Ngành giáo dục tiểu học - Ôn thi tốt nghiệp Đại học phần toán cao cấp: Phần 2

Chia sẻ: Bin Bin | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:103

Thêm vào BST

Báo xấu

276
lượt xem 31
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo Phần 2 của Tài liệu Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp Đại học ngành giáo dục tiểu học phần toán cao cấp để nắm các kiến thức về: vành trường, biến ngẫu nhiên và phân phối xác xuất, thống kê toán học với nội dung được trình bày thành 2 phần (lý thuyết và bài tập lời giải) giúp các bạn nắm bắt kiến thức một cách khái quát nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ngành giáo dục tiểu học - Ôn thi tốt nghiệp Đại học phần toán cao cấp: Phần 2

Ch−¬ng IV : Vμnh -Tr−êng Tãm t¾t lÝ thuyÕt 4.1. Kh¸i niÖm vμnh 4.1.1. §Þnh nghÜa Vμnh lμ mét tËp hîp R cïng víi hai phÐp to¸n hai ng«i trªn R mμ ta th−êng kÝ hiÖu lμ + (phÐp céng) vμ . (phÐp nh©n) tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: 1) R lμ mét nhãm aben ®èi víi phÐp céng. 2) PhÐp nh©n cã tÝnh kÕt hîp. 3) PhÐp nh©n ph©n phèi vÒ hai phÝa ®èi víi phÐp céng. C¸c ®iÒu nμy cã nghÜa lμ tho¶ m·n : (R1) ∀x, y ∈ R, x + y = y + x. (R2) ∀x, y, z ∈ R, (x+ y) + z = x + (y + z). (R3) ∃ 0 ∈ R, ∀x ∈ R, x + 0 = x. (R4) ∀x ∈ R, ∃ –x ∈ R, x + (–x) = 0. (R5) ∀x, y, z ∈ R, (xy)z = x(yz). (R6) ∀x, y, z ∈ R, x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx. Khi hai phÐp to¸n ®Òu ®· râ, ta sÏ nãi ®¬n gi¶n : R lμ mét vμnh. 4.1.2. §Þnh nghÜa Vμnh R ®−îc gäi lμ giao ho¸n nÕu phÐp nh©n cña nã giao ho¸n, nghÜa lμ tho¶ m·n : (R7) ∀x, y ∈ R, xy = yx. Vμnh R ®−îc gäi lμ cã ®¬n vÞ nÕu R víi phÐp nh©n cña nã cã ®¬n vÞ, nghÜa lμ tho¶ m·n: (R8) ∃ 1 ∈ R, 1x = x1 = x, ∀x ∈ R. §−¬ng nhiªn, phÇn tö ®¬n vÞ cña mét vμnh nÕu tån t¹i lμ duy nhÊt. 4.1.3. TÝnh chÊt Cho R lμ mét vμnh. 1. 0x = x0 = 0, ∀x ∈ R. 2. (–x)y = x(–y) = –(xy), ∀x, y ∈ R. 3. (–x)(–y) = xy, ∀x, y ∈ R. 4. x(y – z) = xy – xz, (x – y)z = xz – yz, ∀x, y, z ∈ R. m n 5. (x1 + ... + xm)(y1 + ... + yn) = ∑∑ x y i =1 j =1 i j , ∀xi, yj ∈ R. 6. (nx)y = x(ny) = n(xy), ∀x, y ∈ R, n ∈ Z.
7. NÕu R lμ mét vμnh giao ho¸n th× : n n! (x + y)n = ∑ i !(n − i)! x y i =0 i n −i , ∀x, y ∈ R, n ∈ N. 4.1.4. ThÝ dô 1) TËp Z c¸c sè nguyªn, tËp Q c¸c sè h÷u tØ, tËp R c¸c sè thùc vμ tËp C c¸c sè phøc cïng víi hai phÐp to¸n céng vμ nh©n th«ng th−êng lμ nh÷ng vμnh giao ho¸n cã ®¬n vÞ. 2) TËp Zn c¸c sè nguyªn m«®ul« n cïng víi hai phÐp to¸n céng vμ nh©n sau lμ mét vμnh giao ho¸n cã ®¬n vÞ 1 : ∀x, y ∈ Z, x + y = x + y , x . y = x y . 3) XÐt tËp Z[x] (t.−. Q[x], R[x]) gåm c¸c ®a thøc víi hÖ sè nguyªn (t.− h÷u tØ, thùc). Víi phÐp céng vμ phÐp nh©n ®a thøc sau, Z[x] (t.−. Q[x], R[x]) lμ mét vμnh giao ho¸n cã ®¬n vÞ : Víi bÊt k× f(x), g(x) ∈ Z[x], f(x) = a0 + a1x +...+ anxn, g(x) = b0 + b1x +...+ bmxm (m ≤ n). f(x) + g(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + ..+ ( am + bm)xm + am+1xm+1 +...+ anxn. f(x)g(x) = c0 + c1x +...+ cm+nxm+n, ck = ∑ ab . i+ j=k i j 4) Cho G lμ mét nhãm aben víi phÐp to¸n kÝ hiÖu céng. Gäi End(G) lμ tËp hîp c¸c ®ång cÊu nhãm tõ G vμo G. Trªn End(G) xÐt hai phÐp to¸n sau : ∀f, g ∈ End(G), f + g x¸c ®Þnh bëi (f + g)(x) = f(x) + g(x), ∀x ∈ G. fg x¸c ®Þnh bëi (fg)(x) = f(g(x)), ∀x ∈ G. Khi ®ã End(G) lμ mét vμnh cã ®¬n vÞ lμ ¸nh x¹ ®ång nhÊt idG, vμnh nμy nãi chung kh«ng giao ho¸n vμ ®−îc gäi lμ vμnh c¸c tù ®ång cÊu cña nhãm aben G. 4.2. MiÒn nguyªn vμ tr−êng 4.2.1. §Þnh nghÜa Vμnh cã ®¬n vÞ R ®−îc gäi lμ mét thÓ nÕu ®¬n vÞ 1 ≠ 0 vμ mäi phÇn tö kh¸c 0 trong R ®Òu kh¶ nghÞch: nãi c¸ch kh¸c, nÕu R \ {0} lμ mét nhãm ®èi víi phÐp nh©n. Mçi thÓ giao ho¸n gäi lμ mét tr−êng. Nh− vËy tr−êng lμ mét vμnh giao ho¸n cã ®¬n vÞ 1 ≠ 0 sao cho mäi phÇn tö kh¸c 0 cña nã ®Òu kh¶ nghÞch. §iÒu kiÖn 1 ≠ 0 t−¬ng ®−¬ng víi ®iÒu kiÖn R kh«ng tÇm th−êng : R ≠ {0}.
