Ôn tập hè - Toán lớp 11, lớp 12

Chia sẻ: Nguyễn Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

207
lượt xem 44
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'ôn tập hè - toán lớp 11, lớp 12', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn tập hè - Toán lớp 11, lớp 12

ÔN T P HÈ MÔN TOÁN H C DÙNG CHO H C SINH KH I 11 LÊN 12 Tài li u này g m nhi u ph n ñư c sưu t m trên Internet, v i s chia s c a các th y cô giáo d y Toán THPT. http://ebook.here.vn ch T p h p chúng l i ñ b n ñ c d dàng ôn t p. Tuy nhiên do m t s Tác gi không ñ l i tên trong Tài li u c a mình nên chúng tôi không th k h t. Xin g i l i c m ơn t i các th y Tr n M nh Tùng (THPT Lương Th Vinh), Phan Phú Qu c (THPT Phan Châu Trinh), và các th y cô khác ñã chia s nh ng Tài li u c a mình. ***** Gi i H n Hàm S Bài 1 : ð nh nghĩa Và M t S ð nh Lý 1.Gi i h n t i m t ñi m : 3x − 2 2n + 1 ( xn ) bi t xn = Ví d : Cho hàm s f(x) = và dãy s 5x + 4 n a) Tính f( xn ) . b) Tính lim xn và limf( xn ) a) Gi i h n h u h n : Cho hàm s f(x) xác ñ nh trên m t kho ng (a;b ) , có th tr ñi m x 0 ∈ (a;b) .Hàm s f(x) có gi i h n L khi x d n t i x 0 , n u m i dãy s ( xn ) ( xn ∈ (a; b), xn ≠ x0 , ∀n ∈ N ) sao cho lim xn = x 0 thì lim f( xn ) = L . Ta vi t : lim f (x ) = L . x →x 0 b) Gi i h n vô c c : ð.n : lim f ( x ) = +∞ ( hay -∞ ) ⇔ ∀(x n ), limx n = x0 ⇒ lim f ( xn ) = +∞ ( hay -∞ ) x → x0 2. Gi i h n t i vô c c : ð.n: lim f (x ) = L ⇔ ∀(x n ), limx n = +∞ ⇒ lim f (x n ) = L x →+∞ lim f (x ) = L ⇔ ∀(x n ), limx n = −∞ ⇒ lim f (x n ) = L x →−∞ 3. ð nh lý v gi i h n : ð nh lý 1 : N u hai hàm s f(x) và g(x) ñ u có gi i h n khi x d n t i a thì : lim[ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x). lim[ f ( x).g ( x)] = lim f ( x). lim g ( x). x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 lim f ( x) f ( x) x → x0 = (lim g ( x) ≠ 0). f ( x) = 3 lim f ( x). lim lim 3 x → x0 g ( x ) lim g ( x) x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 f ( x) = lim f ( x) ( f(x) ≥ 0 ) lim x → x0 x → x0 Bài t p 1 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí
V n ñ 1: Tìm Gi i H n C a Hàm S T i ði m a Phương pháp : S d ng các gi i h n cơ b n sau : • lim C = C . V i C là h ng s . x→a lim x n = a n • x→a Bài 1 : Tính các gi i h n sau : x 2 + 3x + 2 3x + 2 a) lim( x + 3) , b) lim( x 4 + 3 x 3 − 2 x + 5) , c) lim , lim 3 . 3x + 6 x → −1 5 x + 6 3 x→2 x →1 x →0 Bài 2: Tính các gi i h n sau : 8x 2 -3x+7 (x 2 -5x+7)(4x-1)2 2x -1 - x 2 − x a) lim b) lim c) lim x → -∞ 3x 2 + x + 2 (3x 2 + 2)2 27x 3 + x - 3 x →+∞ x → -∞ 3 Bài 2 : Gi i H n M t Bên 1.ð nh nghĩa : f(x) xác ñ nh trên ( x 0 ; b) . a) Gi i h n bên ph i : cho hàm s lim f (x ) = L ⇔ ∀x n ∈ (x 0 ; b ), limx n = x 0 ⇒ lim f (x n ) = L x → x 0+ f(x) xác ñ nh trên (a; x 0 ) . Ta có : b) Gi i h n bên trái : cho hàm s lim f (x ) = L ⇔ ∀x n ∈ (a; x 0 ), limx n = x 0 ⇒ lim f (x n ) = L x → x 0− 2. ð nh lý : ði u ki n c n và ñ ñ hàm s f(x) có gi i h n b ng L là gi i h n bên ph i b ng gi i h n bên trái và b ng L . Ta có : lim f ( x) = L ⇔ lim+ f ( x) = lim− f ( x) = L . x→a x→ a x→ a 3. M t s k t qu : 1 1 1 lim k = +∞ (k ∈ Z) , lim− 2 k = +∞ , lim− 2 k +1 = −∞ x → 0= x x →0 x x →0 x Ví d 1: Tìm gi i h n m t bên c a hàm s sau x |x −6| x − 2 + 3x 2x − 6 1. lim x - 1 2. lim- 2 3. lim 4. lim- x →1 x − 1 x → 6 x + 5x x −9 + + 2 x →1 x →3  3 x − 1, x ≤ 1  Ví d 2: Tìm gi i h n m t bên c a hàm s sau : f(x)=  x 2 + 5  x −7 ,x >1  Bài t p 1. Tìm gi i h n c a hàm s sau 4x + 3 − x −1 x2 − 6x + 8 x2 − 6x + 5 5x − x 2 1. lim- 2. lim 3. lim- 4. lim 5. lim x −1 x 2 − 6x + 5 | x2 − x | - x →1− − x −5 x →5 x →1 x →2 x →5 x 2 − 5x + 6 2. Tìm gi i h n c a hàm s sau 1 x 2 − 4x + 3 x 2 − 3x  1 a. lim- b. lim- c. lim-  2 −2  |1− x | x →5  x − 1 x − 3x + 2  2 x →5 x →5 3x − x 4 5 2 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí
