Nghiệm hữu hiệu yếu và điều kiện tối ưu cho bất đẳng thức biến phân vector

NghiÖm h÷u hiÖu yÕu vµ ®iÒu kiÖn tèi ­u cho bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vect¬<br /> §inh DiÖu H»ng∗<br /> §¹i häc c«ng nghÖ th«ng tin<br /> <br /> & truyÒn th«ng - §¹i häc Th¸i Nguyªn<br /> <br /> §ç V¨n L­u<br /> ViÖn To¸n häc, ViÖn Hµn l©m Khoa häc vµ C«ng nghÖ ViÖt Nam<br /> <br /> Tãm t¾t<br /> Trong bµi b¸o nµy chóng t«i chøng minh ®iÒu kiÖn cÇn tèi ­u cho nghiÖm h÷u hiÖu yÕu cña bÊt ®¼ng thøc biÕn<br /> ph©n vect¬ cã rµng buéc ®¼ng thøc vµ bÊt ®¼ng thøc. Víi c¸c gi¶ thiÕt vÒ tÝnh låi suy réng cho c¸c hµm d÷ liÖu<br /> cña bµi to¸n th× ®iÒu kiÖn cÇn trë thµnh ®iÒu kiÖn ®ñ.<br /> <br /> Tõ kho¸:<br /> <br /> Bµi to¸n c©n b»ng, nghiÖm h÷u hiÖu yÕu, ®iÒu kiÖn tèi ­u, d­íi vi ph©n Clarke, Jacobian Clarke.<br /> <br /> Më ®Çu<br /> <br /> 1<br /> <br /> Rp . KÝ hiÖu g = (g1 , ...gm ), h =<br /> (h1 , ..hr ), I = {1, ..., m} , J = {1, ..., r}. Víi tËp<br /> <br /> nhän trong<br /> hîp<br /> <br /> C¸c bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vect¬ ®·<br /> thu hót sù quan t©m cña nhiÒu nhµ to¸n häc bëi<br /> <br /> K = {x ∈ Rn : gi (x) ≤ 0(∀i ∈ I), hj (x) = 0(∀j ∈ J)}.<br /> <br /> ph¹m vi øng dông cña nã. C¸c ®iÒu kiÖn tèi ­u<br /> <br /> XÐt bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n sau:<br /> <br /> cho c¸c bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vect¬ vµ<br /> <br /> T×m<br /> <br /> bµi to¸n c©n b»ng ®· ®­îc nghiªn cøu bëi nhiÒu<br /> <br /> x∈K<br /> <br /> sao cho<br /> <br /> T (x)(y − x) ∈<br /> / −Q\{0} (∀y ∈ K).<br /> <br /> t¸c gi¶ (xem ch¼ng h¹n [4] - [7]). Cho ®Õn nay<br /> nhiÒu kÕt qu¶ chØ ®­îc thiÕt lËp cho c¸c bµi to¸n<br /> <br /> NÕu<br /> <br /> bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n cã rµng buéc tËp hoÆc cã<br /> <br /> h÷u hiÖu yÕu cña (1.1) nÕu<br /> <br /> rµng buéc bÊt ®¼ng thøc låi, kh¶ vi.<br /> <br /> intQ 6= ∅,<br /> <br /> vect¬<br /> <br /> x∈K<br /> <br /> (1.1)<br /> <br /> ®­îc gäi lµ nghiÖm<br /> <br /> T (x)(y − x) ∈<br /> / −intQ (∀y ∈ K).<br /> <br /> (1.2)<br /> <br /> Môc ®Ých cña bµi b¸o nµy lµ thiÕt lËp c¸c ®iÒu kiÖn<br /> <br /> Trong bµi nµy ta sÏ thiÕt lËp ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®iÒu<br /> <br /> tèi ­u cho nghiÖm h÷u hiÖu yÕu cña bÊt ®¼ng thøc<br /> <br /> kiÖn ®ñ tèi ­u cho nghiÖm h÷u hiÖu yÕu cña (1.1)<br /> <br /> biÕn ph©n vect¬ víi c¸c rµng buéc Lipschitz ®Þa<br /> <br /> d­íi ng«n ng÷ gradient suy réng Clarke vµ Jaco-<br /> <br /> ph­¬ng lo¹i ®¼ng thøc vµ bÊt ®¼ng thøc vµ ®iÒu<br /> <br /> bian suy réng Clarke. Chóng t«i nh¾c l¹i mét sè<br /> <br /> kiÖn chÝnh quy Mangasarian - Fromovitz suy réng.