a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) log a f ( x)  log a g ( x)  0  f ( x)  g ( x) I. LŨY THỪA * Đơn giản biểu thức. 4 4 1 1) 3 6 x .y 12   x. y  5 2 5 2) 3 3 a b  ab 3 a 3 b 3) a 1 4 1 . a 4 a a 1 .a  14 3 2 a a 2  1 m  4 m 1 1 4)    .   2   3 m 2 m  2 2  2 m * Tính giá trị của biểu thức. -7-
1 3   1 2 1  0 , 75  1  3  1  5  1 1) 81     2) 0,001 3  (2) 2 .64 3  8 3  (9 0 ) 2  125   32  1 2 0 , 75 1 1  1 2 3) 27   3  25 0,5 4) ( 0,5) 4  6250, 25 2   19(3) 3  16   4 * Biến đổi đưa về dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ. 17 5 3 14 1) 2 .ax 2) 3 a 5 .4 a 3) 8 b 3 .4 b 4) 27.3 a 8 3 * Tính . 3 2 27   5 1)      3 3    2) 4 1 2 3 .161 3 3) 3 2 4) 2 5 8 4 3 * Đơn giản các biểu thức. a2 2  b2 3 (a 2 3  1)(a 2 3 a 3  a3 3 ) 1) 1 2) (a 2  b 3 )2 a4 3 a 3 1       2 3)  4 .ab  (a  b )      II. LÔGARIT. * Biết log52 = a và log53 = b . Tính các lôgarit sau theo a và b. 1) log527 2) log515 3) log512 4) log530 * Lôgarit theo cơ số 3 của mỗi biểu thức sau , rồi viết dưới dạng tổng hoặc hiệu các lôgarit. 2 0 , 2  a 10  b2 1)  a b 5 3 3 2)  6 5   3) 9a 45 b 4) 27a 7  b  * Tính giá trị các biểu thức. 1 1) log915 + log918 – log910 2) 2 log 1 6  log 1 400  3 log 1 3 45 3 2 3 3 1 3) log 36 2  log 1 3 4) log 1 (log 3 4. log 2 3) 2 6 4 * Tính giá trị các biểu thức.  1  1 log9 4  1 log 2 3  3 log 5 5 1)  81 4 2   25 log125 8 .49 log7 2  2) 16 1 log 4 5  42 2   1  log7 9  log 7 6  log 4  3) 72 49 2 5 5      * Tìm x biết. 1 1) log6x = 3log62 + 0,5 log625 – 2 log63. 2) log4x = log 4 216  2 log 4 10  4 log 4 3 3 * Tính. 1) log( 2  3 ) 20  log(2  3 ) 20 2) 3 log( 2  1)  log(5 2  7) 1 1 3) ln e  ln 4) ln e  4 ln( e 2 . e ) e * Tìm x biết 5 3 1) logx18 = 4 2) log x 2 3) log x ( 2.3 2 )  6 5 * Biết log126 = a , log127 = b. Tính log27 theo a và b. * Biết log214 = a. Tính log4932 theo a III. HÀM SỐ MŨ – LÔGARIT – LŨY THỪA. -8-
* Tìm tập xác định của các hàm số sau. ex 2 x 1  2x  1  1) y = 2) y = e 1 3) y = ln   ex 1  1 x   2 x 2  3x  1  4) y = log(-x2 – 2x ) 5) y = ln(x2 -5x + 6) 6) y = log 2      1  3x  * Tìm các giới hạn. 1 e 3x  1 e 2 x  e 3x x x   1) lim 2) lim 3) lim ( 2  3 ) 4) lim  x.e x  x  x 0 x x 0 5x x5 x      ln( 4 x  1) ln(3 x  1)  ln( 2 x  1) 5) lim log 3 x 6) lim 7) lim x 9 x 0 x x 0 x ln(1  3 x) ex 1 ln(1  2 x) 8) lim 9) lim 10) lim x 0 sin 2 x x 0 x 1 1 x 0 tan x * Tính đạo hàm của các hàm số sau. e x  ex 1) y = (x2 -2x + 2).ex 2) y = (sinx – cosx).e2x 3) y = e x  ex ln x 4) y = 2x - ex 5) y = ln(x2 + 1) 6) y = x 2 7) y = (1 + lnx)lnx 8) y = x . ln x2 1 9) y = 3x .log3x  x 3 10) y = (2x + 3)e 11) y = x . 12) y = x 3 2 3 13) y = ln 2 x 14) y = cos 2 x 15) y = 5cosx + sinx * Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho. 1) y = esinx ; y’cosx – ysinx – y’’ = 0 2) y = ln(cosx) ; y’tanx – y’’ – 1 = 0 x 3) y = ln(sinx) ; y’ + y’’sinx + tan =0 2 4) y = ex.cosx ; 2y’ – 2y – y’’ = 0 5) y = ln2x ; x2.y’’ + x. y’ = 2 IV. PHƯƠNG TRÌNH MŨ. * Giải các phương trình: 3 x 1 x 2 2 1 x 2 3 x  2 1 1). (0,2) x-1 =1 2).   3 3). 