Một số phương pháp giải các chủ đề căn bản Hình học 12: Phần 2

Chia sẻ: Nhân Y | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:194

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cuốn sách bao gồm các phần tổng hợp các kiến thức cùng chủ đề căn bản về hình học nhằm giúp các em học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm. Bên cạnh đó, sách còn đưa một số bài tập cùng phương pháp giải nhằm rèn luyện kỹ năng thực hành của các em. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số phương pháp giải các chủ đề căn bản Hình học 12: Phần 2

Bai tap 7: Mot hinh tru c6 ban Icinh day R va duong cao 2R. Goi M , N Ian luot la diem bat ky tren 2 day. Tim gia tri Ion nhat cua doan M N . HD-DS m qua2RV2 Bai tap 8: Mot hinh non c6 ban kinh day R va chieu cao bang 4R. Tinh ban kinh day r va chieu cao h cua hinh tru noi tiep hinh non de dien tich toan phan cua hinh tru dat gia tri Ion nhat. HDDS 2 4R Stp dat gia tri Ion nhat khi r = — R va h = 0 CHU D E I X _ T06 t>0 KHONG Glf!N DANG TOAN • TOA DO DIEM VA VECTd 1. Toa do khong gian * > Ba vectadan vi i, j , k tren 3 true Ox, Oy, Oz: i=(l;0;0), ]=(0;1;0), k=(0;0;l) M / > M(x,y,z) hay M (x,y,z): J OM = X. i + y j +z.k y 0 > >y a(x,y,z) hay a =(x,y,z): a = x.i + y. j + z.k Phep toan vector Cho hai vecta: u = (x,y,z) va v = (x',y',z') thl: u ±v = (x±x';y ±y'; z ±z'); ku = (kx; ky, kz) u.v =• xx' + yy'+ zz', -4? X- +y^ +z^ x.x+y.y+z.z cos(w,v) ylx'+y'+z\^x"+y"+z" Cho hai diem A(xi, yi, zi) va B(x2, y2, 22) thl: AB = (X2 -xi; y2 -yi, Z2 -z,) 159
AB = ^{x,-xy+(y,-yy-+{z,-zy- X| -kx^ y^ -ky-, z, -kz, Mchia AB theo tik ^ 1: M ^ \-k ' 1-A: ' 1-A: j Chuy: 1) Gdc A cm tarn gidc ABC: cos A = cos(AB; AC). 2) Tog do trung diem M cua doan AB, trong tdm G ciia tarn gidc ABC, trong tdm E ciia tu dien ABCD v&i toa doA(xi, y/, z/), B(x2, yi, 22), C(x3, ys, zs), D(x4,y4,Z4): X. +x. x^ +X2 + X = X = X = >'l +>^2 + X l +>'4 M y = y ^ G y = z, + z . z. +z,+z. Z| + Z, + Z, + Z4 z= z=• z= Bai toan IrChobavecta a = (2;-5; 3), b = ( 0 ; 2 ; - l ) , c = ( 1 ; 7 ; 2 ) a) Tim toa do cua vecta e = a - 4 b - 2 c . b) Tim toa do cua vecto f = 4 a ' - ^ b + 3 c . Gidi a) e = a - 4b -2c = ( 2 - 0 - 2 ; - 5 - 8 -14;3 + 4-4) = (0;-27;3) b) f =4a - - b +3c =(8+ 0 + 3 ; - 2 0 - - +21; 1 2 + - +6) = (11; - ; — ) . 3 ^ 3 . 3' 3 Bai toan 2: Tim toa do cua vecta m cho biet: a) a + m = 4a va a = (0; -2; 1) b) a + 2m - b va a = (5; 4; -1), b = (2; -5; 3) Gidi a) a + m = 4 a =^ m = 3 a = (0; 6; 3) b) a + 2 m = b = > m = - — a + — b = 2 2 2' 2' Bai toan 3: Cho hai bo ba digm:A(l; 3; 1), B(0; 1; 2), C(0; 0; 1) va A ' ( l ; 1; 1;), B'(-4; 3; 1), C'(-9; 5; 1). Hoi bo ba dilm nao thing hang? Gidi Taco CA = ( 1 ; 3 ; 0 ) , CB = (0; 1; 1) 160
