Một số dạng toán về số phức

Chia sẻ: Nvg Nvg | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

1.007
lượt xem 298
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Số phức là một vấn đề còn mới ở giải tích 12. Do vậy mà các em học sinh không thể tránh khỏi lúng túng khi gặp các bài toán về số phức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số dạng toán về số phức

Mét sè d¹ng to¸n vÒ sè phøc Lª xu©n ®¹i (GV THPT Chuyªn VÜnh Phóc) Sè phøc lµ mét vÊn ®Ò cßn míi ë ch-¬ng tr×nh to¸n gi¶i tÝch líp 12. Do vËy mµ c¸c em häc sinh kh«ng thÓ tr¸nh khái lóng tóng khi gÆp c¸c bµi to¸n vÒ sè phøc. Bµi viÕt nµy giíi thiÖu mét sè d¹ng to¸n vÒ sè phøc nh»m gióp c¸c b¹n «n thi §H-C§ tèt h¬n. Do khu«n khæ cña bµi viÕt nªn t¸c gi¶ chØ nªu ra mét sè d¹ng to¸n liªn quan ®Õn d¹ng ®¹i sè cña sè phøc. D¹ng 1: Bµi to¸n liªn quan ®Õn c¸c phÐp biÕn ®æi sè phøc 2 2 4 4 ThÝ dô 1: Gäi z1 , z2 lµ hai nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh z 2  2 z  10  0 . TÝnh z1  z2 ; z1  z2 . Lêi gi¶i. Gi¶i ph-¬ng tr×nh t×m ra hai nghiÖm lµ z1  1  3i; z2  1  3i , suy ra z1  z2  10 . 2 2 4 4 Do ®ã z1  z2  20 vµ z1  z2  200 . ThÝ dô 2: Cho hai sè phøc z1, z2 tho¶ m·n z1  z2  1; z1  z2  3 . TÝnh z1  z2 . a 2  b2  a 2  b2  1 Lêi gi¶i. §Æt z1  a1  b1i; z2  a2  b2i . Tõ gi¶ thiÕt ta cã  1 1 2 2  ( a1  a2 )  (b1  b2 )2  3 2  Suy ra 2(a1b1  a2b2 )  1  (a1  a2 )2  (b1  b2 )2  1  z1  z2  1 z Bµi to¸n t-¬ng tù: Cho hai sè phøc z1, z2 tho¶ m·n z1  3; z2  4; z1  z2  37 . T×m sè phøc z  1 . z2 D¹ng 2: Bµi to¸n liªn quan ®Õn ph-¬ng tr×nh nghiÖm phøc ThÝ dô 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh nghiÖm phøc: z 2  8(1  i ) z  63  16i  0 Lêi gi¶i. Ta cã  '  16(1  i )2  (63  16i )  63  16i  (1  8i )2 Tõ ®ã ta t×m ra hai nghiÖm z1  5  12i ; z2  3  4i . ThÝ dô 4: T×m hai sè thùc x,y tho¶ m·n: x(3  5i )  y(1  2i )3  9  14i Lêi gi¶i. Ta cã x(3  5i )  y(1  2i )3  x(3  5i )  y(11  2i )  (3 x  11y )  (5 x  2 y )i 3 x  11 y  9 172 3 . Gi¶i hÖ ta ®-îc x  vµ y   . 5 x  2 y  14 61 61 Do ®ã x,y tho¶ m·n hÖ  ThÝ dô 5: Gi¶i ph-¬ng tr×nh z 3  2(1  i ) z 2  4(1  i ) z  8i  0 biÕt r»ng ph-¬ng tr×nh cã mét nghiÖm thuÇn ¶o. Lêi gi¶i. Gäi nghiÖm thuÇn ¶o lµ z  bi (b   ) . Ta cã:  2b 2  4b  0 3 2 (bi )  2(1  i )(bi )  4(1  i )(bi )  8i  0   3 b2  2  b  2b  4b  8  0   z  2i Khi ®ã ph©n tÝch PT ®· cho t-¬ng ®-¬ng: ( z  2i )  z 2  2 z  4   0   2  z  2z  4  0   Tõ ®ã t×m ra 3 nghiÖm cña PT lµ: z  2i; z  1  i 3 . ThÝ dô 6: Gi¶i ph-¬ng tr×nh nghiÖm phøc: z 2  z