 x 2 + 2 x + 5, x ≤ 1  3. Cho hàm s : f(x) =  x + m  x −7 ,x >1  Tìm m ñ hàm s f(x) có gi i h n khi x d n t i 1 và tìm gi i h n ñó . Bài 3 : Kh Các D ng Vô ð nh Các d ng vô ñ nh : 0∞ , , ∞ − ∞,0 × ∞ g i là d ng vô ñ nh . Khi Khi tính gi i h n c a hàm s ta g p các gi i h n sau : 0∞ ñó ta không s d ng ñư c các ñ nh lý v gi i h n và cũng không bi t gi i h n này là bao nhiêu .ð tính ñư c các gi i h n ta ph i kh các d ng vô ñ nh trên . 0 V n ñ 1 : Kh D ng Vô ð nh . 0 f ( x) 0 Phương pháp : Gi s có d ng . Ta kh d ng này như sau : lim x→a g ( x) 0 • Phân tích f(x) = (x-a)f 1 (x) và g(x) = (x-a)g 1 (x) . f ( x) f ( x) • Khi ñó : lim = lim 1 , sau ñó tính bình thư ng . x → a g ( x) x → a g ( x) 1 Bài T p Bài 1 : Tìm các gi i h n sau : x2 − 4 x2 − 4 x 2 + 4x + 3 6x 2 − 5x + 1 a) lim b) lim 3 c) lim 2 d) lim 2 x→2 x − 2 x→2 x − 8 x → −1 2 x − 5 x − 7 x→ 2 x − 7 x + 3 1 2 Bài 2 : Tìm các gi i h n sau : x3 − 2x + 4 x 3 + 3x 2 − 9 x − 2 x 3 − 5 x 2 + 3x + 9 a) lim b) lim c) lim x 2 + 2x x3 − x − 6 x 4 − 8x 2 − 9 x → −2 x→2 x →3 Bài 3: Tìm các gi i h n sau x+3 −2 x− x+2 x+6 −2 8 x + 11 − x + 7 3 3 a) lim b) lim c) lim d) lim x −1 x −1 x 2 − 3x + 2 2 2 4x + 1 − 3 x →1 x→2 x →3 x→2 x +1 + x + 4 − 3 e) lim x →0 x ∞ V n ñ 2: Kh D ng Vô ð nh ∞ ∞ f ( x) Phương pháp : Gi s có d ng . Ta kh d ng này như sau : lim ∞ x → a g ( x) • Chia c t và m u cho x k là s h ng có s mũ l n nh t c a t và m u. Bài t p Bài 4 : Tính các gi i h n sau : 2x + 3 2 x 4 + 3x + 6 10 x + 3 2 x 2 + 3 x + 10 a) lim 3 b) lim 3 c) lim d) lim x→∞ 5 x + 2 x→∞ x + 4 x + 2 x →∞ x + 4 x + 2 x→∞ 7 x 2 + 4 x + 2 (2 x + 3)(3 x + 5) 2 e) lim x3 + 4x + 2 x →∞ 3 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí
V n ñ 3: Kh D ng Vô ð nh ∞ − ∞ lim f(x) = +∞ và limg(x) = +∞ thì lim[f(x) – g(x)] có d ng ∞ − ∞ Gi s ∞ Phương pháp : ðưa d ng ∞ − ∞ v d ng ∞ Bài T p Bài 5 : Tính các gi i h n sau 1 2 a) lim ( x 2 + 1 − x) , b) lim ( x 2 + 1 − x) , c) lim( x 2 − 4 x − x) d) lim( −2 ) x →1 x − 1 x −1 x → +∞ x → −∞ x →∞ 1 3 1 3 − −3 ) e) lim( ) , f) lim( 2 x →1 x − 1 1 − x3 x →1 x + x − 2 x −1 V n ñ 4: Gi i H n Hàm S Lư ng Giác Phương pháp : S d ng ñ nh lý sau : sin x • ð nh lý : lim =1 . x →0 x sin u ( x) • H qu : N u lim u ( x) = 0 thì lim =1 . x→a x→a u ( x) Bài T p Bài 6 . Tính các gi i h n : 1 − cos 2 x sin 2 x sin 5 x sin 2 x a) lim b) lim c) lim d) lim x2 x →0 x →0 x →0 sin 5 x x →0 x 2x sin πx sin x − 3 cos x sin 2 ( x − 1) e) lim( x + 1) 2 , f) lim g) lim x →0 x − 1 ( x − 1) π 2 x →1 sin 3 x x→ 3 T ng H p Phương Pháp Kh Các D ng Vô ð nh A. PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁN: Các d ng vô ñ nh: f ( x)  0  1. Gi i h n c a hàm s d ng: lim  g( x)  0  x →a o N u f(x) , g(x) là các hàm ña th c thì có th chia t s , m u s cho (x-a) ho c (x-a)2. o N u f(x) , g(x) là các bi u th c ch a căn thì nhân t và m u cho các bi u th c liên h p. f ( x)  ∞  2. Gi i h n c a hàm s d ng: lim  g( x)  ∞  x →∞ và m u cho xk v i k ch n thích h p. Chú ý r ng n u x → +∞ thì coi như x>0, n u o Chia t x → −∞ thì coi như x
f ( x) − g( x) o ðưa v d ng: lim f ( x) + g( x ) x →∞ B. CÁC VÍ D 2 x 2 − 3 x + 2 ( − 2 ) − 3 ( −2 ) + 2 12 1. lim = − = −3 = ( −2 ) − 2 x−2 4 x →−2 ( x − 2 ) ( x − 1) = lim x − 1 = 2 − 1 = 1 .Chia t và m u cho (x-2). x 2 − 3x + 2 () 2. lim = lim x−2 x −2 x →2 x →2 x →2 ( )( )( ) ( ) ( x + 1 − 4 ) 3x + 3 x +1 − 2 x +1 + 2 3x + 3 x +1 − 2 3. lim = lim = lim ( )( )( ) )( ) ( 3x − 3 3 x − 32 3x − 3 x +1 + 2 3x + 3 x +1 + 2 x →3 x →3 x →3 ( x − 3 ) ( 3 x + 3) ( 3x + 3) = ( 3.3 + 3) = 6 = 1 = lim = lim 3( x − 3) ( x + 1 + 2 ) 3 ( x + 1 + 2 ) 3 ( 3 + 1 + 2 ) 12 2 x →3 x →3 x 2 − 3x + 1  lim  x →3+ x − 3 = +∞ x 2 − 3x + 1  4. lim = ∞ (vì t d n v 1 còn m u d n v 0).C th :  x −3  lim x − 3 x + 1 = −∞ 2 x →3  x →3− x − 3  ( ) ( ) ( x − 1) 2 x + x + 1 2x2 + x + 1 2 2x3 − x2 − 1 5. lim 3 = lim = lim =∞. x →1 ( x − 1)( x − 2 ) 2 x →1 x − 4 x 2 + 5 x − 2 ( x − 1) ( x − 2 ) x →1 2x2 − x + 3 13 2− + 2 2x − x + 3 x x = 2 =2 2 2 x 6. lim = lim = lim 1 x +1 2 2 x +1 1 x →∞ x →∞ x →∞ 1+ 2 x2 x 7. lim x − 1 = 0 + x →1 1 x 1+ x +1 x 2 = lim 1 + 1 = 1 2 8. lim = lim x2 x x x →+∞ x →+∞ x →+∞ 1 1 x 1+ 2 −x 1 + 2 x = lim  − 1 + 1  = −1 . x +1 2 x = lim 9. lim = lim   x →−∞   x2  x x x x →−∞ x →−∞ x →−∞   x 2 − x + 3 ( x ≤ 1)  10. Cho hàm s : f ( x ) =  x+a . Tìm a ñ hàm s có gi i h n khi x d n t i 1 và ( x>1)  x tìm gi i h n ñó. 5 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí
Gi i ( ) Ta có : lim  f ( x )  = lim x − x + 3 = 3 . 2 x →1−   x →1− x+a lim  f ( x )  = lim= a +1 +  x + x →1 x →1 V y lim  f ( x )  = 3 ⇔ a + 1 = 3 ⇔ a = 2   x →1 ( ) ( x − 2) x2 + 2x + 4 x3 − 8 0 ( ) 11. lim = lim = lim x 2 + 2 x + 4 = 12 . D ng   . 0 x →2 x − 2 x−2 x →2 x →2 x3 + 2x − 1 2 1 1+ 2 − 3 x + 2x − 1 x = 1 . D ng  ∞  . 3 x3 x 12. lim = lim = lim ∞ 1 2x3 + 1 2x3 + 1 2  x →∞ x →∞ x →∞ 2+ 3 3 x x ( ) 2 3x 2 − x + 1 ( ) 2 3x 2 − x + 1 2   x2 ( ) 13. lim   3 x − x + 1 = lim = lim 2 33 x. 3 x 3 + 1 x. 3 x 3 + 1  x. x + 1  x →∞ x →∞ x →∞ x2 1 1  2 3 − + 2  x x 6 = lim  = =6 1 1 x →∞ 3 1+ 3 x ( )( ) = lim x x2 + x + 3 − x x2 + x + 3 + x + x + 3 − x2 2 ) ( 14. lim x2 + x + 3 − x = lim x2 + x + 3 + x x2 + x + 3 + x x →+∞ x →+∞ x →+∞ x+3 3 1+ x +3 1 x x = lim = lim = lim = . D ng ( ∞ − ∞ ) x 2 + x + 3 + x x →+∞ 1 + 1 + 3 + 1 2 x2 + x + 3 + x x →+∞ x →+∞ x x2 x Bài T p Tính ð o Hàm Bài 1: B ng ñ nh nghĩa, hãy tính ñ o hàm c a hàm s : y = 2x − 1 t i x0 = 5  1 Gi i: T p xác ñ nh D =  x : x ≥   2 • V i ∆ x là s gia c a x0 = 5 sao cho 5+ ∆ x ∈ ∆ thì • ∆ y = 2(5 + ∆x) − 1 - 10 − 1 6 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí
( )( ) 9 + 2 ∆x − 3 9 + 2 ∆x + 3 ∆y 9 + 2 ∆x − 9 ∆y • Ta có: = Khi ñó: y’(5)= lim = lim ( ) ∆x ∆x ∆x →0 ∆x ∆x 9 + 2 ∆x + 3 ∆x →0 9 + 2 ∆x − 9 2 1 • = lim = lim = ( ) ( ) ∆x 9 + 2 ∆x + 3 9 + 2∆x + 3 ∆x →0 ∆x →0 3 x y= Bài 2 : Ch ng minh hàm s liên t c t i x0 = 0, nhưng không có ñ o hàm t i ñi m ñó. x +1 ,neáu x ≥ 0 x HD: Chú ý ñ nh nghĩa: x =  -x ,neáu x 0) Ta có: lim+ • = lim+ = lim+ =1 ∆x ∆x →0 ∆x ( ∆x + 1) ∆x →0 ( ∆x + 1) ∆x → 0 , neáu x ≥ 0 − x 2 Bài 3: Cho hàm s y = f(x) =  x , neáu x
π b) Tính ñ o hàm c a f(x) t i x = 4 HD:a) Vì lim+ f (x) = lim+ cos x =1 và lim− f (x) = lim− (− sin x) = 0; f(0) = cos0 = 1 x →0 x →0 x →0 x →0 ⇒ lim+ f (x) ≠ lim− f (x) x →0 x →0 ⇒ hàm s không liên t c t i x0 = 0 (hàm s gián ño n t i x0 = 0) Bài 7: Tính ñ o hàm các hàm s sau: 1. y = ( x 2 -3x+3)( x 2 +2x-1); ðs: y’ = 4x3-3x2 – 8x+ 9 2. y = ( x 3 -3x+2)( x 4 + x 2 -1); ðs: y’ =7*x^6-12*x^2+3-10*x^4+8*x^3+4*x 2  ( ) 3. Tìm ñ o hàm c a hàm s : y =  + 3x  x − 1 x   1  2  2  2  2 ( ) ( ) ( ) Gi i: y’ =  + 3x  ' x − 1 +  + 3x  x − 1 ' =  − 2 + 3  x − 1 =  + 3x    x  x  x  x  2 x  2  ( ) 1 3x + =  − 2 + 3 x −1 + x  xx 2x 1  ( ) 3. y = x + 1  − 1 x  ) x + 2 ) (1 + y= ( x 2 + 3x 3 3 4. 5. y = ( x 2 -1)( x 2 -4)( x 2 -9); ðs: 6*x^5-56*x^3+98*x 6. y = (1+ x )(1+ 2x )(1+ 3x ) 1+ x 7. y = 1 + 2x 1 − 3 2x 8. y = 1 + 3 2x x +1 1 9. y = ; ðs:- x −1 (x + 1)(x − 1)3 1− x2 2x 10. y = ; ðs:- 1+ x 2 (1 − x 2 )(1 + x 2 )3  1− x   1− x  1 11. y = cos  1 + x  ; 2  sin  2  1+ x  ðs:    x (1 + x ) 2   12. y = (1+sin2x)4; ðs: (1 + sin 2 x)3 sin 2x 13. y =sin2(cos3x); ðs: -3sin(2cos3x)sin3x sin x − cos x 2 14. y = ; ðs: sin x + cos x (sin x + cos x) 2 sin 3x 15. y = 2 sin x.cos x 1 − cos x − x sin x x 518) y = f(x) = ; y’ = (1 − cos x ) 1 − cos x 2 8 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí
x − sin x cos x tan x 519) y = f(x) = ; y’ = x 2 cos 2 x x sin x 1 522) y = f(x) = ; y’ = 1 + cos x 1 + cos x sin x + cos x + x(sin x − cos x) x 523) y = f(x) = ; y’ = sin x + cos x 1 + sin 2x 1 1 526) y = f(x) = tan 4 x ; y’ = tan3x. cos 2 x 4 1 527) y = f(x) = cosx − cos3 x ; y’ = -sin3x 3 3 528) y = f(x) = 3sin2x –sin3x; y’ = sin 2x(2 − sin x) 2 1 529) y = f(x) = tan3x –tanx + x; y’ = tan4x 3 x +1 1 535) y = f(x) = tan ; y’ = x +1 2 2 cos 2 2 3 2 539) y = f(x) = cos 4x; y’ = -12cos 4x.sin4x x 2 −1  1 544) y = f(x) = 1 + tan  x +  ; y’ =  x  1  1 2x 2 cos 2  x +  1 + tan  x +   x  x 3 672) y = f(x) = 3cos2x –cos3x; y’ = sin2x(cosx-2) 2 2sin 2 x 2sin 2x 682) y = f(x) = ; y’ = cos 2 2x cos 2x x x tan + cot 2 ; y’ = − 2(x cos x + sin x) 2 684) y = f(x) = x 2 sin 2 x x x x 1 x 2x 1 2 x − sin …. y = f(x) = sin 2 cot ; y’ = cot sin 685) 3 2 3 2 32 2 tan x(1 + 2 tan 2 x) y = f(x) = 1 + tan 2 x + tan 4 x ; y’ = 689) cos 2 x 1 + tan 2 x + tan 4 x 1 1 sin 6 3x − sin 8 3x ; y’ = sin53xcos33x 694) y = f(x) = 18 24 ) ( 2 sin 3 x y = f(x) = cosx. 1 + sin x ; y’ = − 2 705) 1 + sin 2 x 2 2x + 1 2x + 1 2x + 1      − sin 0.8x  ; y’ = -0.8  cos − sin 0.8x   sin + cos 0.8x  706) y = f(x) = 0.4  cos      2 2 2 1 sin 2x ; y’ = − 713) y = f(x) = 2 (1 + sin 2 x ) 1 + sin x 2 3 721) y = f(x) = sin2x.sinx2; y’ =2sinx(xsinx.cosx2+cosx.sinx2) 9 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí
2 cos x 2sin x 722) y = f(x) = ; y’ = cos 2x cos 2x cos 2x BÀI T P ð O HÀM B SUNG Bài 1.Tìm ñ o hàm c a hàm s : 1 2x cot2x − x cot2x Gi i: y’ = ( x )cot2x+ x (cot2x)’ = y= sin 2 2x 2x Bài 2. Tìm ñ o hàm c a hàm s : y = 3sin xcosx+cos2x 2 y’ = 2(sin2x)’cosx+3(sin2x)(cosx)’+(cos2x)’ = 6sinxcos2x-3sin3x-2cosxsinx =sinx(6cos2x-3sin2x-2cosx) x Bài 3. Cho hàm s : y = x2 + x +1 Tìm TXð và tính ñ o hàm c a hàm s ? TXð: D = R 2x + 1 x 2 + x + 1 − x. 2 x 2 + x + 1 = 2(x + x + 1) − x(2x + 1) =… 2 y’ = x2 + x +1 ( ) 3 x2 + x +1 Bài 4: Ch ng minh r ng các hàm s sau có ñ o hàm không ph thu c x: a) y = sin6x + cos6x +3sin2xcos2x; HD: Cách 1: y = (sin2x)3+(cos2x)3+3sin2xcos2x= (sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x) +3sin2xcos2x = [(sin2x)2+[(cos2x)2+2sin2xcos2x-3sin2xcos2x] +3sin2xcos2x =[(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x] +3sin2xcos2x =1 ⇒ y’ = 0 (ñpcm) Cách 2: y’ = 6sin5x.(sinx)’ +6cos5x.(cosx)’+3[(sin2x)’.cos2x+sin2x(cos2x)’] = 6sin5x.cosx -6cos5x.sinx + 3[2sinx(sinx)’.cos2x+sin2x.2cosx.(cosx)’] = 6sinx.cosx(sin4x-cos4x) + 3[2sinx.cosx. cos2x-sin2x.2cosx.sinx] = 6sinx.cosx(sin4x-cos4x) + 6sinx.cosx(cos2x – sin2x) π π  2π  2π     2 − x 2 + x − x  +cos2  − x  -2sin2x. 2 b) y = cos  3 +cos  3 +cos  3    3  Bài 5: Cho hàm s y = f(x) = 2cos2(4x-1) a) Tìm f'(x); b)Tìm t p giá tr c a hàm s f'(x) Bài : Cho hàm s y = f(x) = 3cos2(6x-1) a) Tìm f'(x); b)Tìm t p giá tr c a hàm s f'(x) Bài 6: Ch ng minh r ng các hàm s sau th a mãn phương trình : a) y = 2x − x 2 ; y3y"+1 = 0. b) y = e4x+2e-x; y''' –13y' –12y = 0. c) y = e2xsin5x; y"-4y'+29y = 0 ) ( 2 d) y = x 3 [cos(lnx)+sin(lnx)]; x 2 y"-5xy'+10y = 0. e) y = x + x 2 + 1 ; (1+ x 2 )y"+xy'-4y = 0 Bài 7: Cho hàm s y= f(x) = 2x2 + 16 cosx – cos2x. 1/. Tính f’(x) và f”(x), t ñó tính f’(0) và f”( π ). 2/. Gi i phương trình f”(x) = 0. x −1 cos2x Bài 8: Cho hàm s y = f(x) = 2 a) Tính f'(x) b) Gi i phương trình f(x) -(x-1)f'(x) = 0 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 10
