Ngoại khóa tổ Toán: Chủ đề - Đại số tổ hợp

NGOẠI KHÓA TỔ TOÁN<br /> Chủ đề: “Đại số tổ hợp”<br /> Như chúng ta đã biết toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, <br /> không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học  <br /> về "hình và số."  Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học nên toán <br /> học đã được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ". Toán học là một trong những ngành <br /> khoa học cơ bản cổ xưa nhất của nhân loại và là niềm đam mê của rất nhiều thế hệ <br /> các nhà khoa học, chứa đựng trong nó là cả một kho tàng vô tận những bí ẩn cũng như <br /> khả  năng  ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của cuộc sống. Toán học sử <br /> dụng những học thuyết toán, kỹ  thuật tính toán, thuật toán, với sự  hỗ  trợ  của Công  <br /> nghệ  thông tin để  giải quyết mọi vấn đề  từ  kinh tế, khoa học, kỹ  thuật, vật lý đến  <br /> những vấn đề thuộc về khoa học xã hội và nhân văn.<br /> Đại số  tổ  hợp hay còn gọi là lý thuyết tổ  hợp hoặc giải tích tổ  hợp là một  <br /> ngành mới của toán học. Từ di truyền học đến các ngành khoa học kinh tế và xã hội, <br /> các lĩnh vực áp dụng lý thuyết này không ngừng được mở  rộng. Chúng ta làm sao có <br /> thể  loại bỏ  mọi vận may trong một ván bài hay quản lý tốt hơn cung và cầu trong  <br /> buôn bán hàng hóa hay làm sao có thể  hiểu sâu hơn về  tổ  chức gen trong một vi  <br /> khuẩn? Khoa học toán học được gọi là lý thuyết tổ  hợp cho phép tiếp cận được hết  <br /> các lĩnh vực này. Vì lý thuyết tổ  hợp có tầm quan trọng lớn như vậy nên nó đã được <br /> đưa vào giảng dạy trong bộ môn toán học phổ thông trung học một số nước trên Thế <br /> Giới. Để giúp học sinh có thể nắm vững, đồng thời vận dụng tốt các kiến thức được <br /> học về đại số tổ hợp, hôm nay tổ Toán tổ chức buổi ngoại khóa với cuộc thi “Thử tài  <br /> cùng đại số tổ hợp”. <br /> Cuộc thi gồm có 3 vòng thi:<br /> ­ Vòng 1: Khởi động<br /> ­ Vòng 2: Ai nhanh hơn<br /> ­ Vòng 3: Chung sức<br /> *Vòng 1: “Khởi động”<br /> ­ Ở vòng thi này sẽ có 6 câu hỏi trắc nghiệm. Sau khi người dẫn chương trình  <br /> đọc xong câu hỏi, các em có 15 giây để suy nghĩ và trả lời bằng cách giơ bảng ghi chữ <br /> cái tương ứng với đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng sẽ được 5 điểm.<br /> 1. Số các chỉnh hợp chập k của một tập có n phần tử  (1 k n)  là:<br /> k n!<br /> A.  An<br /> (n k )!<br /> k n!<br /> B.  An<br /> k!(n k )!<br /> C.  Ank n(n 1)(n 2)....(n k )<br /> <br /> <br /> 1<br />  k k!<br /> D.  An<br /> (n k )!<br /> 2. Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với  1 k n . Một tổ hợp chập k <br /> của A là: <br /> A. Sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự.<br /> B. Một tập con của A có k phần tử.<br /> C. Lấy ra k phần tử và sắp xếp chúng theo một thứ tự .<br /> D. Các câu trên đều sai.<br /> 3. Ba vận động viên A, B, C chạy thi. Nếu không kể  trường hợp hai vận  <br /> động viên về đích cùng 1 lúc thì có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với các  <br /> vị trí nhất, nhì, ba?<br /> A. 1 B. 3 C. 6 D. 9<br /> (Số các khả năng có thể xảy ra đối với các vị trí nhất, nhì, ba là số các hoán vị <br /> của tập có 3 phần tử. Vậy có 3! = 6 khả năng có thể xảy ra)<br /> 4. Trong mặt phẳng, cho tập hợp P gồm 5 điểm. Hỏi có bao nhiêu vectơ <br /> khác vectơ – không mà điểm đầu và điểm cuối thuộc P?