Vi cac toa dp khong tuomg ung ti le nen khong c6 s6 k nao d^ CA = k CB, suy ra A, B, C khong thang hang. Taco C A ' =(10; -4; 0), C B ' = (5;-2; 0) => C A ' = 2 C B ' . Do do A', B'. C thing hang. Bai toan 4: Tinh tich v6 huong cua hai vecta trong moi truong hop sau: a) a = (3; 0; -8), b = (2; -7; 0) b) a = ( l ; - 5 ; 2 ) , b =(4; 3;-5) c) a = ( 0 ; V 2 ; V 3 ) , b = ( 4 ; V 3 ; - V 2 ) . Gidi a) a . b = 3.2 + 0.(-7) + (-8).0 = 6 b) a . b = 1.4 + (-5).3 + 2(-5) = -21 c) a . b = 0 . 4 + V2 .V3 + V3(-V2) = 0. Bai toan 5: Cho ba vccto: a =(1;-1;1), b = ( 4 ; 0 ; - l ) , c = (3; 2;-1). Tinh: a) ( a . b ) c , a . ( b . c ) b) a l b + b ^ c . a + c ^ a , 4 a . c + b ^ - 5 c l Gidi a) Taco: a . b = 1.4 + (-l).0+ l.(-l) = 3 D o d 6 : ( a . b ) c = 3 c =(9;6;-3) Taco b . c =4.3 + 0.2 + (-l)(-l)= 13 Dodo a ( b . c ) = 13a =(13;-13; 13) b) Tac6 a^ = 3. b ^ = 17, c^ = 14nen a l b + b l c + c l a - 3 b + 17c + ul = (77; 20;-6) vaa.c = 0=>4a.c + b -5c --53. 27t Bai toan 6: Cho = 2, = 5, goc giUa hai vecta u va v bang — . Dat p = ku + 17v v a q = 3 u - v. Tim k de vecta p vuong goc vol vecta q. Gidi Fa CO = 2. = 5, cos(u, v) = cos 2^ = '2 1 Do do p 1 q o p . q = 0
« 3 k . 4 - 17.25 + (51 -k)2.5.y = 0 « 17k - 680 = 0 » k = 40. Bai toan 7: Cho hai diem A ( x i ; y i ; z\) va B(x2; y2; zj). T i m toa do diem M chia doan thang A B theo t i so k ?t 1. Gidi V a i diem M ( x ; y; z) ta c6: M A = (xi - x; yi - y; zi - z), M B = (x2 - x; y2 - y; Z2 - z) Diem M chia doan A B theo t i so k 1 khi va chi khi x, - X = k(x2 -x) 1-k MA =kMB« Yi - y = k ( y 2 - y ) « ^ i-k z, - z = k ( z , - z ) z= ^ i ^ 1-k Bai toan 8: Trong khong gian Oxyz cho ba diem A ( l ; 2; 4), B(2;-l;0), C(-2;3;-l). a) T i m toa dp trong tam G ciia tam giac A B C . b) T i m toa do cua diem D biet rang hinh A B C D la hinh binh hanh. Gidi X, + + Xj _ 1 X = 3 ~ 3 a) Toa do trong tam G cua tam giac A B C : y = _ Z| + z , + z , 3 3 z = =1 3 1 4 Vay trong tam G ( - ; — ; 1). fl = - 2 - x ^ x,j = -3 b) V i A B C D la hinh binh hanh nen A B = D C : • - 3 = 3 - y o yn = 6 -4 = -l-z„ z,=3 Vay D(-3; 6; 3). Bai toan 9: Cho diem M(a; b; c). T i m toa do hinh chieu va khoang each tir M dSn: a) cac mat phang toa do. b) cac true toa do. Gidi a) Toa do hinh chieu tir M den mp(Oxy) la M i ( a ; b; 0). 162
Toa do hinh chieu tir M den mp(Oxy) la M2(0; b; c) Toa do hinh chidu tir M dSn mp(Oxy) la M3(a; 0; c). Khoang each tir M den mp(Oxy) la. d(M; (Oxy)) = M M , = V ( a - a ) ' + ( b - b ) ' + ( c - 0 ) - = Tuong t u d ( M ; (Oyz)) = M M 2 = I a | , d ( M ; (Ozx)) = MM3 = I b > y M, M / r M 0 0 >y M, X b) Toa do hinh chieu tir M den true Ox la M4(a; 0; 0). Toa dp hinh chieu tir M den true Oy la M5(0; b; 0) Toa dp hinh chieu tir M den true Oz la M6(0; 0; e). Khoang each tir M den den true Ox la. d(M; Ox) = M M 4 = J ( a - a ) ' + ( b - 0 ) ' + ( c - 0 ) ' =Vb' +c^ Tuong t u d ( M ; Oy) = M M s = Va^ + c" , d(M; Oz) = MMfi = V a ' + b - . Bai toan 10: Cho hinh hop A B C D . A ' B ' C ' D ' c6 eac di^m A ( l ; 0; 1), B(2; 1; 2), D ( l ; - 1 ; l ) v a C'(4; 5; -5). a) Tim cac diem con lai. b) Tim toa dp trpng tam G cua t u dien A B C ' D . Giai a) Ta CO A B C D la hinh binh hanh nen: •jC(.-2 = 0 [>:,=2 -1 = -1 ] = 0 .Do do: C(2; 0; 2) z,.-2 = 0 U-=2 Va A A ' = BB' = DD' = C C = (2; 5; -7) Nen A'(3; 5; -6), B'(4; 6; 5), D'(3; 4; -6). 163