<br /> <br /> kh¸i niÖm cÇn thiÕt trong gi¶i tÝch Lipschitz.<br /> <br /> C¸c ®iÒu kiÖn tèi ­u ®­îc thiÕt lËp d­íi ng«n ng÷<br /> <br /> Cho hµm gi¸ trÞ thùc<br /> <br /> Clarke.<br /> <br /> f x¸c ®Þnh trªn Rn , Lipschitz<br /> ®Þa ph­¬ng t¹i x<br /> ¯ ∈ Rn . §¹o hµm theo ph­¬ng<br /> Clarke cña f t¹i x<br /> ¯ theo ph­¬ng v ®­îc x¸c ®Þnh<br /> <br /> Ph¸t triÓn bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vect¬<br /> <br /> nh­ sau (xem [1]):<br /> <br /> gradient suy réng Clarke vµ Jacobian suy réng<br /> <br /> sÏ ®­îc nghiªn cøu trong bµi nµy.<br /> <br /> f 0 (¯<br /> x; v) = lim sup<br /> x→¯<br /> x t↓0<br /> <br /> Gi¶ sö<br /> <br /> T<br /> <br /> n vµo kh«ng gian<br /> lµ ¸nh x¹ tõ R<br /> <br /> £(Rn , Rp ) gåm c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc<br /> n<br /> p<br /> tõ R vµo R ; g1 , ...gm , h1 , ..hr lµ c¸c hµm gi¸<br /> n<br /> trÞ thùc x¸c ®Þnh trªn R ; Q lµ mét nãn låi ®ãng<br /> 0<br /> <br /> f (x + tv) − f (x)<br /> .<br /> t<br /> <br /> Gradient suy réng Clarke cña f t¹i<br /> <br /> x<br /> ¯ ®­îc x¸c ®Þnh<br /> <br /> bëi<br /> <br /> <br /> <br /> ∂f (¯<br /> x) = ξ ∈ Rn :< ξ, v >≤ f 0 (¯<br /> x; v), ∀v ∈ Rn ,<br /> <br /> *Tel: 0934445889, e-mail: dinhhangch16tn@gmail.com<br /> <br /> 161Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên<br /> <br /> http://www.lrc-tnu.edu.vn<br /> <br /> trong ®ã<br /> <br /> < ., . > kÝ hiÖu tÝch v« h­íng trong Rn .<br /> <br /> MÖnh ®Ò 4.2[3] ®· chØ ra r»ng (I) vµ (II) t­¬ng<br /> ®­¬ng.<br /> <br /> f : Rn → Rr lµ hµm vect¬ Lipschitz ®Þa<br /> ph­¬ng t¹i x<br /> ¯, th× Jacobian suy réng Clarke cña f<br /> t¹i x<br /> ¯ ®­îc x¸c ®Þnh bëi (xem [1])<br /> <br /> <br /> ∂J f (¯<br /> x) = co lim ∇f (xi ) : xi → x<br /> ¯, xi ∈ S ,<br /> <br /> NÕu<br /> <br /> i→∞<br /> <br /> KÝ hiÖu<br /> <br /> Q∗<br /> <br /> lµ nãn liªn hîp cña Q:<br /> <br /> Q∗ = {ξ ∈ R :< ξ, v >≥ 0,<br /> KÝ hiÖu<br /> <br /> T (¯<br /> x)∗<br /> <br /> ∀v ∈ Q} .<br /> <br /> lµ to¸n tö liªn hîp cña<br /> <br /> T (¯<br /> x).<br /> <br /> B©y giê ta cã thÓ ph¸t triÓn ®iÒu kiÖn cÇn tèi ­u<br /> cho nghiÖm h÷u hiÖu yÕu cña (1.1).