Một giải pháp phân tích khung có nút nửa cứng: Xem nút nửa cứng là một phần tử

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Một giải pháp phân tích khung có nút nửa cứng: Xem nút nửa cứng là một phần tử trình bày việc phân tích khung có nút nửa cứng bằng phương pháp phần tử hữu hạn với quan niệm xem nút nửa cứng là một phần tử. Ma trận độ cứng của phần tử nút nửa cứng với 12 bậc tự do được thiết lập bằng nguyên lý thế năng cực tiểu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một giải pháp phân tích khung có nút nửa cứng: Xem nút nửa cứng là một phần tử

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 3(88).2015 11 MỘT giẢI PHÁP PHÂN TÍCH KHUNG CÓ NÚT NỬA CỨNG: XEM NÚT NỬA CỨNG LÀ MỘT PHẦN TỬ AN ANALYTICAL SOLUTION OF FRAMES WITH SEMI-RIGID CONNECTIONS: CONSIDERING SEMI-RIGID CONNECTION AS AN ELEMENT Đỗ Minh Đức, Lê Khánh Toàn Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng; ducdhbk@gmail.com Tóm tắt - Báo cáo này trình bày việc phân tích khung có nút nửa Abstract - This paper introduces the analysis of frames with semi- cứng bằng phương pháp phần tử hữu hạn với quan niệm xem nút rigid connections with the finite element method from the view point: nửa cứng là một phần tử. Ma trận độ cứng của phần tử nút nửa considering semi-rigid connection as an element. The principle of cứng với 12 bậc tự do được thiết lập bằng nguyên lý thế năng cực minimum potential energy is conducted to establish the stiffness tiểu. Để kiểm tra độ tin cậy của ma trận độ cứng phần tử thành lập, matrix of the semi-rigid connection element with 12 degrees of các tác giả sử dụng phần mềm Matlab để lập trình, phân tích và so freedom. To investigate the reliability of the element stiffness matrix, sánh với cách tính truyền thống cho một kết cấu khung cụ thể chịu the authors use the Matlab sofware to program, analyse and các nguyên nhân là tải trọng tĩnh và động. Từ đó chỉ ra những ưu compare the new method with the conventional way for a specific điểm của giải pháp đề xuất. Kết quả nghiên cứu tạo ra một phần frame structure under static and dynamic loads. Furthermore,it points tử mẫu có thể được sử dụng trong tính toán, thiết kế cũng như out the advantages of the proposed solution. The results of research nghiên cứu các kết cấu khung có nút nửa cứng. create a prototype of element which is used to calculate, design as well as investigate the frame structures with semi-rigid conections Từ khóa - kết cấu khung; phương pháp phần tử hữu hạn; nút nửa Key words - frame structure; finite element method; semi-rigid cứng; ma trận độ cứng; bậc tự do. connections; stiffness matrix; degrees of freedom. 1. Đặt vấn đề được nhiều chương trình tính toán cho phép dễ dàng sử Trước đây, trong tính toán kết cấu, để đơn giản hơn, dụng để giải những bài toán khác nhau về hình học, vật liệu người ta thường quan niệm nút khung là tuyệt đối cứng và nguyên nhân tác dụng trong tính toán thiết kế công trình hoặc là khớp lý tưởng. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp xây dựng và đã được thương mại hoá khá phổ biến như thực tế, ví dụ như khung bê tông cốt thép lắp ghép hoặc bán Sap2000, ANSYS, Etabs, Abaqus,…Với khung có nút nửa lắp ghép, khung thép, ..., các kết cấu này có nút liên kết với cứng, theo [3, 14, 16] và nhiều báo cáo đã công bố, được độ đàn hồi nhất định, còn được gọi là nút nửa cứng, sẽ cho bắt đầu nghiên cứu cách đây khoảng hai thập niên và phát kết quả nội lực và biến dạng sai lệch nếu tính toán theo triển mạnh trong những năm gần đây, cho thấy rằng: Có quan niệm này. Điều này đã được phân tích, so sánh khá cụ thể cho phép giải được nhiều dạng bài toán khác nhau, thể trong [1, 3, 8, 12, 14]. nhưng còn khá phức tạp, cần có nhiều hơn nữa các nghiên cứu nhằm giúp cho việc giải bài toán được đơn giản hơn, Các nghiên cứu đã công bố [3, 14, 16] chỉ ra rằng: Phân để có thể áp dụng dễ dàng trong thực tế mà vẫn đảm bảo tích kết cấu khung có xét đến độ đàn hồi của nút không chỉ tính chính xác. phản ảnh chính xác hơn phản ứng của nó mà còn có ý nghĩa trong việc thiết kế, cụ thể là tiết kiệm được vật liệu và tăng Một phương pháp thường được sử dụng trong nghiên khả năng chịu lực. Đặc biệt, với yêu cầu ngày càng khắt cứu lý thuyết phân tích kết cấu khung là phương pháp phần khe trong tính toán thiết kế, sự phức tạp và đa dạng của các tử hữu hạn (PTHH), trong đó có một nội dung là xây dựng kết cấu chịu lực và khả năng tính toán của máy tính điện các ma trận mẫu cho các phần tử thanh chịu các nguyên tử thì việc xét đến độ đàn hồi của liên kết là cần thiết trong nhân khác nhau. Với khung có nút nửa cứng, trong [1, 3, 9, tính toán thiết kế kết cấu công trình xây dựng. 10, 14, 16] và nhiều tài liệu khác, cho thấy một quan niệm: Xem thanh có liên kết đàn hồi ở hai đầu là một phần tử Nhìn chung, lý thuyết phân tích khung có nút cứng hoặc (Hình 1.b). Cách quan niệm này tồn tại nhược điểm: khớp lý tưởng đến nay tương đối hoàn chỉnh, đã xây dựng Hình 1. Khung có nút nửa cứng và các quan niệm về phần tử khi lập sơ đồ tính a) khung ban đầu, b) xem thanh và liên kết 2 đầu là 1 phần tử, c) xem liên kết là 1 phần tử
12 Đỗ Minh Đức, Lê Khánh Toàn + Phải thành lập mới mà không tận dụng được các phần có nút cứng ở hai đầu đã được lập sẵn đầy đủ trong các tài tử mẫu có nút cứng ở hai đầu đã có sẵn nên tốn nhiều công liệu về phương pháp PTHH, như trong [2, 4, 5, 15]. sức. Trong các tài liệu [1, 3, 7, 9, 10, 13, 14, 17], nội dung nghiên cứu chủ yếu đi thiết lập các ma trận mẫu cho phần 2. Thành lập ma trận độ cứng cho phần tử liên kết tử này vì các nội dung còn lại có thể sử dụng các lý thuyết Xét phần tử liên kết được mô hình hoá như trên Hình 2. của phương pháp PTHH cho nút cứng. Hai nút (i, j) được nối bằng 6 lò xo đàn hồi tương ứng với + Mặt khác, do có thêm điều kiện vật lý ở hai đầu phần 6 bậc tự do tại mỗi nút. Gọi (uq, Fq) là chuyển vị và lực tác tử, nên việc thiết lập các ma trận mẫu là phức tạp, các ma dụng ứng với bậc tự do thứ q (q = 1,…,12). Theo [5], thế trận này khá cồng kềnh, gây nhiều khó khăn cho việc quản năng toàn phần của phần tử có thể viết: lý cũng như sử dụng. 1 1 1 U = (u7 − u1 ) 2 .k1 + (u8 − u2 ) 2 .k2 + (u9 − u3 ) 2 .k3 Ta nhận thấy rằng, có thể xem liên kết như là một phần 2 2 2 tử - gọi là phần tử liên kết, có hai nút cứng ở hai đầu, có 1 1 1 chiều dài bằng không và nối các phần tử có nút cứng khác + (u10 − u4 ) 2 .k4 + (u11 − u5 ) 2 .k5 + + (u12 − u6 ) 2 .k6 2 2 2 (Hình 1c). Khi đó, ta hoàn toàn trở lại bài toán với các phần tử có nút cứng ở hai đầu quen thuộc. Theo quan điểm này, − F1.u1 − F2 .u2 − F3 .u3 − F4 .u4 − F5 .u5 − F6 .u6 − F7 .u7 chỉ cần thiết lập thêm ma trận độ cứng cho phần tử liên kết, − F8 .u8 − F9 .u9 − F10 .u10 − F11.u11 − F12 .u12 còn lại có thể sử dụng toàn bộ các ma trận mẫu của phần tử (1) Hình 2. Mô hình hoá và bậc tự do tại hai đầu của phần tử liên kết Để hệ cân bằng ổn định, thế năng toàn phần cần phải trận khối lượng, ma trận cản, véc tơ tải trọng nút của hệ, thoả mãn điều kiện [5]: được lắp ghép từ ma trận mẫu của các phần tử. U Phương trình (4) thường được giải bằng phương pháp =0; i = 1, 2,…, 12 (2) tính phân số Newmark. Lý thuyết và thuật toán của phương ui pháp có thể tìm thấy trong các tài liệu [2, 6, 14]. Thay (1) vào (2), viết dưới dạng ma trận ta được (3) Ta xét một số trường hợp riêng của phương trình (4): Theo ý nghĩa cơ học thì phương trình (3) là phương - Khi hệ cân bằng tĩnh: trình cân bằng cho phần tử khảo sát trên Hình 2 và ma trận các hệ số [K] là ma trận độ cứng của nó.  K u = F suy ra u =  K  −1 F  (5)  F1   k1 0 0 0 0 0 −k1 0 0 0 0 0   u1  - Khi hệ dao động tự do: F   0  2   F3   0 k2 0 0 k3 0 0 0 0 0 0 0 0 − k2 0 0 − k3 0 0 0 0 0   u2  0   u3   M u +  K u = 0 (6)        F4   0 0 0 k4 0 0 0 0 0 −k4 0 0   u4  Giả thiết chuyển động là dao động điều hòa với tần số F   0 0 0 0 k5 0 0 0 0 0 − k5 0   u5  dao động riêng , phương trình (6) được viết lại:  5     ( K  −   M ) u = 0  F6   0 0 0 0 0 k6 0 0 0 0 0 − k 6   u6   F  =  −k . 2 0 0 0 0 0 k1 0 0 0 0 0   u7  (7)  7  1    Giải phương trình ( K  −  2  M ) = 0 sẽ xác định được  F8   0 − k2 0 0 0 0 0 k2 0 0 0 0   u8         F9   0 0 − k3 0 0 0 0 0 k3 0 0 0   u9   F10   0 − k4 0  u10     0 0 0 0 0 0 0 k4 0    tần số dao động riêng i (i = 1,..., n).  F11   0 0 0 0 −k5 0 0 0 0 0 k5 0   u11  F   0 − k6 k6  u12   12   0 0 0 0 0 0 0 0 0 4. Ví dụ phân tích khung phẳng (3) 4.1. Số liệu bài toán 3. Phương trình cân bằng hệ kết cấu khung Cho khung phẳng một tầng, một nhịp như trên Hình 3. Khi phân tích bài toán kết cấu bằng phương pháp Giả thiết hệ làm việc tuyến tính về hình học, vật liệu, liên PTHH, theo [2, 5, 6, 14, 15], phương trình cân bằng toàn kết và chỉ xét biến dạng xoay đàn hồi của nút. Thông số hệ có thể viết dưới dạng: hình học và vật liệu của khung: Ac = 0,04m2; Ad = 0,06m2; E = 2.107kN/m2; Ic = 12.10-5 m4; Id = 45.10-5m4; khối lượng  M u + C u +  K u = F (t ) (4) riêng  = 78,50kN.s2/m4; hệ số đàn hồi của nút Trong đó: k = 4000kN.m/rad. Giả thiết lực cản C = 0,25.M. [K], [M], [C] và {F(t)} lần lượt là ma trận độ cứng, ma
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 3(88).2015 13 yêu cầu giải bài toán. Kết quả một số nội dung tính toán thể q = 25kN/m hiện trong các bảng Bảng 1, 2, 3 và Hình 5. P1 = 50kN P2 = 30sin(1,2t)kN 2 2 3 k k (Ad, Id) 4m 1 3 (Ac, Ic) (Ac, Ic) 1 a) 4 4 2 5 6m 2 3 Hình 3. Sơ đồ tính bài toán ví dụ phân tích 5 6 4.2. Phân tích và kết quả bài toán Khung được phân tích với 3 yêu cầu sau 1 3 + Phản ứng của khung khi chỉ chịu tải trọng tĩnh P1 = 50kN và q = 25kN/m. + Xác định các tần số dao động riêng. 