<br /> A.  C52 B.  A52 C. 2! D. 5!<br /> (Một vectơ có phân biệt điểm dầu và điểm cuối nên số các vectơ là số cách sắp <br /> thứ tự 2 điểm bất kì trong tập hợp P gồm 5 điểm. Vậy, số các vectơ có thể được tạo <br /> thành là  A52  vectơ)<br /> 5. Cho 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số <br /> khác nhau được thành lập từ 6 chữ số đó?<br /> A. 6! B.  C 63 C. 63  D. A63   <br /> (Số các chữ số cần tìm là số cách sắp thứ tự 3 chữ số khác nhau trong tập gồm <br /> có 6 chữ số. Vậy, có  A63  số)<br /> 6. Tìm hệ số của  x 5  trong khai triển của  (x − 1)6    <br /> A. ­6 B. 6 C. 15 D. ­15<br /> k 6 k<br /> (Số hạng thứ k + 1 của khai triển là:  C x 6 ( 1) k<br /> Hệ số của  x 5  là  ( 1) k C 6k  ứng với  k :   6 k 5 k 1<br /> Vậy hệ số cần tìm là  1.C61 6  )<br /> * Vòng 2: “Ai nhanh hơn”<br /> ­ Trong vòng thi này, BTC sẽ lần lượt đưa ra 6 câu hỏi. Các đội sẽ giành quyền <br /> trả lời bằng hình thức giơ tay. Nếu trả lời đúng sẽ được 10 điểm, nếu trả lời sai sẽ bị <br /> trừ đi 5 điểm. Thời gian suy nghĩ tối đa cho mỗi câu hỏi là 20 giây. Tuy nhiên, các đội <br /> chú  ý:  Chỉ  được   giơ   tay   giành  quyền  trả  lời  sau  tiếng  “Hết”  của  người  dẫn  <br /> chương trình.<br /> <br /> 2<br />  1. Xem bảng số sau:<br /> 1<br /> 1 1<br /> 1 2 1<br /> 1 3 3 1<br /> 1 4 6 4 1<br /> 1 5 10 10 5 1<br /> .........................................................................................................................................<br /> Bảng số này do nhà toán học nào thiết lập? Và được gọi là gì?<br /> Đáp án: Do nhà toán học Pascal thiết lập (vào năm 1653) và được gọi là <br /> Tam giác Pascal.<br /> (Tam giác Pascal được lập theo quy luật sau:<br /> ­ Đỉnh được ghi số 1.<br /> ­ Hàng thứ nhất ghi 2 số 1.<br /> ­ Nếu biết hàng thứ  n ( n 1 ) thì hàng thứ  n+1 được lập bằng cách cộng <br /> hai số liên tiếp của hàng thứ  n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở  vị  trí giữa hai số <br /> này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng.)<br /> 2. Từ các chữ số  0 ; 1; 2; 3; 4 ; 5 ;6 ; 7; 8 ta lập được bao nhiêu số tự nhiên <br /> chẵn có ba chữ số (các chữ số không nhất thiết khác nhau)?<br /> Đáp án: 360 số     <br /> (Gọi số cần tìm :  abc<br /> Có 5 cách chọn c,  8 cách chọn a, 9 cách chọn b. <br /> Vậy có: 5.8.9 = 360 số)<br />  3.  Tìm hệ số của  x 8 y7  trong khai triển của  (x + y)15 ?<br /> Đáp án:  C157 = 6435<br /> (Số hạng thứ k + 1 của khai triển là:  C15k x15 k y k<br /> 15 k 8<br /> Hệ số của  x 8 y 7  là  C15k  ứng với  k :   k 7<br /> k 7<br /> Vậy hệ số cần tìm là  C157 )<br /> 4. Tổ của An và Cường có 7 học sinh. Có bao nhiêu cáh sắp xếp 7 học sinh <br /> đó theo một hàng dọc mà An đứng đầu hàng, Cường đứng cuối hàng?<br /> Đáp án: 5!=120 cách<br /> (Do An đứng đầu hàng, Cường đứng cuối hàng nên ta chỉ  cần sắp 7­2=5 học  <br /> sinh còn lại vào 5 vị trí ở giữa hàng. <br /> Vậy có 5!=120 cách sắp xếp)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3<br />    5. Một học sinh 11A có 12 cuốn sách gồm : 6 sách toán , 4 sách lý và 2 sách <br /> hóa. Hỏi học sinh đó có bao nhiêu cách xếp các cuốn sách lên một kệ  sách dài <br /> nếu các cuốn sách cùng một môn xếp kề nhau?