b) Toa do trong tam G cua t u dien A B C ' D : jc = -^ ^ ^=2 4 4 4 Z, + + Z , + Z4 - 1 z= Vay toa do trong tam G(2; - ; — ) . 4 4 Bai toan 11: Cho x >\,y > 2 , z > 3 va x + y + z = 22. Chung minh bat dang thuc yjx-1 + 2-^y-2 + 3yjz-3 < 14 . Cf/di Trong khong gian Oxyz, xet 2 vecta M = (l;2;3);v = (Vx^;7>^^-^;Vz^) M ( x ; y; 0) va 2 diem c6 dinh A ( l ; -3; 3), B(2; - 4 ; -5) a khac phia vai mp(Oxy). Ta c6: M.V = | M | . | v | . C O S ( M ; V ) nen | M.V | ' - 2 + 3 ^ 7 ^ < V M . V M = 1 4 . DANG TOAN TICK CO Hl/OfNG 2. r/c/i CO hu&ng: Tick CO huang ciia hai vecta a = (x,y,z) va b ^ (xy'z) la mot vecta, ky hieu va CO toa do: y 2 Z X X y [a,h] 5 = iyz'-zy'; zx'-xz'; xy'-yx'). vy ^' z' x' X' y m n Dinh thuc = mq-np. PP q q Kit qua: - Vecta [a, h\ chung vai a, b 164
- Do dai ciia vecta [ a , A ] ; \ a, h ] | = | .sin( a, b). -2 vecta a, h cungphuang: [ a, h ] = 0 -3 vecta a, h, c dongphdng: { a, b ].c = 0 -3 vecta a,h,c khongddngphdng: [ a,b ].c 0 Dim tich vathitich 1 Dien tich tarngidc ABC: S = - [AB, AC] 1 The tich tit dien A BCD: V = - [AB ,AC ].AD 6 The tich hinh hop ABCD.A 'B'C'D':V= [AB, AD^AA 1 The tich hinh Idng tru ABCA "B'C: V = ^ [AB, AC]. AA Chiiy: 1) Ba vecta dan vf i, j , k tren 3 true Ox, Oy, Oz: i =(1:0:0), "j =(0:1:0), k =(0:0:1) 2) Khodng each giira hai diemA(xi, yi. zi) vd B(x2, y2, ^2): AB = 7U, - X , ) - +{y,-y,)- +(Z2-z,f 3) G6c giua hai vecta: u = (x,y,z) va v = (x'y'z): x.x+y.y+z.z cos(w,v) = + y~ + z\^jx'^+y'^+z' Bai toan 1: Tim tich c6 huong cua cac cap vecta: a)fl=(l;3;-2)va6=(2;-l;4) b ) a = ( l ; - 2 ; 3 ) v a f t =(5;1;4). Giai a) Tich CO huong cua cap vecta la: \ f 3 -2 -2 1 1 1J [a,b] = 9 = (10;-8;-7). V- 1 4 4 2 2 4/ 165
b) Tich CO huong cua cap vecta la: ^ - (-2 3 3 1 1-2^ [a,b]= ; ; =(-ll;ll;ll) ^ ^ ^ 1 4 4 5 5 1 J ^ Bai toan 2: Tim tich c6 huong cua cac cap vecto don vi: a) / = (1 ;0;0) va } = (0; 1 ;0) b) } = (0; 1 ;0) va ^ = (0;0; 1). Gidi a) Tich CO huong cua cap vecto la: / \ 0 0 0 0 1 0 5 = (0;0;1)= k. V 1 0 0 1 0 1/ b) Tich CO huong cua cap vecto la: 1 0 0 0 0 1 = (1;0;0)= / . 