Một số bất đẳng thức cơ bản ứng dụng vào bất đẳng thức hình học - 2

Chia sẻ: Bach Tinh Tinh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

395
lượt xem 86
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bất đẳng thức nesbit và ứng dụng của nó trong bất đẳng thức hình học. Nếu a, b, c thì ta luôn có bất đẳng thức. Ta chứng minh bất đẳng thức trên như sau: Ta xét biểu thức sau: S = M = N =

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số bất đẳng thức cơ bản ứng dụng vào bất đẳng thức hình học - 2

. Chứng minh rằng 1. Cho ( đúng theo Côsi). Đẳng thức xảy ra đều. 2. Chứng minh với mọi ta có ( đẳng thức xảy ra ) Lại có Đẳng thức xảy ra hoặc . 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của Đặt Ta có : . Khi đó Xét hàm số Suy ra : . Vậy ,chẳng hạn khi 4. Trong các số thực thỏa mãn hệ thức . để cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Xác định giá trị lớn nhất đo. Hãy tìm đạt giá trị lớn nhất 1
5. Tùy theo giá trị của m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức và đạt dấu "=" khi thỏa mãn Hệ này có hệ có nghiệm khi . Vậy khi Với . Đặ t và đạt dấu = khi Vậy là độ dài trung tuyến, là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh 6. Cho rằng . Đẳng thức xảy ra đều. . 7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số : Ta có : Đặ t Điều kiện : Ta có : Thay vào biểu thức của y ta được : 2
+ đồng biến trên ( vì ). Vậy là 2 nghiệm của phương trình: 8. Với giá trị nào của thì biểu thức đạt giá trị lớn nhất . Điều kiện để phương trình có nghiệm là : Ta có : Khi đó : Vì nên Vậy Do đó , khi . 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của : với Đặ t thì . Khi đó : Xét Ta có : Xét bảng biến thiên: là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2]. Chứng minh rằng: 10. Cho Do giả thiết 3
Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi (đpcm) . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 11. Cho Áp dụng Côsi cho trường hợp 2 số và trường hợp 3 số, ta có: Vậy GTNN của P là . Dấu = 12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Đặ t với . . - N ếu nghịch biến trong . - N ếu đồng biến tròn - N ếu thì có bbt Vậy Kết luận . 4
13. Giả sử là hai số dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng . Giá trị đạt được khi Vậy 14. Chứng minh: ta có: Nhận xét: Dấu “ ” xảy ra 15. Cho 3 số dương thoả mãn Chứng minh: Ta có: 16. Chứng minh Ta có: ” xảy ra BĐT đã cho đúng, “ 5
. Chứng minh 17. Cho Ta có: bất đẳng thức đã cho đúng, dấu “ ” xảy ra 18. Chứng minh Dấu xảy ra 19 Chứng minh rằng Ta có: Dấu xảy ra 20. Chứng minh rằng với mọi số dương ta luôn có bất đẳng thức Vì Tương tự: Do đó vế trái bất đẳng thức cần chứng minh không lớn hơn : (đpcm). Đẳng thức xảy ra . thoả mãn Chứng minh: 21. Cho Từ giả thiết suy ra: *) Xét 6
Ta có: là nghiệm của phương trình Mà nên *) Trường hợp: là nghiệm của phương trình: Mà Từ Tương tự cho , ta có: 22. Cho 3 số thoả mãn Chứng minh: Từ Kết hợp mà nên là 2 nghiệm của phương trình Tương tự cho 23. Cho 3 số thực thoả mãn các điều kiện sau: . Chứng minh Từ giả thiết suy ra: là nghiệm của phương trình: 7
Do nên . Chứng minh: 24. Cho Dấu “ ” xảy ra hoặc 2 trong 3 số bằng 1, số còn lại bằng 0 Chứng minh: 25. Cho Chứng minh : 26. Cho (*)đúng Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi trong 3 số có 1 số bằng 2 và 1 số bằng 0 Chứng minh: 27. Cho Ta chứng minh: . Thật vậy: 8
Ta có: dấu “ ” Chứng minh: 28. Cho 29. Chứng minh trong ta có Ta có : Dấu “ ” xảy ra đều 30. Chứng minh : ta có: +) Ta chứng minh: Nhận xét: Cho Thật vậy đúng do đúng Áp dụng: 9
đúng +) Ta chứng minh: Ta có: Tương tự: đúng Từ BĐT cần chứng minh đúng thoả mãn: Chứng minh: 31. Cho Từ giả thiết suy ra Dấu “ ” xảy ra Chứng minh 32. Cho Nhận xét: Ta có 10
Dấu xảy ra . Chứng minh rằng: 33. Cho Bất đẳng thức ( luôn đúng do áp dụng bất đẳng thức Côsi ) (đpcm). Do nên 34. Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm số: . Đặ t luôn cùng dấu với ,do đó 35. Cho các số . Chứng minh rằng : Ta có : Áp dụng bất đẳng thức Côsi hoặc Bunhiacopxki: Dấu " = " xảy ra khi 36. Chứng minh rằng nếu thì (1) (do x > 0) (2) luôn đúng nên (1) được chứng minh . 11
37. Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: , là hai số thực thỏa mãn 38. Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Theo bất đẳng thức Côsi ta có : Suy ra : Với thỏa mãn giả thiết thì Vậy , đạt khi 39. Chứng minh rằng nếu là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì . Có . Do đó theo Côsi: . Đẳng thức xảy ra . 40. Cho 12