4  16 4).    2 4 3 x  3 2 x 1 5). 3  2 2   3  2 2  2x 6).  52 x 1   52  x 1 7). 3 x 2 5  9 x 1 x7 1 2 x x x2 4 x x+1 1 1 8). 5  25 9) 3 .2 = 72 9)   .  2 2  2 x 1 20 60 10) 4 .3 x 3.5 x 1  11) 5x+1 + 6. 5x – 3. 5x-1 = 52 27 12) 2. 3x+1 – 6. 3x-1 – 3x = 9 13) 4x + 4x-2 – 4x+1 = 3x – 3x-2 – 3x+1 * Giải các phương trình. 1) 4x + 2x+1 – 8 = 0 2) 4x+1 – 6. 2x+1 + 8 = 0 3) 34x+8 – 4. 32x+5 + 27 4) 3 1+x + 31-x = 10 5) 5x-1 + 53 – x = 26 6) 9x + 6x = 2. 4x 7) 4x – 2. 52x = 10x 8) 27x + 12x = 2. 8x x x 9) 2  3   2  3  x x 2 10)  7    48    7  48   14       -9-
x x 11)  6    35    6  35   12       12) 7  3 5   7  3 5  x x  14.2 x 13) 32x+4 + 45. 6x – 9. 22x+2 = 0 14) 8x+1 + 8.(0,5)3x + 3. 2x+3 = 125 – 24.(0,5)x * Giải các phương trình. x x 1 x 2 4 x 2 2 x x 1) 3  2 x4 2) 2 x 1  3 x 5 x  4 3) 8 x  2  36.3 4) 5 .8 x  500 3 log 5 x 6  log x 3 log9 x log 5 5) 5  25 x 6) x .3  3 5 7) 9. x x 2 4 3 8) x .5  5 x * Giải các phương trình. 1) 2x + 3x = 5x 2) 3x + 4x = 5x 3) 3x = 5 – 2x 4) 2x = 3 – x x x x 5) log2x = 3 – x 6) 2 = 2 – log2 x 7) 9 + 2(x – 2)3 + 2x – 5 = 0 V. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT. * Giải các phương trình. 1) log2 x(x + 1) = 1 2) log2 x + log2(x + 1) = 1 3) log(x2 – 6x + 7) = log(x – 3) 4) log2(3 – x) + log2(1 – x) = 3 5) log4(x + 3) – log2(2x – 7) + 2 = 0 log 5 x. log 25 x 6)  log 125 2 x 7) 7logx + xlog7 = 98 8) log2(2x+1 – 5) = x log 5 x * Giải các phương trình. 1) log22(x - 1)2 + log2(x – 1)3 = 7 2) log4x8 – log2x2 + log9243 = 0 3) 3 log 3 x  log 3 3x  3 4) 4log9x + logx3 = 3 7 1  log 3 x 1  log 27 x 5) logx2 – log4x + 0 6)  6 1  log 9 x 1  log 81 x 2 7) log9(log3x) + log3(log9 x) = 3 + log34 8) log2x.log4x.log8x.log16 x = 3 2 2 9) log5x4 – log2x3 – 2 = -6log2x.log5x 10) log x ( 2 x  5)  log 2 x 2 5 x  3 VI. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT. * Giải các hệ phương trình sau.  x  y  11 log( x 2  y 2 )  1  log 8 1)  2)  log 2 x  log 2 y  1  log 2 15 log( x  y)  log( x  y )  log 3 3 x.2 y  972   x  y  25 3)  4)  log 3 ( x  y )  2  log 2 x  log 2 y  2  x y 4 3 x  3 y  4 3  3  5)  6)  9 x  y  1 x  y  3   x 2  5  7 x y x 2  y 2  3 7)  8)  2 x 1.5 x  y  5  log 3 ( x  y )  log 5 ( x  y)  1 log 2 x  log 2 y  log 2 ( xy)  3 log x  4 log y  9)  10)   2 log ( x  y )  log x. log y  0  (4 x) log 4  (3 y ) log 3 4 log3 xy  2  ( xy) log3 2   y  1  log 2 x 11)  12)  y  x 2  y 2  3 x  3 y  12   x  64 log 27 xy  3 log 27 x. log 27 y 9 x 2  4 y 2  5  13)  14)  x 3 log 3 x log 5 (3 x  2 y )  log 3 (3 x  2 y)  1 log 3 y  4 log y  3 - 10 -
VII. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT. * Giải các bất phương trình. x 2 5 x  4 2 x 5 1 1 2 x3 1) 3 1 x 2) 27 < 3)   4 4) 6  2 x  7.3 3 x 1 3 2 x x 1 log3 x  4 5) 9  3 4 6) 3x – 3-x+2 + 8 > 0 7) x  243 1  3x 9) log 1 (5 x  1)  5 10) log 4 11) log0,8(x2 + x + 1) < log0,8(2x + 5) 2 x 1 1  2x 12) log 1 (log 2 )0 13) log22 x + log24x – 4 > 0 14) log x 3  log x  0 3 1 x 3 3x  1 15) log2(x + 4)(x + 2)  6 16) log x 2 0 17) log 4 x  3  1 x 1 18) log2x + log3x < 