Nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn trong truyền nhiệt: Phần 1

Chia sẻ: Túcc Vânn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:113

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 cuốn sách "Cơ sở phương pháp phần tử hữu hạn trong truyền nhiệt" trình bày khái quát về các phương thức truyền nhiệt và tóm tắt các két quả giải bài toán dẫn nhiệt bằng phương pháp giải tích; các khái niệm cơ bản về các loại PTHH và các đại lượng đặc trưng của chúng phương pháp thiết lập phương trình ma trận đặc trưng của PTHH trong dẫn nhiệt ổn định.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn trong truyền nhiệt: Phần 1

Trịnh Văn Quang Cơ sở Phương pháp Phần tử Hữu han trong Truyền nhỉệt 100 50 Thoi diem (gio) NHÀ XUẤT BẢN THÊ GIỚI
c ơ SỞ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TRUYÊN NHIỆT • t T Á C G IẢ PGS.TS. Trịnh Văn Quang N h à xuất bản T h ế G iớ i - 2013 -
LỜI NÓI ĐẦU ua nhiều năm eiảne dạy Lý thuyết Truyền nhiệt cho Chương trình Cao học Cơ Q khí cũn° như tham gia và hướng dẫn các đề tài khoa học, chúng tôi nhận thấy một tài liệu về phương pháp tính nhiệt mới là hết sức cần thiết để phục vụ cho công tác aiảne dạy và nghiên cứu. Cuốn sách “C ơ sớ phưcmg pháp Phần tử hữu hạn trong Truyền nhiệt ” được bièn soạn nhằm đáp ứng phần nào yêu cầu trên. Môn học Cơ sở truyền nhiệt trong chương trình đại học của các nước tiên tiến hiện nay chi mới dừng ờ phương pháp Sai phần hữu hạn, còn phương pháp Phần tử hữu hạn (PTHH) chưa được đề cập đến. Vì thế, ừong tính nhiệt, phương pháp PTHH còn là mới. Trèn cơ sở một số bài giảne cho chương trình cao học ngành cơ khí, qua kinh nghiệm sử dụng phương pháp số tro n s các đề tài nghiên cứu giải các bài toán nhiệt thực tế, cũng như tham khảo các tài liệu trone và ngoài nước, chúng tôi biên soạn cuốn “C ơ sở phương pháp PTH H trong Truyền nhiệt Cuốn sách bao gồm 5 chucm?: Chương 1 trình bày khái quát về các phương thức truyền nhiệt và tóm tắt các két quả giải bài toán dẫn nhiệt bằng phương pháp giải tích; Chương 2 nêu các khái niệm cơ bản về các loại PTHH và các đại lượng đặc trưng của chúng; Chương 3 đề cập đèn phương pháp thiết lập phương trình ma trận đặc trưng của PTHH trong dẫn nhiệt ổn định. Đày là phần lý thuyết toán quan trọng nhất trong phương pháp PTHH để tính nhiệt: Chương 4 đi vào giải một số bài toán dẫn nhiệt ổn định bằng phương pháp PTHH; Chương 5 thiết lập phương trình đặc trưng trong dẫn nhiệt không ổn định, các cách rời rạc theo thời gian cùa bài toán, từ đó giải một số bài toán dẫn nhiệt không ồn định bàng phương pháp PTHH. Cuốn sách có thề được tham khảo làm tài liệu giảng dạy cho chương trình cao học ngành cơ khí, động lực, chương trình đại học chuyên ngành nhiệt - lạủh, năng lượng và cũng có thể phục vụ cho công tác nghiên cứu về nhiệt trong các lĩnh vực xây dựng công trình, luyện kim... Với suy nghĩ viết sách sao cho bạn đọc sử dụng được thuận tiện nhất, chúng tôi cố gẳng trình bầy các vấn đề một cách chi tiết để bạn đọc có thể dễ dàng theo dõi và từ đó vận dụng trong nghiên cứu các bài toán thực tế. Hy vọng rằng cuốn sách sẽ hữu ích và thiết thực với bạn đọc. Mặc dù rất cẩn trọng trong quá trình biên soạn, nhưng chắc rằng cuốn sách vẫn còn có những khiếm khuyết, chúng tôi rất mong nhận được góp ý của bạn đọc và đồng nghiệp. Mọi đóng góp xin gửi về Bộ môn Kỹ thuật nhiệt, Khoa Cơ khí, Trường Đại học GTVT Hà Nội hoặc địa chi quangnhietffiyahoo.com .vn. Chúng tôi xin chân thành cám ơn! TÁC GIẢ PGS.TS. T rịn h V ăn Q u a n g 3
