Mẫu đề thi giải tích 1 - ĐH Bách khoa - Đề 3

Chia sẻ: Ho Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

1.231
lượt xem 164
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cùng tham khảo mẫu đề thi giải tích 1 của trường ĐH Bách khoa, tài liệu gồm các bài tập kèm theo lời giải trình bày dễ hiểu, giúp ôn tập toán giải tích hiệu quả. Nào! cùng ôn tập và đạt điểm số cao nhé!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Mẫu đề thi giải tích 1 - ĐH Bách khoa - Đề 3

GI I M U Đ THI CU I KÌ GI I TÍCH 1 B n quy n thu c v Ngân Hàng Đ Thi ĐH Bách Khoa HCM 1 Câu 1 Kh o sát và v đ th hàm s : x2 y = (x2 + 1)e− 2 1.1 Hư ng d n gi i - T p xác đ nh c a hàm s : D = R - Đ o hàm c a hàm s : x2 x2 x2 y = 2xe− 2 + (x2 + 1)(−x)e− 2 = e− 2 (−x3 + x) y = 0 ⇔ x3 − x = 0 ⇔ x(x2 − 1) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±1 x2 - Ta th y, d u c a y ch ph thu c vào d u c a (−x3 + x) do hàm e− 2 luôn l n hơn 0 v i m i x ∈ R. - B ng bi n thiên: x −∞ −1 0 1 +∞ y + 0 − 0 + 0 − 2 √ 2 √ e e y 0 1 0 - K t lu n: + Hàm s đ ng bi n trên: (−∞, −1] ∪ [0, 1] + Hàm s ngh ch bi n trên: [−1, 0] ∪ [1, +∞) 2 + Hàm s đ t c c đ i t i x = −1 và x = 1 và yCĐ = √ e + Hàm s đ t c c ti u t i x = 0 và yCT = 1 - Tìm đi m u n: x2 x2 x2 y = (−x)e− 2 (−x3 + x) + e− 2 (−3x2 + 1) = e− 2 (x4 − 4x2 + 1) 1
√ √ y = 0 ⇔ x4 − 4x2 + 1 = 0 ⇒ x = ± 2 − 3∨x=± 2+ 3 - B ng xét đi m u n và d ng đ th : √ √ √ √ x −∞ − 2 + 3− 2 − 3 2− 3 2+ 3 +∞ y + 0 − 0 + 0 − 0 + - Các đi m mà làm cho y đ i d u là các đi m u n. - Các kho ng mà làm cho y mang d u (+) t c là lõm, d u (−) là l i. - Các đi m đ c bi t dùng đ v đ th : √ √ − 2+√3 x=− 2+ 3 ⇒ y = (3 + 3)e 2 ≈ 0, 7322 1 x = −1 ⇒ y = 2e− 2 ≈ 1, 2131 √ √ √ 2− 3 x = − 2 − 3 ⇒ y = (3 − 3)e− 2 ≈ 1, 1090 x=0⇒y=1 √ √ √ 2− 3 x= 2 − 3 ⇒ y = (3 − 3)e− 2 ≈ 1, 1090 √ √ √ 2+ 3 x= 2+ 3 ⇒ y = (3 + 3)e− 2 ≈ 0, 7322 - TI M C N Đ NG: Hàm s không có ti m c n đ ng do hàm s xác đ nh v i m i x thu c R - TI M C N XIÊN: 2 −x 2 1 x2 + 1 a = lim (x + 1)e 2 × = lim =0 x→∞ x x→∞ xe x22 x2 x2 + 1 b = lim (x2 + 1)e− 2 = lim x2 =0 x→∞ x→∞ e2 Như v y y = 0 là Ti m c n ngang c a đ th hàm s . - Đ th hàm s : 2
2 Câu 2 Tính th tích v t th t o ra khi quay mi n D gi i h n b i y = −1, y = x2 + 2x, x = 0, x = 3 quanh tr c Oy. 2.1 Hư ng d n gi i 2.1.1 Cách 1: - Thay x = 3 vào phương trình y = x2 + 2x ⇒ y(3) = 15 - Ta s tính đư c th tích v t th c n tính b ng cách l y th tích hình tr (b ng cách xoay hình ch nh t gi i h n b i x = 0, x = 3, y = −1, y = 15 quay tr c Oy) tr cho kh i lõm gi i h n b i y = 15, y = x2 + 2x. - Ta bi n đ i bi u th c: y = x2 + 2x ⇔ y = (x + 1)2 − 1 ⇔ y + 1 = (x + 1)2 ⇒x=− y+1−1∨x= y+1−1 - Như v y, th tích v t th c n tính là: 15 15 VOy = π (3 − 0)2 dy − π ( y + 1 − 1)2 dy −1 0 15 = 9πy|15 − π −1 (y + 2 − 2 y + 1)dy 0 15 y2 = 144π − π + 2y |15 + 2π 0 y + 1dy 2 −1 285π 4π 3 285π 171π = 144π − + (y + 1) 2 |15 = 144π − 0 + 84π = 2 3 2 2 3