<br /> <br /> ∇f (xi ) lµ ma trËn Jacobi cña f t¹i ®iÓm<br /> xi cña f , S lµ tËp c¸c ®iÓm mµ f kh¶ vi<br /> FrÐchet, co kÝ hiÖu bao låi. Chó ý r»ng c¸c phÇn<br /> tö cña ∂J f (¯<br /> x) lµ c¸c r × n - ma trËn, vµ<br /> trong ®ã<br /> <br /> kh¶ vi<br /> <br /> ∂J f (¯<br /> x) ⊆ ∂f1 (¯<br /> x) × ... × ∂fr (¯<br /> x).<br /> Nh¾c l¹i r»ng d­íi vi ph©n cña hµm låi gi¸ trÞ thùc<br /> <br /> f x¸c ®Þnh trªn Rn<br /> ∀x ∈ X<br /> <br /> t¹i<br /> <br /> x<br /> ¯ ∈ Rn<br /> <br /> ®­îc x¸c ®Þnh bëi:<br /> <br /> §Þnh<br /> <br /> lÝ<br /> <br /> ¯+<br /> 0 ∈ T (¯<br /> x)∗ λ<br /> <br /> x<br /> ¯ th× (xem [1, MÖnh ®Ò 2.2.7])<br /> ∂f (¯<br /> x) = ∂C (¯<br /> x).<br /> <br /> §iÒu kiÖn cÇn tèi ­u cho nghiÖm<br /> h÷u hiÖu yÕu<br /> <br /> Gi¶ sö<br /> <br /> I(¯<br /> x) = {i ∈ I :<br /> <br /> f (x) = T (¯<br /> x)(x − x<br /> ¯) vµ<br /> f1 (x) = f (x + x<br /> ¯). Khi ®ã f, f1 : Rn →<br /> p<br /> R , f (¯<br /> x) = 0, f lµ ¸nh x¹ affine vµ f1 lµ ¸nh<br /> <br /> Chøng<br /> <br /> minh<br /> <br /> §Æt<br /> <br /> x¹ tuyÕn tÝnh. Theo §Þnh lÝ 3.1[4] vÒ v« h­íng<br /> hãa, tån t¹i hµm d­íi céng tÝnh thuÇn nhÊt d­¬ng<br /> <br /> l trªn Rp sao cho<br /> m·n y2 − y1 ∈ intQ th×<br /> liªn tôc<br /> <br /> nÕu<br /> <br /> f (¯<br /> x) = 0 vµ l lµ hµm thuÇn nhÊt d­¬ng, cho<br /> x<br /> ¯ lµ nghiÖm cña bµi to¸n v« h­íng sau:<br /> <br /> Bëi v×<br /> nªn<br /> <br /> min l ◦ f (x),<br /> <br /> v0 ∈ Rn sao cho<br /> < ξi , v0 >< 0 (∀ξi ∈ ∂gi (¯<br /> x), ∀i ∈ I(¯<br /> x)),<br /> γv0 = 0 (∀γ ∈ ∂J h(¯<br /> x)),<br /> víi bÊt k× γ ∈ ∂J h(¯<br /> x), c¸c hµng ma trËn γ<br /> <br /> ®©y: Tån t¹i<br /> <br /> gi (x) ≤ 0,<br /> <br /> i ∈ I,<br /> <br /> hj (x) = 0,<br /> <br /> j ∈ I.<br /> <br /> (P 1)<br /> <br /> l◦f<br /> <br /> Do c¸c hµm<br /> <br /> Ta gäi ®©y lµ ®iÒu kiÖn chÝnh quy (I).<br /> <br /> MÖnh ®Ò 2.2.6[1] ta suy ra<br /> <br /> Ta còng ®­a vµo ®iÒu kiÖn chÝnh quy (II): víi mäi<br /> <br /> schitz ®Þa ph­¬ng.<br /> <br /> µi ≥ 0(∀i ∈ I(¯<br /> x)), ν ∈ Rn<br /> <br /> µ<br /> ¯i ≥ 0,<br /> <br /> kh«ng ®ång thêi b»ng<br /> <br /> vµ<br /> <br /> l ◦ f1<br /> <br /> lµ mét hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh.<br /> <br /> 0 ∈ ∂(l ◦ f )(¯<br /> x) +<br /> µi ∂gi (¯<br /> x) + ν∂J h(¯<br /> x).