0 1 1 0' 0 0 Bai toan 3: Xet su dong phang cua ba vecto a) a - ( - 3 ; l ; - 2 ) , b = ( 1 ; 1; 1), c = (-2; 2; 1) b) a = ( 4 ; 3 ; 4 ) , b = ( 2 ; - l ; 2 ) , c = ( l ; 2 ; l ) . Gidi -3 1 -2^1 a) Ta CO [ a , b ] = = (3;l;-4) 1 1 1 D o d 6 [ a , b ] . c =-6 + 2 - 4 = - 8 ^ 0 Vay 3 vecto khong dong phang b ) T a c 6 [ a , b ] = ( 1 0 ; 0 ; - 1 0 ) ^ [ i , b].c = 0 Vay 3 vecto dong phang Baitoan4:Cho a = ( 1 ; - 1 ; 1), b =(0; 1;2), c = (4; 2; 3) va d = (2; 7; 7). a) Chung minh cac vecto a , b , c khong dong phang b) Hay bieu thi vecto d theo cac vecto a , b , c. Gidi a)Tac6[a, b ] = (-3;-2; l ) = > [ a , b ] c =-13:i^0. Vay 3 vecto khong dong phSng. m + 4p = 2 m = -2 b) Gia su d = ma + nb + pc - m + n + 2p = 7 n =3 m + 2n + 3p = 7 p =l Vay d - - 2 a + 3 b + c. 166
Bai toan 5: Trong Ichong gian Oxyz clio ba diem A ( l ; 2; 4), B(2; - 1 ; 0), C(-2; 3; -1). Goi (x; y; z) la cac toa do cua diem M nam tren mat phang ( A B C ) . T i m sir lien he giua x, y, z. Giai AB = ( l ; - 3 ; - 4 ) , A C (-3; l ; - 5 ) , A M = (x - 1; y - 2; z - 4) Ta C O M nam trcn mat phang (ABC) [ A B , A C ] . A M = 0 19(x - 1) + 17(y - 2) - 8(z - 4) = 0 « 19x + 17y - 8z - 21 = 0. Vay quan he la 19x + 17y - 8z - 21 = 0. Bai toan 6: Chung minh cac tinh chat sau day cua tich c6 huong: a)la,i]=0 b ) [ i , b] = -[b, a]. Gidi Goi vecta a = ( x i , y i , zi) va b = (x2, y2, zi). c a) [ a , a ] = = (0; 0; 0 ) = 0 Yi \ yi X| Yi b) [ a , b ] = 5 ^2 X2 Y2 / = (yiZ2 - y 2 Z i ; Z | X 2- Z2Xi; X i y 2 - X2yi) = -(Y2Z1 - Y1Z2; Z2X1 - Z 1 X 2 ; X 2 y i - xiy2) \ Y2 Z2 Z2 ^2 ^2 y2 9 -[b,a] V YI Z, z, X| Y, / Ket qua [ a , a ] = - [ a , a ] = ^ [ a , a ] = 0 Bai toan 7: Chung minh cac tinh chat sau day ciia tich c6 huang: a)[ka, b] = k [ i , b] = [ i , k b ] . b) [a.b] 2 _ -(a.b)l Gidi a) Goi vecta a = ( x i , y i , zi) va b = ( X 2 , y 2 , Z 2 ) . Yi z, Z, 1 X, 1 X| YI k[a, b ] = k ,k ,k V Y2 Z2 Z, X j X2 Y2 J f ky, kz, kz, kx. kx, ky. \ 9 9 = [ka,b]. V Y2 z^ Z2 ^2 X2 Y2 Tuang tu: k [ a , b ] = [ a , k b ] . 167
b) VP = ^-(a.b)^=^ b ^.cos^a b P(l -cos^a) = •^sin^a = [ a . b ] P = VT. Bai toan 8: Chung minh cac tinh chat sau day cua tich c6 huong: a)[c, a + b] = [c, a] + [c, b] b) a . [ b , c ] = [ i , b ] . c . Giiii Goi vecta a = ( x i , y i , Z | ) ; b = ( x 2 , y2, zj) va c = (X3, ys, Z3). a) Ta CO [ c, a + b ] ^2 X, X3 Yj y,+y2 z,+Z2 Z, + Z , X, + x . X1+X2 y,+y2 y., y.-t Z3 X3 Z3 X3 X3 y? X3 y3 + + + y, z. z, X, Z, X, Xi yi X2 y2 V yi X, y3 Zj X3 X3 y3 + yi z, X, z. X, X2 y2 V yj = [c,a] + [c,b]. y2 z. z, x. X2 y2 b) a . [ b . c ] = X X|| +yi + z, y3 Z3 Z3 X3 X3 y, yi Z] Z, X| Xi yi X3 +y3 +Z3 =[a.b]c y2 Z2 Z, Xj X2 y2 Bai toan 9: Trong khong gian cho ba vecta a , b , c timg doi khong cung phuang. Chung minh rang dieu kien can va du de vecta tong: a + b + c = 0 1a[a,b] = [ b , c ] = [c,a]. Gidi Tira + b + c = 6 = > a = - ( b + c ) = > [ a , - b - c ] = 0 D o d 6 [ a , - b - c ] = [ a , - b j - [ a , c ] = 0 =>[c, a ] = [ a , b ] Tuong tir ta cung CO [ b , c ] = [ a , b ] . Vay: [ a , b ] = [ b , c ] = [ c , a ] . Ngugc l a i , t u [ a , b ] = [ b , c ] [ b , a + c] = 0 Matkhac, [ b , b ] = 0 = > [ b , a + b + c ] = 0 => b cung phuang v a i vecta a + b + c. Chung minh tuong t u ta ciing c6 vecto a ciing phuong v o i vecta a + b + c. Nhung a va b khong cung phuang, vay: a + b + c = 0 . 168