<br /> Đáp án: 6!.4!.2!.3!= 207.360 cách.<br /> ( Xếp 6 cuốn sách toán kề nhau: có 6! cách<br />    Xếp 4 cuốn sách lý kề nhau: có 4! cách<br />           Xếp 2 cuốn sách hóa kề nhau: có 2! cách<br />        Mỗi lần ta hoán vị 3 nhóm sách này ta có 3! cách sắp xếp mới<br /> Vậy có tất cả: 6!.4!.2!.3!= 207.360 cách sắp xếp)<br /> 6. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số  chia hết cho cả  2 ; 5 và 10?<br /> Đáp án: 90 số                                                                 <br /> (Gọi số cần tìm :  abc<br /> Có 1 cách chọn c, 9 cách chọn a, 10 cách chọn b. Vậy có : 1.10.9 = 90 số.)<br /> * Trò chơi dành cho khán giả: Giải ô chữ<br /> Học sinh chọn 1 trong 6 ô chữ hàng ngang. Mỗi ô chữ hàng ngang sẽ có 1 gọi ý. <br /> Học sinh có 15 giây suy nghĩ, nếu trả  lời đúng sẽ  nhận được một món quà từ  phía  <br /> BTC, đồng thời nhận được 1 hay nhiều chữ cái cho ô chữ chìa khóa; nếu trả lời sai, cơ <br /> hội sẽ thuộc về những học sinh khác. Sau khi các ô chữ được giải hết, các chữ cái của <br /> từ chìa khóa sẽ dần xuất hiện. Học sinh trả lời đúng từ  chìa khóa của ô chữ  sẽ  được <br /> nhận 1 phần quà đặc biệt của BTC.<br /> 1. Ô chữ gồm 4 chữ cái.<br /> Quốc   gia   này   là   quê   hương   của   nhiều   nhà   toán   học   nổi   tiếng   như <br /> Descartes, Fermat, Pascal,…<br /> Đáp án: Pháp <br /> (từ cho ô chữ chìa khóa: P, A)<br /> 2. Ô chữ gồm 6 chữ cái.<br /> Điền vào chỗ  trông sau: “Cho tập các số 1, 3, 4, 5. Số các chữ số tự nhiên  <br /> có 4 chữ  số  khác nhau được tạo thành từ  các chữ  số  trên là số  các …….của 4  <br /> phần tử.”<br /> Đáp án: Hoán vị<br /> (từ cho ô chữ chìa khóa: A)<br /> 3. Ô chữ gồm có 6 chữ cái.<br /> Ông và Pascal là những người đã đặt nền móng cho việc nghiên cứu lý  <br /> thuyết xác suất và các định luật tổ  hợp tương  ứng trong các thảo luận của họ <br /> về trò đánh bạc. Ông là ai?<br /> Đáp án: Fermat<br /> (từ cho ô chữ chìa khóa: E)<br /> <br /> 4<br />  4. Ô chữ gồm có 7 chữ cái.<br /> Đây là môn khoa học bắt đầu từ  việc xem xét các trò chơi may rủi, là bộ <br /> môn toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên, là một ngành toán học <br /> quan trọng được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của KHTN, KHXH, kinh tế,  <br /> y học, ….<br /> Đáp án: Xác suất<br /> (từ cho ô chữ chìa khóa: S – có 2 chữ S)<br /> 5. Ô chữ gồm có 8 chữ cái.<br /> Điền vào chỗ trống sau: “Một ban chấp hành đoàn gồm 15 người. Số cách <br /> chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ: bí thư, phó bí thư, ủy viên là <br /> số ……..chập 3 của tập có 15 phần tử”<br /> Đáp án: Chỉnh hợp<br /> (từ cho ô chữ chìa khóa: C, I)<br /> 6. Số các đường chéo của đa giác này là 9. Đa giác này đưuọc gọi là gì?