1 b) 4 + Phản ứng của khung khi chỉ chịu tải trọng động tuần Hình 4. Sơ đồ rời rạc hoá các nút và phần tử: hoàn P2 = 30sin(1,2.t)kN. a) theo TH1, b) theo TH2 Để đánh giá lại độ tin cậy phần tử mẫu cho liên kết được thiết lập, khung được phân tích theo 2 trường hợp: Xem cả thanh và nút nửa cứng ở hai đầu là một phần tử (TH1) – cách tính được sử dụng trước đây, và xem liên kết tại nút là một phần tử (TH2). Để giải bài toán, hệ cho trên Hình 3 được rời rạc thành các phần tử. Ký hiệu các nút và phần tử như trên Hình 4a tương ứng với TH1 và Hình 4b tương ứng với TH2. Trên cơ sở lý thuyết phương pháp PTHH [2, 4, 5, 6, 14] và phần tử mẫu được xây dựng ở phương trình (3), lập được các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng, véc tơ tải trọng nút. Từ đó, sử dụng Matlab [11], lập chương trình tính toán giải được các Hình 5. Đồ thị chuyển vị ngang của nút 2 theo thời gian phương trình (4), (5) và (7) tương ứng với các trường hợp Bảng 1. Kết quả chuyển vị tại các nút khi khung chịu tải trọng tĩnh Bậc u1(m) u2(m) u3(rad) u4(m) u5(m) u6(rad) u7(m) u8(m) u9(rad) u10(m) u11(m) u12(rad) tự do (nút 2) (nút 2) (nút 2) (nút 3) (nút 3) (nút 3) (nút 5) (nút 5) (nút 5) (nút 6) (nút 6) (nút 6) TH1 0,06827 -0,00029 -0,01977 0,06809 -0,00045 0,00714 - - - - - - TH2 0,06827 -0,00029 -0,01977 0,06809 -0,00045 0,00714 0,06827 -0,00029 -0,01942 0,06809 -0,00045 0,00910 Bảng 2. Kết quả tần số dao động riêng Tần 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 số (rad/s) (rad/s) (rad/s) (rad/s) (rad/s) (rad/s) (rad/s) (rad/s) (rad/s) (rad/s) (rad/s) (rad/s) TH1 4,4701 17,5461 54,2789 154,9888 159,4174 225,8453 - - - - - - TH2 4,4702 16,6604 52,1373 126,5033 145,2163 191,1945 278,713 300,082 7727443,0 9229901,5 9610238,7 10251611,6 Bảng 3. Kết quả chuyển vị ngang tại nút 2 tại một số thời điểm khi hệ chịu tải trọng động (m) Giây 0,005 0,01 0,02 0,05 1 3 6 9 12 15 18 20 thứ TH1 -1,69E-08 -5,44E-08 4,47E-07 1,93E-05 0,05058 -0,02418 0,02876 -0,04550 0,04311 -0,03222 0,01890 -0,04123 TH2 -2,87E-08 -8,94E-08 -8,94E-08 1,94E-05 0,05058 -0,02418 0,02876 -0,04550 0,04311 -0,03222 0,01890 -0,04123
14 Đỗ Minh Đức, Lê Khánh Toàn 4.3. Đánh giá kết quả Mặt khác, với sự trợ giúp của máy tính điện tử thì số lượng ẩn Từ kết quả trong Bảng 1, 2, 3 và Hình 5, ta thấy: số của bài toán không còn là thách thức đáng kể nữa. Đối với bài toán chịu tải trọng tác dụng tĩnh, kết quả phân TÀI LIỆU THAM KHẢO tích theo hai cách (TH1 và TH2) hoàn toàn giống nhau. [1] Đỗ Minh Đức, “Tần số dao động riêng của khung thép có nút nửa Đối với bài toán chịu tải trọng động, đặc biệt là tần số cứng”, Tạp chí Khoa học Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, số 29, dao động riêng, kết quả có sự sai khác. Nguyên nhân là trong 2008, 8-13. bài toán động ta sử dụng các ma trận khối lượng phần tử theo [2] Nguyễn Văn Phượng, Động lực học công trình, Nhà xuất bản Xây [1, 2, 4, 6, 14] – thường được sử dụng khi phân tích động. dựng, Hà Nội, 2005. Các ma trận khối lượng này được thiết lập chỉ là gần đúng. [3] Vũ Quốc Anh, Tính khung thép có xét đến độ đàn hồi của liên kết, Khi ta sử dụng các ma trận khối lượng này thì độ chính xác Nhà xuất bản