2.1.2 Cách 2: - Ho c có th dùng đ nh lý sau đây: - Như v y ta d dàng có: 3 3 VOy = 2π x[(x2 + 2x) − (−1)] = 2π (x3 + 2x2 + x)dx 0 0 x4 2x3 x2 171π = 2π + + |3 = 0 4 3 2 2 3 Câu 3 Cho tích phân +∞ dx I= √ 2 (xm − 1) 2x2 − 5x + 2 Tìm m đ tích phân I h i t và tính tích phân khi m = 1. 4
3.1 Hư ng d n gi i - Do x = 2 làm cho bi u th c trong d u tích phân không xác đ nh. Nên đây là tích phân b t đ nh lo i 1 và 2. - Tách ra thành 2 tích phân sau: 3 +∞ dx dx I= √ + √ = I1 + I2 (x m − 1) 2x2 − 5x + 2 (xm − 1) 2x2 − 5x + 2 2 3 - Xét tích phân I1 sau: 3 3 dx dx √ = 2 (xm − 1) 2x2 − 5x + 2 2 (xm − 1) 2 x − 1 (x − 2) 2 + Khi x → 2+ : 1 1 ∼√ 1 1 3(2m − 1)(x − 2) 2 (xm − 1) 2 x − 2 (x − 2) + Nh n th y v i m i m = 0 (lưu ý vì hàm s ch xác đ nh khi m = 0). Thì √ m 3(2 − 1) luôn là h ng. + Do đó th y α = 1 < 1 ⇒ I1 h i t (đây là tích phân suy r ng lo i 2). 2 - Xét tích phân I2 : +∞ dx I2 = √ 3 (xm − 1) 2x2 − 5x + 2 + Khi x → +∞ ta xét các trư ng h p c a m như sau: * Khi m < 0, ta xét hàm dương sau: 1 1 √ ∼√ (1 − xm ) 2x 2 − 5x + 2 2x ⇒ α = 1 ⇒ −I2 phân kỳ ⇒ I phân kỳ * Khi m = 0: không xét vì làm hàm s không xác đ nh ⇒ Không có tích phân. * Khi m > 0, ta có: 1 1 √ ∼√ (xm − 1) 2x 2 − 5x + 2 2xm+1 5
+ Như v y khi m > 0 thì ta th y m + 1 > 1 ⇒ I2 h i t . - K t lu n: + Do I1 h i t nên đ I h i t thì ch ph thu c vào I2 . Suy ra, I h i t khi m > 0. - Tính tích phân khi m = 1: +∞ dx √ 2 (x − 1) 2x2 − 5x + 2 + Đ t: 1 1 x−1= ⇒ dx = − 2 dt t t + Tích phân đã tương đương v i: +∞ 0 1 dx t2 √ =− dt 2 (x − 1) 2x2 − 5x + 2 1 1 2 1 +1 2 −5 1 +1 +2 t t t 1 1 1 dt dt dt = = √ = 0 t 2 − 1 −1 0 2 − t − t2 0 9 − t+ 1 2 t2 t 4 2 + Đ t: 1 3 3 t+ = sin u ⇒ dt = cos udu 2 2 2 + Tích phân tr thành: π 3 2 2 cos udu π 1 3 = − arcsin arcsin 1 3 2 cos u 2 3 4 Câu 4 Gi i phương trình: xy arcsin x + x a) y − 2 = 1−x 1 − x2 b) y − 2y − 8y = 3e4x 6
4.1 Hư ng d n gi i 4.1.1 Câu a xy arcsin x + x x arcsin x + x y − 2 = 2 ⇔y − 2 y= 1−x 1−x 1−x 1 − x2 - Đ t: x arcsin x + x P (x) = − và Q(x) = 1 − x2 1 − x2 - Nghi m t ng quát c a phương trình là: y = e− P (x)dx e P (x)dx Q(x)dx + C - Tính tích phân P (x)dx: x x 1 d(1 − x2 ) 1 P (x) = − ⇒ − dx = = ln|1 − x2 | 1 − x2 1−x 2 2 1−x 2 2 - Thay vào nghi m t ng quát ta đư c: 1 2| 1 2 y = e− 2 ln|1−x e 2 ln|1−x | Q(x)dx + C 1 √ arcsin x + x 1 arcsin x + x =√ 1 − x2 dx + C =√ √ dx + C 1 − x2 1 − x2 1 − x2 1 − x2 1 arcsin x x =√ √ +√ dx + C 1 − x2 1−x 2 1 − x2 - Ta có: arcsin x 1 √ dx = arcsin xd(arcsin x) = arcsin2 x 1 − x2 2 x 1 d(1 − x2 ) √ √ dx = − √ = − 1 − x2 1 − x2 2 1 − x2 - V y nghi m c a phương trình là: 1 1 √ y=√ arcsin2 x − 1 − x2 + C 1 − x2 2 7