1 + log2 x.log3x 19) 3logx4 + 2log4x 4 + 3log16x4  0 x x  1    1   x 1 x 1 20) log 1    1  log 1    3 21) log 4 log 3  log 1 log 1  2 3      4 2     x 1 4 3 x 1 * Tìm tập xác định của các hàm số. 2x 1 1) y = log 0,8 2 2) y = log 1 ( x  2)  1 x5 2 §1. NGUYÊN HÀM: 1). Định nghĩa : Hàm số F  x  gọi là nguyên hàm của hàm số f  x  trên  a, b  nếu F  x   f  x  , x   a, b  . Ghi nhớ : Nếu F  x  là nguyên hàm của f  x  thì mọi hàm số có dạng F  x   C ( C là hằng số) cũng là nguyên hàm của f  x  và chỉ những hàm số có dạng F  x   C mới là nguyên hàm của f  x  . Ta gọi F  x   C là họ nguyên hàm hay tích phân bất định của hàm số f  x  và ký hiệu là  f  x  dx . Như vậy:  f  x  dx  F  x   C 2). Tính chất: a.TC1:  kf  x  dx  k  f  x  dx;  k  0  b.TC2:   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx   Nếu f  x  dx  F  x   C thì f  u  du  F  u   C . c.TC3:   3). Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ  a, b   a  0 : dx 1  dx  x  C  ax  b  a ln ax  b  C x x  x 1  e dx  e C  x dx    1  C ,   1 - 11 -
1  sin xdx   cos x  C e ax dx  eax  C a 1  cos xdx  sin x  C  sin axdx   a cos ax  C dx  1  cos 2  tgx  C , x   k  cos axdx  a sin ax  C x 2 dx dx 1   sin 2   cot gx  C , x  k  cos 2  tgx  C , x   k x ax a 2 dx dx 1   ln x  C ,  x  0   sin 2   cot gax  C , x  k x ax a 4). Bài tập: Ghi nhớ:  Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.  Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.  Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm. 1 1 Bài 1: Cho hai hàm số Fx  x  sin 2 x ; f  x   cos2 x . 2 4 a. Chứng minh rằng F  x  là nguyên hàm của f  x  .   b. Tìm nguyên hàm G  x  biết rằng G    0 . 4 cos x  cos 2 x  cos 3x Bài 2: Cho hàm số f  x   . cos 4 x  sin 4 x Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  biết rằng F     . Bài 3: Cho hàm sốf  x   2 cos 2 x cos 4 x . Tìm hàm số G  x  biết rằng G  x   f  x  và 29   1 G  0   ; G    . 144  12  32 Bài 4: Cho hàm số f  x   8 sin x cos x cos 2 x cos 4 x . a. Giải phương trình f   x   f  x   0 . b. Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x biết rằng đồ thị của hàm số F x đi qua điểm    M   ;0  .  8  - 12 -
sin x Bài 5: Biết rằng hàm số F x  là nguyên hàm của f  x  . Hãy tìm các giá trị của x sao cho 1  cos x f  x   f  x   0 . Bài 6: Cho hàm số y  xe x . a. Tính y và y  2  . b. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x    x  2007  e x . Bài 7: Cho hàm số f  x   e x sin x . Chứng minh rằng hàm số f   x   f   x  là nguyên hàm của hàm số 2 f  x . x 3  3x 2  3x  1 1 Bài 8: Tìm nguyên hàm Fx của hàm số f x  2 ,biết rằng F 1  . (Đề thi tốt x  2x  1 3 nghiệp trung học phổ thông năm 2003) §2. TÍCH PHÂN : b b 1). Định nghĩa:  f  x  dx  F  x  a  F  b   F  a  a 2). Tính chất: b a a. TC1:  f  x  dx    f  x  dx a b b b b. TC2:  kf  x  dx  k  f  x  dx (k  0) a a b b b c. TC3:   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx a   a a b c b d. TC4:  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx a a c b e. TC5: Nếu f  x   0, x   a; b  thì  f  x  dx  0 a b b f. TC6: Nếu f  x   g  x  , x   a; b thì  f  x  dx   g  x  dx a a b g. TC7: Nếu m  f  x   M, x  a; b thì m b  a   f  x dx  M b  a a 3). Bài tập:  Ghi nhớ:  Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.  Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu. - 13 -
 Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ. Bài 1: Tính các tích phân sau đây:  4  a.  cos 2 x cos xdx 0 b.  cos x  sin x dx  4 1 x2  2 x  3 2 e2 x  ln x c. 1 x  2 dx  d.  x dx 1 x 2 Bài 2: Cho hàm số f x  2 và hàm số F  x   ln x  1 . x 1 a. Chứng minh rằng F  x  là nguyên hàm của f  x  . 1 xdx b. Áp dụng câu a. tính x 0 2 1 . Bài 3: Cho hàm số f  x   x ln 2 x  2 x ln x . a. Tính f  x  . e 2 b. Áp dụng câu a. tính  ln xdx . 1  4 cos x  sin x Bài 4: Biết hàm số F x  là một nguyên hàm của f  x  . Hãy tính :  f   x  dx . cos x  sin x 0 §3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:  b 1). Công thức tổng quát:  f   x .   x  dx   f  t  dt    a Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích của f   x     (hàm số theo biến là   x  ) với đạo hàm của hàm   x  . Áp dụng công thức trên vào các trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể như sau:  a). TH1:  f  sin x  .cos xdx .   Đặt t  sin x  hoặc t  p sin x  q  p, q   n  hoặc t n p sin x  q nếu như biểu thức p sin x  q nằm trong .  b). TH2:  f  cos x  .sin xdx .   Đặt t  cos x - 14 -
 hoặc t  p cos x  q  p, q  n  hoặc t  n p cos x  q nếu như biểu thức p cos x  q nằm trong .  1 c). TH3:  f  ln x  . dx .  x  Đặt t  ln x  hoặc t  p ln x  q  p, q   n  hoặc t  n p ln x  q nếu như biểu thức p ln x  q nằm trong dấu .  1 d). TH4:  f  tgx  . cos  2 x dx .  Đặt t  tgx  hoặc t  ptgx  q  p, q  n  hoặc t  n ptgx  q nếu như biểu thức ptgx  q nằm trong dấu .  1 e). TH5:  f  cotgx  . sin  2 x dx .  Đặt t  cotgx  hoặc t  pcotgx  q  p, q  n  hoặc t  n pcotgx  q nếu như biểu thức pcotgx  q nằm trong . 2). Bài tập: Bài 1: Tính các tích phân sau đây:   6 2 cos xdx a.   2 sin x  1 3 b.  6 cos x  1 sin xdx 0  3 e 19 dx xdx c.  x  3 ln x  2  1 d. 0 3 x2  8 Bài 2: Tính các tích phân sau đây:  1  x  2  dx 4 e 2tgx dx a. x 0 2  4x  5 b.  cos2 x 0  2 4 dx dx c.  d. e  6 3 cot gx  1 sin x  2 1 2 x 1 x Bài 3: Tính các tích phân sau đây: - 15 -
  3 2 tgxdx 2 a.  cos 3 b.  sin x cos3 xdx 0 x  6   6 4 sin 2 xdx cos 2 xdx c.  cos 0 4 x  sin 4 x d.  sin x  cos x  0 2 Bài 4: Tính các tích phân sau đây:  3 3 sin3 xdx a.  cos4 x b.  x 2  1x 3dx 0 0   6 4 sin 2 xdx dx c.  2 sin x  1 0 d.  tgx  tg x  3 6 §4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN: b b b 1). Công thức tổng quát:  uvdx   uv  a   vudx a a b b b hay  udv   uv  a a   vdu a (1) 2). Các bước thực hiện:  u  u( x )  du  u( x )dx ( Ñaïo haøm)  Bước 1: Ñaët    dv  v( x )dx  v  v( x ) (nguyeân haøm)  Bước 2: Thế vào công thức (1). b b  Bước 3: Tính  uv  a và suy nghĩ tìm cách tính tiếp  vdu a (tích phân này có thể tính bằng định nghĩa hoặc đổi biến số hoặc tích phân từng phần tùy từng bài toán cụ thể mà ta phải xem xét). 3). Các dạng tích phân tính bằng phương pháp từng phần: Tích phân từng phần thường được áp dụng để tính các tích phân có dạng như sau: b a). Dạng 1:  p  x  .q  x dx a Trong đó p  x  là hàm số đa thức, còn q  x  là hàm sin  ( x ) hoặc cos ( x ) .  u  p x  Trong trường hợp này ta đặt:  dv  q  x  dx - 16 -