4.2.2. ThÝ dô 1) Mçi vμnh Q, R, C ®Òu lμ mét tr−êng. Trong khi vμnh Z kh«ng lμ mét tr−êng v× c¸c phÇn tö kh¸c ± 1 ®Òu kh«ng kh¶ nghÞch trong Z. 2) Vμnh Zn c¸c sè nguyªn m«®ul« n lμ mét tr−êng nÕu vμ chØ nÕu n lμ mét sè nguyªn tè. ThËt vËy, Zn lμ mét tr−êng khi vμ chØ khi ∀ m ∈ Zn, m ≠ 0 , ∃ r ∈ Zn, sao cho m r =1 . §iÒu nμy t−¬ng ®−¬ng víi ∀ m ∈ Z, 0 < m < n, ∃r, s ∈ Z, sao cho rm + sn = 1, tøc lμ m vμ n nguyªn tè cïng nhau ∀m ∈ Z, 0 < m < n. §ã lμ ®iÒu kiÖn cÇn vμ ®ñ ®Ó n lμ mét sè nguyªn tè. 3) KÝ hiÖu H = R4 vμ 1 = (1, 0, 0, 0), i = (0, 1, 0, 0), j = (0, 0, 1, 0), k = (0, 0, 0, 1). Trªn H cã phÐp nh©n v« h−íng : ∀a ∈ R, ∀(x, y, z, t) ∈ H, a(x, y, z, t) = (ax, ay, az, at). Khi ®ã ∀(x, y, z, t) ∈ H, (x, y, z, t) cã biÓu diÔn duy nhÊt d−íi d¹ng (x, y, z, t) = x1 + yi + zj + tk. Trªn H xÐt 2 phÐp to¸n nh− sau : a) PhÐp céng : (x, y, z, t) + (x′, y′, z′, t′) = (x + x′, y + y′, z + z′, t + t′). b) PhÐp nh©n : PhÐp nh©n ®−îc x¸c ®Þnh bëi c¸c hÖ thøc sau : 1i = i1 = i, 1j = j1 = j, 1k = k1 = k, i2 = j2 = k2 = – 1. ij = – ji = k, jk = – kj = i, ki = – ik = j. DÔ kiÓm tra l¹i r»ng H lμ mét thÓ gäi lμ thÓ quaternion nh−ng kh«ng ph¶i lμ mét tr−êng. 4.2.3. §Þnh nghÜa Vμnh R gäi lμ vμnh cã −íc cña 0 nÕu tån t¹i a, b ∈ R, a ≠ 0, b ≠ 0 sao cho ab = 0. Khi ®ã a ®−îc gäi lμ mét −íc tr¸i cña 0 vμ b ®−îc gäi lμ mét −íc ph¶i cña 0. NÕu vμnh R giao ho¸n th× a vμ b ®−îc gäi lμ c¸c −íc cña 0. 4.2.4. §Þnh nghÜa Mét vμnh giao ho¸n R cã ®¬n vÞ 1 ≠ 0 vμ kh«ng cã −íc cña 0 ®−îc gäi lμ mét miÒn nguyªn. 4.2.5. MÖnh ®Ò Mét vμnh giao ho¸n R cã ®¬n vÞ 1 ≠ 0 lμ mét miÒn nguyªn khi vμ chØ khi trong R cã luËt gi¶n −íc: ab = ac, a ≠ 0 ⇒ b = c. víi mäi a, b, c ∈ R.
4.2.6. MÖnh ®Ò Mçi tr−êng ®Òu lμ mét miÒn nguyªn. §iÒu ng−îc l¹i lμ kh«ng ®óng. Tuy nhiªn mét miÒn nguyªn h÷u h¹n lμ mét tr−êng (Xem bμi tËp 1). 4.2.7. ThÝ dô 1) Z lμ mét miÒn nguyªn víi hai phÐp to¸n céng vμ nh©n th«ng th−êng. Vμnh Zn víi phÐp céng vμ phÐp nh©n c¸c sè nguyªn m«®ul« n lμ c¸c vμnh cã −íc cña 0 khi n lμ mét hîp sè. ⎛a b⎞ 2) Víi a, b, c, d ∈ R, b¶ng ⎜ ⎟ gäi lμ mét ma trËn vu«ng cÊp 2 hÖ sè thùc. Gäi ⎝c d⎠ M2(R) lμ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ma trËn vu«ng cÊp 2 hÖ sè thùc. Trªn M2(R), xÐt hai phÐp to¸n sau: ⎛ a b ⎞ ⎛ a′ b′ ⎞ ⎛ a + a′ b + b′ ⎞ a) PhÐp céng : ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ c d ⎠ ⎝ c′ d ′ ⎠ ⎝ c + c′ d + d ′ ⎠ ⎛ a b ⎞ ⎛ a′ b′ ⎞ ⎛ aa′ + bc′ ab′ + bd ′ ⎞ b) PhÐp nh©n : ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟. ⎝ c d ⎠ ⎝ c′ d ′ ⎠ ⎝ ca′ + dc′ cb′ + dd ′ ⎠ ⎛1 0⎞ Khi ®ã M2(R) lμ mét vμnh kh«ng giao ho¸n, cã ®¬n vÞ lμ ma trËn ⎜ ⎟ . Ngoμi ra, ⎝0 1⎠ ⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ M2(R) cßn lμ mét vμnh cã −íc cña 0. ThËt vËy, víi A = ⎜ ⎟ vμ B = ⎜ ⎟ lμ hai phÇn ⎝0 0⎠ ⎝1 0⎠ ⎛0 0⎞ tö kh¸c 0 (phÇn tö 0 cña M2(R) lμ ⎜ ⎟ ) mμ AB = 0. ⎝0 0⎠ 4.3. Vμnh con vμ i®ªan 4.3.1. §Þnh nghÜa Cho R lμ mét vμnh vμ S lμ mét tËp con cña R, ®ãng ®èi víi phÐp to¸n céng vμ nh©n trªn R (nghÜa lμ ∀x, y ∈ S, x + y ∈ S, xy ∈ S). S ®−îc gäi lμ mét vμnh con cña R nÕu S cïng víi hai phÐp to¸n c¶m sinh lμ mét vμnh. VËy khi S lμ mét vμnh con cña R th× S lμ mét nhãm con cña (R, +) vμ mét nöa nhãm con cña (R,.). NÕu vμnh con S lμ mét tr−êng th× nã ®−îc gäi lμ mét tr−êng con cña vμnh R. NÕu khi ®ã R còng lμ mét tr−êng th× nã ®−îc gäi lμ mét tr−êng më réng cña tr−êng S. 4.3.2. MÖnh ®Ò Cho S lμ mét tËp con kh¸c rçng cña vμnh R. Khi ®ã c¸c ®iÒu sau t−¬ng ®−¬ng : (i) S lμ mét vμnh con cña R.