Xây dựng, Hà Nội, 2013. của kết quả phụ thuộc vào số lượng bậc tự do được sử dụng [4] Võ Như Cầu, Tính kết cấu theo phương pháp động lực học, Nhà xuất bản Xây dựng, Hà Nội, 2006. khi phân tích hệ. Nhận xét thêm rằng, việc phân tích bài toán [5] Võ Như Cầu, Tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà khung chịu tải trọng động theo TH2 có xu hướng cho kết quả xuất bản Xây dựng, Hà Nội, 2005. chính xác hơn TH1 vì số bậc tự do nhiều hơn. [6] AK.Chopra, Dynamics of structures, Third edition, Prentice Hall, 1995. [7] A.U Ozturk and H.H Catal, “Dynamic Analysis of semi – rigid 5. Kết luận Frames”, 2005. Bài báo cho thấy có thể phân tích khung có nút nửa [8] C.Faella, V.Piluso and G.Rizzano, Structural steel semirigid cứng bằng phương pháp PTHH với quan điểm xem nút nửa connections, Published by CRC Press LLC, 2000. cứng là một phần tử. Cách phân tích này đơn giản trong [9] D.Zlatkov, S.Zdravković, B.Mladenović, R.Stojić, “Matrix formulation of dynamic design of structures with semi-rigid việc xây dựng cơ sở lý thuyết và dễ áp dụng hơn cách xem connections”, Architecture and Civil Engineering, Vol. 9, 2011. cả thanh cùng với liên kết đàn hồi ở hai đầu là một phần tử [10] J.Dario Aristizabal-Ochoa, “Matrix method for stability and second- thường sử dụng. Ví dụ phân tích so sánh bằng số cho một order analysis of Timoshenko beam-column structures with semi- bài toán cụ thể với các trường hợp chịu lực khác nhau cho rigid connections”, Elsevier J. Eng.Struct, 2012. thấy lý thuyết xây dựng là tin cậy. [11] “Matlab”, Version R2013a, Mathworks, Inc, 2013. [12] M.E Kartal, H.B Basaga & A.Bayraktar, M.Muvafık, “Effects of Trong bài báo cũng đã thiết lập được ma trận độ cứng Semi-Rigid Connection on Structural Responses”, Electronic tổng quát cho phần tử liên kết có 12 bậc tự do. Ma trận này Journal of Structural Engineering, 2010. khá đơn giản trong việc thiết lập, quản lý, sử dụng, và có [13] P.S Joana, G.M.S Knight, “Dynamic response of steel beam with thể bổ sung thêm vào thư viện các phần tử mẫu của phương semi – rigid connection”, IE (I) Journal – CV, 2005. pháp PTHH, sử dụng để phân tích khung có nút nửa cứng. [14] S.L Chan & P.T.T Chui, Non – linear static and cyclic analysic of steel freams with semi – rigid connections, Pubisher Elsevier 2000. Bên cạnh đó, việc xem nút nửa cứng như là một phần [15] Y.W Kwon, H.Bang, The Finite Element Method Using Matlab, tử có thể cho phép nghiên cứu sâu hơn một số tính chất của Second edition, CRC Press LLC, 2000. nút khung. Vấn đề này sẽ được tiếp tục nghiên cứu và trình [16] W.Chen, Practical Analysis for semi – rigid Frame design, Pubished bày trong các bài báo tiếp theo. World Scienticfic Pulishing Co Pte.Ttd, Singapore, 2000. Tuy có làm tăng số bậc tự do của bài toán so với cách phân [17] W.Xinwu, “Nonlinear Finite Element Analysis on the Steel Frame with Semi-rigid Connections”, 7th WSEAS Int. Conf. on applied computer & tích thường sử dụng, nhưng điều này lại có xu hướng làm tăng applied computational science, Hangzhou, China, April 6-8, 2008. độ chính xác, đặc biệt là đối với bài toán chịu tải trọng động. (BBT nhận bài: 11/12/2014, phản biện xong: 06/01/2015)