ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN ĐẠI SỐ - HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Chia sẻ: Võ Lý Lý | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

617
lượt xem 276
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình (lượng giác) là bài toán thường xuất hiện trong các kì thi tuyển sinh, thi học sinh giỏi. Có rất nhiều phương pháp giải phương trình như dùng phép biến đổi phương trình đại số đưa về dạnh tích, dạng đa thức, dùng bất đẳng thúc, dùng tích đơn điệu của hàm số … và một số phương trình có thể giải bằng cách đưa về giải hệ phương trình.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN ĐẠI SỐ - HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

CHÖÔNG IX: HEÄ PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏ N G GIAÙ C I. GIAÛI HEÄ BAÈNG PHEÙP THEÁ ⎧2 cos x − 1 = 0 (1) ⎪ Baø i 173: Giaû i heä phöông trình: ⎨ 3 ⎪sin 2x = ( 2) ⎩ 2 1 Ta coù : (1) ⇔ cos x = 2 π ⇔x=± + k2π ( k ∈ Z ) 3 π Vôù i x= + k 2π thay vaø o (2), ta ñöôï c 3 ⎛ 2π ⎞ 3 sin 2x = sin ⎜ + k4π ⎟ = ⎝ 3 ⎠ 2 π Vôù i x = − + k2π thay vaø o (2), ta ñöôï c 3 ⎛ 2π ⎞ 3 3 sin 2x = sin ⎜ − + k4 π ⎟ = − ≠ (loaï i ) ⎝ 3 ⎠ 2 2 π Do ñoù nghieä m của heä laø : x = + k 2π, k ∈ 3 ⎧sin x + sin y = 1 ⎪ Baø i 174: Giaû i heä phöông trình: ⎨ π ⎪x + y = 3 ⎩ Caù c h 1: ⎧ x+y x−y ⎪2 sin 2 .cos 2 = 1 ⎪ Heä ñaõ cho ⇔ ⎨ ⎪x + y = π ⎪ ⎩ 3 ⎧ π x−y ⎧ x−y ⎪2.sin 6 .cos 2 = 1 ⎪ ⎪cos 2 = 1 ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪x + y = π ⎪x + y = π ⎪ ⎩ 3 ⎪ ⎩ 3
⎧x− y ⎧ π ⎪ 2 = k 2π ⎧ x − y = 4k π ⎪ x = + k 2π ⎪ ⎪ ⎪ 6 ⇔⎨ ⇔⎨ π ⇔⎨ (k ∈ Z ) ⎪x + y = π ⎪ x+ y = π ⎪ y = − k 2π ⎪ ⎩ 3 ⎪ ⎩ 3 ⎩ 6 Caù c h 2: Heä ñaõ cho ⎧ π ⎧ π ⎪y = 3 − x ⎪ ⎪y = 3 − x ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪sin x + sin ⎛ π − x ⎞ = 1 ⎪ 3 cos x + 1 sin x = 1 ⎜ ⎟ ⎪ ⎩ ⎝3 ⎠ ⎪ ⎩ 2 2 ⎧ π ⎧ π ⎪y = 3 − x ⎪ ⎪y = 3 − x ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪sin ⎜ π + x ⎟ = 1 ⎛ ⎞ ⎪ π + x = π + k 2π ⎪ ⎝3 ⎩ ⎠ ⎪3 ⎩ 2 ⎧ π ⎪ x = 6 + k 2π ⎪ ⇔⎨ k∈ ⎪ y = π − k 2π ⎪ ⎩ 6 ⎧sin x + sin y = 2 (1) ⎪ Baø i 175: Giaû i heä phöông trình: ⎨ ⎪cos x + cos y = 2 (2) ⎩ Caù c h 1: ⎧ x+y x−y ⎪2 sin 2 cos 2 = 2 (1) ⎪ Heä ñaõ cho ⇔⎨ ⎪2 cos x + y cos x − y = 2 (2) ⎪ ⎩ 2 2 Laá y (1) chia cho (2) ta ñöôï c : ⎛x+ y⎞ x−y tg ⎜ ⎟ = 1 ( do cos = 0 khoâ n g laø nghieä m cuû a (1) vaø (2) ) ⎝ 2 ⎠ 2 x+ y π ⇔ = + kπ 2 4 π π ⇔ x + y = + k 2π ⇔ y = − x + k 2π 2 2 ⎛π ⎞ thay vaø o (1) ta ñöôï c : sin x + sin ⎜ − x + k2π ⎟ = 2 ⎝2 ⎠ ⇔ sin x + cos x = 2
