Nghiệm mạnh của phương trình vi tích phân với đối số lệch

Chia sẻ: Bautroibinhyen16 Bautroibinhyen16 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

54
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài báo này, các tác giả nghiên cứu sự tồn tại nghiệm mạnh của một dạng phương trình vi tích phân với đối số lệch. Công cụ sử dụng là định lý điểm bất động của toán tử U+C , trong đó U là toán tử Hoa-Schmitt co và C là toán tử compact.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nghiệm mạnh của phương trình vi tích phân với đối số lệch

Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Số 24 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _____________________________________________________________________________________________________________ NGHIỆM MẠNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VỚI ĐỐI SỐ LỆCH LÊ HOÀN HÓA *, NGUYỄN NGỌC TRỌNG **, LÊ THỊ KIM ANH*** TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm mạnh của một dạng phương trình vi tích phân với đối số lệch. Công cụ sử dụng là định lý điểm bất động của toán tử U + C , trong đó U là toán tử Hoa-Schmitt co và C là toán tử compact. ABSTRACT The strong solution of the retarded integro-differential equation In this paper, we study the existence of a strong solution of one form of retarded integro-differential equation by using The fixed point Theorem of the operator U + C , whereas U is a Hoa-Schmitt operator and C is a compact operator. 1. Các kết quả được sử dụng Cho X là không gian lồi địa phương và P là một họ nửa chuẩn tách trên X , D là một tập con của X và U : D ® X . Với bất kỳ a Î X , ta định nghĩa U a : D ® X bởi U a ( x ) = U ( x ) + a. Toán tử U : D ® X được gọi là Hoa-Schmitt co trên tập con W của X nếu 1) Với bất kỳ a Î W : U a ( D ) Ì D. 2) Với bất kỳ a Î W và p Î P , tồn tại ka Î với tính chất "e > 0, $r Î r r $d > 0 sao cho "x, y Î D thỏa a ap ( x, y ) < e + d thì a ap (U a ( x ) ,U a ( y ) ) < e . (a p a ( x, y ) = max { p (U ai ( x ) - U aj ( y ) ) : i, j = 0,1, 2,..., ka } ; = { 0,1, 2,...} ; * * và = {1, 2,...} Định lý 1.[1] Cho X là không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy với họ nửa chuẩn tách P và giả sử U , C là toán tử trên X sao cho i) U là Hoa-Schmitt co trên X . ii) Với bất kỳ p Î P, $k p ³ 0 (k p phụ thuộc vào p ) sao cho: p (U ( x ) - U ( y ) ) £ k p p ( x - y ) * "x, y Î X . PGS TS, Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư phạm TP HCM Học viên Cao học Trường Đại học Sư phạm TP HCM *** ThS, Trường Đại học Tiền Giang ** 104 ) Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Lê Hoàn Hóa và tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _____________________________________________________________________________________________________________ iii) Tồn tại x0 Î X với tính chất: "p Î P, $r Î ( * ) và $l Î [ 0,1) (r , l phụ thuộc r r vào p ) sao cho p U x0 ( x ) - U x0 ( y ) £ l p ( x - y ) ; "x, y Î X . iv) C là ánh xạ compact và p ( C ( A ) ) < ¥ với A Ì X , p ( A ) < ¥ . trong đó p ( A ) = sup { p ( x ) : x Î A} . p (C ( x) ) v) lim p ( x) p ( x ) ®¥ = 0; "x Î X , "p Î P. Khi đó U + C có điểm bất động trên X . Định lý 2. [2] = [ 0, ¥ ) . Giả sử X 0 = C ( vào E và A là tập con của X 0 . Ký hiệu tục từ + + Với mỗi n Î * + , E ) là không gian Frechet các hàm liên , giả sử X n = C ( [ 0, n ] , E ) là không gian Banach gồm các hàm số } { liên tục u : [ 0, n ] ® E với chuẩn u n = sup u ( t ) : t Î [ 0, n ] . { } Đặt An = x [ 0,n] : x Î A . Khi đó ta có : Tập A là compact tương đối trong X 0 Û ( "n Î * , An đẳng liên tục trong X n và với bất kỳ s Î [ 0, n ] tập hợp An ( s ) = { x ( s ) : x Î An } compact tương đối trong E ) Û ( "n Î * , An đẳng liên tục trong X n và tập hợp { x ( t ) : x Î An , t Î [ 0, n ]} compact tương đối trong E ). 2. Kết quả chính Cho r > 0. Ta ký hiệu là chuẩn của không gian Banach E . { } Cr = C ( [ - r ,0] , E ) với chuẩn x = sup x ( t ) : t Î [ - r ,0] . X0 = C ( chuẩn { } n n + , E ) là không gian Frechet các hàm liên tục từ { } + vào E với họ nửa được định nghĩa như sau: x n = sup x ( t ) : t Î [ 0, n ] , n Î * . Cho X = C ( [ - r , ¥ ) , E ) là không gian các hàm liên tục từ [ -r , ¥ ) vào E . Với mọi x Î X và t ³ 0 đặt xt Î Cr định nghĩa bởi xt (q ) = x ( t + q ) , q Î [ -r ,0] . Xét phương trình 105 Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Số 24 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _____________________________________________________________________________________________________________ t ì ïx¢ ( t ) = A( t ) x ( t ) + L ( t ) xt + V ( t, x ( t ) ) + ò K ( t, s, x ( s ) , xs ) ds + f ( t ) ; t ³ 0. í 0 ïx = j Î C . r î 0 (I ) Trong đó { A ( t )} t ³0 là họ toán tử tuyến tính liên tục từ E vào E , { L ( t )} t ³0 là họ toán tử tuyến tính liên tục từ Cr vào E , f : + ® E liên tục. Xét phương trình ( I ) với các điều kiện sau 1) t  A ( t ) liên tục và t  L ( t ) liên tục. 2) V : + ´ E ® E liên tục và tồn tại hàm liên tục w : V ( t , x ) - V ( t , y ) £ w ( t ) x - y ; "x, y Î E , "t Î + + ® + sao cho . 3) K : [ 0, ¥ ) ´ E ´ Cr ® E là ánh xạ compact sao cho 2 K ( t ,.,.,.) : I ´ A ´ B ® E liên tục đều theo t trên mỗi đoạn bị chặn tùy ý của [ 0,¥ ) , với bất kỳ các tập con bị chặn I Ì [ 0, ¥ ) , tập con bị chặn A Ì E , tập con bị chặn B Ì Cr , nghĩa là: Trên mỗi đoạn bị chặn tùy ý J của [ 0,¥ ) , với mọi e > 0 , tồn tại d > 0 , sao cho với mọi t1 , t2 cùng thuộc J và t1 - t2 < d thì K ( t1 , s, x, y ) - K ( t2 , s, x, y ) < e , " ( s, x, y ) Î I ´ A ´ B . 4) lim K ( t , s , x, u ) x + u ®¥ x+ u = 0 đều theo ( t , s ) trên mỗi đoạn bị chặn tùy ý của [ 0,¥ ) . 2 Định lý 3. Nếu các điều kiện 1), 2),3), 4) được thỏa mãn thì bài toán ( I ) với j Î Cr cho trước có nghiệm x : [ -r , ¥ ) ® E . Chứng minh. Đặt g : + ´ Cr ® E với g ( t , x ) = A ( t ) x ( 0 ) + L ( t ) x .Vậy ( I ) được viết lại là t ì x¢ ( t ) = g ( t , xt ) + V ( t , x ( t ) ) + ò K ( t , s, x ( s ) , xs ) ds + f ( t ); t ³ 0. ï í 0 ï x = j. î 0 (I ) 106 tương đương với phương trình tích phân sau Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Lê Hoàn Hóa và tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _____________________________________________________________________________________________________________ t t t t s ì æ ö ï x ( t ) = ò g ( s, xs )ds + ò V ( s, x ( s ) )ds + ò f ( s ) ds + ò ç ò K ( s,s , x (s ) , xs ) ds ÷ds + j ( 0) ; t ³ 0. í 0 0 0 0è0 ø ï î x0 = j. Với x Î X 0 hoặc X n , đặt x : [ - r , ¥ ) ® E được định nghĩa như sau ì x ( s ) + j ( 0 ) - x ( 0 ) , s ³ 0. ï x( s) = í , s Î [ -r ,0] . ï îj ( s ) Khi đó x liên tục trên [ - r , ¥ ) . t ( ) ) ds, "t ³ 0 . ( Đặt H : X 0 ® X 0 với Hx ( t ) = ò K t , s, x ( s ) , x 0 s Đặt U , C : X 0 ® X 0 xác định bởi ( ( )) t Ux ( t ) = ò g s, x 0 s t t t 0 0 0 ds + ò V ( s, x ( s ) )ds + ò f ( s ) ds; Cx ( t ) = ò Hx ( s )ds + j ( 0 ) . Khi đó x Î X 0 là điểm bất động của U + C nếu và chỉ nếu x là nghiệm của ( I ) . Vậy vấn đề trở thành chứng minh sự tồn tại điểm bất động của U + C . Ta cần các bổ đề sau Bổ đề 1. g : [ 0, ¥ ) ´ Cr ® E là ánh xạ liên tục và "n Î * , $kn = sup A ( t ) + sup L ( t ) thỏa tÎ[ 0, n ] tÎ[ 0, n ] g ( t , x ) - g ( t , y ) £ kn x - y , "x, y Î Cr , "t Î [ 0, n ] . Chứng minh bổ đề 1 . Sử dụng giả thiết t  A ( t ) liên tục và t  L ( t ) liên tục ta có g liên tục. "x, y Î Cr , "t Î [ 0, n ] : g ( t , x ) - g ( t , y ) = A ( t ) ( x ( 0 ) - y ( 0 ) ) + L ( t ) ( x - y ) £ sup A ( t ) . x - y + sup L ( t ) . x - y = kn x - y . tÎ[ 0, n] tÎ[ 0, n] Bổ đề 2. "s Î [ 0, n ] , "x, y Î X 0 ta có ( x) - ( y) s s () £2 x- yn, x- y £2 x- yn, x £2 xn + j , x n n s £2 xn + j Chứng minh bổ đề 2 . Sử dụng định nghĩa ta có ngay bổ đề 2 . 107 Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Số 24 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _____________________________________________________________________________________________________________ Hx n Bổ đề 3. H : X 0 ® X 0 là ánh xạ compact và lim =0. xn x n ®¥ Chứng minh bổ đề 3 . Ta chứng minh H : X 0 ® X 0 là ánh xạ liên tục. Lấy x0 Î X 0 và ( xk ) k Ì X 0 mà lim xk = x0 . k ®¥ Khi đó B = { xk : k = 0,1, 2,...} là tập compact trong X 0 . { } Đặt G = y ( s ) : y Î B, s Î [ 0, n ] và F = {( y ) : y Î B, s Î [ 0, n]} . s Khi đó G, F là các tập compact. Lấy e > 0 . Do K liên tục trên tập compact [ 0, n] 2 ´G´ F nên tồn d >0 tại cho "x, y Î G; "u , v Î F sao mà e x - y < d , u - v < d thì K ( t , s, x, u ) - K ( t , s, y, v ) < ; "s, t Î [ 0, n ] . n Mà lim xk = x0 trong X 0 nên tồn tại k0 Î * k ®¥ sao cho "k ³ k0 : x - y n < ( ) -(x ) Vậy xk ( s ) - x0 ( s ) £ 2 xk - x0 n < d ; xk 0 s d . 2 £ 2 xk - x0 n < d ; "s Î [ 0, n ] . s Do đó "t Î [ 0, n ] ; "k ³ k0 : ( )) ( t Hxk ( t ) - Hx0 ( t ) £ ò K t , s, xk ( s ) , xk 0 s ( )) ( - K t , s, x0 ( s ) , x0 s ds < et et ò ds = n £ e n0 Suy ra Hxk - Hx0 n < e , "k ³ k0 . Vậy H liên tục trên X 0 . Lấy W là tập con bị chặn của X 0 . Ta phải chứng tỏ rằng "n Î i) Tập hợp An := {( Hx ) [ 0,n] * : } : x Î W đẳng liên tục trên X n . ii) Với mọi t Î [ 0, n ] , tập hợp An ( t ) := { Hx ( t ) : x Î W} compact tương đối trong E . {( x ) : x Î W, s Î [ 0, n]} . Do W bị chặn nên P , Q bị chặn. Vì K là ánh xạ compact nên K ( [ 0, n ] ´ P ´ Q ) bị chặn. Vậy tồn tại M > 0 sao cho K ( t , s, x ( s ) , ( x ) ) £ M ; "t , s Î [ 0, n ] , "x Î W . { } Đặt Pn = x ( s ) : x Î W, s Î [ 0, n ] và Qn = s 2 n n n n n n s Vì K ( t ,.,.,.) liên tục đều theo t trên [ 0, n ] ´ Pn ´ Qn nên "e > 0, $d > 0, 2 108