<br /> Đáp án: Lục giác<br /> (từ cho ô chữ chìa khóa: A, L – có 2 chữ L)<br /> <br /> P H A P<br /> H O A N V I<br /> F E R M A T<br /> X A C S U Â T<br /> C H I N H H O P<br /> L U C G I A C<br /> <br /> Ô chữ chìa khóa: BLAISE PASCAL<br /> (Ta đã từng nghe câu nói “Con người chỉ là một cây sậy, một vật rất yếu đuối  <br /> của tự nhiên, nhưng là 1 cây sậy biết suy nghĩ”, hay câu “Trái tim có những lí lẽ mà lí  <br /> trí không giải thích được”. Đó là những câu nói người ta vẫn thường nhắc khi nói về <br /> Blaise Pascal ­  một nhà toán học, nhà vật lý học, nhà văn, nhà tư tưởng người Pháp. <br /> Ông sinh ngày 19 tháng 6 năm 1623, mất ngày 19 tháng 8 năm 1662 . Ông được tiếp  <br /> thu nền giáo dục từ người cha của ông. Ngay từ thời trẻ Pascal đã nổi tiếng là thần  <br /> đồng. Các tác phẩm ban đầu của ông là về  tự  nhiên và các  khoa học  ứng dụng, nơi  <br /> ông đã có những đóng góp quan trọng vào việc xây dựng một máy tính cơ  khí, các  <br /> nghiên cứu về chất lỏng, trình bày các khái niệm về áp suất và chân không, …<br /> Trong lĩnh vực toán học, Pascal đã giúp tạo ra hai lĩnh vực nghiên cứu mới. ông  <br /> đã viết một luận án quan trọng về đối tượng của hình học ánh xạ ở độ tuổi 16. <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 5<br />  Năm 17 tuổi, ông có ý định chế  tạo 1 chiêc máy tính, và 5 năm sau ông đã chế  <br /> tạo xong chiếc máy tính làm được bốn phép cộng, trừ, nhân, chia. Đó là chiếc máy  <br /> tình đầu tiên trong lịch sử nhân loại.<br /> Năm 28 tuổi, một nhà quý tộc Pháp nhờ  ông giải đáp một số  vấn đề  rắc rối  <br /> nảy sinh trong các trò chơi đánh bạc. Ông đã toán học hóa các trò chơi này và nâng  <br /> lên thành những bài toán phức tạp hơn. Ông đã trao đổi vấn đề này cùng với nhà toán  <br /> học Pierre de Fermat. Những cuộc trao đổi đó đã đặt nền móng cho việc nghiên cứu lý  <br /> thuyết xác suất và các định luật tổ  hợp tương  ứng. Đây là công trình có  ảnh hưởng  <br /> lớn tới sự phát triển của kinh tế học hiện đại và các ngành khoa học xã hội.<br /> Tháng 6 năm 1662, Pascal đem nốt căn nhà ở tặng cho một gia đình nghèo đang  <br /> mắc bệnh đậu mùa. Ông dọn tới ở nhờ người chị gái. Tại nơi này, ông bị ốm nặng và  <br /> cơn bệnh còn hành hạ  ông trong hai tháng. Pascal qua đời vào ngày 19 tháng 8 năm  <br /> đó, hưởng thọ 39 tuổi.)<br /> * Vòng 3: “Chung sức”<br /> ­ Trong vòng thi này, BTC có 1 bộ gồm 6 câu hỏi. Mỗi đội sẽ có 2 lần bốc thăm  <br /> chọn câu hỏi cho đội mình. Trong thời gian 1 phút , các thành viên của đội phải trình <br /> bày bài giải cùng đáp án cuối cùng lên giấy đã in sẵn đề một cách ngắn gọn và hợp lý.  <br /> Sau khi hết thời gian, các đội lần lượt trình bày bài giải của mình bằng cách sử dụng <br /> máy chiếu đa vật thể. BGK sẽ  đánh giá và cho điểm. Điểm tối đa cho mỗi bài giải  <br /> đúng, hoàn chỉnh là 10 điểm.<br /> 6<br /> 1 �<br /> 1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của  �<br /> �2x − �.<br /> � x2 �<br /> <br />   Đáp án: 240<br /> k<br /> 1<br /> (Số hạng thứ k + 1 của khai triển là:  C (2 x) k<br /> 6<br /> 6 k<br /> 2<br /> C6k 26 k ( 1) k x 6 3k<br /> <br /> x<br /> <br /> Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với  k :   6 3k 0 k 2<br /> <br /> Vậy số hạng cần tìm là  C62 24 ( 1) 2 240 )<br /> 10<br /> 2�<br /> 2. Tìm hệ số của  x 2  trong khai triển của  �<br /> �x + � .<br /> � x�<br /> <br /> Đáp án:  24.C104<br /> k<br /> 2<br /> (Số hạng thứ k + 1 của khai triển là:  C x k 10 k<br /> 10 C10k 2k x10 2k<br /> <br /> x<br /> <br /> Hệ số của  x 2  ứng với  k :   10 2k 2 k 4<br /> <br /> Vậy hệ số cần tìm là  C104 24 3.360 )<br /> <br /> 6<br />   3 Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7  ta lập được bao nhiêu số tự nhiên  có ba <br /> chữ số  khác nhau không vượt quá  410?  <br /> <br /> Đáp án: 90 số<br /> <br /> (Gọi số cần tìm :  n abc<br /> <br /> n 410  nên  a 1;2;3<br /> <br /> Có 3 cách chọn a,  6 cách chọn b, 5 cách chọn c. <br /> Vậy có: 3.6.5 = 90 số)<br /> 4. Từ các chữ số  0 ; 1; 2; 3; 4 ; 5 ;6 ; 7; 8 ta lập được bao nhiêu số tự nhiên <br /> chia hết cho 5 có ba chữ số (các chữ số không nhất thiết khác nhau).     <br /> <br /> Đáp án: 144 số<br /> <br /> (Gọi số cần tìm :  n abc<br /> <br /> n  chia hết cho 5 nên  c 0;5<br /> <br /> Có 8 cách chọn a, 9 cách chọn b, 2 cách chọn c. <br /> Vậy có: 8.9.2 = 144 số)                                                         <br /> 5.  Đội thanh niên tình nguyện của 1 trường THPT có 18 học sinh gồm 7 <br /> học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách <br /> chọn 8 học sinh từ  các học sinh trên để  tham gia chiến dịch “mùa hè xanh” sao <br /> cho khối 12 có đúng 1 học sinh tham gia.<br /> <br /> Đáp án:  2.310 cách<br /> <br /> (Chọn 1 học sinh trong số 7 học sinh khối 12: có  C71 7  cách chọn.<br /> <br /> Chọn 7 học sinh trong số  6+5=11 học sinh khối 10 và 11: có   C117 330   cách <br /> chọn.<br /> Vậy   số   cách   chọn   8   học   sinh   trong   đó   có   đúng   1   học   sinh   khối   12   là:  <br /> 7.330=2.310 cách chọn.)<br /> 6. Một nhóm học sinh gồm 6 HS nam và 8 HS nữ. Người ta chọn 1 tổ trực  <br /> nhật gồm 6 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong tổ phải có cả  nam  <br /> và lẫn nữ?<br /> <br /> Đáp án: 2.974 cách<br /> <br /> (Chọn 6 học sinh nam: có  C66  cách chọn.<br /> <br /> Chọn 6 học sinh nữ: có  C86  cách chọn.<br /> <br /> 7<br />  Vậy số cách chọn 6 học sinh, trong đó phải có cả nam và nữ là: <br /> C146 (C66 C86 ) 3.003 (1 28) 2.974  cách chọn.)<br /> <br /> Kết luận: Đại số tổ hợp là một ngành toán học rời rạc, nghiên cứu về các cấu <br /> hình kết hợp các phần tử  của một tập hữu hạn phần tử. Các cấu hình đó là các  hoán <br /> vị,  chỉnh hợp,  tổ  hợp,... các phần tử  của một   tập hợp.  Đại số  tổ  hợp không chỉ  có <br /> trong lĩnh vực giảng dạy và nghiên cứu, mà còn  ứng dụng trong công nghệ  thông tin, <br /> điện – điện tử, các ngành kinh tế – kỹ thuật và cả các ngành khoa học xã hội. Chính vì <br /> lẽ  đó, từng dạng toán trong đại số  tổ  hợp càng mang tính khoa học và trí tuệ.  Muốn <br /> học tốt môn đại số tổ hợp, học sinh cần phải:<br /> ­ Nắm vững và phân biệt được hai quy tắc: quy tắc cộng, quy tắc nhân. <br /> ­   Nắm vững các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Từ đó, có thể vận dụng  <br /> linh hoạt và phù hợp cho từng bài toán cụ thể. <br /> ­    Giải nhiều bài tập để lấy kinh nghiệm. <br /> Tuy nhiên, bên cạnh đó để  học tốt môn Toán nói chung và phần Đại số  tổ  hợp nói  <br /> riêng, học sinh cần bồi dưỡng lòng yêu thích môn Toán. Toán học không thật sự  "rất  <br /> khó và khô", để lấy lại niềm đam mê học toán, chúng ta hãy bắt đầu bằng những việc <br /> sau: <br /> ­    Thấy được vai trò quan trọng của toán học trong cuộc sống. <br /> ­     Đọc các sách ứng dụng toán học vào cuộc sống. <br /> ­     Đọc tiểu sử của các nhà toán học. <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 8<br />