Nghiên cứu phổ magnon trong mô hình Heisenberg lượng tử trên mạng Bravais bằng phương pháp tích phân phiếm hàm Popov-Fedotov

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Nghiên cứu phổ magnon trong mô hình Heisenberg lượng tử trên mạng Bravais bằng phương pháp tích phân phiếm hàm Popov-Fedotov trình bày việc sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm do Popov-Fedotov đề xuất để nghiên cứu phổ magnon trong mô hình Heisenberg lượng tử trên mạng Bravais.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nghiên cứu phổ magnon trong mô hình Heisenberg lượng tử trên mạng Bravais bằng phương pháp tích phân phiếm hàm Popov-Fedotov

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 NGHIÊN CỨU PHỔ MAGNON TRONG MÔ HÌNH HEISENBERG LƯỢNG TỬ TRÊN MẠNG BRAVAIS BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM POPOV-FEDOTOV Phạm Thị Thanh Nga Trường Đại học Thủy lợi, email: nga_ptt@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG Fedotov là điều kiện ràng buộc định xứ một spin trên một nút có thể thoả mãn chính xác. Kích thích cơ bản (magnon) trong các hệ Ngoài ra, kết hợp với phương pháp tham số từ định xứ được mô tả bằng mô hình hoá Luttinger-Tisza, có thể thu được biểu Heisenberg lượng tử từ lâu đã được các nhà thức tổng quát cho phổ magnon cho hệ vật lý nghiên cứu nhiều cả về lý thuyết lẫn momen từ định xứ trên tất cả các cấu trúc thực nghiệm bởi các kích thích cơ bản này có mạng Bravais một cách thống nhất. vai trò vô cùng quan trọng quyết định các đặc trưng vật lý của hệ từ như vectơ từ hoá, độ từ 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU thẩm, nhiệt độ chuyển pha... [1]. Phổ năng lượng của magnon có thể thu được từ gần Ta xuất phát từ Hamiltonian Heisenberg đúng bậc hai của lý thuyết nhiễu loạn. Tuy mô tả hệ các mô men từ định xứ: r r vậy, do tính không chính tắc của các toán tử H = å J ij Si .S j (1) spin nên các kỹ thuật nhiễu loạn truyền thống ij trong lý thuyết trường lượng tử dựa trên định trong đó: các chỉ số i, j ký hiệu các nút mạng lý Wick lại không thể áp dụng được trong hệ tinh thể và tương tác trao đổi ký hiệu là Jij . spin. Nhiều phương pháp lý thuyết khác nhau Các vectơ spin Si là các toán tử thoả mãn đã được phát triển [2]. Tuy nhiên các phương giao hoán tử của các mômen góc. pháp này đều gặp phải một khó khăn chung Các tính toán trong bài này được thực hiện là mọi tính toán phải thực kiện khi luôn phải tương tự như đã làm trong các công trình thoả mãn ràng buộc là số spin trên mỗi nút [4, 5], tuần tự áp dụng các phương pháp sau: phải luôn luôn bằng một [2]. Để thoả mãn 2.1. Phương pháp Luttinger-Tisza xác điều kiện này thông thường người ta sử dụng định trạng thái cơ bản cổ điển thông qua phương pháp tham số Lagrange trên mỗi nút tinh thể. Bởi vì số nút tinh thể N ~ 1020-24 nên véc tơ trật tự từ Q [6] bài toán với N tham số Lagrange thực tế Ở trạng thái cơ bản cổ điển các vectơ spin không thể nào giải được. Thông thường là đồng phẳng, vì vậy có thể được đặc trưng người ta làm gần đúng bằng cách thay ràng bằng tham số vectơ trật tự từ Q nếu tinh thể buộc định xứ bằng ràng buộc tổng thể, tức là có cấu trúc mạng Bravais: mật độ spin lấy trung bình theo toàn bộ các r rr rr nút bằng một, vì thế chỉ cần một tham số ë ( ) ( ) Si = S écos Qri nˆ1 + sin Qri nˆ2 ù û (2) Lagrange thay vì N tham số [1, 2]. Trong với nˆ1 , nˆ2 là hai vectơ đơn vị trực giao trong công trình này, chúng tôi sử dụng phương không gian spin, ( nˆl .nˆm ) =  lm , ( l , m = 1, 2 ) . pháp tích phân phiếm hàm do Popov-Fedotov Năng lượng trạng thái cổ điển trở thành: đề xuất [3] để nghiên cứu phổ magnon trong NS 2 r rr mô hình Heisenberg lượng tử trên mạng Bravais. Ưu điểm của phương pháp Popov-  cl = 2 ( ) J Q = NS 2 å r i J i ( ) r cos Q i (3) 255