MỤC LỤC LỜI N Ó I Đ À U ...................................................................................................................................... 3 CHƯƠNG 1 M Ờ ĐÀU 1.1. K hái q u á t ..................................................................................................................... 7 1.2. Phưcmg trình vi phản dẫn nhiệt và điều kiện đơn tr ị...................................... 10 1.3. Đ iểm qua m ột số bài toán dẫn nhiệt cơ b ả n .................................................. 13 1.4. C ác khó khăn của phươ ng pháp giải t í c h ....................................................... 25 1.5. T óm tẳt c h ư ơ n e ...................................................................................................... 25 CHƯƠNG 2 PH Ư Ơ NG PH ÁP PHÀN T Ử HỮU HẠN 2.1. G iới thiệu khái q u á t...............................................................................................26 2.2. Phân tử m ột chiều bậc n h ấ t................................................................................. 30 2.3. Phân tử m ột chiều bậc h a i.................................................................................... 33 2.4. Phân tử hai chiều tam giác bậc n h ấ t................................................................. 38 2.5. T ọa độ khu vực đổi với phần tử tam giác bậc n h ấ t..................................... 44 2.6. C ác phần tử tam giác bậc hai, bậc b a ...............................................................46 2.7. Phần tử hai chiều chữ nhật bậc n h ấ t................................................................. 50 2.8. Các phần từ ba ch iều ............................................................................................... 54 2.9. Phần từ đẳng tham số,phần tử quy c h iế u ..........................................................60 2.10. Tóm tất c h ư ơ n g ........................................................................................................74 BÀI T Ậ P C H Ư Ơ N G 2 .................................................................................................................... 75 CHƯƠNG 3 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG CỦA PHÀN TỬ HỮU HẠN 3.1. Phương pháp thiết lập phương trình đặc trưng của phần t ử ..........................77 3.2. Phương pháp biến phân, phương trình Euler - Lagrange ............................. 91 3.3. T h iết lập phương trình đặc trưng cùa phươ ng trìn h vi phân dẫn n h iệt theo phươ ng pháp biến p h â n ................................................................. 1 0 1 3.4. T h iết lập phương trình đặc trư ng của phươ ng trìn h vi phân dẫn n h iệt theo phư ơ ng pháp G a le rk in ...................................................................109 3.5. Xác định phiếm hàm bài toán dẫn nhiệt qua c á n h ......................................... 112 3.6. Tóm lắt c h ư ơ n g ......................................................................................................114 5