Chứng minh rằng : (1) Cộng vế với vế suy ra: (1) 41. Với thỏa mãn đẳng thức Chứng minh rằng . Biến đổi : Đặ t thì giả thiết Và đpcm . Theo Bunhiacopxki : Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có: . Đẳng thức xảy ra 42. Chứng minh rằng với các số dương bất kỳ, ta có: . Có Viết 2 bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có đpcm. 43. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . 13
Điều kiện .Ta có : Đẳng thức đạt được khi và chỉ khi . Vậy GTLN bằng 1 . Mặt khác Đẳng thức xảy ra . Vậy GTNN bằng -1. 44. Chứng minh rằng với mọi : Áp dụng Côsi: .Cộng lại ta có (đpcm) 45. Chứng minh rằng: Với Đặ t Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho số dương , số dương số dương ta có: và 46. Chứng minh rằng: Ta có: Hoàn toàn tương tự ta có: Cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh 47. Cho a>0,b>0.Chứng minh rằng: 14
với Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có: .Chứng minh rằng: 48. Cho Vì Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho bốn số dương: Ta có: Thu gọn ta có: 49. Chứng minh rằng: với Ta có: Ta lại có: Vậy (đpcm) 50. Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất: Ta có: Lại có: Cộng 3 BDT ta có: Vạy khi và: a+b=2.Tìm giá trị lớn nhất của: 51. Cho 15
với Ta có b=2-a. Thay vào có: . Khảo sát F trên [0;2] ta có MaxF=F(2;0)=40. 52. Cho a,b,c>0. Chứng minh: Ta có các bất đẳng thức: ; ; . Vậy có: Lại có: nên có điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức khi a=b=c 53. Cho 3 số và a+b+c=3.Chứng minh rằng: 54. Chứng minh với mọi số dương a,b,c,d ta luôn có: 55. Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có: 56. Cho a,b,c>0 và thoả mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 57. Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: 58. Cho a,b>2 và: a+b=8. Tìm giá trị nhỏ nhất của: Vì a>2; b>2 nên có a-2>0 và b-2>0. Theo BDT Cosi ta có: hay: hay: Cộng vế hai bất đẳng thức ta có: Vậy giá trị nhỏ nhất của F là 320 khi a=b=4. 59. Cho a,b,c>0 và thoả: . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 60. Cho a,b,c>0 và thoả mãn: . Chứng minh rằng: 16
61. Cho a,b,c>2 và thoả mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 62. Cho tam giác ABC có ba cạnh a,b,c thoả: a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 63. Cho a,b,c>0 và thoả: abc=ab+bc+ca. Tìm giá trị lớn nhất của: 64. Cho a,b,c thoả: . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của: 65. Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: 66. Cho bốn số x, y, z , t thay đổi thỏa mãn hệ điều kiện : Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : . Theo bunhiacôxki ta có : . Ngoài ra, với ta có . Mặt khác, , và với thì 67. Cho các số x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện và . Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Đặ t thì : có ; Từ Bảng biến thiên ta có: 68. Các số x, y, z thay đổi nhưng luôn luôn thỏa mãn điều kiện : Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 17
Đẳng thức Mặt khác : Có thể chọn thì ( và ) 69. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có : Tương tự ta cũng có : Suy ra : (đpcm) Dấu “=” xảy ra và và 70. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Có Đặ t thì giả thiết và . Theo Bunhiacopxki : 18
N ếu thì Đảo lại , nếu thì . Vậy . Chứng minh rằng 71. Cho ( đúng theo Côsi). Đẳng thức xảy ra đều. 72. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng: Ta luôn có : Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên (1) Hoàn toàn tương tự ta cũng có: (2) (3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có: (đpcm).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 73. Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có: Ta có: Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên (1) 19
Hoàn toàn tương tự ta cũng có: (2) (3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cũng có: Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 74. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = với x ; y; z > 0 ta có 1 + = tương tự với các nhân tử trong ngoặc còn lại ta được M dấu = xảy ra khi x = y = z 75. Cho a,b,c là các số dương và a+b+c = 1.Chứng minh rằng : Áp dụng BĐT được: suy ra Mà ta có Vậy Đẳng thức xảy ra 76. Cho x và y là nghiệm của phương trình: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . 77. Cho x và y là nghiệm của phương trình: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 20