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 r trong đó  i là các vectơ lân cận của nút i. Green Matsubara các trường phụ chính là ma Vectơ trật tự từ Q tìm được từ điều kiện cực trận nghịch đảo của thừa số trong số hạng bậc tiểu hoá năng lượng (3) với điều kiện ràng hai theo trường phụ trong biểu thức của tổng buộc là tại mỗi nút, độ dài của mỗi vectơ spin thống kê [7]. phải bằng S: 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU êSi ê= 1 (i = 1,…, N) (4) 3.1. Hàm Green Matsubara 2.2. Hệ tọa độ định xứ Tổng thống kê của hệ spin có thể biểu diễn Chuyển từ hệ toạ độ phòng thí nghiệm qua tích phân phiếm hàm theo các trường phụ: sang hệ toạ độ định xứ sao cho trục lượng tử Oz trùng với hướng của spin cổ điển. (7) r r 1 H = å J ij Si .S j = - å J ij Si S j (5) (0) trong đó: Seff = Seff (2) + Seff (8) ij 2 ij với các thành phần khác không của tương tác Số hạng bậc không có dạng: 1 zz  trao đổi có dạng: rr Seff(0) = å 2 ij ( )  i0 J -1  j0 + å ln 2cosh i0 2 (9) J ijxx = J ijzz = - J ij cos(Q i )  X ij ij i Nguyên lý tác dụng tối thiểu dẫn tới số Jijyy = Yij (6) hạng bậc một bằng không, đồng thời cho mối , trong đó, các ký hiệu Xịj, Yij, và Wij được đưa liên hệ giữa độ từ hoá trên mỗi nút mjo và vào để tiện tính toán. trường phụ jo ở gần đúng trường trung bình 2.3. Phương pháp tích phân phiếm hàm 1 l m 0  i0 = - å m j 0 J zzji (10) với m 0 = th với ràng buộc chính xác một spin trên một j 2 2 nút [3] (11) và l = - J (Q) (12), trong đó J(q) là ảnh Biểu diễn toán tử spin qua các toán tử sinh Fourier của Jijzz . Số hạng bậc hai theo thăng 1 giáng có dạng: huỷ fermion fi+ , fi+ : Sil = å fi+ ( l ) fi , 2   1 é -1  trong đó  là các ma trận Pauli,  ,  = ,  , Seff(2) = å J( ) 2 ij ëê ij  + K 2ij ()ùûú i ( -) j ( )(13) là các chỉ số spin. Điều kiện ràng buộc một các thành phần khác không trong trong hệ cơ spin trên mỗi nút ni = 1 có thể tính chính xác sở cầu , = (+,-,z) của ma trận Kij là: 1 i  Nˆ m0 1 bằng cách đưa vào toán tử chiếu Pˆ = N e 2 , K 2+- -+  i (  ) = ( K 2i (  )) = i 2 i 0 - i , với Nˆ = å fi f i là toán tử số hạt, tương +  i K 2zzi (  ) = - ( 1 - 4m02 ) ,0 (14) đương với việc đưa vào Hamiltonian ban đầu 4 . i Hàm Green Matsubara của thăng giáng các một thế hóa học ảo:  = . Các bước tiếp trường có dạng: 2 r r r G(q,)  -( -q,-)(q,)  là: viết tổng thống kê Z dưới dạng tích phân phiếm hàm; sau đó thực hiện biến đổi r (15) = ( D-1(q,)) Hubbard-Stratonovich đưa vào các trường r phụ boson; tính nhiễu loạn theo trường phụ. trong đó D -1( q, ) là nghịch đảo của ma trận r r 2.4. Tìm năng lượng kích thích cơ bản D( q, ) = I + J( q ) Kij (  ) (16). Trong (16) r từ tổng thống kê thì I là ma trận đơn vị 33, còn J( q ) là ảnh Phổ magnon suy ra được từ cực của ảnh Fourier ma trận tương tác trao đổi, K 2 (  ) Fourier của hàm Green các trường phụ. Hàm là ảnh Fourier của Kij trong hệ cơ sở cầu. 256