CHƯƠNG 4 G IẢ I M ỘT SỐ BÀI TO ÁN DẪN NH IỆT ỎN Đ ỊN H BÀNG PH Ư Ơ NG PH ÁP PH ÀN T Ử H ử u HẠN 4.1. Dần nhiệt qua vách phẳng m ột lớ p.....................................................................115 4.2. Dần nhiệt qua vách phẳng nhiều lớ p .................................................................118 4.3. Dan nhiệt qua vách phẳng có nguồn nhiệt bên tro n g ....................................120 4.4. D ẩn nhiệt qua vách t r ụ .......................................................................................... 130 4.5. Dần nhiệt qua vách trụ có nguồn bên tro n g .................................................... 137 4.6. Dần nhiệt qua thanh có tiết diện không đ ổ i .....................................................143 4.7. Dẩn nhiệt qua cánh có tiết diện thay đ ổ i...........................................................149 4.8. Dẩn nhiệt hai chiều qua phần tử tam giác đ ơ n ................................................154 4.9. Dần nhiệt qua phần tử tam giác lắp ghép..........................................................158 4.10. Dan nhiệt hai chiều qua phần tử chữ nhật đ ơ n .............................................. 173 4.11. Dần nhiệt hai chiều qua phần tử chữ nhật lắp g h é p ..................................... 179 4.12. B ài toán dẫn nhiệt ba c h iề u ................................................................................ 190 4.13. C ác bài to án hình khối có trục đối x ứ n g ........................................................191 4.14. T óm tắt c h ư ơ n g ..................................................................................................... 194 BÀI TẬ P C H Ư Ơ N G 4 ................................................................................................................... 195 CHƯƠNG 5 DÃN N H IỆT KHÔNG ỎN ĐỊNH 5.1. K hái n iệ m .................................................................................................................199 5.2. P h ư ơ n g pháp G a le rk in ........................................................................................ 200 5.3. Phư ơng pháp biến p h â n ...................................................................................... 202 5.4. Rời rạc theo thời g i a n ..........................................................................................204 5.5. Rời rạc theo thời gian bằng phương pháp sai phân hữu h ạ n ......................207 5.6. Rời rạc theo thời gian bằng phương pháp phần từ hữu h ạ n ....................... 210 5.7. T ổng kết m ột số công thứ c rời rạc theo thờ i g i a n ..................................... 214 5.8. D ẩn nhiệt không ổn định qua vách p h ẳ n g .................................................... 215 5.9. D ần n h iệt không ổn định qua t h a n h ................................................................218 5.10. D an n h iệt không ổn định qua vách t r ự ...........................................................222 5.11. Dần nhiệt không ổn định qua phần tử tam g iá c ......................................... 226 5.12. D ẩn nhiệt không ổn định qua phần tử chữ n h ậ t..........................................241 5.13. T óm tắt c h ư ơ n g ..................................................................................................... 259 BÀI TẬ P C H Ư Ơ N G 5 .................................................................................................................. 260 H Ư Ớ N G D Á N G IẢ I B À I T Ậ P ............................................................................................ 263 T À I L IỆ U T H A M K H Ả O .........................................................................................................337 6