<br /> <br /> i∈I(¯<br /> x)<br /> <br /> 162Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên<br /> <br /> låi liªn tôc, ¸p dông<br /> <br /> l◦f<br /> <br /> vµ<br /> <br /> l ◦ f1<br /> <br /> Lip-<br /> <br /> Theo §Þnh lÝ 3.3[3], tån t¹i<br /> <br /> (∀i ∈ I(¯<br /> x)), ν¯ ∈ Rp<br /> <br /> 0,<br /> <br /> 0∈<br /> /<br /> <br /> tháa<br /> <br /> l ◦ f (x) ≥ 0 (∀x ∈ K).<br /> <br /> Mangasarian - Fromovitz suy réng (xem [3]) sau<br /> <br /> X<br /> <br /> y1 , y2 ∈ Rp<br /> <br /> l(y1 ) < l(y2 )<br /> <br /> gi (¯<br /> x) = 0} .<br /> <br /> biÕn ph©n (1.1) ta ®­a vµo ®iÒu kiÖn chÝnh quy<br /> <br /> (iii)<br /> <br /> µ<br /> ¯i ∂gi (¯<br /> x) + ν¯∂J h(¯<br /> x).<br /> <br /> vµ<br /> <br /> §Ó dÉn ®iÒu kiÖn cÇn tèi ­u cho bÊt ®¼ng thøc<br /> <br /> (ii)<br /> <br /> X<br /> i∈I(¯<br /> x)<br /> <br /> x<br /> ¯ lµ nghiÖm h÷u hiÖu yÕu cña bÊt ®¼ng thøc<br /> <br /> biÕn ph©n (1.1). §Æt<br /> <br /> (i)<br /> <br /> sao<br /> <br /> cho<br /> <br /> lµ hµm gi¸ trÞ thùc låi vµ Lipschitz ®Þa<br /> <br /> ph­¬ng t¹i<br /> <br /> 2<br /> <br /> Khi ®ã, tån t¹i<br /> <br /> ¯ ∈ Q∗ \ {0}, µ<br /> λ<br /> ¯i ≥ 0 (i ∈ I(¯<br /> x)), ν¯ ∈ Rr<br /> <br /> ∂C f (¯<br /> x) = {ξ ∈ R :< ξ, x − x<br /> ¯ >≤ f (x) − f (¯<br /> x)} .<br /> f<br /> <br /> lµ nghiÖm h÷u hiÖu yÕu<br /> <br /> chÝnh quy (I) hoÆc (II) ®óng.<br /> <br /> n<br /> <br /> NÕu<br /> <br /> x<br /> ¯<br /> <br /> Gi¶ sö<br /> <br /> 1.<br /> <br /> cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (1.1) vµ ®iÒu kiÖn<br /> <br /> X<br /> <br /> sao cho<br /> <br /> µ<br /> ¯i ∂gi (¯<br /> x) + ν¯∂J h(¯<br /> x).<br /> <br /> i∈I(¯<br /> x)<br /> <br /> (2.1)<br /> <br /> http://www.lrc-tnu.edu.vn<br /> <br /> Theo MÖnh ®Ò 2.2.7[1], ta cã<br /> <br /> §Þnh lÝ 2.<br /> <br /> ∂(l ◦ f1 )(0) = ∂C (l ◦ f1 )(0).<br /> Ta cã<br /> <br /> Rn<br /> <br /> (2.2)<br /> <br /> Rp lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh<br /> <br /> T (¯<br /> x) :<br /> →<br /> l lµ ¸nh x¹ låi liªn tôc, f1<br /> <br /> liªn tôc,<br /> <br /> 4.2) vµ nhËn ®­îc<br /> <br /> ∂C (l ◦ f1 )(0) = T (¯<br /> x)∗ ∂C (l(f1 (0))),<br /> Rp<br /> <br /> Tõ<br /> <br /> tháa m·n<br /> <br /> ¯ ∗ ∈ Q∗ \ {0} , µ<br /> λ<br /> ¯i ≥ 0 (∀i ∈<br /> p<br /> I(¯<br /> x)), ∀ν = (¯<br /> ν1 , ..., ν¯p ) ∈ R ; sao cho<br /> (a)<br /> <br /> Tån t¹i<br /> <br /> (2.4)<br /> <br /> ∂(l ◦ f1 )(0) = ∂(l ◦ f )(¯<br /> x).