⎛ π⎞ ⇔ 2 cos ⎜ x − ⎟ = 2 ⎝ 4⎠ π ⇔ x − = h 2π, h ∈ 4 ⎧ π ⎪ x = 4 + h2π, h ∈ ⎪ Do ñoù : heä ñaõ cho ⇔ ⎨ ⎪ y = π + ( k − h ) 2π, k , h ∈ ⎪ ⎩ 4 ⎧A = B ⎧A + C = B + D Caù c h 2: Ta coù ⎨ ⇔⎨ ⎩C = D ⎩A − C = B − D Heä ñaõ cho ⎧( sin x − cos x ) + ( sin y − cos y ) = 0 ⎪ ⇔⎨ ⎪( sin x + cos x ) + ( sin y − cos y ) = 2 2 ⎩ ⎧ ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⎪ 2 sin ⎜ x − ⎟ + 2 sin ⎜ y − ⎟ = 0 4⎠ 4⎠ ⎪ ⎝ ⎝ ⇔⎨ ⎪ 2 sin ⎛ x + π⎞ ⎛ π⎞ ⎪ ⎜ ⎟ + 2 sin ⎜ y + ⎟ = 2 2 ⎩ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎧ ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⎪sin ⎜ x − 4 ⎟ + sin ⎜ y − 4 ⎟ = 0 ⎧ ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪sin ⎜ x − 4 ⎟ + sin ⎜ y − 4 ⎟ = 0 ⎪ ⎛ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ π⎞ ⇔⎨ ⇔ ⎨sin ⎜ x + ⎟ = 1 ⎪sin ⎛ x + π ⎞ + sin ⎛ y + π ⎞ = 2 ⎪ ⎝ 4⎠ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎛ ⎩ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ π⎞ ⎪sin ⎜ y + ⎟ = 1 ⎩ ⎝ 4⎠ ⎧ π π ⎪ x + = + k 2π ⎪ 4 2 ⎪ π π ⇔ ⎨ y + = + h 2π ⎪ 4 2 ⎪ ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⎪sin ⎜ x − 4 ⎟ + sin ⎜ y − 4 ⎟ = 0 ⎩ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎧ π ⎪ x = 4 + k2π ⎪ ⇔⎨ ⎪ y = π + h2π, h, k ∈ Z ⎪ ⎩ 4 ⎧ tgx − tgy − tgxtgy = 1 ⎪ (1) Baø i 176: Giaû i heä phöông trình: ⎨ ⎪cos 2y + 3 cos 2x = −1 ⎩ (2)
Ta coù : tgx − tgy = 1 + tgxtgy ⎧1 + tgxtgy = 0 ⎧tg ( x − y ) = 1 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ∨ ⎨tgx − tgy = 0 ⎪1 + tgxtgy ≠ 0 ⎪ ⎩ ⎩1 + tg x = 0 (VN) 2 π π ⇔ x − y = + kπ ( k ∈ Z ) , vôù i x, y ≠ + kπ 4 2 π π ⇔ x = y + + kπ, vôù i x, y ≠ + kπ 4 2 ⎛ π ⎞ Thay vaø o (2) ta ñöôï c : cos 2y + 3 cos ⎜ 2y + + k2π ⎟ = −1 ⎝ 2 ⎠ ⇔ cos 2 y − 3 s in2 y = −1 3 1 1 ⎛ π⎞ 1 ⇔ s in2 y − cos 2 y = ⇔ sin ⎜ 2 y − ⎟ = 2 2 2 ⎝ 6⎠ 2 π π π 5π ⇔ 2 y − = + h 2π hay 2 y − = + h 2π ( h ∈ Z ) 6 6 6 6 π π ⇔ y = + hπ, h ∈ hay y = + hπ, h ∈ ( loïai) 6 2 Do ñoù : ⎧ 5π ⎪ x= + ( k + h) π ⎪ 6 Heä ñaõ cho ⇔⎨ ( h, k ∈ Z ) π ⎪ y = + hπ ⎪ ⎩ 6 ⎧cos3 x − cos x + sin y = 0 (1) ⎪ Baø i 177: Giaû i heä phöông trình ⎨ 3 ⎪sin x − sin y + cos x = 0 (2) ⎩ Laáy (1) + (2) ta ñöôï c : sin 3 x + cos3 x = 0 ⇔ sin 3 x = − cos3 x ⇔ tg 3 x = −1 ⇔ tgx = −1 π ⇔ x = − + kπ (k ∈ Z) 4 Thay vaø o (1) ta ñöôï c : sin y = cos x − cos3 x = cos x (1 − cos2 x ) 1 = cos x. sin 2 x =sin 2x sin x 2 1 ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞ = sin ⎜ − ⎟ sin ⎜ − + kπ ⎟ 2 ⎝ 2⎠ ⎝ 4 ⎠ 1 ⎛ π ⎞ = − sin ⎜ − + kπ ⎟ 2 ⎝ 4 ⎠