Chương 1 MỞ ĐÀU 1.1. KHÁI QUÁT 1.1.1. Vai trò của truyền nhiệt trong kỹ thuật và tự nhiên Truyền nhiệt là quá trình truyền năng lượng dưới dạng nhiệt giữa các vật thể hoặc giữa các khu vực khác nhau trong vật thể. Có thể gặp hiện tượng nhiệt ở khắp nơi, từ các việc trong đời sống hàng ngày như đun nấu, làm mát hay sưởi ấm không khí trong phòng... đến các hiện tượng trong tự nhiên như nắng, mưa, giông bão đều gắn với các quá trình nhiệt nói chung và truyền nhiệt nói riène. Trong hầu hết các quá trình công nghệ, từ hoạt động của các loại động cơ nhiệt như động cơ đốt trong, động cơ tua bin, động cơ phản lực... đến làm mát động cơ điện, làm mát các bộ phận của các thiết bị điện tử, luôn có mặt quá trình truyền nhiệt. Bời vậy, có thể nói hiện tượng nhiệt nói chung và truyền nhiệt nói riêng có vai ừò rất quan trọng trong đời sống, kỹ thuật và trong tự nhiên. Trong kỹ thuật thường nảy sinh vấn đề là làm sao khống chế được nhiệt độ làm việc cực đại cùa thiết bị để bào đảm hoạt động bình thường của thiết bị, hoặc khống chế được độ chênh nhiệt độ cục bộ trong các khu vực của vật thể để bảo đảm biến dạng nhiệt cục bộ ưong giới hạn cho phép không gây nên rạn nứt phá hủy vật thể. Điều đó chi có thể thực hiện được khi kiểm soát được quá trình truyền nhiệt của thiết bị và vật thể. 1.1.2. Các phương thức truyền nhiệt, các định luật truyền nhiệt cơ bản N hiệt có thể truyền từ nơi này tới nơi khác theo các phương thức khác nhau. Mỗi phương thức truyền nhiệt có những đặc điểm và cơ cấu riêng. Có ba phương thức truyền nhiệt cơ bản là dẫn nhiệt, toả nhiệt đối lưu, bức xạ nhiệt. a. Dẩn nhiệt Dần nhiệt xảy ra bên trong vật thể hoặc giữa các vật thể tiếp xúc nhau khi giữa chúng có sự chênh lệch nhiệt độ. Dần nhiệt được thực hiện thông qua quá trình truyền dao động của các phần tử vi mô cấu tạo nên vật thể. Quá trình dẫn nhiệt có thể xảy ra trong chất rắn, chất lỏng và cả trong chất khí. Trong kim loại, dẫn nhiệt được thực hiện chủ yếu nhờ quá trình truyền dao động của các điện tử tự do. Trong chất điện môi, dẫn nhiệt xảy ra nhờ sóng đàn hồi truyền dao động nhiệt. Trong chất lỏng và chất khí, dẫn nhiệt được thực hiện nhờ quá trình khuếch tán các phân tử. 7
Lượng nhiệt truyền qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian được gọi là mật độ dòng nhiệt, ký hiệu là q (W /m2). M ật độ đòng nhiệt truyền đi do dẫn nhiệt tuân theo Định luật Fourier: «= ơn (U ) Trong đó: q là véc tơ mật độ dòng nhiệt; k là hệ số dẫn nhiệt (W /mK); ỠT/ổn là gradient nhiệt độ với n là pháp tuyến mặt đẳng nhiệt. Hệ số dẫn nhiệt là đại lượng đặc trưng khả năng dẫn nhiệt của vật liệu. Trị số hệ số dẫn nhiệt của một số vật liệu điển hình như sau: Vật liệu Hệ số dẫn nhiệt (W/mK) Kim loại Bạc nguyên chất 410 Đồng nguyên chất 385 Nhôm nguyên chất 200 Sắt nguyên chất 73 Hợp kim Thép không gi 16 Nhôm hợp kim 168 Phi kim loại Nhựa 0,6 Gỗ 0,2 Chất lỏng Nước 0,6 Chất khí Không khí khô 0,025 b. Toả nhiệt đối lưu Toả nhiệt đối lưu là phương thức truyền nhiệt xảy ra giữa bề mặt vật rắn và chất lỏng hoặc khí, khi giữa chúng có chênh lệch nhiệt độ và tiếp xúc với nhau. Do các phần tử chất lỏng tiếp xúc với bề mặt vật rán trao đổi nhiệt với bề mặt vật bàng dẫn nhiệt, lớp chất lỏng sát bề mật vật thay đổi nhiệt độ và mật độ làm xuất hiện chuyển động tạo thành dòng đối lưu, đồng thời mang nhiệt đi. Chuyển động đó được gọi là đối lưu tự nhiên. Chuyển động của chất lòng do tác động của các lực cơ học từ bên ngoài như bơm, quạt, khuấy... được gọi là đối lưu cưởng bức. Toả nhiệt đối lưu cũng xảy ra rất mạnh trong các quá trinh chất lỏng sôi hay ngưng tụ. Mật độ dòng nhiệt truyền đi bàng toả nhiệt đối lưu tuân theo định luật New ton - Richman: q = h.