(ii) Víi mäi x, y ∈ S, x + y ∈ S, – x ∈ S, xy ∈ S. (iii) Víi mäi x, y ∈ S, x – y ∈ S, xy ∈ S. 4.3.3. MÖnh ®Ò Cho R lμ mét vμnh cã ®¬n vÞ vμ S lμ mét tËp con cña R. Khi ®ã S lμ mét tr−êng con cña R khi vμ chØ khi S lμ mét vμnh con giao ho¸n cña R vμ víi mäi x ∈ S, x ≠ 0, x–1 ∈ S. 4.3.4. MÖnh ®Ò Giao cña mét hä kh¸c rçng c¸c vμnh con cña vμnh R lμ mét vμnh con cña R. 4.3.5. §Þnh nghÜa Cho R lμ mét vμnh vμ X lμ mét tËp con cña R. Gäi RX ≠ ∅ v× R ∈ RX vμ ∩ S lμ mét S ∈ RX vμnh con cña R, ®©y lμ vμnh con nhá nhÊt cña R chøa X. Vμnh con nμy ®−îc gäi lμ vμnh con cña R sinh ra bëi X, kÝ hiÖu < X >. 4.3.6. MÖnh ®Ò Cho R lμ mét vμnh vμ X lμ mét tËp con cña R. Khi ®ã : < x > = {∑ ± x1 xn ⏐ xi ∈ X, 1 ≤ i ≤ n, n ∈ N}. 4.3.7. ThÝ dô 1) Mçi vμnh sau ®©y lμ mét vμnh con cña vμnh ®øng sau: Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C, Z[x] ⊂ Q[x] ⊂ R[x] ⊂ C[x], M2(Z) ⊂ M2(Q) ⊂ M2(R) ⊂ M2(C). 2) NÕu p lμ mét sè nguyªn tè th× Z( p ) = {a + b p ⏐ a, b ∈ Z} lμ mét vμnh con cña R. ThËt vËy, Z( p ) ≠ ∅ (V× 0 ∈ Z( p )), ∀a, b, c, d ∈ Z, (a + b p ) – (c + d p ) = (a– c) + (b – d) p , (a + b p ) (c + d p ) = (ac + bdp) + (ad + bc) p ∈ Z( p ). Ta cßn cã : Z( p ) = < Z ∪ { p } >. ⎧ac + bpd = 1 NÕu a, b ∈ Q th× hÖ ph−¬ng tr×nh ⎨ cã nghiÖm ⎩bc + ad = 0 a −b (c = , d= 2 p ) ; nghÜa lμ a −b p 2 2 a − b2 p a −b (a + b p )–1 = + 2 p. a − b p a − b2 p 2 2
V× vËy, Q( p ) = {a + b p ⏐ a, b ∈ Q} lμ mét tr−êng con cña tr−êng R c¸c sè thùc. 4.3.8. §Þnh nghÜa Cho R lμ mét vμnh. Mét i®ªan tr¸i (t.−. ph¶i) cña vμnh R lμ mét nhãm con I cña nhãm céng R vμ tho¶ m·n ∀r ∈ R, ∀x ∈ I, rx ∈ I (t.−. xr ∈ I). Khi I võa lμ i®ªan tr¸i võa lμ i®ªan ph¶i cña R th× I ®−îc gäi lμ mét i®ªan (hai phÝa) cña R. §èi víi vμnh gi¸o ho¸n c¸c kh¸i niÖm i®ªan, i®ªan tr¸i vμ i®ªan ph¶i lμ trïng nhau. Theo ®Þnh nghÜa, nÕu I lμ mét i®ªan tr¸i hoÆc ph¶i cña R th× I lμ mét vμnh con cña R. Nh−ng ®iÒu ng−îc l¹i kh«ng ®óng. Ch¼ng h¹n, Z lμ mét vμnh con cña Q, nh−ng kh«ng ph¶i lμ mét i®ªan cña Q. Trong vμnh R bao giê còng cã hai i®ªan lμ 0 (= {0}) vμ R ®−îc gäi lμ hai i®ªan tÇm th−êng cña vμnh R. Mçi i®ªan kh¸c 0 vμ kh¸c R ®−îc gäi lμ mét i®ªan thùc sù. 4.3.9. MÖnh ®Ò Cho I lμ mét tËp con kh¸c rçng cña vμnh R. Khi ®ã c¸c ®iÒu sau t−¬ng ®−¬ng: (i) I lμ i®ªan tr¸i (t.−. ph¶i) cña vμnh R. (ii) ∀x, y ∈ I, ∀r ∈ R, x + y ∈ I, – x ∈ I, rx ∈ I (t.−. xr ∈ I) (iii) ∀x, y ∈ I, ∀r ∈ R, x – y ∈ I, rx ∈ I (t.−. xr ∈ I). 4.3.10. MÖnh ®Ò Cho R lμ mét vμnh vμ x1,..., xn ∈ R. Khi ®ã : Rx1 +...+ Rxn = {r1x1 +...+ rnxn⏐ r1,..., rn ∈ R}. x1R +...+ xnR = {x1r1 +...+ xnrn⏐ r1,..., rn ∈ R}. t−¬ng øng lμ i®ªan tr¸i vμ i®ªan ph¶i cña R. 4.3.11. MÖnh ®Ò Giao cña mét hä kh¸c rçng c¸c i®ªan tr¸i (t.−. ph¶i, hai phÝa) cña mét vμnh R lμ mét i®ªan tr¸i (t.−. ph¶i, hai phÝa) cña R. 4.3.12. §Þnh nghÜa Cho R lμ mét vμnh vμ X lμ mét tËp con cña R. Gäi IX lμ tËp c¸c i®ªan cña R chøa X, IX ≠ ∅ v× R ∈ IX vμ ∩ I lμ mét i®ªan tr¸i (t.−. ph¶i, hai phÝa) cña R ®©y lμ i®ªan tr¸i (t.−. ph¶i, I ∈I X hai phÝa) nhá nhÊt cña R chøa X. I®ªan nμy ®−îc gäi lμ i®ªan tr¸i (t.−. ph¶i, hai phÝa) cña R sinh ra bëi X, kÝ hiÖu (X > (t.−. < X), (X)). Khi X = R ta nãi (X > (t.−. < X), (X)) lμ i®ªan tr¸i (t.−. ph¶i, hai phÝa) chÝnh cña R.
4.3.13. MÖnh ®Ò Cho R lμ vμnh cã ®¬n vÞ vμ x1,..., xn ∈ R. Khi ®ã : (i) (x1,..., xn > = Rx1 +...+ Rxn (ii)
4.4. §ång cÊu vμnh 4.4.1. §Þnh nghÜa Cho R vμ R′ lμ c¸c vμnh. ¸nh x¹ f : R → R′ ®−îc gäi lμ mét ®ång cÊu vμnh nÕu : ∀x, y ∈ R, f(x + y) = f(x) + f(y), f(xy) = f(x)f(y). Nãi riªng, mçi ®ång cÊu vμnh nh− vËy lμ mét ®ång cÊu gi÷a c¸c nhãm céng (R, +) vμ (R′, +). §Æc biÖt, ta cã: f(0) = 0, f(–x) = – f(x), ∀x ∈ R. Ta kh«ng ®ßi hái mäi vμnh ®Òu cã ®¬n vÞ, nªn kh«ng b¾t buéc mäi ®ång cÊu vμnh f : R → R′ ph¶i cã tÝnh chÊt f(1) = 1′ ngay c¶ trong tr−êng hîp R vμ R′ cã ®¬n vÞ (t−¬ng øng lμ 1 vμ 1′). Tuy nhiªn, nÕu f ≠ 0 vμ R′ lμ mét miÒn nguyªn th× tõ hÖ thøc f(1) f(1) = f(1) vμ f(1) ≠ 0 suy ra r»ng f(1) = 1′. 4.4.2. §Þnh nghÜa Mét ®ång cÊu vμnh ®ång thêi lμ mét ®¬n ¸nh (t.−. toμn ¸nh, song ¸nh) ®−îc gäi lμ mét ®¬n cÊu (t.−. toμn cÊu, ®¼ng cÊu) vμnh. 4.4.3. MÖnh ®Ò 1) NÕu f : R → R′ vμ f’: R′ → R′′ lμ nh÷ng ®ång cÊu vμnh th× f ′ f : R → R′′ cïng lμ mét ®ång cÊu vμnh. 2) NÕu f : R → R′ lμ mét ®¼ng cÊu vμnh th× ¸nh x¹ ng−îc f-1 : R′ → R cïng lμ mét ®¼ng cÊu vμnh. NÕu cã mét ®¼ng cÊu vμnh f : R → R′ th× ta nãi R ®¼ng cÊu víi R′, kÝ hiÖu R ≅ R′. Quan hÖ ®¼ng cÊu lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng. 4.4.4. MÖnh ®Ò Cho f : R → R′ lμ mét ®ång cÊu vμnh. Khi ®ã ta cã : 1) NÕu S lμ mét vμnh con cña R vμ S′ lμ mét vμnh con cña R′ th× f(S) lμ mét vμnh con cña R′ vμ f–1(S′) lμ mét vμnh con cña R. 2) NÕu I lμ mét i®ªan tr¸i (t.−. ph¶i, hai phÝa) cña R vμ I′ lμ mét i®ªan tr¸i (t.−. ph¶i, hai phÝa) cña R′ th× f(I) lμ mét i®ªan tr¸i (t.−. ph¶i, hai phÝa) cña f(R) vμ f–1(I ′) lμ mét i®ªan tr¸i (t.−. ph¶i, hai phÝa) cña R. 4.4.5. §Þnh nghÜa Cho ®ång cÊu vμnh f : R → R′. Khi ®ã f(R) lμ mét vμnh con cña R′, gäi lμ ¶nh cña f, kÝ hiÖu Imf ; f–1(0R′) lμ mét i®ªan cña R, gäi lμ h¹t nh©n cña f, kÝ hiÖu Kerf.