b  Ghi nhớ : Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì khi thế vào công thức ta được  vdu phức a b tạp hơn  udv ban đầu. a b b). Dạng 2:  p  x  .q  x dx a Trong đó p  x  là hàm số đa thức, còn q  x  là hàm logarit.  u  q x  Trong trường hợp này ta đặt:   dv  p  x  dx Ghi nhớ: Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì ta gặp khó khăn khi suy ra v từ dv . 4). Bài tập: Bài 1: Tính các tích phân sau đây:    4 x  2 x  cos xdx 2 2 a.   2 x  1 sin xdx 0 b. 0 c.  x cos 0 xdx  4 1 1 xdx 2x 2 3x  2 d.  cos2 x 0 e.   x  1 e dx 0 f.  0 ex dx 1 1 x 2 x  e  x g.  ( x  3)2 0 dx h. 0 dx Bài 2: Tính các tích phân sau đây: 3 1   3x  1 ln xdx 2 a. 1 b.  x ln  x  1 dx 0 e 1  x ln  x  1 dx 2 2 c.  ln xdx d. 1 0 §5. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN: Tính các tích phân sau đây:   2 1  cos x  dx 2  ln x  x e  dx 2 x 2  cot g x  sin 2 x  dx 2 a.  sin 2 x  b.  1 x c.   sin 2 x 6 6  2  1  2  sin x cos xdx  1 1    3 cos x  1  x  sin xdx d.  0  e.  cos2 x  1 0 f.  x 0 2  x 2 e xdx  - 17 -
 1  2  g.   cos 2 x  sin 2 x  3  cos 2 xdx h.  x ln 3 x 2  1dx 0  0 §6. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG: 1). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: C1  : y  f  x ; C2  : y  g  x ; x  a; x  b (trong đó hai đường thẳng x  a; x  b có thể thiếu một hoặc cả hai). b a). Công thức: S   f  x   g  x  dx (2) a b). Các bước thực hiện:  Bước1: Nếu hai đườngx  a, x  b đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình f  x   g  x  (PTHĐGĐ của  C1  và  C2  ) để tìm.  Bước 2: Áp dụng công thức (2).  Bước 3: Rút gọn biểu thức f  x   g  x  , sau đó xét dấu của hiệu này.  Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ. c). Chú ý: Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta dùng hình vẽ để khử dấu GTTĐ sẽ dễ dàng hơn. Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân nào đó mà trên hình vẽ, C1  nằm trên C2  thì hiệu f  x   g  x   0 , và  C1  nằm dưới  C2  thì hiệu f  x   g  x   0 . 2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường không rơi vào trường hợp 1:  Bước 1: Vẽ hình (không cần phải khảo sát).  Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ tính được diện tích bằng công thức (2).  Bước 3: Dùng công thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích tất cả các hình nhỏ. 3). Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục Ox: C  : y  f  x ; Ox; x  a; x  b (trong đó hai đường thẳng x  a; x  b có thể thiếu một hoặc cả hai). b 2 a). Công thức: V     f  x   dx   (3) a b). Các bước thực hiện:  Bước 1: Nếu hai đường x  a, x  b đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình f x  0 (PTHĐGĐ của C  và trục Ox) để tìm.  Bước 2: Áp dụng công thức (3). 4). Bài tập: x2  6x  5 Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong C  : y  và trục Ox. 2x  1 2 C  : y  x  x  3 và trục Ox. Bài 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong  C  : y  x  x và trục Ox. 4 2 - 18 -