Bài 9: Gi i phương trình f’(x) = 0 bi t r ng:  cos 3x  60 64 sin 3x − 3 +5; +cosx- 3  sin x + f(x) = 3x+ b) f(x) =   3 xx 3 Gi i: 60 64.3x 2  20 64  60 64.3 f’(x) = 3 − 2 + == 3 − 2 + 4 == 3 1 − 2 + 4  6 x x x x x x  20 64  f’(x) = 0 ⇔ 1 − 2 + 4  = 0 ⇔ x4-20x2+64 = 0 (x ≠ 0) ⇔ … {±2; ±4} x x Phương Trình Lư ng Giác A. CÁC CÔNG TH C C N NH 1. Công th c cơ b n 1 ≤ sin x ≤ 1 1 ≤ cos x ≤ 1 sin(α + k2π) = sinα; cos(α + k2π) = cosα; tan(α +kπ) = tanα; cot(α + kπ) = cotα * Hàm s y = sin x có TXð: D = ¡ ; TGT: [ −1;1] ; Tu n hoàn v i chu kì: T = 2π là hàm s l * Hàm s y = cos x có TXð: D = ¡ ; TGT: [ −1;1] ; Tu n hoàn v i chu kì: T = 2π ; là hàm s ch n π  TXð: D = ¡ \  + kπ ; k ∈ ¢  ; * Hàm s y = tan x có 2  TGT: ¡ ; Tu n hoàn v i chu kì: T = π ; là hàm s l TXð: D = ¡ \ {kπ ; k ∈ ¢ } ; * Hàm s y = cos x có TGT: ¡ ; Tu n hoàn v i chu kì: T = π ; là hàm s l Giá tr lư ng giác c a các cung ñ c bi t: Góc 0 ( 0o ) π 30o π 45o π 60o π 90o (120o ) 34 (135o ) 56 (150o π (180 ) 2π π π ( ) 4( ) 3( ) 2( ) o 6 3 Hàm 1 1 2 3 3 2 sin α 0 1 0 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2 2 3 − − − cos α 1 0 -1 2 2 2 2 2 2 −3 1 1 3 − tan α  0 1 -1 0 3 3 −3 1 1 3 − cot α   1 0 -1 3 3 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 11
2. Các h ng ñ ng th c lư ng giác cơ b n sin 2 α + cos 2 α = 1 tan α .cot α = 1 1 1 = 1 + tan 2 α = 1 + cot 2 α cos α sin α 2 2 3. Các công th c có liên quan ñ c bi t a. Cung ñ i nhau sin(-α) = - sinα cos(-α) = cosα tan(-α) = - tanα cot(-α) = -cotα b. Cung bù nhau sin(π - α) = sinα cos(π - α) = - cosα tan(π - α) = - tanα cot(π - α) = - cotα c. Cung ph nhau π π   sin  − α  = cos α cos  − α  = sin α 2  2  π π   tan  − α  = cot α cot  − α  = tan α 2  2  d. Cung hơn kém π sin (π + α ) = − sin α cos (π + α ) = − cos α tan (π + α ) = tan α cot (π + α ) = cot α π e. Cung hơn kém 2 π π   sin  + α  = cos α cos  + α  = − sin α 2  2  π π   tan  + α  = − cot α cot  + α  = − tan α 2  2  3. Công th c c ng cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b 4. Công th c nhân ñôi sin 2 x = 2sin x cos x cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2sin 2 x 2 tan x tan 2 x = 1 − tan 2 x 5. Công th c h b c 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x sin 2 x = cos 2 x = 2 2 6. Công th c nhân ba sin 3 x = 3sin x − 4sin 3 x ( 3 − tan 2 x ) tan x cos 3 x = 4 cos x − 3cos x tan 3 x = 3 1 − 3 tan 2 x 7. Công th c bi n ñ i tích thành t ng http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 12
1 cos ( x − y ) + cos ( x + y )  cos x.cos y = 2  1 sin x.sin y = cos ( x − y ) − cos ( x + y )  2  1 sin x.cos y = sin ( x − y ) + sin ( x + y )  2  8. Công th c bi n ñ i t ng thành tích sin ( x + y ) x+ y x− y tan x + tan y = cos x + cos y = 2 cos .cos cos x cos y 2 2 sin ( x − y ) x+ y x− y tan x − tan y = cos x − cos y = −2sin .sin cos x cos y 2 2 sin ( x − y ) x+ y x− y cot x + co t y = sin x + sin y = 2sin .cos sin x sin y 2 2 sin ( y − x ) x+ y x− y cot x − co t y = sin x − sin y = 2 cos .sin sin x sin y 2 2 9. Công th c rút g n: asin x + bcos x a sin x + b cos x = a 2 + b 2 .sin ( x + α ) = a 2 + b 2 .cos ( x − α ) a sin x − b cos x = a 2 + b 2 .sin ( x − α ) = − a 2 + b 2 .cos ( x + α ) ð c bi t: π π   sin x + cos x = 2 sin  x +  = 2 cos  x −   4  4 π π   sin x − cos x = 2 sin  x −  = − 2 cos  x +   4  4 M r ng: 2 cot x + tan x = cot x − tan x = 2 cot 2 x sin 2 x α 10. Công th c tình sin α; cosα; tan α theo tan 2 α ð t t = tan ta có: 2 1− t2 2t 2t sin α = cos α = tan α = 1+ t2 1+ t2 1− t2 B PH N BÀI T P I. HÀM S LƯ NG GIÁC: Các d ng bài t p cơ b n 1. D ng 1: Tìm TXð c a hàm s lư ng giác * Phương pháp gi i: S d ng tính ch t: http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 13