4.4.6. MÖnh ®Ò Cho f : R → R′ lμ mét ®ång cÊu vμnh. Khi ®ã f lμ mét toμn cÊu khi vμ chØ khi Imf = R′ vμ lμ mét ®¬n cÊu khi vμ chØ khi Kerf = {0R}. 4.4.7. MÖnh ®Ò Cho f : R → R′ lμ mét ®ång cÊu vμnh. Khi ®ã ¸nh x¹ f : R/Kerf → R′ cho bëi f (x + Kerf) = f(x) lμ mét ®¬n cÊu vμnh. Tõ ®ã suy ra f : R/Kerf → Imf lμ mét ®¼ng cÊu vμnh. 4.4.8. ThÝ dô 1) Víi n lμ mét sè nguyªn d−¬ng, xÐt ¸nh x¹ f : Z → Zn cho bëi f(x) = x . Khi ®ã f lμ mét toμn ¸nh vμ f(x + y) = x + y = x + y = f(x) + f(y), f(xy) = xy = x y = f(x) f(y), nªn f lμ mét toμn cÊu. Ngoμi ra Kerf = {x ∈ Z ⏐ x = 0 } = {x⏐ x lμ mét béi sè cña n} = nZ. V× vËy, Z/nZ ≅ Zn . 2) Cho R lμ vμnh cã ®¬n vÞ 1R vμ sinh ra bëi 1R. XÐt ¸nh x¹ f : Z → R cho bëi f(m) = m.1R. Khi ®ã f lμ mét ®ång cÊu vμnh. Ngoμi ra, do 1R sinh vμnh R nªn Imf = R, nghÜa lμ f lμ mét toμn cÊu. Ta cã Kerf = {m ∈ Z⏐ m.1G = 0G}. NÕu R lμ vμnh v« h¹n tøc lμ cÊp cña 1 lμ v« h¹n (®èi víi nhãm céng R) th× Kerf = {0} hay f lμ mét ®¬n cÊu. Do ®ã Z ≅ R. NÕu R lμ h÷u h¹n th× cÊp cña 1 lμ h÷u h¹n, gi¶ sö lμ n. Khi ®ã Kerf = nZ. Do ®ã Z/nZ ≅ R. Bμi tËp vμ lêi gi¶i 1. Chøng minh r»ng mét miÒn nguyªn h÷u h¹n lμ mét tr−êng. Gi¶i Cho R lμ mét miÒn nguyªn h÷u h¹n, gi¶ sö R = {0, a1, a2,..., an}. Khi ®ã c¸c phÇn tö cña R* = {a1, a2,..., an} tho¶ m·n luËt gi¶n −íc. Do ®ã R* = { a1 a1,..., a1 a2,..., a1 an}. V× a1 ∈ R* nªn tån t¹i k sao cho a1 ak = a1. §Æt e = ak, víi 1 ≤ i ≤ n ta cã a1(eai) = (a1 e) ai = a1 ai, suy ra eai = ai hay e lμ phÇn tö ®¬n vÞ cña R. Víi mäi aj ∈ R*, R* = {a1 aj, a2 aj,..., an aj}. V× e ∈ R* nªn tån t¹i ai ∈ R* sao cho aiaj = e hay ai lμ phÇn tö nghÞch ®¶o cña aj. Do ®ã R lμ mét tr−êng. 2. Cho R lμ mét vμnh, Z lμ vμnh c¸c sè nguyªn, trªn tËp Z × R ta ®Þnh nghÜa 2 phÐp to¸n céng vμ nh©n nh− sau: (m, x) + (n, y) = (m + n, x + y), (m, x) (n, y) = (mn, my + nx + xy).
Chøng minh r»ng Z × R víi 2 phÐp to¸n nμy lμ mét vμnh cã ®¬n vÞ vμ R ®¼ng cÊu víi mét i®ªan cña vμnh nμy. T×m c¸c −íc cña kh«ng cña vμnh Z × Z. Gi¶i DÔ dμng cã ®−îc Z × R víi phÐp céng lμ mét nhãm aben. PhÐp nh©n trªn Z × R cã tÝnh kÕt hîp vμ ph©n phèi ®èi víi phÐp céng. ThËt vËy, ∀(m, x), (n, y), (p, z) ∈ Z × R, ((m, x) (n, y) (p, z)) = (mn, my + nx + xy) (p, z) = (mnp, mnz + pmy + pnx + pxy + myz + nxz + xyz) = (mnp, mnz + mpy + myz + npx + nxz + pxy + xyz) = (m, x) (np, nz + py + yz) = (m, x) ((n, y) (p, z)), (m, x) ((n, y) + (p, z)) = (m, x) (n + p, y + z) = (mn + mp, my + mz + nx + px + xy + xz) = (mn, my + nx + xy) + (mp, mz + px + xz) = (m, x) (n, y) + (m, x) (p, z). Ngoμi ra Z × R cã phÇn tö ®¬n vÞ lμ (1, 0). Do ®ã Z × R lμ mét vμnh cã ®¬n vÞ. §Æt I = {(0, x) ∈ Z × R } th× I lμ mét i®ªan cña Z × R. XÐt ¸nh x¹ f:R→Z×R:x (0, x). Râ rμng f lμ mét ®¬n ¸nh. Ngoμi ra ∀x, y ∈ R. f (x + y) = (0, x + y) = (0, x) + (0, y) = f(x) + f(y), f (xy) = (0, xy) = (0, x) (0, y) = f(x) f(y). VËy f lμ mét ®¬n cÊu, nghÜa lμ ta cã ®¼ng cÊu vμnh R ≅ Imf = I. C¸c −íc kh«ng cña Z × Z lμ {(n, –n) | n ∈ Z \ {0}}. 3. Cho S lμ mét tËp hîp, kÝ hiÖu P(S) lμ tËp gåm c¸c tËp con cña S. Chøng tá r»ng P(S) víi 2 phÐp to¸n céng vμ nh©n nh− sau : A + B = (A ∪ B) \ (A ∩ B), A . B = A ∩ B, ∀A, B ∈ P(S) lμ mét vμnh giao ho¸n cã ®¬n vÞ.
Gi¶i PhÐp céng chÝnh lμ hiÖu ®èi xøng cña hai tËp hîp. Tõ ®Þnh nghÜa ta cã : ∀A, B, C ∈ P(S), A + B = B + A, A . B = B . A, A + ∅ = A, A + A = A, (A . B) . C = A . (B . C), A . S = A. p q r p∨q p∧q (p ∨ q) ∧ ( p ∧ q ) p⊕q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 (p ⊕ q) ⊕ r q⊕r p ⊕ (q ⊕r) p ∧ (q ⊕ r) p∧r (p ∧ q) ⊕ (p ∧ r) 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 ∀A, B, C ∈ P(S), gäi p, q, r t−¬ng øng lμ c¸c mÖnh ®Ò x ∈ A, x ∈ B, x ∈ C. Khi ®ã x ∈ A + B chÝnh lμ mÖnh ®Ò tuyÓn lo¹i (XOR) p ⊕ q. B¶ng gi¸ trÞ ch©n lÝ ë trªn cho tÝnh kÕt hîp cña phÐp céng tõ cét 8 tõ 10, vμ phÐp nh©n cã tÝnh ph©n phèi ®èi víi phÐp céng tõ cét 11 tõ 13. Do ®ã P(S) cïng víi phÐp hiÖu ®èi xøng vμ phÐp giao lμ mét vμnh giao ho¸n cã ®¬n vÞ. 4. Gi¶ sö trong tËp X ®· cho hai phÐp to¸n céng vμ nh©n sao cho (X, +) lμ mét nhãm, (X, .) lμ mét vÞ nhãm vμ phÐp nh©n ph©n phèi ®èi víi phÐp céng. Chøng minh r»ng X lμ mét vμnh.