4.1.2 Câu b y − 2y − 8y = 3e4x - Phương trình đ c trưng: k 2 − 2k − 8 = 0 ⇔ k1 = −2 ∨ k2 = 4 - Nghi m c a phương trình thu n nh t: y0 = C1 e−2x + C2 e4x - Ta có: f (x) = 3e4x = Pn (x)eαx ⇒ Pn b c 0; α = 4 - Nghi m riêng c a phương trình không thu n nh t có d ng: yr = xs eαx Qn (x) + Trong đó: s = 1(do α = 4 là nghi m đơn c a phương trình đ c trưng) Qn (x) = A(cùng b c v i Pn (x)) + V y: yr = Axe4x yr = Ae4x + 4Axe4x yr = 8Ae4x + 16Axe4x + Suy ra: −8yr = −8Axe4x −2yr = −2Ae4x − 8Axe4x yr = 8Ae4x + 16Axe4x + C ng 2 v l i ta đư c: yr − 2yr − 8yr = 6Ae4x + Ta có: 1 3e4x = 6Ae4x ⇒ A = 2 - V y nghi m t ng quát c a phương trình là: 1 y = y0 + yr = C1 e−2x + C2 e4x + xe4x 2 8
5 Câu 5 Gi i h phương trình: x (t) = 3x − 3y + 4et + 12t (1) y (t) = 4x − 5y + 8et + 8t (2) 5.1 Hư ng d n gi i 5.1.1 Phương pháp kh - L y 4 × (1) − 3 × (2), ta đư c: 4x (t) − 3y (t) = 3y − 8et + 24t ⇒ 4x (t) = 3y + 3y − 8et + 24t (3) - Đ o hàm 2 v c a phương trình (2) theo t, ta đư c: y (t) = 4x − 5y + 8et + 8 (4) - Thay (3) vào (4), ta đư c: y (t) = −2y + 3y + 24t + 8 ⇔ y + 2y − 3y = 24t + 8 + Phương trình đ c trưng: k 2 + 2k − 3 = 0 ⇒ k1 = −3 ∨ k2 = 1 + Nghi m c a phương trình thu n nh t: y0 = C1 e−3t + C2 et + Ta có: f (t) = 24t + 8 = Pn (t)eαt + Suy ra Pn (t) b c 1 và α = 0 + Như v y nghi m riêng c a phương trình không thu n nh t có d ng: yr = ts Qn (t)eαt s = 0 (do α = 0 không là nghi m đơn c a phương trình đ c trưng). Qn (t) = At + B (Qn (t) cùng b c v i Pn (t)). + V y: yr = At + B 9
yr = A yr = 0 + Suy ra: −3yr = −3At − 3B 2yr = 2A yr = 0 + C ng các v l i ta đư c: yr + 2yr − 3yr = −3At + 2A − 3B + Ta có: −3A = 24 A = −8 24t + 8 = −3At + 2A − 3B ⇒ ⇒ 2A − 3B = 8 B = −8 - V y ta đư c nghi m t ng quát: y(t) = C1 e−3t + C2 et − 8t − 8 ⇒ y (t) = −3C1 e−3t + C2 et − 8 + Thay y(t) và y (t) vào phương trình (2), ta đư c: −3C1 e−3t + C2 et − 8 = 4x − 5(C1 e−3t + C2 et − 8t − 8) + 8et + 8t ⇔ 4x = 2C1 e−3t + 6C2 et − 48t − 8et − 48 1 3 ⇔ x(t) = C1 e−3t + C2 et − 12t − 2et − 12 2 2 - V y nghi m c a h phương trình là: x(t) = 2 C1 e−3t + 3 C2 et − 12t − 2et − 12 1 2 y(t) = C1 e−3t + C2 et − 8t − 8 - Đ ki m ch ng l i nghi m c a h đã đúng hay không, ta thay các nghi m tương ng này vào h , sao cho 2 v b ng nhau là đư c. 10