<br /> <br /> (2.5)<br /> <br /> (2.2) − (2.5) ta suy ra<br /> <br /> µ<br /> ¯i ∂gi (¯<br /> x) + ν¯∂J h(¯<br /> x) (3.1)<br /> <br /> C låi, gi (i ∈ I(¯<br /> x)) vµ ±hj (j ∈ J) lµ c¸c<br /> ∂−tùa låi t¹i x<br /> ¯ trªn C . Khi ®ã, x<br /> ¯ lµ nghiÖm<br /> h÷u hiÖu yÕu cña (1.1).<br /> <br /> (b)<br /> <br /> (3.1) ta suy ra tån<br /> ∂gi (¯<br /> x)(∀i ∈ I(¯<br /> x)), γ ∈ ∂J h(¯<br /> x) sao cho<br /> <br /> Chøng minh<br /> <br /> (2.6)<br /> ¯ ∈<br /> λ<br /> <br /> (2.1) vµ (2.6) ta suy ra tån t¹i<br /> ∂C (l(f (¯<br /> x))), µ<br /> ¯i ≥ 0 (∀i ∈ I(¯<br /> x)) vµ ν¯ ∈ Rp<br /> <br /> Tõ<br /> <br /> ¯+<br /> T (¯<br /> x)∗ λ<br /> <br /> sao<br /> <br /> cho<br /> <br /> X<br /> <br /> t¹i<br /> <br /> µ<br /> ¯i ξi + ν¯γ = 0.<br /> <br /> ξi ∈<br /> <br /> (3.2)<br /> <br /> i∈I(¯<br /> x)<br /> <br /> ¯+<br /> 0 ∈ T (¯<br /> x)∗ λ<br /> <br /> X<br /> <br /> µ<br /> ¯i ∂gi (¯<br /> x) + ν¯∂J h(¯<br /> x). (2.7)<br /> <br /> ¯ ∈ Q∗ \ {0}. Víi y ∈ intQ<br /> λ<br /> cã thÓ viÕt 0 − (−y) ∈ intQ. Do ®ã,<br /> B©y giê ta chØ ra<br /> <br /> l(−y) < l(0) = 0.<br /> <br /> ∂J h(¯<br /> x) ⊂ ∂h1 (¯<br /> x) × ... × ∂hr (¯<br /> x), cho nªn γ<br /> ∈ ∂gj (¯<br /> x)(j =<br /> 1, ..., r). Do tÝnh ∂−tùa låi cña h ta suy ra víi<br /> x ∈ K,<br /> <br /> Bëi v×<br /> <br /> i∈I(¯<br /> x)<br /> ta<br /> <br /> lµ r×n - ma trËn mµ hµng thø j lµ γj<br /> <br /> (2.8)<br /> <br /> (2.8) suy ra víi ∀y ∈ intQ,<br /> ¯ −y >=< λ,<br /> ¯ f (¯<br /> < λ,<br /> x) − y − f (¯<br /> x) ><br /> ≤ l(f (¯<br /> x) − y) − l(f (¯<br /> x)),<br /> <br /> < γj , x − x<br /> ¯ >≤ 0 (∀j ∈ J),<br /> (2.9)<br /> <br /> λ ∈ ∂C (l(f (¯<br /> x)). KÕt hîp (2.8), (2.9) vµ chó<br /> ý r»ng f (¯<br /> x) = 0 ta nhËn ®­îc<br /> ¯ −y >≤ l(−y) < 0.<br /> < λ,<br /> bëi v×<br /> <br /> V× vËy<br /> <br /> 3<br /> <br /> X<br /> <br /> hµm<br /> <br /> ∂C (l(f1 (0))) = ∂C (l(f (¯<br /> x))),<br /> <br /> Tõ<br /> <br /> ¯+<br /> 0 ∈ T (¯<br /> x)∗ λ<br /> <br /> (2.3)<br /> <br /> Rn lµ to¸n tö liªn<br /> <br /> ∂(l ◦ f )(¯<br /> x) = T (¯<br /> x)∗ ∂C (l(f (¯<br /> x))).<br /> <br /> Tõ<br /> <br /> vµ c¸c ®iÒu kiÖn sau<br /> <br /> i∈I(¯<br /> x)<br /> <br /> T (¯<br /> x) (.) :<br /> →<br /> ∗<br /> hîp cña to¸n tö T (¯<br /> x) (.). H¬n n÷a,<br /> trong ®ã<br /> <br /> x<br /> ¯ ∈ K<br /> <br /> tuyÕn tÝnh. Do<br /> <br /> ®ã ta cã thÓ ¸p dông §Þnh lÝ 2([2], ch­¬ng 4, môc<br /> <br /> ∗<br /> <br /> Gi¶ sö<br /> <br /> λ ∈ Q∗ \ {0}. §Þnh lÝ ®­îc chøng minh.