DANG TOAN • CAC DAI LlTtfNG HINH HOC 3. - Khodng each giita hai diem A(xi, yi, zi) va Bfxi, yi, zj): AB = ^{x,-x,y- +{y, - J , ) - + ( z , - z , ) ' - Gck giita hai vecia u = (x,y,z) va v = (x',y',z): x.x'+y.y'+z.z' COS(M, V ) = + y ' +z • -\^x"+y"+z" - Goc cua tarn gidc ABC: cos A = cos{AB, AC). 1 - Dien tich tarn gidc ABC: 5 = - [AB, AC] 1 - The tich lit dien A BCD: V = - [AB, AC ] . AD 6 The tich hinh hop ABCD.A 'B'CD':V= \AB, AD]. AA' Bai toan 1: Tinh cosin cua goc giiia hai vecta u va v trong moi truong hop sau: a) li = ( 1 ; 1; 1); v -(2; 1;-1) b) u =3i + 4T; v - - 2 1 +3k Gidi xx'+y.y'+z.z' a) cos(u,v) = yjx- +y~ +7? x'- +y'- +z'' 3 -8V13 b)Tac6 u = ( 3 ; 4 ; 0 ) , v = ( 0 ; - 2 ; 3 ) c o s ( u , v ) = 65 Baitoan2: Chocacvecta: u = i - 2 j ; v = 3 i + 5 ( j - k); w = 2 i - k +3 j . a) Tim cosin cua cac goc ( v , i ), ( v , j ) va ( v , k ) . b) Tinh cac tich v6 huong u . v , u . w , v . w . Gidi a) u = ( 1 ; -2; 0), v = (3; 5; -5), w = (2; 3; -1) Va cac vecta dom v i T = ( 1 ; 0; 0), f = (0; 1; 0), k = (0; 0; 1) nen v.i V.J cos(v,i) = cos(v,j) = V59 169
b) Ta CO u . V = x.x' + y.y' + z.z' = -7. Tuang tir thi dugc u . w = -4, v . w =26. Bai toan 3: Cho vecta u tuy y khac 0 . Chung minh rSng: cos~( u . i ) + cos'^( u , j ) + cos^( u , k ) = 1 vai / ; / va la cac vecta dan vi. Gidi Cac vecta dan vi: / =(1;0;0); } = (0;l;0)va k =(0;0;1). „., . ^ , . ^ . r, u.i X Gia su u = (x; y; z) ta co: cos(u,i) = + z^ Do d6cos"(u,i) = ~ •> -> • X" + y" + z" Tuong tir: cos"(u.j) = — ; cos^(u,k)= , ^\ x~+y+z x"+y"+z Tu do suy ra dieu phai chimg minh. Bai toan 4: Cho hinh binh hanh ABCD vai A(-3; -2; 0), B(3; -3; 1), C(5; 0; 2). Tim toa do dinh D va tinh goc giiJa hai vecta AC va B D . Gidi Taco BA =(-6; I ; - ! ) . BC = ( 2 ; 3; 1). Vi toa do cua hai vecta do khong ti le nen ba diem A, B, C, khong thang hang. Goi D(x; y; z). Tu giac ABCD la hinh binh hanh khi va chi khi x +3 =2 x= -l AD = BC « y+2=3 « y = l .VayD(-l;l;l) z =1 z =l -32 + 8 1 Ta CO AC = (8; 2; 2), BD = (-4; 4; 0), do do: cos( A C , BD) = V72.V32 • 2 V a y ( A C , B D ) = 120°. Bai toan 5: Tim toa do diem M : a) Thuoc true Ox sao cho M each dku A ( l ; 2; 3) va B(-3; -3; 2) b) Tren mat phSng (Oxz) sao cho M each d^u ba dikm A ( l ; 1; 1), B ( - l ; 1; 0), C(3;l;-1). 170