(Tw- T ) (1.2) Ở đây, q (W /m2), là mật độ đòng nhiệt, h là hệ số toả nhiệt đối lưu (W /m 2K); Tw và Ta tương ứng là nhiệt độ bề mặt và nhiệt độ môi trường chất lỏng. 8
Trị số hệ số toả nhiệt điển hình ữong các chat lỏng như sau: Chất lỏng Hệ số toả nhiệt (W/m2K) Các chật khí (lững lờ) 15 Các chất khí (chảy) 1 5 -250 Các chất lỏng (lừng lờ) 100 Các chất lỏng (chày) 100-200 Các chẩt lòng khi sôi 2000-35.000 Các chất lỏng khi ngưng 2000 - 25.000 c. Bức xạ nhiệt Bức xạ nhiệt là quá trình truyền nhiệt bằng sóng điện từ giữa các vật thể. Mọi vật thể được cấu tạo bởi các thành phần vi mò mang điện, luôn ở trạng thái chuyển động nên tạo ra sóng điện từ, lan truyền trone khòne gian gọi là bức xạ điện từ. Khi đập vào bề mặt vật thể khác, một phần bức xạ điện từ bị vật đó hấp thụ biến thành nhiệt. Quá trình truyền năng lượng nhiệt bàng sóng điện từ đỏ được gọi là trao đổi nhiệt bức xạ. Mọi vật luôn tồn tại ở nhiệt độ T > 0K, nên luôn phát ra bức xạ nhiệt và đồng thời cũng hấp thụ các tia bức xạ nhiệt từ các vật khác chiếu tới. bởi vậy quá trình trao đổi nhiệt bức xạ là quá trình hai chiều, nhưng vật có nhiệt độ cao hơn năng lượng bị mất đi bởi bức xạ ra sẽ lớn hơn năng lượng nhận được bởi hấp thụ. Khi các vật có nhiệt độ bằng nhau, quá trình trao đổi nhiệt bức xạ eiữa chúng vẫn xảy ra nhưne ở thế càn bằng động, tức là ờ mỗi vật có năng lượng bức xạ ra bàng năng lượng hấp thụ vào nên nàng lượng và nhiệt độ của vật đó không thay đổi. N ăng lượng truyền đi bàne bức xạ từ bề mặt vật đen tuân theo định luật Stefan Boltzonmann: (1.3) Ở đây, Eo là năng suất bức xạ của vật đen, (W /m2); ơ 0 là hằng số Stefan Boltzcrmann ơo = 5,669.10'8 (W /m 2K4); T là nhiệt độ tuyệt đối (K). N ăng lượng bức xạ từ bề mặt các vật xám nhỏ hơn năng lượng bức xạ từ bề mặt vật đen, xác định bởi: (1.4) Ở đây, E là năng suất bức xạ cùa vật xám, (W /m2); e là hàng số phát xạ của vật xám, còn gọi là độ đen. Lượng nhiệt trao đổi bàng bức xạ giữa hai bề mặt 1 và 2 được xác định bởi: Q = F F G( j ( T ^ - r 2 ) (1.5) F e là yếu tố kể đến bản chất cùa hai bề mặt, Fg là yếu tổ kể đến định hướng hình học cùa hai bề mặt bức xạ. 9
1.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẢN NHIỆT VÀ ĐIÈU KIỆN ĐƠN TRỊ 1.2.1. Phương trình vi phân dẫn nhiệt Đe xác định nhiệt độ ứong vật thể cần phải thiết lập mối quan hệ của nhiệt độ với các toạ độ và thời gian, đó chính là phương ừình vi phân dẫn nhiệt. Tách một phân tố hình hộp ra khỏi vật thể đặt trong toạ độ xyz. Phân tố có kích thước dxdydz, Hình 1.1. Khảo sát dẫn nhiệt qua phân tố theo các hướng X, y, z sau thời gian dx: Theo hướng x: Lượng nhiệt vào phân tố qua mặt thứ nhất: d Q* 1 = q d y d z d T ( 1.6) Lượne nhiệt ra khỏi phân tố qua mặt thứ hai: í "\ CỈQ = q + - 2j- d x ( lyd z d r (1.7) ox ( 1.8 ) Với q = —k — sẽ CÓ: ' õx dQ = — ( k — ) dx . d y . d z . d T (1.9) x x õx) ‘IQrí iI Hình 1.1. Phân tố thể tích trong tọa độ x,y,z 10