Gi¶i Ta chØ cÇn chøng minh phÐp céng cã tÝnh giao ho¸n. Víi mäi x, y ∈ X, gi¶ sö 1 lμ ®¬n vÞ cña (X, .), ta cã: (1 + 1) (x + y) = (1 + 1) x + (1 + 1) y =1x + 1x + 1y + 1y = x + x + y + y, (1 + 1) (x + y) = 1(x + y) + 1(x + y) = x + y + x + y. Dïng luËt gi¶n −íc trong nhãm (X, +) suy ra x + y = y + x 5. Cho S lμ mét tËp hîp, R lμ mét vμnh vμ η lμ mét song ¸nh tõ S lªn R. Chøng minh r»ng S víi 2 phÐp to¸n : a + b = η–1(η(a) + η(b)), ab = η–1(η(a) η(b)), ∀a, b ∈ S lμ mét vμnh vμ η lμ mét ®¼ng cÊu vμnh. Dïng ®iÒu nμy ®Ó chøng minh r»ng mét vμnh bÊt k× cã ®¬n vÞ 1 còng cßn lμ mét vμnh ®èi víi 2 phÐp to¸n a ⊕ b = a + b – 1, a * b = a + b – ab. Gi¶i V× R lμ mét vμnh víi phÇn tö kh«ng lμ 0R nªn ∀a, b, c ∈ S a + b = η–1 (η(a) + η(b)) = η–1 (η(b) + η(a)) = b + a (a + b) + c = η–1 (η(a + b) + η(c)) = η–1 (η(η–1(η(a) + η(b))) + η(c)) = η–1 (η(a) + η(b) + η(c)) = η–1 (η(a) + η(η–1(η(b) + η(c)))) = η–1 (η(a) + η(b + c)) = a + (b + c) Víi 0S = η–1 (0R), a + 0S = η–1 (η(a) + η(0S)) = η–1 (η(a) + 0R) = η–1 (η(a)) = a Víi – a = η–1 (– η(a)), a + (– a) = η–1 (η(a) + η(η–1(–η(a)))) = η–1 (η(a) + (– η(a))) = η–1 (0R) = 0S. (ab)c = η–1 (η(ab) η(c)) = η–1 (η(η–1(η(a) n(b)))) η(c)) = η–1 (η(a)) η(b) η(c))) = η–1 (η(a) η(η–1(η(b) η(c))) = η–1 (η(a) η(bc)) = a(bc) a(b + c) = η–1 (η(a) η(b + c)) = η–1 (η(a) η(η–1(η(b)+ η(c))))
= η–1 (η(a) (η(b) + η(c))) = η–1 (η(a) η(b) + η(a) η(c)) = η–1 (η(η–1(η(a)η(b))) + η(η–1 (η(a) η(c))) = η–1 (η(ab) + η(ac)) = ab + ac t−¬ng tù (b + c)a = ba + ca VËy S lμ mét vμnh. Do η lμ mét song ¸nh vμ (a + b) = η(a) + η(b), η(ab) = η(a)η(b) nªn η lμ mét ®¼ng cÊu. B©y giê, nÕu R lμ mét vμnh cã ®¬n vÞ 1 th× víi song ¸nh η : R → R cho bëi η (a) = 1 – a (khi ®ã η–1(a) = 1 – a), R còng lμ vμnh víi hai phÐp to¸n a ⊕ b = η–1 (η(a) + η(b)) = 1 – (1 – a + 1 – b) = a + b – 1 ab = η–1 (η(a) η(b)) = 1 – ((1 – a)(1 – b)) = a + b – ab. 6. Cho R lμ vμnh cã ®¬n vÞ 1 ≠ 0 vμ x, y ∈ R. Chøng minh r»ng : a) NÕu xy vμ yx kh¶ nghÞch th× x vμ y kh¶ nghÞch. b) NÕu R kh«ng cã −íc cña kh«ng vμ xy kh¶ nghÞch th× x vμ y kh¶ nghÞch. Gi¶i a) Gi¶ sö a vμ b lÇn l−ît lμ phÇn tö nghÞch ®¶o cña xy vμ yx, nghÜa lμ a(xy) = (xy)a = b(yx) = (yx)b = 1. §Æt x′ = by, x′′ = ya, y′ = ax, y′′ = xb th× x′x = xx′′ = 1 vμ y′y = yy′′ = 1. Do ®ã x′ = x′′ vμ y′ = y′′ lÇn l−ît lμ phÇn tö nghÞch ®¶o cña x vμ y b) Gi¶ sö a lμ phÇn tö nghÞch ®¶o cña xy, nghÜa lμ a(xy) = (xy)a = 1. Ta cã x ≠ 0, y ≠ 0, v× nÕu x = 0 hay y = 0 th× xy = 0 nªn xy kh«ng cã nghÞch ®¶o. §Æt x′ = ya vμ y′ = ax th× xx′ = y′y = 1. Khi ®ã : x(x′x – 1) = xx′x – x = 1x – x = 0 ⇒ x′x – 1 = 0 ⇒ x′x = 1, do R kh«ng cã −íc cña kh«ng vμ x ≠ 0. VËy x′ lμ phÇn tö nghÞch ®¶o cña x. T−¬ng tù y′ lμ phÇn tö nghÞch ®¶o cña y. 7. Cho R lμ vμnh h÷u h¹n. Chøng minh r»ng : a) NÕu R kh«ng cã −íc cña kh«ng th× nã cã ®¬n vÞ vμ mäi phÇn tö kh¸c kh«ng cña R ®Òu kh¶ nghÞch. b) NÕu R cã ®¬n vÞ th× mäi phÇn tö kh¶ nghÞch mét phÝa trong R ®Òu kh¶ nghÞch. Gi¶i a) Víi a ∈ R, a ≠ 0, xÐt ¸nh x¹ fa : R → R : x ax
fa lμ mét ®¬n ¸nh. ThËt vËy, ∀x, y ∈ R, ax = ay kÐo theo a (x – y) = 0 nªn x – y = 0 v× R lμ vμnh kh«ng cã −íc cña kh«ng vμ a ≠ 0. Do R lμ h÷u h¹n nªn fa lμ mét song ¸nh. V× vËy, víi a ∈ R tån t¹i e ∈ R sao cho fa(e) = ae = a. Ta chøng minh e lμ ®¬n vÞ cña R. ∀x ∈ R, a(ex – x) = (ae)x – ax = ax – ax = 0, v× a ≠ 0 nªn ex – x = 0 hay ex = x. Tõ ®ã ea = a vμ (xe – x)a = x(ea) –xa′ = xa – xa = 0. Do ®ã xe – x = 0 hay xe = x. V× fa lμ song ¸nh nªn víi e ∈ R, tån t¹i a′ ∈ R sao cho fa(a′) = aa′ = e. Ta cã a(a′a – e) = (aa′)a – ae = ea – ae = 0 nªn aa′ = e. VËy a′ lμ phÇn tö nghÞch ®¶o cña a. b) Gi¶ sö a cã nghÞch ®¶o tr¸i lμ a′, nghÜa lμ a′a = e. XÐt ¸nh x¹ fa : R → R : x ax. fa lμ mét ®¬n ¸nh. ThËt vËy, ∀x, y ∈ R, ax = ay kÐo theo a′(ax) = a′(ay), do ®ã x = y. Do R lμ h÷u h¹n nªn fa lμ mét song ¸nh. Khi ®ã víi ®¬n vÞ e cña R, tån t¹i a′′ ∈ R sao cho fa(a′′) = aa′′ = e, tøc lμ a cã nghÞch ®¶o ph¶i lμ a′′. T−¬ng tù nÕu a cã nghÞch ®¶o ph¶i th× a cã nghÞch ®¶o tr¸i nªn a kh¶ nghÞch. 8. Cho R lμ mét vμnh giao ho¸n vμ I lμ mét i®ªan sinh ra bëi phÇn tö a ∈ R. Chøng minh r»ng ⎪ I=⎨ { ⎧ ra⏐r ∈ R } NÕu R cã ®¬n vÞ { } ⎪ ra + na⏐r ∈ R vμ n ∈ Z NÕu R kh«ng cã ®¬n vÞ ⎩ Gi¶i Râ rμng {ra | r ∈ R} ≠ ∅ vμ {ra + na | r ∈ R vμ n ∈ Z} ≠ ∅. ∀r, s, t ∈ R, ∀n, m ∈ Z, ra – sa = (r – s)a, t (ra) = (tr)a ∈ {ra | r ∈ R}, (ra + na) – (sa + ma) = (r – s)a + (n – m)a, t(ra + na) = (tr + nt)a + 0a ∈ {(ra + na) | r ∈ R vμ n ∈ Z}. VËy {ra | r ∈ R} vμ {ra + na | r ∈ R vμ n ∈ Z} lμ c¸c i®ªan cña R. NÕu R cã ®¬n vÞ 1 th× a = 1a ∈ J = {ra | r ∈ R}. Gi¶ sö J lμ mét i®ªan cña R chøa a. Khi ®ã ra ∈ J, ∀r ∈ R hay {ra | r ∈ R} ⊂ J. Do ®ã {ra | r ∈ R} lμ i®ªan nhá nhÊt cña R chøa a. VËy I = {ra | r ∈ R}.