a 2  b2  a Lêi gi¶i. §Æt z  a  bi ( a, b   ) , ta cã: z 2  z  ( a  bi )2  a  bi     2ab  b  1 3 1 3 Gi¶i hÖ trªn ta t×m ®-îc ( a; b)  (0; 0); (1; 0);   ;   . VËy z  0; z  1; z    i. 2 2 22   ThÝ dô 7: T×m c¸c sè nguyªn x,y sao cho sè phøc z  x  yi tho¶ m·n z 3  18  26i .  x3  3 xy 2  18 3  18(3 x 2 y  y 3 )  26( x3  3 xy 2 ) . Lêi gi¶i. Ta cã ( x  yi )  18  26i    2 3 3 x y  y  26  1 Gi¶i PT b»ng c¸ch ®Æt y  tx ( x  0) ta ®-îc t   x=3,y=1. VËy z  3  i . 3 Trong nhiÒu tr-êng hîp, dïng sè phøc cã thÓ gi¶i ®-îc c¸c hÖ ph-¬ng tr×nh khã, ta xÐt thÝ dô sau: 3x  y x  2 3  x  y2 ( x, y   )  x  3y ThÝ dô 8: Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh:  y  0 x2  y 2   (3 x  y )  ( x  3 y )i 3( x  yi ) i( x  yi ) Lêi gi¶i. Tõ hÖ suy ra: x  yi   3  x  yi  3 2 2 2 2 x2  y 2 x y x y  (3  i ) z (3  i ) §Æt z  x  yi ta ®-îc PT Èn z   : z  3 z 3 2 z z Gi¶i PT bËc hai t×m ®-îc z  2  i vµ z  1  i . Tõ ®ã t×m ra 2 nghiÖm cña hÖ lµ ( x, y )  ( 2,1); (1, 1) . D¹ng 3: T×m tËp hîp c¸c ®iÓm biÓu diÔn sè phøc tháa m·n ®iÒu kiÖn cho tr-íc ThÝ dô 9: T×m tËp hîp c¸c ®iÓm biÓu diÔn trong mÆt ph¼ng phøc c¸c sè phøc z tho¶ m·n: z i a) z  z  3  4i 1 z i b) Lêi gi¶i. a) §Æt z  x  yi ( x, y   ) , ta cã z  z  3  4i  x 2  y 2  ( x  3)2  (4  y )2  6 x  8 y  25 VËy tËp hîp c¸c ®iÓm cÇn t×m lµ ®-êng th¼ng cã ph-¬ng tr×nh 6 x  8 y  25 . z i b) §Æt z  x  yi ( x, y   ) , ta cã  1  z  i  z  i  x  ( y  1)i  x  ( y  1)i zi  x 2  ( y  1)2  x 2  ( y  1)2  y  0 . VËy tËp hîp c¸c ®iÓm cÇn t×m lµ trôc thùc Ox ThÝ dô 10: T×m tËp hîp c¸c ®iÓm biÓu diÔn trong mÆt ph¼ng phøc sè phøc   (1  i 3 ) z  2 biÕt r»ng sè phøc z tho¶ m·n: z  1  2 . z  a  bi (a, b   ) vµ   x  yi ( x, y  ) Lêi gi¶i. §Æt
Ta cã z  1  2  ( a  1)2  b 2  4 (1) x  a  b 3  2 x  3  a 1 b 3 Tõ   (1  i 3 ) z  2  x  yi  (1  i 3 )(a  bi )  2      y  3a  b  y  3  3(a  1)  b    Tõ ®ã ( x  3)2  ( y  3 )2  4 ( a  1)2  b 2   16 (do (1)).   VËy tËp hîp c¸c ®iÓm cÇn t×m lµ h×nh trßn ( x  3)2  ( y  3 )2  16 , t©m I (3; 3 ) , b¸n kÝnh R=4. D¹ng 4: Sè phøc vµ bÊt ®¼ng thøc ThÝ dô 11: Chøng minh r»ng víi mçi sè phøc z, cã Ýt nhÊt mét trong hai bÊt ®¼ng thøc sau x¶y ra: 1 hoÆc z 2  1  1 z 1  2 1 vµ z 2  1  1 . §Æt z  a  bi ( a, b   ) Lêi gi¶i. Gi¶ sö ta cã ®ång thêi z  1  2 21 2 2(a 2  b 2 )  4a  1  0 (1) (1  a )  b   2  (1  a 2  b 2 )2  4a 2b 2  1 (a 2  b 2 )2  2(a 2  b 2 )  0 (2)  Ta cã:    Céng tõng vÕ (1) víi (2) ta ®-îc ( a 2  b 2 )2  (2a  1)2  0 (v« lý). Suy ra ®pcm. 1 1 ThÝ dô 12: Cho sè phøc z  0 tho¶ m·n z 3   2 . Chøng minh r»ng: z   2. 