y = sin x, y = cos x xác ñ nh v i m i x ∈ ¡ - Các hàm s π + kπ , k ∈ ¢ - Hàm s : y = tan x xác ñ nh v i m i x ≠ 2 - Hàm s : y = cot x xác ñ nh v i m i x ≠ kπ , k ∈ ¢ 1 Ví d : Tìm TXð c a hàm s : y = π  sin  x −   4 L i gi i: π π π  Hàm s có nghĩa ⇔ sin  x −  ≠ 0 ⇔ x − ≠ kπ ⇔ x ≠ + kπ , k ∈ ¢  4 4 4 π  V y TXð c a hàm s là: D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  4  sin x + cos x Ví d 2: Tìm TXð c a hàm s : y = cot x − 1 L i gi i:  x ≠ kπ  x ≠ kπ  ⇔ ,k ∈¢ π Hàm s xác ñ nh khi:  cot x ≠ 1  x ≠ + kπ  4 π   V y TXð c a hàm s là: D = ¡ \  x | x = + kπ v x = kπ , k ∈ ¢    4 Bài 1: Tìm t p xác ñ nh c a các hàm s sau: 1 x 2x 1) y = 2) y = tan 3) y = sin 2 cos x − 1 x−2 2 1 4) y = cot 2 x 5) y = cos 2 6) y = cos x + 1 x −1 2.D ng 2: Xét tính ch n l c a hàm s y = f ( x ) : ð nh nghĩa: Cho hàm s y = f ( x ) có TXD là: D ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D (D l tËp ®èi xøng)  f ( x ) ch n ⇔  * Hàm s f ( -x ) = f ( x )  ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D (D l tËp ®èi xøng)  f ( x) l ⇔  * Hàm s f ( -x ) = − f ( x )  * Phương pháp gi i: Bư c 1: Tìm TXð D c a hàm s y = f ( x ) không ch n, không N u D không là t p ñ i x ng thì ta k t lu n ngay hàm s l. N u D là t p ñ i x ng ta th c hi n ti p bư c 2: Bư c 2: V i m i x ∈ D , n u N u f ( − x ) = f ( x ) thì hàm s y = f ( x ) là hàm ch n. N u f ( − x ) = − f ( x ) thì hàm s y = f ( x ) là hàm l . N u f ( − x ) ≠ ± f ( x ) thì hàm s y = f ( x ) là hàm không ch n, không l . Lưu ý tính ch t: http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 14
* ∀x ∈ ¡ : sin ( − x ) = − sin x * ∀x ∈ ¡ : cos ( − x ) = cos x π  * ∀x ∈ ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  : tan ( − x ) = − tan x 2  * ∀x ∈ ¡ \ {kπ , k ∈ ¢ } : cot ( − x ) = − cot x Ví d : Xét tính ch n l c a hàm s : y = sin 3 x L i gi i: TXð: D = ¡ là t p ñ i x ng ∀x ∈ ¡ ⇒ − x ∈ ¡ Ta có: f ( − x ) = sin 3 ( − x ) = sin ( −3 x ) = − sin 3 x = − f ( x ) V y hàm s là hàm s l . Bài 2: Xét tính ch n, l c a các hàm s sau: 1) y = sin 2 x 2) y = cos 3 x 3) y = tan 2 x 4) y = x sin x 5) y = 1 − cos x 6) y = x − sin x 3. D ng 3: Tìm chu kì c a hàm s lư ng giác: * Phương pháp gi i: Khi tìm chu kì c a hàm s lư ng giác, ta c n bi n ñ i bi u th c c a hàm s ñã cho v m t bi u th c t i gi n và lưu ý r ng: 1) Hàm s y = sin x, y = cos x có chu kì T = 2π 2) Hàm s y = tan x, y = cot x có chu kì T = π . 2π 3) Hàm s y = sin ( ax + b ) , y = cos ( ax + b ) v i a ≠ 0 có chu kì T = a π y = tan ( ax + b ) , y = cot ( ax + b ) v i a ≠ 0 có chu kì T = 4) Hàm s a f = f1 + f 2 có chu kì 5) Hàm s f1 có chu kì T1 , hàm s f 2 có chu kì T2 thì hàm s T = BCNN (T1 , T2 ) 31 y= + cos 2 x Ví d : Tìm chu kì c a hàm s 22 L i gi i 2π 31 =π + cos 2 x có chu kì là T = y= Hàm s 2 22 Bài 3: Tìm chu kì c a các hàm s sau: 1) y = 2 cos 2 x 2) y = sin 2 x + 2 cos 3 x * D ng 4: Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a hàm s : Phương pháp: D a vào TGT c a các hàm s lư ng giác Chú ý: * Hàm s y = sin x, y = cos x có TGT là: [ −1;1] y = tan x, y = cot x có TGT là: ¡ * Hàm s Ví d : Tìm GTLN, GTNN c a hàm s : y = 3 − 1 − cos x L i gi i: Ta có −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 1 − cos x ≤ 2 ⇒ 0 ≤ 1 − cos x ≤ 2 ⇒ 0 ≥ − 1 − cos x ≥ − 2 3 ≥ 3 − 1 − cos x ≥ 3 − 2 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 15
V y Maxy = 3 ñ t ñư c ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ ¢ Bài 4: Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s : π  1) y = 3 − 2 sin x 2) y = cos x + cos  x −   3 3) y = cos x + 2 cos 2 x 3) y = 2 cos x + 1 5) y = 2 − sin x 2 II. PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC 1. Phương trình lư ng giác cơ b n  x = arcsin a + k 2π * D ng 1: sin x = a ( a ≤ 1) nghi m t ng quát:  ;k ∈¢  x = π − arcsin a + k 2π  x = α + k 2π ð c bi t: sin x = sin α ⇔  ;k ∈¢  x = π − α + k 2π  f ( x ) = g ( x ) + k 2π T ng quát: sin f ( x ) = sin g ( x ) ⇔  ;k ∈¢  f ( x ) = π − g ( x ) + k 2π  * D ng 2: cos x = a ( a ≤ 1) nghi m t ng quát: x = ± arccos a + k 2π ; k ∈ ¢ ð c bi t: cos x = cos α ⇔ x = ±α + k 2π ; k ∈ ¢ T ng quát: cos f ( x ) = cos g ( x ) ⇔ f ( x ) = ± g ( x ) + k 2π ; k ∈ ¢ π   * D ng 3: tan x = a  x ≠ + kπ ; k ∈ ¢  nghi m t ng quát: x = α + kπ ; k ∈ ¢   2 ð c bi t: tan x = tan α ⇔ x = α + kπ ; k ∈ ¢ T ng quát: tan f ( x ) = tan g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) + kπ ; k ∈ ¢ ( x ≠ kπ ; k ∈ ¢ ) nghi m t ng quát: x = α + kπ ; k ∈ ¢ * D ng 4: cot x = a ð c bi t: cot x = cot α ⇔ x = α + kπ ; k ∈ ¢ T ng quát: cot f ( x ) = cot g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) + kπ ; k ∈ ¢ Ví d minh ho : Gi i các phương trình sau: π π   1 1) cos 2 x = 2) sin 3 x = cos 2 x 3) cos  2 x −  + sin  x +  = 0  4  4 2 π 1 4) tan 3 x = cot x 6) cos x = 3 sin x 5) cot  − x  = 4  3 L i gi i π π    2 x = 3 + k 2π  x = 6 + kπ π 1 1) Ta có cos 2 x = ⇔ cos 2 x = cos ⇔  ⇔ ,k ∈¢  2 x = − π + k 2π  x = − π + kπ 2 3     3 6 V y phương trình có hai h nghi m. 2) Ta có: π  3 x = − 2 x + k 2π  π  2 sin 3 x = cos 2 x ⇔ sin 3 x = sin  − 2 x  ⇔  3 x = π −  π − 2 x  + k 2π 2     2   http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 16
π k 2π  x= +  10 5 ⇔ ,k ∈¢  x = π + k 2π   2 3) Ta có: π π π π     cos  2 x −  + sin  x +  = 0 ⇔ cos  2 x −  = − sin  x +   4  4  4  4 π 3π   x = π + k 2π  2 x − 4 = x + 4 + k 2π π π π   ⇔ ⇔ cos  2 x −  = cos  x + +  ⇔  π k 2π , k ∈ ¢ x = − + π 3π  4  4 2 2 x − = − x − + k 2π  6 3   4 4 π π kπ   3 x ≠ + kπ cos 3 x ≠ 0 x ≠ + ⇔ ⇔ 6 3 ,k ∈¢ 4) ði u ki n:  2 sin x ≠ 0   x ≠ kπ  x ≠ kπ  Ta có: π π π kπ  tan 3 x = cot x ⇔ tan 3 x = tan  − x  ⇔ 3 x = − x + kπ ⇔ x = + ,k ∈¢ 2  2 84 Ta th y nghi m trên tho mãn ñi u ki n. V y phương trình có m t h nghi m. π π π  5) ði u ki n: sin  − x  ≠ 0 ⇔ − x ≠ kπ ⇔ x ≠ − kπ , k ∈ ¢ (*) 4  4 4 Ta có: π π π π π π 1  ⇔ cot  − x  = cot ⇔ − x = + kπ ⇔ x = − − kπ , k ∈ ¢ tho mãn ñi u cot  − x  = 4  4  3 4 3 12 3 ki n (*). V y phương trình có m t h nghi m. 6) Ta có: π π + kπ , k ∈ ¢ cos x = 3 sin x ⇔ cot x = 3 = cot ⇔ x= 6 6 V y phương trình có m t h nghi m Bài t p tương t : gi i các phương trình sau: π π   2 cos 2 x − 1 = 0 2) sin x = cos 3 x 3) cos  x +  + sin  3 x +  = 0 1)  3  4 π π   5) sin x = 3 cos x 4) tan 2 x = cot  x +  6) tan 2  − 2 x  − 3 = 0  4 3  2. Phương trình b c hai ñ i v i m t hàm s lư ng giác. * ð nh nghĩa: Là phương trình có d ng at 2 + bt + c = 0 ( a ≠ 0 ) trong ñó t là m t trong b n hàm s lư ng giác: sin x, cos x, tan x, cot x * Cách gi i: Bư c 1: ð t t b ng hàm s lư ng giác có trong phương trình; Bư c 2: ð t ñi u ki n v i n ph t; Bư c 3: Gi i phương trình tìm t (tho mãn ñi u ki n); Bư c 4: V i m i t tho mãn ta có phương trình lư ng giác cơ b n ⇒ nghi m x http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 17
Ví d minh ho : Gi i các phương trình sau: 1) 2 cos 2 x − 5 cos x + 3 = 0 2) 1 − 5sin x + 2 cos 2 x = 0 3 3) 3 cot 2 x − 4 cot x + 3 = 0 − 4 tan x − 2 = 0 4) cos 2 x L i gi i 1) ð t t = cos x , ñi u ki n: t ≤ 1 t = 1 Ta có phương trình tr thành: 2t − 5t + 3 = 0 ⇔  3 2 t = > 1 (lo¹i) 2 V y t = 1 ⇒ cos x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ ¢ Phương trình có m t h nghi m 2) Ta có: 1 − 5sin x + 2 cos 2 x = 0 ⇔ 1 − 5sin x + 2 (1 − sin 2 x ) = 0 ⇔ 2 sin 2 x + 5sin x − 3 = 0 π   x = 6 + k 2π sin x = −3 (lo¹i) 1 ⇔ ⇔ sin x = ⇔  ,k ∈¢ sin x = 1  x = 5π + k 2π 2  2   6 (Chú ý: ta có th không c n ñ t n ph mà coi hàm s lư ng giác như là m t n như ví d này) 3) ði u ki n: sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ , k ∈ ¢ ð t cot x = t , khi ñó phương trình tr thành: π  t = 3 cot x = 3  x = 6 + kπ   3t 2 − 4t + 3 = 0 ⇔  1 ⇔ 1 ⇔ ,k ∈¢  x = π + kπ t= cot x =     3 3   3 Ta th y hai h nghi m ñ u tho mãn ñi u ki n. V y phương trình có hai h nghi m π + kπ , k ∈ ¢ 4) ði u ki n: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 Ta có: − 4 tan x − 2 = 0 ⇔ 3 (1 + tan 2 x ) − 4 tan x − 2 = 0 ⇔ 3 tan 2 x − 4 tan x + 1 = 0 3 cos 2 x π  π  x = 4 + kπ  tan x = 1  tan x = tan ⇔ 1⇔ 4 ⇔ ,k ∈¢  tan x =   x = α + kπ (tan α = 1 )  tan x = tan α  3   3 Ta th y c hai h nghi m ñ u tho mãn ñi u ki n. V y phương trình có 2 h nghi m. Bài 1: Gi i các phương trình sau 1) cos 2 x + sin 2 x + 2 cos x + 1 = 0 2) cos 2 x + 5sin x + 2 = 0 Bài 2: (Các phương trình ñưa v phương trình b c nh t, b c hai). Gi i các phương trình 1) cos x cos 2 x = 1 + sin x sin 2 x 2) 4 sin x cos x cos 2 x = −1 3) sin 7 x − sin 3 x = cos 5 x 4) cos 2 x − sin 2 x = sin 3 x + cos 4 x 3x 1 5) cos 2 x − cos x = 2sin 2 6) sin x sin 2 x sin 3 x = sin 4 x 2 4 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 18