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 Biết hàm Green một hạt ta có thể tìm được 2. Vì m0 phụ thuộc nhiệt độ theo (11) nên năng lượng kích thích cơ bản [7]. phổ magnon ta thu được cũng phụ thuộc nhiệt 3.2. Công thức tổng quát cho phổ magnon độ. Đây là một kết quả mới và phù hợp với các r suy đoán vật lý. Thực vậy, magnon là do thăng Ma trận D ( q, ) có dạng: r giáng mômen từ quanh trạng thái trật tự từ nên D(q,) = nó không thể tồn tại khi trạng thái trật tự từ bị  r r r r r  phá vỡ ở nhiệt độ lớn hơn nhiệt độ chuyển 1+( X(q) +Y(q))K2-+ ( X(q) -Y(q))K2+- -W(q)K2zz   r r -+ r r r  pha, tức là (q) = 0 nếu T > Tc, mà Tc lại xác  ( X(q) -Y(q))K2 1+( X(q) +Y(q))K2+- -W(q)K2ZZ  định từ điều kiện m0 = 0 (22).  r r r  W(q)K2-+ W(q)K2+- 1+ X(q)K2zz  3. Từ phương trình (11) ta suy ra m0 luôn (17), trong đó X(q), Y(q), W(q) là ảnh Fourier luôn nhỏ hơn ½ nên năng lượng magnon thu của các thành phần tương tác trao đổi (6). Từ được trong báo cáo này sẽ nhỏ hơn kết quả r thu được bằng các phương pháp khác do các (17) và (14) suy ra ( D -1( q, )) chỉ phụ tác giả khác bỏ qua ảnh hưởng của nhiệt độ. thuộc tần số  khi  = +,  = - hoặc  = +,  = , 4..Nhiệt độ chuyển pha thu được từ phương tức là chỉ có các sóng ngang, ứng với các trình (11) sẽ lớn gấp đôi so với các tác giả thăng giáng spin vuông góc với hướng trục khác [12] là do phương pháp Popov-Fedotov lượng tử oz- đây chính là các magnon... Năng đã xử lý chính xác điều kiện ràng buộc định lượng magnon tìm được từ det| |=0 xứ trong khi các phương pháp khác làm gần (18) sau khi thực hiện phép quay Wick. đúng bằng điều kiện ràng buộc tổng thể nên Từ (18) ta thu được biểu thức tổng quát cho làm xuất hiện hai trạng thái phi vật lý (chân r r năng lượng magnon: E( q ) = lm0( q ) (20) không và trạng thái lấp đầy bằng hai fermion) r r 2 r X( q ) Y( q ) trong không gian Hilbert của các spin. Các với  ( q ) = ( 1 - )( 1 - ) (21) l l trạng thái phi vật lý ứng với mômen từ bằng Các đại lượng m0 và l được cho bởi (11) không dẫn tới nhiệt độ chuyển pha giảm đi hai và (12). Phổ magnon (20)-(21) áp dụng cho lần do các spin có thể thăng giáng lên các mạng Bravais với tương tác trao đổi bất kỳ, trạng thái này. kể cả cho các hệ từ vấp hình học và vấp Các kết quả trong báo cáo này có thể tương tác. nghiên cứu tiếp để mở rộng cho trường hợp spin S > 1/2 hoặc cho trường hợp mạng tinh 4. KẾT LUẬN thể không phải là Bravais./. Nghiên cứu phổ magnon bằng hình thức 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO luận tích phân phiếm hàm Popov-Fedotov kết hợp với phương pháp tham số hoá trạng thái [1] O. A. Starykh, Reports on Progress in Physics cơ bản Luttinger-Tisza cho ta kết quả sau: 78, 052502 (2015) and references therein. 1. Phổ năng lượng magnon được biểu diễn [2] A. Auerbach, “Interacting electrons and quantum magnetism”, Springer Verlag, (1994). khá đơn giản cho mọi cấu trúc mạng Bravais [3] V. N. Popov and S. A., Fedotov, Sov. Phys. với tương tác trao đổi bất kỳ bởi một công JETP 67, 535 (1988). thức tổng quát, phụ thuộc vào vectơ trật tự từ [4] P.T.T.Nga and N.T. Thang, Comm. in Phys. Q và ảnh Fourier của hệ số tương tác. 22 p.33 and Erratum, Comm. in Phys. 22 Từ công thức (20) và (21) ta thu lại được p.383 (2012). kết quả của các tác giả khác cho các trường [5] P.T.T.Nga and N.T. Thang, Journal of hợp cụ thể như phản sắt từ trên mạng tam Physics: Conf. Series 865, 012014 (2017). giác, các trật tự từ không đồng tuyến trong [6] J. M. Luttinger and L. Tisza, Phys. Rev. 70 mạng hình vuông với tương tác cạnh tranh... 954 (1946). [1,2], nếu chọn m0 = 1/2 thay vì lấy từ [7] P.Coleman, “Introduction to Many-Body phương trình (11). Physics”,CambridgeUniversityPress (2015). 257