Gidi a) M thuoc Ox nen M(x; 0; 0). Ta CO M A = M B » MA^ = MB^ o (1 - x)^ + 2 ' + 3^ = (-3 - x)^ + (-3)^ + 2^ » X = -1. Vay M ( - 1 : 0 ; 0) b) M thuoc (Oxz) tren M ( x ; 0; z). Ta c6: M A = M B = M C A M ' = BM" • ( x - l ) ' + l + ( z - l ) - = ( x + l ) - + l + z' AM' =CM- [ ( x - l ) ' + l + ( z - l ) ' = ( x - 3 ) " + l + (z + l ) ' 5 4x-2z = lx =— 6 . VayM 4x-4z = 8 7 z= — 6 Bai toan 6: Cho tam giac A B C c6 A ( - 2 ; 1; 0), B(0; 3; -1), C ( - l ; 0; 2). a) Chung minh tam giac A B C c6 goc B nhon. b) T i m toa do diem H la hinh chieu cua A tren canh BC. Gidi a) Ta CO B A = (-2; -2; 1), BC = (-1; -3; 3) BA.BC 11 Nen cosB = > 0 => goc B nhon. B A BC 3Vl9 b) H(x; y; z) thuoc BC nen B H = t B C Do do X = -t,.y - 3 = -3t, z + 1 = 3t => x = -t, y = 3 - 3t, z = -1 + 3t Ta CO A H 1 BC nen A H . BC = 0. 11 (-t + 2 ) ( - l ) + (-3t + 2)(-3) + (z + 1)3 = 0 ^ t = U 24 14 Vay hinh chieu H 9 ' 9 ' 9 Bai toan 7: Cho ba d i l m A ( 1 ; 0 ; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1) a) Chung minh A , B, C khong thang hang. b) Tinh chu v i , dien tich va dp dai duong cao cua tam giac A B C ve tir dinh A . Tinh cosin cac goc cua tam giac A B C . Gidi a) Ta CO B A = ( 1 ; 0; -1), BC = (2; 1; 0), toa dp hai vecta do khong t i le nen chiing khong cung phuong. Vay ba diem A , B , C khong thang hang. 171
b) AB = +0' + ( - ! ) ' = V2 , BC = V2' + 1 ' +0' = VS AC = V l ' + 1 ' +1' = V3 . Vay chu vi tam giac ABC bang V2 + V3 + Vs Vi BC^ = AB^ + AC'^ nen tam giac ABC vuong tai A do do dien tich: S=iAB.AC=^. 2 2 Ta CO SABC = " BC.hA = ^ hA = = — . 2 BC 5 Vi tam giac ABC vuong tai A nen: cosA = 0, cosB = = ,cosC = =^ . BC V5 BC V5 Bai toan 8: Trong khong gian toa do Oxyz, cho tam giac ABC c6 A ( l ; 2 ; - 1 ) , B ( 2 ; - l ; 3 ) , C(-4; 7; 5). a) Tinh dien tich va do dai duong cao hA ciia tam giac ve tu dinh A. b) Tinh do dai duong phan giac trong cua tam giac ve tir dinh B. Gidi a) Ta CO A B = (1; -3; 4), AC = (-5; 5; 6), BC = (-6; 8; 2) [ A B , A C ] = (-38;-26;-10). Vay SABC AB,AC = - V 3 8 ' + 2 6 ' + 1 0 ' =V554 2 2S 2V554 V277 va hA - BC Vi04 Vl3 • b) Goi D(x; y; z) la chan duong phan giac ve tir B: ^ . D A ^ BA ^ V26 ^ 1 Ta CO DC BC Vi04 2 Vi D nam giiia A, C nen X= — 2(l-x) = x + 4 3 1 DA = - - DC
Bai toan 9: Cho hinh binh hanh A B C D c6 3 dinh A(3; 0; 4), B ( l ; 2; 3), C(9; 6; 4). a) Tinh goc B ciia tarn giac A B C b) Tinh dien tich hinh binh hanh A B C D . Gidi a) Ta CO B A = (2; -2; 1), BC = (8; 4; 1) Ta CO cosB = cos( B A , BC ) = - . 3 1 b) Hinh binh hanh A B C D c6 dien tich: S = 2SABC = 2. - I [ B A , BC ] T a c 6 [ B A , B C ] = (-6; 6; 2 4 ) ^ 8 = 1 8 V^. Bai toan 10: Cho bon diem c6 toa do A(2; 5; -4), B ( l ; 6; 3), C(-4; - 1; 12), D(-2; -3; -2) a) Chung minh A B C D la mot hinh thang. b) Tinh dien tich hinh thang A B C D . Gidi a) A B = ( - 1 ; 1; 7), A C = (-6; -6; 16), hai vecta nay khong cung phuorng vi toa dp khong ti le suy ra A , B. C khong thang hang va c6: DC = ( - 2 ; 2; 14) = 2 A B => A B / / C D . Vay A B C D la hinh thang 1 [AB, AC]| + i | [ A D . A C ] I = 3^1046 . Bai toan 11: Cho bon d i l m A ( 1; 0; 0). B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) va D(-2; 1; -2) a) Chung minh rang A , B, C, D la bon dinh cua mot hinh t u dien. b) Tinh goc giiia cac duang thang chua cac canh doi cua tu dien do. c) Tinh the tich t u dien A B C D va do dai duong cao cua t u dien ve t u dinh A . Gidi a)Tac6: A B = ( - 1 ; 1;0), A C = ( - l ; 0 ; 1). A D = ( - 3 ; l ; - 2 ) \ 1 0 0 -1 -1 1 nen | A B . A C ] = = (l;l;l) V0 1 1 -1 -1 0 / Do do [ A B , A C ] . A D = -3 + 1 - 2 = -4 ^ 0, suy ra ba vecta A B , A C , A D khong dong phang. Vay A , B. C, D la bon dinh cua mot hinh tu dien. b) Taco C D = ( - 2 ; l ; - 3 ) . BC = ( 0 ; - 1 ; 1), B D = (-2; 0;-2). 173
Goi a, y Ian lugt la goc tao bai cac cap duomg thang: A B va C D , A C va BD, A D va BC thi ta c6: 2 + l + 0| SA/T? cosa = cos(AB,CD) = V2.Vr4 14 2 + 0-2 c o s p = cos(AB,CD) = 0 V2.V8 -1-2 3Vi7 cosy = cos(AB.CD) ^/2.^/l4 14 1 _ 2 c) The tich t u dien A B C D la V = AB,AB .AD ~ 3 3V 3V 2V3 Do dai duang cao ve tir dinh A la: hA S 1 BC, B D Bai toan 12: Cho t u dien A B C D c6: A ( - l ; 2; 0 ) , B(0; 0; 1), C(0; 3; 0 ) , D(2; 1; 0 ) a) l i n h dien tich tarn giac A B C va the tich t u dien A B C D . b) rim hinh chieu cua D len mat phSng ( A B C ) . Giai a ) T a c 6 A B = { 1 ; - 1 ; 1), A C = ( 1 ; 1 ; 0 ) , A D =(3;-l;0) 1 V6 n e n j A B . A C ] = (-1; 1 ; 2 ) ^ S A H C = ^ [AB, AC] 2 1 V a ( A B , ACJ.AD = ^ = > V A i 3 c n = - [AB.ACJ.AD =-. 6 3 b) Goi H(x; y; z) la hinh chieu D tren mat phdng ( A B C ) t h i : A H = ( X + 1; y - 2; z), D H = ( X - 2; y - 1; z). 18 X = — DH.AB = 0 X - 2y + z = 0 11 15 Ta c6: DH.AC = 0 X + y= 3
DANG TOAN TOAN TONG HQfP 4. • - Do dai ciia vecla u = (x,y,z): IM I -^x' + + - Khodng each giira hai diem A(xi. yj, zi) va B(x2. y:, ZT): AB = ^{x, -X,)- +{y, - > ' , ) ' + ( z , - z , ) - - Goc giira hai vecta u = (x,y,z) va v ^ (x',y',z'): x.x'+y.y'+z.z' cos(i
Gidi Ta CO AB = (2; V3 ; 1), OC = (sinSt; cos3t; sin3t) Hai duong thang AB va OC vuong goc voi nhau khi va chi khi: A B . OC = 0 « 2sin5t + V3 cos3t + sin3t = 0. « sinSt + — cos3t + - sin3t = 0 2 2 sinSt + sin(3t ) = 0 o sin5t = sin(-3t + y ). Suy ra t = + k —, t = — + kn, k e Z. 24 4 3 Bai toan 3: Cho A(2; - 1 ; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3) a) Chimg minh rang: A. B, C la ba dinh cua mot tam giac b) Tim chan duong phan giac ngoai cua goc B cua tam giac ABC. Gidi a) BA = ( - 2 ; - l ; 2 ) , BC =(-14; 5; 2) Ta CO BA va BC khong cung phuong nen A. B, C la ba dinh cua mot tam giac. b) Goi BE la duong phan giac ngoai ciia goc B, khi do: B A E A EA _ 3 _ 1 BC ~ EC EC ~ 15 ~ 5 Vi 2 vecto EA, EC cung huong nen \a doan AC theo ti k=i=>E(5;-|:3). Bai toan 4: Cho b6n di§m A(-3; 5; 15), B(0; 0; 7), C(2; - 1 ; 4), D(4; -3; 0). Chung minh hai duong thang A B va CD cat nhau, hay tim toa do giao diem. Gidi Taco: AB =(3;-5;-8). AC =(5;-6;-11) AD = (7; -8; -15). CD = (2; -2; -4) Do do l A B , AC I = (7; -7; 7) =^ [ A B . A C ] . AD = 0 nen AB, CD dong phang. hon nxxa A B , CD khong cung phuong, do do 2 duong thang AB va CD cat nhau. Goi M(xvi; yvi. ZM) la giao diem cua AB va CD. Dat M A = k M B , MC = k ' M D . Ta c6: X» lex (1 X Ic X 3|A 2-4k' Xv, = — = ~ ~ 1-k 1-k' 1-k 1-k' 176