<br /> <br /> (3.3)<br /> <br /> hj = 0 = hj (¯<br /> x) (∀j ∈ J). Do tÝnh ∂−tùa<br /> låi cña hµm−h ta suy ra víi x ∈ K ,<br /> <br /> bëi v×<br /> <br /> < −γj , x − x<br /> ¯ >≤ 0 (∀j ∈ J),<br /> <br /> (3.4)<br /> <br /> −γj ∈ ∂(−hj )(¯<br /> x). Tõ (3.3) vµ (3.4) ta suy<br /> ra víi ∀x ∈ K,<br /> <br /> bëi v×<br /> <br /> §iÒu kiÖn ®ñ tèi ­u cho nghiÖm h÷u<br /> hiÖu yÕu<br /> <br /> < γj , x − x<br /> ¯ >= 0 (∀j ∈ J).<br /> Do<br /> <br /> gi (i ∈ I(¯<br /> x)) tùa låi, víi ∀x ∈ K<br /> <br /> (3.5)<br /> <br /> ta cã<br /> <br /> Phï hîp víi ®Þnh nghÜa hµm tùa låi cña Reiland<br /> [8], hµm gi¸ trÞ thùc Lipschitz ®Þa ph­¬ng<br /> <br /> f<br /> <br /> trªn<br /> <br /> Rn ®­îc gäi lµ ∂− tùa låi (∂ − quasiconvex) t¹i<br /> x<br /> ¯ ∈ Rn trªn tËp C nÕu: ∀x ∈ C,<br /> <br /> < ξi , x − x<br /> ¯ >≤ 0<br /> Tõ<br /> <br /> (∀i ∈ I(¯<br /> x)).<br /> <br /> (3.6)<br /> <br /> (3.2) ta suy ra víi ∀x ∈ K,<br /> <br /> f (x)−f (¯<br /> x) ≤ 0 =⇒< ξ, x−¯<br /> x >≤ 0(∀ξ ∈ ∂f (¯<br /> x)).<br /> B©y giê ta ph¸t triÓn ®iÒu kiÖn ®ñ tèi ­u cho bÊt<br /> ®¼ng thøc biÕn ph©n<br /> <br /> ¯ x−x<br /> < T (¯<br /> x)∗ λ,<br /> ¯>+<br /> <br /> (1.1).<br /> <br /> 163Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên<br /> <br /> X<br /> <br /> µ<br /> ¯i < ξi , x − x<br /> ¯><br /> <br /> i∈I(¯<br /> x))<br /> <br /> http://www.lrc-tnu.edu.vn<br /> <br /> +<br /> <br /> X<br /> <br /> ν¯j < γj , x − x<br /> ¯ >= 0<br /> <br /> (3.7)<br /> <br /> kh«ng ®óng th× sÏ tån t¹i<br /> <br /> x1 ∈ K<br /> <br /> sao cho<br /> <br /> j∈J<br /> Tõ<br /> <br /> T (¯<br /> x)(x1 − x<br /> ¯) ∈ −intQ.<br /> <br /> (3.5) − (3.7) ta nhËn ®­îc: víi ∀x ∈ K,<br /> Nh­ng víi<br /> <br /> ¯ x−x<br /> < T (¯<br /> x)∗ λ,<br /> ¯ >≥ 0,<br /> <br /> (3.9)<br /> <br /> ¯ ∈ Q∗ \ {0}, tõ (3.9) ta l¹i cã<br /> λ<br /> ¯ (¯<br /> λT<br /> x)(x − x<br /> ¯) < 0.<br /> <br /> hay<br /> <br /> ¯ (¯<br /> λT<br /> x)(x − x<br /> ¯) ≥ 0 (∀x ∈ K).<br /> <br /> (3.8)<br /> <br /> §iÒu nµy m©u thuÉn víi<br /> h÷u hiÖu yÕu cña<br /> <br /> (3.8) suy ra x<br /> ¯ lµ nghiÖm h÷u hiÖu yÕu cña bÊt<br /> ®¼ng thøc biÕn ph©n (1.1). ThËt vËy, nÕu ®iÒu nµy<br /> Tõ<br /> <br /> References<br /> [1] F. H. Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley Interscience, New<br /> York, 1983.<br /> [2] A. D. Ioffe and V. M. Tickhomirov,<br /> Theory of Extremum Problems, Nauka,<br /> Moscow, 1974 (Russian).