NÕu R kh«ng cã ®¬n vÞ th× ta cã a = 0a + 1a ∈ {ra + na | r ∈ R vμ n ∈ Z}. Gi¶ sö K lμ mét i®ªan cña R chøa a. Khi ®ã ra + na ∈ K, ∀r ∈ R, ∀n ∈ Z. Khi ®ã {ra + na | r ∈ R vμ n ∈ Z} ⊂ K. Do ®ã {ra + na | r ∈ R vμ n ∈ Z} lμ i®ªan nhá nhÊt cña R chøa a. VËy I = {ra + na | r ∈ R vμ n ∈ Z}. 9. Cho R lμ mét vμnh. a) Chøng minh r»ng Z(R) = {a ∈ R | ax = xa, ∀x ∈ R} lμ mét vμnh con giao ho¸n cña R, gäi lμ t©m cña R. NÕu R lμ mét thÓ th× Z(R) cã cÊu tróc g× ? b) X¸c ®Þnh t©m cña vμnh M2(R) c¸c ma trËn vu«ng cÊp 2 hÖ sè thùc. Gi¶i a) ∀x ∈ R, 0x = x0 ( = 0) hay 0 ∈ Z(R), nªn Z(R) ≠ ∅. ∀a, b ∈ Z(R), (a – b)x = ax – bx = xa – xb = x(a – b), ∀x ∈ R nªn a – b ∈ Z(R). (ab)x = a(bx) = a(xb) = (ax)b = (xa)b = x(ab), ∀x ∈ R nªn ab ∈ Z(R). Râ rμng ab = ba, ∀a, b ∈ Z(R). VËy Z(R) lμ mét vμnh con giao ho¸n cña R. NÕu R lμ mét thÓ víi ®¬n vÞ 1 th× Z(R) lμ mét tr−êng. ThËt vËy, ∀a ∈ Z(R), a ≠ 0, (nªn cã a–1 ∈ R), ∀x ∈ R, ax = xa hay xa–1 = a–1x, do ®ã a–1 ∈ Z(R). ⎧⎛ a 0 ⎞ ⎪ ⎫ ⎪ b) Z(M2(R)) = ⎨⎜ ⎟ a ∈R ⎬ . ⎩⎝ 0 a ⎠ ⎪ ⎪ ⎭ 10. T×m vμnh con cña vμnh R c¸c sè thùc sinh bëi tËp Z ∪ { 3 2 }. Gi¶i Gäi S = {a + b 3 2 + c 3 4 ⏐ a, b, c ∈ R} th× S ⊂ R, S ≠ ∅ v× 0 ∈ S vμ ∀a, b, c, a′, b′, c′ ∈ Z, (a + b 3 2 + c 3 4 ) – (a′ + b′ 3 2 + c′ 3 4 ) = (a – a′) + (b – b′) 3 2 + (c – c′) 3 4 ∈ S, (a + b 3 2 + c 3 4 )(a′ + b′ 3 2 + c′ 3 4 ) = (aa′ + bc′ + 2cb′) + (ab′ + ba′ + 2cc′) 3 2 + (ac′ +ca′ + bb′) 3 4 ∈ S. VËy S lμ mét vμnh con cña R. KiÓm tra dÔ dμng ®©y lμ mét vμnh con nhá nhÊt cña R chøa Z ∪ { 3 2 }. Do ®ã S lμ vμnh con cña R sinh bëi Z ∪ { 3 2 }. 11. a) Cho R vμ S lμ c¸c vμnh cã ®¬n vÞ. Chøng minh r»ng M lμ mét i®ªan cña vμnh tÝch R × S khi vμ chØ khi M = I × J, trong ®ã I vμ J lÇn l−ît lμ c¸c i®ªan cña R vμ S.