^YA-ky,, ^Yc-k'yp ^ 5 ^ - l + 3k' 1-k 1-k' 1-k 1-k' ^ -kz^ ^ y^.-k'Zp ^ 15-7k _ 4 1-k 1-k' 1-k 1 - k' - J Giai ra duac k' = — nen M ;ii 11 2 ' 2 Bai toan 5: Cho hai diSm A ( 2 ; 5; 3), B(3; 7; 4). T i m diSm C(x; y; 6) d l A , B , C liiang hang. Giai x-2 =k x =5 Ta CO A , B, C thdng hang A C = k A B « • y - 5 = 2k « y = ll. 3= k k =3 Vaydigm C(5; 11; 6). Bai toan 6: Cho tarn giac A B C vuong a A biSt A ( 4 ; 2; -1), B(3; 0; 2), C(x; -2; 1) a) Tim tarn va ban kinh ducmg tron ngoai tiep tarn giac A B C . b) T i m do dai duong cao ciia tam giac A B C ve t u dinh A . Giai a) Tam giac A B C vuong tai A nen A B ^ + AC^ = BC^ Ma AB^ = 1 + 4 + 9 - 14, AC^ = (x - 4)^ + 16 + 4 = (x - 4)^ + 20 BC^ = ( x - 3)^ + 4 + 1 = (x - 3)^ + 5 => X = 18 => C(18; -2; 1) Tam ducmg tron ngoai tiep I la trung diSm cua BC. r2i 3^ Nen I — ; - l ; - 2 ' 2? / BC V230 va ban kinh R = 2 2 b) Tam giac A B C vuong tai A , duong cao A H nen A H . B C = A B . A C AB.AC 6V4830 AH = BC 115 Bai toan 7: Cho hai di^m A ( 2 ; 0; -1), B(0; -2; 3) a) T i m toa do diem C e Oy de tam giac A B C c6 dien tich bang VTl va thoa man OC < 1.' ' b) T i m toa do diem D e (Oxz) de A B C D la hinh thang c6 canh day A B . Giai a) Goi C(0; y; 0) ^ A B = (-2; -2; 4), A C = (-2; y; 1). 177
Taco: SABC = V u ^ | [ A B , A C ] | = VTl^V(2+4y)- +36+(2y+4)' ^VTl « 20y^ + 32y + 12 = 0 o y = -1 (loai) vi OC < 1 hoac Y = - | (nhan) VayC(0;-|;0) b) Goi D(x; 0; z) G (OXZ) => D C = (-x; -1; -z) A B C D la hinh thang khi va chi khi A B , D C cung huong - X -1 - z > 0 < : ^ x = l , z = -2. -2 -2 VayD(l;0;-2) Bai toan 8: Cho tu dien ABCD c6: A(2; 1; -1), B(3; 0; 1), C(2; - 1 ; 3) va D thuoc true Oy. Tim toa dp dinh D biet VABCD = 5. Gidi Goi D(0; y; 0) thuoc true Oy. Ta eo: A B ^ ( 1 M ; 2), A D = (-2; y - ^ 1 ) , ^ C ^ ( 0 ; -2; 4) = > [ A B , A C ] - ( 0 ; -4; -2)=>[AB, A C ] AD =-4(y - 1) - 2 =-4y + 2. 1 Theo gia thiet VABCD = 5 » - [ AB, AC ] AD =5 6 o I - 4y + 2 = 30 o y = -7; y = 8 I Vay eo 2 dikm D tren true Oy: (0; -7; 0) va (0; 8; 0) Bai toan 9: Trong khong gian Oxyz, eho 4 digm A ( l ; 0; 3), B(-3; 1; 3), C ( l ; 5; 1) va M(x; y; 0). Tim gia tri nho nhat T ] 2 MA + MA+ MC Gidi Goi I la trung diem eua BC: =:>I(-1;3;2)=^ MB + MC = 2MI T = 2(MA + MI) ZA - 3 > 0 va z, = 2 > 0 => A va I nam ve eung 1 phia doi vai mp(Oxy) va M(x; y; 0) thuoe mp(Oxy) nen lay doi xung I ( - l ; 3; 2) qua mp(Oxy) thanh J(-l; 3; -2) ^ M I = MJ ^ T = 2(MA + MJ) ^ 2AJ = 2 V38 1 9 ^ r Dau = xay ra khi M la giao diem eua doan MJ voi mp(Oxy) la M — ; - ; 0 \ 5 5 y VayminT = 2V38 178