3 z z Lêi gi¶i. DÔ chøng minh ®-îc r»ng víi hai sè phøc z1, z2 ta cã z1  z2  z1  z2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 Tõ  z    z 3  3  3  z   , suy ra z   z3  3  3 z   2  3 z    z z z z z z z   1 ta ®-îc a3  3a  2  0  ( a  2)( a  1)2  0  a  2 (®pcm). §Æt a  z  z ThÝ dô 13: Cho sè phøc z tho¶ m·n z  2  2i  1 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña z . Lêi gi¶i. §Æt z  a  bi ( a, b   ) . Ta cã z  2  2i  1  a 2  b2  7  4(a  b) . Ðãt t  z  a 2  b 2 , ta cã a  b  2(a 2  b 2 )  2.t . Suy ra t 2  7  4 2.t  2 2  1  t  2 2  1 . a  b  0 4 2 4 2 4 2 4 2 * t  2 2  1   a  b a ;b   . Khi ®ã z  i.  2 2 2 2  2 2  a  b  2 2 1
a  b  0 4 2 4 2 4 2 4 2 * t  2 2  1   a  b a ;b   . Khi ®ã z  i.  2 2 2 2  2 2  a  b  2 2 1 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña z b»ng 2 2  1 vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña z b»ng 2 2  1 . Bµi t-¬ng tù: Cho sè phøc z tho¶ m·n z  1  2i  1 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña z . D¹ng 5: TÝnh to¸n c¸c biÓu thøc tæ hîp 0 2 4 2008 2010 ThÝ dô 14: TÝnh gi¸ trÞ cña A  C2010  C2010  C2010  ...  C2010  C2010 Lêi gi¶i. XÐt khai triÓn: 2010 (1  i)2010   C2010 .i k   C2010  C2010  C2010  ...  C2010  C2010    C1010  C2010  C2010  ...  C2010  i k 0 2 4 2008 2010 3 5 2009 2 k 0 1005 MÆt kh¸c (1  i)2010  (1  i )2   (2i)1005  21005.i   So s¸nh phÇn thùc vµ phÇn ¶o cña (1  i )2010 ta ®-îc A  0 . + Tõ trªn còng suy ra kÕt qu¶ sau: B  C1010  C2010  C2010  ...  C2010  21005 3 5 2009 2 2010 + B©y giê, ta xÐt khai triÓn (1  x)2010   C2010 .xk k (*) k 0 C 0  C1 2 2009 2010 2010 2010  C2010  ...  C2010  C2010  2  2010 C2010  C1010  C2010  ...  C2010  C2010  0 0 2 2009 2010 Trong (*) lÇn l-ît thay x=1 vµ x=-1 ta ®-îc:  2  C  C 0  C 2  C 4  ...  C 2008  C 2010  22009 2010 2010 2010 2010 2010   D  C2010  C2010  C2010  ...  C2010  C2010  22009 1 3 5 2007 2009 Suy ra   Tõ kÕt qu¶ cña A vµ C ta suy ra tæng sau: P  C2010  C24010  C2010  ...  C22001004  C22010  22008 0 8 008 Tõ kÕt qu¶ cña B vµ D ta suy ra tæng sau: Q  C2010  C2010  C2010  ...  C201005  C22001009  21004  22008 . 1 5 9 20 Cuèi cïng lµ mét sè bµi tËp cho c¸c b¹n luyÖn tËp Bµi 1: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc 1. z 3  z 2. z  z  3  4i 3. (1  i ) z 2  2  11i  0 Bµi 2: T×m sè phøc z sao cho A  ( z  2)( z  i ) lµ mét sè thùc
z  7i z 1 Bµi 3: T×m tÊt c¶ c¸c sè phøc z tháa m·n ®ång thêi c¸c ®iÒu kiÖn: |z| = 5 vµ lµ sè thùc Bµi 4: Cho n nguyªn d-¬ng. Chøng minh r»ng: 1C8 n  3C83n  ...  (8n  1)C88n 1  4n.24 n 1 n 1  3x 1  2    x y ( x, y   ) .   7 y 1  1   4 2 Bµi 5: Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh:   x y    