Tương tự như vậy theo hướng y và theo hướng z, phân to nhận được: / \ dQy = j - k„—~ dx.dy.dz.dr ( 1. 10) dy >dy Jyầ a í,. ôt) ( 1. 11) dx.dy.dz.dT d z { ’' d z , Theo cả ba hướng X, y, z lượng nhịệt phân tố nhận được là: dQ = dQx + dQx +dQ. = — - — ( kL _s_ —r } -f— ổ ( ,k _____ ÕT) ^------ d k( , — ÕT dx . d y . dz . d r ( 1. 12) J dx J dy J ô z \ : õz Hệ số dẫn nhiệt trong phương trình trên là một véc tơ. Trong trường hợp tổng quát hệ số dẫn nhiệt cỏ thể là một ten sơ: k XX k xy k xz k = k y* k yy kJZ (1.13) kV ko k= Nếu bên trong vật thể cỏ nguồn sinh nhiệt qv (W /m3), lượng nhiệt do nguồn trong sinh ra trong phân tố khảo sát sau thời gian d t là: q v d xd y d z. dT (1.14) Luợng nhiệt phân tố nhặn do dẫn nhiệt và nguồn nhiệt bên trong sinh ra sau thời gian d t là: ÕT ÕT — k — \+— k — dxdydzdr (1.15) Do nhận lượng nhiệt trên, nội năng phần tố sau thời gian dx sẽ thay đổi là: p. dx . d y . d z . c ^ - d r (1.16) r ÕT Theo định luật bào toàn năng lượng thì tổng năng lượng phân tố nhận được do dẫn nhiệt I 1 _ t 1 J __________À _ __1 • A . .________ • I — 1 V ______1 • Ẩ *5 • A • V _ _ ■> _ I Ạ ,Ắ theo ba hướng và do nguôn nhiệt ừong sinh ra sẽ băng biên đôi nội năng cùa phân tô: õ_ õ r ÕT\ ÕT_ k -— +qv =p-cp^ - (1.17) ôx *1 ẽx - ôz z ÔT Phương trình (1.17) được gọi là phương trình vi phân dẫn nhiệt. Nếu vật liệu là đẳng hướng, nghĩa là hệ số dẫn nhiệt k là không đổi theo các hướng, phương trình vi phân dẫn nhiệt được viết thành:
f d-T õ2T ô2T với = v 2r và a= gọi là hệ số khuếch tán nhiệt. ôx1 ôy2 õz 2 c p Phương trình vi phân dẫn nhiệt được viết gọn thành: Ẽ L = ciV '-t + 3 l- (1.19) ÔT c p Trong trường hợp vật không có nguồn nhiệt bên trong, phương trình vi phân sẽ trở thành: ẼL = a ^ T ( 1.20 ) ÕT Khi nhiệt độ vật không thay đổi theo thời gian, quá trình dẫn nhiệt là ổn định được biểu thị bởi: V -T = 0 ( 1.21 ) Phươne trình vi phân dẫn nhiệt trong toạ độ trụ là: Ị_õ_ ( , ôt) 1 5 a r" l ÕT ' ÕT_ If _______ 4_ _____ AC 7 dọ \ ôz V ÕT Trong đó: - r là bán kính mặt trụ qua điểm khảo sát; - cp góc của bán kính r với trục x; - z độ cao. Mật độ dòng nhiệt theo các hướng xác định theo: , ÕT q = —k -— ; 'õ r ÕT
1.2.2. Điều kiện đơn trị Để phương trinh vi phân có nghiệm xác định can phải có các đieu kiện rieng cua moi bài toán cụ thể, gọi đó là điều kiện đơn trị. Đieu kiện đơn trị bao gom điêu kiện ban đâu va điều kiện biên giới. • Điều kiện ban đầu cho biết quy luật phân bố nhiệt độ trong vật thể ở thời điểm ban đầu. Điều kiện ban đầu chi cỏ mặt trong quá trình không ốn định, quá trình ổn định thì không cần điều kiện ban đầu. • Điều kiện biên giới cho biết đặc điểm của quá trình nhiệt xảy ra tại biên giới của vật thể, gồm cỏ: - Điều kiện biên loại 1 còn eọi là điều kiện Dirichlet, cho biết quy luật phân bố nhiệt độ trên bề mặt vật: T = Tw tại S| (1.26) - Điều kiện biên loại 2 còn sọi là điều kiện Neuman, cho biết mật độ dòng nhiệt tại bề mặt vật: q =-k — =c tại s 2 (1.27) &n c là giá trị biết trước có thể không đổi, hoặc thay đổi. Nếu bề mặt cách nhiệt hay đoạn nhiệt cũng được coi là c = 0 . - Điều kiện biên giới loại 3 cho biết quy luật toả nhiệt giũa bề mặt vật và môi trường chất lòng bao quanh vật tuân theo phương trình N ew ton - Richman: - k — = h ( T - T ) trên S 3 (1.28) cn 1.3. ĐIỂM QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN DÃN NHIỆT c ơ BẢN Để tìm phân bố nhiệt độ trong vật, cần phải giải phương trình vi phân dẫn nhiệt cùng với các điều kiện đơn trị. Trong giáo trình truyền nhiệt chương trình đại học đã trình bày chi tiết cách giải một số bài toán cớ bản, ở đây chi nêu tóm tắt kết quả của chúng. 