Bài 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong C  : y  x 3  3x  1 và đường thẳng d : y  3. x2  2x  2 Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: C  : y  ; đường tiệm cận x 1 xiên của C  ; Ox; x  e  1. Bài 6: Cho đường cong C  : y  x 3  3x 2  4 x . Viết phương trình tiếp tuyến d của C  tại gốc tọa độ O. Từ đó tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi  C  và d . 2 Bài 7: Cho parabol  P  : y  x  6 x  5 . a. Viết phương trình các tiếp tuyến của  P  tại các giao điểm của  P  với trục Ox. b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi  P  và các tiếp tuyến nói ở câu a. Bài 8: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:  C  : y  x ; d : y  2  x và trục Ox. 2 Bài 9: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol  P  : y  4 x và đường thẳng d : y  2x  4 . Bài 10: Cho parabol  P : y2  4x . a. Viết phương trình tiếp tuyến của P  tại điểm tung độ bằng 4. b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:  P  , trục Ox và tiếp tuyến nói ở câu a. 2x  1 Bài 11: Cho đường cong C  : y  . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường: x 1 C ; Ox; Oy . Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox. Bài 12: Cho đường cong  C  : y  x  x . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi  C  và trục Ox. Tính thể 4 2 tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox. SỐ PHỨC Bài 1: Tính căn bậc hai của số phức sau: 1) z  16 2) z  4i 3) z  4  8i 4) z  5  12i Bài 2: Giải các phương trình sau: 2 2 2 2 1) (iz  3)( z  2 z  5)  0 2) z  9  0 3) z  7  24i  0 4) z  2 z  1  2i  0 6) 4 z 40 Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp, biểu diễn hình học và tính môdun của số phức sau: 3 2  i  (1  i)(4  3i) (3  4i)(1  2i)  1  2i  2006 1) 2)  4  3i 3)   4) (1  i ) 3  2i 1  2i  1 i        5z 2 z Bài 4: 1) Cho z  3  cos  i sin  ; z '  4  cos  i sin  . Tính z.z ', , z .z ', 3 , căn bậc hai của z’  3 3  4 4 z' z' 15 8 2) Tính: a)  3 i   b) 2 3  2i  10 c) (2  2i ) Bài 5: Biểu diễn sin 3 , cos3 , sin 4 , cos 4 theo sin  , cos  HÌNH HỌC: - 19 -
I/LÝ THUYẾT: Các dạng toán thường gặp: - Chứng minh đường thẳng d luôn thuộc một mặt nón hay mặt trụ tròn xoay xác định - Tính diện tích xung quanh của hình nón, hình trụ và thể tích của khối nón, khối trụ - Giải các bài toán tìm thiết diện của một mặt phẳng với khối trụ, khối nón - Xác định tâm và bán kính của mặt cầu thỏa mãn một số điều kiện cho trước - Xét vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng - Xét vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng - Xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và hình lăng trụ II/BÀI TẬP: 1. Tính thể tích khối tứ diện đều có cạnh là a . 2. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a . 