<br /> [3] A. Jourani, Constraint qualifications and<br /> Lagrange multipliers in nondifferentiable<br /> programming problems, J. Optim. Theory<br /> Appl., 81 (1994), 553 - 548.<br /> [4] X. H. Gong, Scalarization and optimality conditions for vector equilibrium problems, Nonlinear Anal., 73 (2010), 3598 3612.<br /> [5] F. Giannessi, G. Mastroeni and L. Pellegrini, On the theory of vector optimization and variational inequalities, image<br /> <br /> (3.8).<br /> <br /> VËy<br /> <br /> x<br /> ¯<br /> <br /> lµ nghiÖm<br /> <br /> (1.1).<br /> <br /> §Þnh lÝ ®­îc chøng minh.<br /> <br /> space analysis and separazation, in: Vector Variational Inequalities and Vector<br /> Equilibria: Mathematical Theories, F. Giannessi (ed.), Kluwer, Dordrecht, (2000),<br /> 153 - 215.<br /> [6] J. Morgan and M. Romaniello, Scalarization and Kuhn - Tucker - like conditions for weak vector generalized quasivariational inequalities, J. Optim. Theory<br /> Appl. 130 (2006), 309 - 316.<br /> [7] X.Q.Yang and X.Y.Zheng, Approximate<br /> solutions and optimality conditions of<br /> vector variational inequalities in Banach<br /> spaces, J.Gobal. Optim., 40 (2008), 455 462.<br /> [8] T.W.Reiland, A geometric approach to<br /> nonsmooth optimization with sample applications, Nonlinear Anal., 11 (1987),<br /> 1169 - 1184.<br /> <br /> 164Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên<br /> <br /> http://www.lrc-tnu.edu.vn<br /> <br /> SUMMARY<br /> Weakly efficient solutions and optimality conditions for vector variational inequalities<br /> <br /> Dinh Dieu Hang<br /> College of Information and Communication Technology - TNU<br /> <br /> Do Van Luu<br /> Department of Mathematical Analysis, Institute of Mathematics<br /> <br /> Abstract.<br /> <br /> In this paper we derive neccessary optimality conditions for weakly efficient solutions of vector variational<br /> <br /> inequalities with contraints of equality and inequality types.<br /> <br /> Under Assumptions on generalized conexity to the data, the<br /> <br /> neccessary conditions become sufficient conditions.<br /> <br /> Keywords.<br /> <br /> Equilitrum problems, Weakly efficient solutions, Optimality conditions, Clarke subdifferential, Jacobian<br /> <br /> Clarke<br /> <br /> 0<br /> <br /> *Tel: 0934445889, e-mail: dinhhangch16tn@gmail.com<br /> <br /> 165Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên<br /> <br /> http://www.lrc-tnu.edu.vn<br /> <br />