1.3.1. Dần nhiệt ổn định điều kiện biên loại 1 qua các vách mỏng Khi các vách có bề dày nhỏ hom rất nhiều so vói các kích thước khác, dòng nhiệt truyền theo hướng bề dày là chính nên nhiệt độ chi thay đổi theo hướng bề dày và chỉ phụ thuộc vào một chiều. Phương trình vi phân ổn định không có nguồn trong, khi k = const có dạng: v 2r = 0 (1.29) 13
1. Dan nhiệt qua vách phẳng Vách phàng dày 5, hệ số dẫn nhiệt k không đổi, biết nhiệt độ hai mặt: Phương trình vi phân: (1.30) “dx ° điều kiện biên: T = T W1 tại X = 0; T = T W2 tại X = ỗ. (1.31) Sau khi tích phân (1.30) hai lần, thay điều kiện biên (1.31), giải ra nghiệm: T -T T =T . — 1,1 X (1.32) ổ Phàn bổ nhiệt độ trong vách phăng là đường thẳng, Hình 1.2. Twl I*------ »1 Hình 1.2. Phân bố nhiệt độ trong vách phẳng Mật độ dòng nhiệt: ÕT T -T AT - (1-33) ‘> - k T r 6 R ( W / m ) Với: ATvv là hiẻu nhiêt đô hai mặt vách; R = — gọi là nhiệt trở dẫn nhiêt của vách k phàng. Đối vách phầng có nhiều lớp, mật độ dòng nhiệt là: (1.34) n ỗ s Với- ý R = y — ; và — là nhiệt trở dẫn nhiệt của lớp thứ i trong vách phẳng. .. ' K 14
2. Dẩn nhiệt qua vách trụ Phương trình vi phân: 1 dT d 2T - =0 (1.35) r dr dr Điều kiện biên: T = Twi tại r = ri; T = Tw2 tại r = r 2 (1.36) Giải ra nghiệm: T = T - T" ~ T'- ln— (1.37) In— 4 đx Phàn bổ nhiệt độ trong vách trụ là đường cong logarít, Hình 1.3. Twi Two Hình 1.3. Phân bố nhiệt độ trong vách trụ M ật độ đòng nhiệt dài: qL = L l L l = È L l (w/m) (1.38) — ln^- R 2 nk d, Với: ATWlà hiệu nhiệt độ hai mặt vách trụ R - —-— ln— gọi là nhiệt trở dẫn nhiệt của vách trụ Ink dx Đối vách trụ có nhiều lớp, mật độ dòng nhiệt dài là: AT
3. Dẩn nhiệt qua vách cầu Phương ừình vi phân: 2 d T + d ^ r =0 (1 4 0 ) r dr dr 2 Điều kiện biên: T = TW, t ạ i r = r,; T = Tw2 t ạ i r = r 2 (1-41) Giãi ra nghiệm: 'Y _'Y _ T - T w2 ' 1 1 (1.42) I _ I V', r , r2 Phàn bố nhiệt độ trong vách cầu là đường cong hyperbol. Dòne nhiệt qua vách cầu: Q= L iZ L l . = (w /m 2) (1.43) 1 d1 - d i R Ink dld2 1.3.2. Dần nhiệt ổn định qua thanh và cánh Thanh và cánh chỉ khác nhau ở tỳ lệ giữa kích thước mặt cắt ngang và chiều dài. Nếu chi tiết có kích thước mặt cắt ngang nhỏ hơn nhiều so với chiều dài, ta gọi là thanh, trong trường hợp ngược lại gọi là cánh. Tuy tên gọi có thể khác nhau nhung nguyên tắc tính nhiệt là nhu nhau. 1. Thanh có tiết diện không đổi Thanh thẳng có tiết diện A không đổi, gốc thanh có nhiệt độ Tb, tại mặt ngoài thanh có toả nhiệt ra môi trường với hệ số toả nhiệt h, nhiệt độ môi trường Ta, đinh thanh cách nhiệt. Xét vi phân thể tích có chiều dài dx, diện tích mặt cắt ngang A, chu vi tiết diện p, diện tích xune quanh Pdx, hệ số dẫn nhiệt là k, Hình 1.4. Sau khi cân bàng giữa lượng nhiệt dẫn vào phân tố tại X với lượng nhiệt dẫn ra khỏi phán tố tại (x+dx) và tỏa nhiệt ra môi trường qua diện tích mặt xung quanh, sẽ được phương trinh sau: k A ^ - - h P ( T - T ) =0 (1.44) dx2 16