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc mp(ABCD) , cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc 300. Tính thể tích khối chóp . 4. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA vuông góc với đáy . Biết SA = BC = a . Mặt bên SBC tạo với đáy góc 300. Tính thể tích khối chóp S.ABC . 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc mp(ABCD) , cạnh bên SB = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và chứng minh trung điểm I của SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . 6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Gọi I là trung điểm cạnh BC . Chứng minh SA vuông góc với BC và tính thể tích khối chóp S.ABI theo a . 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và AB = 2a , BC = a . Các cạnh bên hình chóp đều bằng nhau và bằng a 2 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD . 8. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a , góc ASB là 1200, góc BSC là 600, góc CSA là 90 0. Chứng minh tam giác ABC vuông và tính thể tích khối chóp S.ABC . 9. Cho tứ diện OABC có OA = a , OB = b , OC = c và vuông góc nhau từng đôi .Tính thể tích khối tứ diện OABC và diện tích tam giác ABC . 10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a . Tam giác SAC là tam giác đều . Tính thể tích khối chóp S.ABCD . 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , AB = a , mặt bên SBC vuông góc với (ABC) , hai mặt bên còn lại cùng tạo với (ABC) góc 450. Chứng minh chân đường cao H của hình chóp là trung điểm BC và tính thể tích khối chóp S.ABC . 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc (ABCD) và SA = a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD và khoảng cách từ A đến (SCD) . Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA bằng a , đáy là tam giác vuông cân có AB = BC = a . Gọi B’ là trung điểm SB , C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC . Chứng minh SC vuông góc với mp(AB’C’) và tính thể tích khối chóp S.AB’C’ . 13.Cho hình chóp tam giác SABC có ABC là tam giác vuông tại B cóAB = a , BC = b và SA = c, SA vuông góc với (ABC).Gọi A’và B’ là trung điểm của SA và SB. Mặt phẳng ( CA’B’) chia khối chóp thành 2 khối đa diện. a) Tính thể tích hai khối đa diện đó . b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC. 2a 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, có AB=a, BC= , SA  (ABCD) , cạnh bên SC hợp 3 với đáy một góc α  300 .Tính thể tích hình chóp 15. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD biết AB = a và AC = AD = BC = BD = CD = a 3 16. Cho hình choùp tam giaùc ñeàu S.ABC coù caïnh ñaùy laø 3a, caïnh beân laø 2a, SH laø ñöôøng cao a. C/m: SA  BC ; SB  AC. b. Tính SH ; c. Tìm taâm vaø tính baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp. 17.Cho hình choùp S.ABCD, ñaùy laø hình vuoâng vaø SA  (ABCD). Bieát SA = a 2 ; AB = a. a. CMR: caùc maët beân cuûa hình choùp laø tam giaùc vuoâng. b. Tính goùc giöõa 2 ñöôøng thaúng AB, SC; c. Tính dieän tích vaø theå tích khoái noùn sinh bôûi tam giaùc SAC khi quay quanh truïc SA. - 20 -