1 7) sin 4 x + cos 4 x = − cos 2 2 x 8) 3cos 2 x − 2 sin x + 2 = 0 2 9) sin 6 x + cos 6 x = 4 cos 2 2 x 10) 2 tan x − 3cot x − 2 = 0 11) cos 3 x + cos 2 x + cos x = sin 3 x + sin 2 x + sin x 3. Phương trình b c nh t ñ i v i sin x và cos x: * D ng phương trình: a sin x + b cos x = c (a, b, c ≠ 0) (*) * Cách gi i: Cách 1: Chia hai v c a phương trình cho a 2 + b 2 ta ñư c phương trình: a b c sin x + cos x = (**) a +b a +b a + b2 2 2 2 2 2 2 2    a b  + 2  =1 Vì:   a +b   a +b  2 2 2  a = cos α 2  a + b2 Nên ta ñ t  b  = sin α  a + b2 2  c Khi ñó phương trình (**) tr thành: sin x cos α + cos x sin α = a 2 + b2 c ⇔ sin ( x + α ) = là phương trình lư ng giác cơ b n ñã bi t cách gi i! a + b2 2 Chú ý: ði u ki n ñ phương trình có nghi m là: a 2 + b 2 ≥ c 2 b Cách 2: Chia hai v cho a và ñ t tan α = (T làm) a x Cách 3: S d ng công th c tính sin x, cos x theo t = tan (t làm) 2 Ví d : Gi i các phương trình sau: 1) sin x + 3 cos x = 1 2) 5 cos 2 x − 12sin 2 x = 13 L i gi i: ( 3) 2 a 2 + b 2 = 12 + = 2 . Chia hai v c a phương trình cho 2 ta ñư c phương trình: 1) Ta có: π π1 π π  1 3 1 sin x + cos x = ⇔ sin x cos + cos x sin = ⇔ sin  x +  = sin  3 2 2 2 3 32 6 ππ π   x + 3 = 6 + k 2π  x = − 6 + k 2π ⇔ ⇔ ,k ∈¢  x + π = π − π + k 2π  x = π + k 2π     3 6 2 V y phương trình có hai h nghi m. 2) Ta có: 5 cos 2 x − 12sin 2 x = 13 ⇔ −12sin 2 x + 5cos 2 x = 13 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 19
( −12 ) 2 a2 + b2 = + 52 = 169 = 13 . Chia hai v phương trình cho 13 ta ñư c phương trình : Có: 12 5 − sin x + cos x = 1 13 13 2 2  12   5  12 5 Vì  −  +   = 1 . ð t − = cos α ; = sin α ta ñư c phương trình:  13   13  13 13 π sin x cos α + cos x sin α = 1 ⇔ sin ( x + α ) = 1 ⇔ x + α = + k 2π 2 π − α + k 2π , k ∈ ¢ ⇔x= 2 V y phương trình có m t h nghi m. Bài t p t gi i: Gi i các phương trình sau: 2) 2 sin x − 2 cos x = 2 3 sin x − 4 cos x = 1 1) 3 sin x + 4 cos x = 5 4) 3 sin 3 x + cos 3 x = 2 3) 4. Phương trình thu n nh t ñ i v i sin x và cos x: * D ng phương trình: a sin 2 x + b sin x cos x + c.cos 2 x = 0 (*) * Cách gi i: Cách 1: π + kπ , k ∈ ¢ không là nghi m c a phương trình; Bư c 1: Nh n xét cos x = 0 hay x = 2 Bư c 2: Chia c hai v c a phương trình cho cos 2 x ≠ 0 ta ñư c phương trình” a tan 2 x + b tan x + c = 0 Bư c 3: Gi i phương trình ta ñư c nghi m c a phương trình ñã cho. Cách 2: Dùng công th c h b c ñưa v phương trình trình b c nh t ñ i v i sin 2x và cos 2x. (H c sinh t gi i cách này) Chú ý: N u phương trình có d ng t ng quát: a sin 2 x + b sin x cos x + c.cos 2 x = d (d ≠ 0) (**) Ta bi n ñ i như sau: (**) ⇔ a sin 2 x + b sin x cos x + c.cos 2 x = d (sin 2 x + cos 2 x) ⇔ ( a − d ) sin 2 x + b sin x cos x + ( c − d ) cos 2 x = 0 . ðây là phương trình có d ng (*) Ví d : Gi i các phương trình: 1) 2 sin 2 x − 5sin x cos x + 3cos 2 x = 0 2) 2 sin 2 x − 5sin x cos x − cos 2 x = −2 L i gi i 1) 2 sin 2 x − 5sin x cos x + 3cos 2 x = 0 Vt = 2 Nh n xét: n u cos x = 0 ⇒  ⇒ cos x = 0 không tho mãn phương trình . Vp = 0 Chia c hai v cho cos 2 x ≠ 0 ta ñư c phương trình: π   x = 4 + kπ  tan x = 1 2 tan 2 x − 5 tan x + 3 = 0 ⇔  ⇔ ,k ∈¢  tan x = 3  x = arctan 3 + kπ  2   2 V y phương trình có hai h nghi m. http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 20