Đặt (T - Ta) = 0 ; — = ị ; — = m2 và m 2L2 = ịi2 khi đó phương trình trên trở thành: L kA d 2ớ - f j 2ỡ = 0 (1.45) d? Hình 1.4. Dần nhiệt một chiều qua thanh Các điều kiện biên: - tại đinh thanh: £ = 0 -> — = 0 dệ - tại gốc thanh: = 1 —> 0 = 0b (1.46) Nghiệm của (1.45) và (1.46) có dạng: coshỊ^/n(L- ỡ = 0. (1.47) ° cosh (mL.) 2. Thanh có tiết diện thay đối Thanh có chiều dài L, tiết diện ngang A(x) và chu vi P(x) thay đổi theo X. Gốc thanh X = 0, nhiệt độ To, đật trong môi trường nhiệt độ Ta,, hệ số toả nhiệt tại mặt ngoài thanh là h, thể hiện trên Hình 1.5. Hình 1.5. Thanh có tiết diện thay đổi
Tại X, phần tử thanh dày dx, diện tích hai mặt là f(x) và f(x+dx), diện tích xung quanh P(x)d.\. Lượng nhiệt vào phần tử tại mặt f(x) là: dT Q = - k A (x )—- (1.48) dx Lượng nhiệt ra khỏi phần từ tại mặt f(x+dx) là: dA(x) „ dT ÌX Q Jv = - k A(*) +— ~— dx T + ——C (1.49) dx dx Lượng nhiệt toả ra môi ừường tại mặt xung quanh phần tử là: Qh = h P { x ) d x Ợ - T a) (1.50) Do ổn định nên Qx - Q d t =Qh, dẫn tới phương trình d_ dT kA(x) - h P (x)dxỢ - T ) = 0 (1.51) dx dx Tuỳ thuộc vào dạng hàm số A(x) theo X mà dẫn tới các phương trình khác nhau, xét cánh cụ thể có tiết diện thay đổi tuyến tính theo X. 3. Cánh có tiết diện thay đổi tuyến tính theo X Cánh cỏ tiết diện chữ nhật, bề dày thay đổi tuyến tính theo x: A( x ) = 2 ô \ậ Thay A(x) vào (1.51) dẫn tới: d_ X d Ợ -T ) k2ổ — b —------ °— - - 7 —( 71- T ) = 0 (1.52) dx L dx k Hình 1.6. Cánh có tiết diện thay đổi tuyến tính theo X T —T Đát — = £; v à ----- — = e sẽ dẫn tới L T -T 18 ỉ
£e_ de hứ (1.53) dệ2 + dậ kổ (1.53) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số là biến. Nghiệm của (1.53) được biểu thị dưới dạng hàm Bessel loại 1: (1.54) Với lo là hàm Bessel loại 1, cỏ thể tra theo bảng lập sẵn. 1.3.3. Dẩn nhiêt • ổn đỉnh • môt • chiều có nguồn 9 nhỉêt • bên trong “ 1. Dẩn nhiệt qua vách phẳng có nguồn nhiệt bên trong Xét vách phẳng rất rộng, có bề dày 2L, nhiệt độ tại hai mặt ngoài là T W1 và TW2 - Trong vách có nguồn nhiệt phân bổ đều theo thể tích qv = const (W /m3), Hình 1.8 . Do dòng nhiệt chì truyền theo hướng bề dày nên nhiệt độ chỉ thay đổi theo hướng này, đặt là X. Phương trình vi phân: (1.55) Điều kiện biên loại 1: Tại X = - L, T = Twi; Tại X = +L, T = T w2 (1.56) TẶ T1 m IX T w 2 -L +L — ----------------- ----------► 1 0 1 X Hình 1.8. Phân bố nhiệt độ trong vách phẳng có nguồn bên trong 19
Giải (1.55) và (1.56) được nghiệm cùa bài toán: x + ĩ z ' +T^ (1.57) v ' 2kK > 2L 2 Phàn bô nhiệt độ trong vách phẳng là đường cong bậc hai. 2. Dẩn nhiệt qua vách trụ có nguồn nhiệt bên trong Phuơng ữình vi phân: ^ I +I ^ _ Ì L = o (1.58) dr' r dr k Khi chi toà nhiệt tại mặt ngoài, điều kiện biên: T ạ;ir = r,, T dT = 0 (cách nhiệt mặt trong) dr T T ạ;ir = r2, M (1.59) dr Giải (1.58) và (1.59) được nghiệm: " ( \2 / \ 2' r\ , r r qv A1 r.1 T= 1+ 1 In-— + 2TL 1- + Ta,2 (1.60) Ak r, r, V 2 y 2h2 /12 / _ V2 _ . \ _ Khi ri = 0, vách trụ trở thành thanh đặc đường kính R, phân bố nhiệt độ trong thanh: 4 v í n2 T =— ( r 2 - r„ 2z )\ +. -^— Qv ^ +T (1.61) 4A:v ’ 2/1, n2 Khi chi toả nhiệt tại mặt trong, điều kiện biên là: T- • _ đT Tai r = Ĩ2 , — = 0 (cách nhiệt mặt ngoài) dr h T Tại• r == ri, — dL (1.62) £ v v»i ơl ' dr Giải (1.58) và (1.62) được nghiệm: - / \2 •>" ■✓ \ •? r. — —r % -ri r2 T = 2/ _ 2 A, Vr,1 / _ _ Khi toả nhiệt cả hai mặt, kết hợp (1.60) và (1.63): Ờ nứa trong vách r = n -ỉ- r0 20
N2 - ■»" í \t "/ T = Qvrõ 2 1 n - + a _V a -1 + T, (1.64) 4k r. Jo, /0 , 2 \ Ở nửa ngoài vách r = r 0 H- r; •> í r 'ì r ( rr \ q v -r2 T =