b) T×m c¸c i®ªan cña c¸c vμnh sau : Zn, Z2, R, R2. Gi¶i a) Ta cã c¸c toμn cÊu vμnh sau : p1 : R × S → R : (x, y) x, p2 : R × S → S : (x, y) y. NÕu I lμ mét i®ªan cña R vμ J lμ mét i®ªan cña S th× dÔ dμng cã ®−îc I × J lμ mét i®ªan cña R × S. Cho M lμ mét i®ªan cña vμnh tÝch R × S. §Æt I = p1 (M) vμ J = p2 (M) th× I vμ J lÇn l−ît lμ i®ªan cña R vμ S. ∀(x, y) ∈ M, x = p1(x, y) ∈ I, y = p2(x, y) ∈ J nªn (x, y) ∈ I × J. §¶o l¹i, ∀(x, y) ∈ I × J, ∃x1 ∈ R, y1 ∈ S sao cho (x, y1), (x1, y) ∈ M ; khi ®ã : (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (1R, 0) (x, y1) + (0, 1S) (x1, y) ∈ M, trong ®ã 1R vμ 1S lÇn l−ît lμ ®¬n vÞ cña R vμ S. Do ®ã M = I × J. b) C¸c i®ªan cña vμnh Zn lμ kZn trong ®ã 1 ≤ k ≤ n vμ k chia hÕt n. C¸c i®ªan cña vμnh Z2 lμ nZ × mZ trong ®ã n, m ∈ N. C¸c i®ªan cña vμnh R lμ {0} vμ R. C¸c i®ªan cña R2 lμ {(0, 0)}, {0} × R, R × {0} vμ R × R. 12. a) Cho p lμ mét sè nguyªn d−¬ng kh«ng chÝnh ph−¬ng. KÝ hiÖu Q( p )= {a + b p ⏐ a, b ∈ Q}, trong ®ã Q lμ tr−êng c¸c sè h÷u tØ. Chøng minh r»ng Q p lμ mét tr−êng. b) Chøng minh r»ng tr−êng Q( 3 ) kh«ng ®¼ng cÊu víi tr−êng Q( 5 ). Gi¶i a) Ta cã Q( p ) lμ mét tËp con kh¸c rçng cña tr−êng R c¸c sè vμ cã chøa sè nguyªn 1 (v× 1 = 1 + 0 p ). ∀ a, b, a′, b′ ∈ Q, (a + b p ) – (a′ + b′ p ) = (a –a′) + (b – b′) p (a + b p )(a′ + b′ p ) = (aa′ + pbb′) + (ab′ + ba′) p VËy Q( p ) lμ mét vμnh con cña R chøa 1 nªn nã lμ mét vμnh giao ho¸n cã ®¬n vÞ. Ngoμi ra, víi a + b p ∈ Q( p ) vμ kh¸c 0 (a vμ b kh«ng ®ång thêi b»ng 0), ta cã a2 –
a −b ⎛ a −b ⎞ pb2 ≠ 0, + 2 ∈ Q( p ) vμ (a + b p ) ⎜ 2 + 2 2 ⎟ = 1. Do ®ã a − pb a − pb 2 2 2 ⎝ a − pb a − pb ⎠ 2 Q( p ) lμ mét tr−êng. b) Gi¶ sö tån t¹i ®¼ng cÊu tr−êng f : Q( 3 ) → Q( 5 ), khi ®ã f(1) ≠ 0 vμ do f(1) = f(1.1) = f(1)f(1) nªn f(1) = 1. Tõ ®ã f(3) = f(1 + 1 + 1) = f(1) + f(1) + f(1) = 3. Gi¶ sö f( 3 ) = a + b 5 (víi a, b ∈ Q). Ta cã 3 = f(3) = f( 3 . 3 ) = f( 3 )2 = (a + b 5 )2 Hay a2 + 5b2 + 2ab 5 = 3 hay 2ab 5 = 3 – a2 – 5b2. NÕu a = b = 0 th× 0 = 3 : V« lÝ. 3 NÕu a = 0 vμ b ≠ 0 th× b = : V« lÝ. 5 NÕu b = 0 vμ a ≠ 0 th× a = 3 : V« lÝ. 3 − a 2 − 5b 2 NÕu a ≠ 0 vμ b ≠ 0 th× 5= : V« lÝ v× vÕ ph¶i lμ mét sè h÷u tØ nh−ng vÕ 2 ab tr¸i lμ mét sè v« tØ. ⎛ a b⎞ 13. Chøng minh r»ng tËp hîp c¸c ma trËn cã d¹ng ⎜ ⎟ , víi a, b lμ nh÷ng sè h÷u tØ tuú ⎝ 3b a ⎠ ý, lμ mét tr−êng ®èi víi phÐp céng vμ phÐp nh©n ma trËn, tr−êng nμy ®¼ng cÊu víi tr−êng F = {a + b 3 ⏐ a, b ∈ Q}, Q lμ tr−êng c¸c sè h÷u tØ. Gi¶i ⎧⎛ a b⎞ ⎫ §Æt T = ⎨⎜ ⎟ a, b ∈ Q ⎬ th× T lμ mét tËp con kh¸c rçng cña vμnh M2(Q) c¸c ma ⎩⎝ 3b a⎠ ⎭ ⎛1 0⎞ trËn vu«ng cÊp 2 trªn Q víi phÐp céng vμ nh©n vμ chøa ma trËn ®¬n vÞ ⎜ ⎟ . Ta cã: ⎝0 1⎠ ⎛a b ⎞ ⎛ a′ b′ ⎞ ⎛ a − a′ b − b′ ⎞ ⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟, ⎝ 3b a ⎠ ⎝ 3b′ a′ ⎠ ⎝ 3(b − b′) a − a′ ⎠ ⎛a b ⎞ ⎛ a′ b′ ⎞ ⎛ aa′ + 3bb′ ab′ + ba′ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ′ ′⎟ = ⎜ ⎟, ⎝ 3b a ⎠ ⎝ 3b a ⎠ ⎝ 3(ba′ + ab′) 3bb′ + aa′ ⎠ ⎛ a b ⎞ ⎛ a′ b′ ⎞ ⎛ a′ b′ ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎜ ⎟⎜ ′ ′⎟ = ⎜ ′ ′⎟⎜ ⎟. ⎝ 3b a ⎠ ⎝ 3b a ⎠ ⎝ 3b a ⎠ ⎝ 3b a ⎠
VËy T lμ mét vμnh con giao ho¸n cña M2(Q) cã chøa ®¬n vÞ cña M2(Q). Do ®ã T lμ ⎛ a b⎞ ⎛0 0⎞ ⎟≠⎜ 2 2 mét vμnh giao ho¸n kh¸c 0 cã ®¬n vÞ. Ngoμi ra, víi ⎜ ⎟ , (khi ®ã a – 3b ⎝ 3b a ⎠ ⎝ 0 0 ⎠ ≠ 0), ta cã : ⎛ a −b ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎜ a 2 − 3b2 a − 3b 2 2 ⎟ ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟. ⎝ 3b a ⎠ ⎜ −3b a ⎟ ⎝0 1⎠ ⎜ 2 ⎟ ⎝ a − 3b2 a − 3b 2 2 ⎠ Do ®ã T lμ mét tr−êng. XÐt ¸nh x¹ ⎛ a b⎞ f:T→F: ⎜ ⎟ a + b 3. ⎝ 3b a ⎠ Râ rμng f lμ mét toμn ¸nh. f cßn lμ mét ®¬n ¸nh v× víi a + b 3 = a′ + b′ 3 th× a = a′ vμ b = ⎛ a b ⎞ ⎛ a′ b′ ⎞ b′ tøc lμ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟. ⎝ 3b a ⎠ ⎝ 3b′ a′ ⎠ Ngoμi ra, ⎛ a b ⎞ ⎛ a′ b′ ⎞ ⎛ a + a′ b + b′ ⎞ f( ⎜ ⎟ + ⎜ ′ ′ ⎟ ) = f( ⎜ ⎟) ⎝ 3b a ⎠ ⎝ 3b a ⎠ ⎝ 3(b + b′) a + a′ ⎠ = (a + a′) + (b + b′) 3 = (a + b 3 ) + (a′ + b′ 3 ) ⎛ a b⎞ ⎛ a′ b′ ⎞ = f( ⎜ ⎟ ) + f( ⎜ ′ ′ ⎟ ), ⎝ 3b a ⎠ ⎝ 3b a ⎠ ⎛ a b ⎞ ⎛ a′ b′ ⎞ ⎛ aa′ + 3bb′ ab′ + ba′ ⎞ f( ⎜ ⎟ ⎜ ′ ′ ⎟ ) = f( ⎜ ⎟) ⎝ 3b a ⎠ ⎝ 3b a ⎠ ⎝ 3(ba′ + ab′) 3bb′ + aa′ ⎠ = (aa′ + 3bb′) + (ab′ + ba′) 3 = (a + b 3 )(a′ + b′ 3 ) ⎛ a b⎞ ⎛ a′ b′ ⎞ = f( ⎜ ⎟ ) f( ⎜ ′ ′ ⎟ ). ⎝ 3b a ⎠ ⎝ 3b a ⎠ VËy f lμ mét ®¼ng cÊu. 14. Cho R lμ vμnh giao ho¸n cã ®¬n vÞ, I vμ J lμ 2 i®ªan cña R sao cho I + J = R vμ I ∩ J = {0}. Chøng minh r»ng I vμ J lμ nh÷ng vμnh giao ho¸n cã ®¬n vÞ vμ R ≅ I × J. Gi¶i I vμ J lμ nh÷ng i®ªan cña vμnh giao ho¸n R nªn chóng lμ nh÷ng vμnh con cña R. §¬n vÞ 1 ∈ R = I + J nªn tån t¹i a ∈ I vμ b ∈ J sao cho a + b = 1. Khi ®ã víi mäi x ∈ I, ta cã ax + bx = x. V× b ∈ J vμ x ∈ I nªn bx ∈ I ∩ J hay bx = 0. Do ®ã ax = a hay a lμ phÇn tö ®¬n vÞ cña I. T−¬ng tù b lμ phÇn tö ®¬n vÞ cña J. V× vËy I vμ J lμ nh÷ng vμnh giao ho¸n cã ®¬n vÞ. Víi mçi r ∈ R, ta cã r = ra + rb, trong ®ã ra ∈ I vμ rb ∈ J. XÐt ¸nh x¹
f :R→I×J :r (ra, rb). f lμ mét ®ång cÊu vμnh. ThËt vËy, ∀r, s ∈ R, f(r + s) = ((r + s)a, (r + s)b) = (ra, rb) + (sa, sb) = f(r) + f(s) f(rs) = (rsa, rsb) = (ra sa, rb sb) = (ra, rb)(sa, sb) = f(r) f(s). (ra, rb) = (0, 0) ⇒ ra = rb = 0 ⇒ r = ra + rb = 0 ⇒ f lμ mét ®¬n cÊu. Ngoμi ra, ∀ (x, y) ∈ I × J, ∃r = x + y ∈ R sao cho f(r) = ((x + y)a, (x + y)b) = (xa + ya, xb + yb) = (xa, yb) = (x, y) (v× ya, xb ∈ I ∩ J nªn ya = xb = 0), nªn f lμ mét toμn cÊu. VËy f lμ mét ®¼ng cÊu vμnh. 15. Gi¶ sö A lμ mét miÒn nguyªn vμ nhãm con cña nhãm céng cña A lμ mét i®ªan cña A. Chøng minh r»ng A ®¼ng cÊu víi mét vμnh con cña vμnh sè nguyªn Z hoÆc A ®¼ng cÊu víi vμnh Zp c¸c sè nguyªn mod p, p lμ sè nguyªn tè. Gi¶i LÊy a ∈ A \ {0}. Nhãm con I cña nhãm céng A sinh bëi a lμ mét i®ªan cña A. Do ®ã víi mçi nhãm x ∈ A, tån t¹i zx ∈ Z sao cho ax = zxa. * ∀m ∈ Z \ {0}, ma ≠ 0 : ∀x, y ∈ A, ∃zx, zy ∈ Z, ax = zxa, ay = zya ; khi ®ã, x = y ⇔ ax = ay ⇔ zxa = zya ⇔ (zx – zy)a = 0 ⇔ (zx – zy) = 0 ⇔ zx = zy ; do ®ã ¸nh x¹ : f :A→Z :x zx lμ mét ®¬n ¸nh. Ngoμi ra, do a(x + y) = ax + ay = (zx + zy)a vμ a(xy) = (ax)y = (zxa)y = zx(ay) = zx (zya) = (zxzy)a nªn f(x + y) = f(x) + f(y), f(xy) = f(x)f(y). VËy f lμ mét ®¬n cÊu vμnh hay A ®¼ng cÊu víi vμnh con f(A) cña vμnh Z. * ∃m ∈ Z \ {0}, ma = 0 : Gäi p lμ sè nguyªn d−¬ng nhá nhÊt sao cho pa = 0 . NÕu p = qr víi 1 < q, r < p th× qa.ra = qra2 = pa.a = 0 nªn qa = 0 hay ra = 0 (do A lμ mét miÒn nguyªn). §iÒu nμy dÉn ®Õn m©u thuÉn víi tÝnh nhá nhÊt cña p. VËy p lμ mét sè nguyªn tè. ∀ x, y ∈ A, ∃zx, zy ∈ Z, ax = zxa, ay = zya ; khi ®ã x = y ⇔ ax = ay ⇔ zxa = zya ⇔ (zx – zy)a = 0 ⇔ p|(zx – zy) ⇔ z x = zy (trong Zp) ; do ®ã ¸nh x¹ f : A → Zp : x zx lμ mét ®¬n ¸nh. Do z x + z y = zx + z y , zx zy = zx zy nªn f lμ mét ®¬n cÊu vμnh. V× f ≠ 0 nªn f(A) = Zp hay f cßn lμ mét toμn cÊu. VËy f lμ mét ®¼ng cÊu vμnh. 16. Cho R lμ vμnh giao ho¸n cã ®¬n vÞ, A vμ B lμ 2 i®ªan cña R sao cho A + B = R. Chøng minh r»ng A ∩ B = AB vμ cã ®¼ng cÊu vμnh
R/AB ≅ R/A × R/B. Gi¶i V× AB ⊂ A vμ AB ⊂ B nªn AB ⊂ A ∩ B. Do A + B = R nªn tån t¹i a ∈ A vμ b ∈ B sao cho a + b = 1. Víi mäi x ∈ A ∩ B, x = ax + bx ∈ AB hay A ∩ B ⊂ AB. VËy A ∩ B = AB. XÐt ¸nh x¹ f : R → R/A × R/B : x (x + A, x + B). ∀x, x′ ∈ R, f(x + x′) = (x + x′ + A, x + x′ + B) = (x + A, x + B) + (x′ + A,x′ + B) = f(x) + f(x′) vμ f(xx′) = (xx′ + A, xx′ + B) = ((x + A)(x′ + A), (x + B)(x′ + B)) = (x + A, x + B)(x′ + A, x′ + B) = f(x)f(x′). Do ®ã f lμ mét ®ång cÊu vμnh. ∀(y + A, z + B) ∈ R/A × R/B, ∃x = yb + za (ë ®©y y = ya + yb vμ z = za + zb) sao cho x – y = za – ya = (z – y)a ∈ A vμ x – z = (y – z)b ∈ B, tøc lμ f(x) = (x +A, x + B) = (y + A, z + B). Do ®ã f lμ mét toμn cÊu vμnh. x ∈ Kerf ⇔ f(x) = (x + A, x + B) = (A, B) ⇔ x + A = A ⇔ vμ x + B = B ⇔ x ∈ A vμ x ∈ B ⇔ x ∈ A ∩ B = AB. Do ®ã Kerf = AB. VËy R/Kerf ≅ Imf hay R/AB ≅ R/A × R/ B. 17. Cho J lμ mét i®ªan cña vμnh R. Chøng minh mçi i®ªan cña vμnh th−¬ng R/J ®Òu cã d¹ng I/J, trong ®ã I lμ mét i®ªan cña R chøa J vμ cã ®¼ng cÊu vμnh (R/J) / (I/J) ≅ R/I. Gi¶i XÐt phÐp chiÕu chÝnh t¾c π : R → R/J. Gi¶ sö I′ lμ mét i®ªan cña R/J. Khi ®ã I = π – 1 (I′) lμ mét i®ªan cña R vμ I′ = π (I) = I/J. XÐt phÐp t−¬ng øng f : R/J → R/I : x + J x + I. f lμ mét ¸nh x¹ v× x + J = y + J kÐo theo x – y ∈ J nªn x – y ∈ I hay x + I = y + I. Râ rμng f lμ mét toμn ¸nh. Ngoμi ra, f ((x + J) + (y + J)) = f (x + y + J) = x + y + I =(x + I) + (y + I) = f (x + J) + f (y + J), f ((x + J) (y + J)) = f (xy + I) = xy + I = (x + I) (y + I) = f (x + J) f (y + J). Do ®ã f lμ mét toμn cÊu. x + J ∈ Kerf ⇔ f (x + J) = x + I = I ⇔ x ∈ I ⇔ x + J ∈ I/J. VËy (R/J) / Kerf ≅ Imf hay (R/J) / (I/J) ≅ R/I.