⎧ 2 ⎪ (neáu k chaün) ⎪ 4 =⎨ ⎪− 2 (neáu k leû) ⎪ 4 ⎩ 2 Ñaët sin α = (vôù i 0 < α < 2π ) 4 ⎧ π ⎧ π ⎪ x = − 4 + 2mπ, m ∈ ⎪ x = − 4 + ( 2m + 1) π, m ∈ ⎪ ⎪ Vaä y nghieä m heä ⎨ ∨⎨ y = α + h2π, h ∈ y = −α + 2hπ, h ∈ ⎪⎡ ⎪⎡ ⎪⎣⎢ y = π − α + h2π, h ∈ ⎪⎣⎢ y = π + α + h2π, h ∈ ⎩ ⎩ II. GIAÛI HEÄ BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP COÄNG ⎧ 1 ⎪sin x.cos y = − (1 ) Baø i 178: Giaû i heä phöông trình: ⎨ 2 ⎪tgx.cotgy = 1 ⎩ ( 2) Ñieà u kieä n : cos x.sin y ≠ 0 ⎧1 1 ⎪ 2 ⎡sin ( x + y ) + sin ( x − y ) ⎤ = − 2 ⎪ ⎣ ⎦ Caù c h 1: Heä ñaõ cho ⇔ ⎨ ⎪ sin x.cos y − 1 = 0 ⎪ cos x.sin y ⎩ ⎧sin ( x + y ) + sin ( x − y ) = −1 ⎪ ⇔⎨ ⎪sin x cos y − sin y cos x = 0 ⎩ ⎧sin ( x + y ) + sin ( x − y ) = −1 ⎪ ⇔⎨ ⎪sin ( x − y ) = 0 ⎩ ⎧sin ( x + y ) = −1 ⎪ ⇔⎨ ⎪sin ( x − y ) = 0 ⎩ ⎧ π ⎪ x + y = − + k2π, k ∈ ⇔⎨ 2 ⎪ x − y = hπ, h ∈ ⎩ ⎧ π π ⎪ x = − 4 + ( 2k + h ) 2 , k, h ∈ ⎪ ⇔⎨ ⎪ y = − π + ( 2k − h ) π , k, h ∈ ⎪ ⎩ 4 2 (nhaän do sin y cos x ≠ 0)
sin x cos y Caù c h 2: ( 2) ⇔ = 1 ⇔ sin x cos y = cos x sin y cos x sin y ⎧ 1 ⎪sin x cos y = − 2 ⎪ ( 3) Theá (1) vaøo ( 2 ) ta ñöôïc: ⎨ ⎪cos x sin y = − 1 ( 4) ⎪ ⎩ 2 ⎧sin ( x + y ) = −1 ⎪ ( 3) + ( 4 ) ⇔⎨ ⎪sin ( x − y ) = 0 ⎩ ( 3) − ( 4 ) ⎧ π ⎪ x + y = − + k 2π, k ∈ ⇔⎨ 2 ⎪ x − y = hπ, h ∈ ⎩ ⎧ π π ⎪ x = − 4 + ( 2k + h ) 2 ⎪ ⇔⎨ ( h, k ∈ Z ) ⎪ y = − π + ( 2k − h ) π ⎪ ⎩ 4 2 III. GIAÛ I HEÄ BAÈN G AÅ N PHUÏ Baø i 179: Giaû i heä phöông trình: ⎧ 2 3 ⎪tgx + tgy = ⎪ (1) 3 ⎨ ⎪cotgx + cotgy = −2 3 ⎪ ( 2) ⎩ 3 Ñaët X = tgx, Y = tgy ⎧ 2 3 ⎧ 2 3 ⎪X + Y = ⎪X + Y = ⎪ 3 ⎪ 3 Heä ñaõ cho thaø n h: ⎨ ⇔⎨ ⎪1 + 1 = −2 3 ⎪Y + X = − 2 3 ⎪X Y ⎩ 3 ⎪ YX ⎩ 3 ⎧ 2 3 ⎧ 2 3 ⎪X + Y = ⎪X + Y = ⎪ 3 ⇔⎨ 3 ⇔⎨ ⎪ XY = −1 ⎪X 2 − 2 3 X − 1 = 0 ⎩ ⎪ ⎩ 3 ⎧X = 3 ⎧ 3 ⎪ ⎪X = − ⇔⎨ 3∨⎨ 3 ⎪ Y=− ⎪Y = 3 ⎩ 3 ⎩ Do ñoù :
⎧tgx = 3 ⎧ 3 ⎪ ⎪tgx = − Heä ñaõ cho : ⇔ ⎨ 3∨⎨ 3 ⎪tgy = − ⎪tgy = 3 ⎩ 3 ⎩ ⎧ π ⎧ π ⎪ x = 3 + k π, k ∈ ⎪ ⎪ x = − 6 + k π, k ∈ ⎪ ⇔⎨ ∨⎨ ⎪ y = − π + hπ, h ∈ ⎪ y = π + hπ, h ∈ ⎪ ⎩ 6 ⎪ ⎩ 3 ⎧ 1 ⎪sin x + sin y = Baø i 180: Cho heä phöông trình: ⎨ 2 ⎪cos 2x + cos 2y = m ⎩ 1 a/ Giaû i heä phöông trình khi m = − 2 b/ Tìm m ñeå heä coù nghieä m . ⎧ 1 ⎪sin x + sin y = 2 Heä ñaõ cho ⇔⎨ ⎪(1 − 2 sin 2 x ) + (1 − 2 sin2 y ) = m ⎩ ⎧ 1 ⎪sin x + sin y = 2 ⎪ ⇔⎨ ⎪sin2 x + sin 2 y = 2 − m ⎪ ⎩ 2 ⎧ 1 ⎪sin x + sin y = 2 ⎪ ⇔⎨ ⎪( sin x + sin y )2 − 2 sin x sin y = 1 − m ⎪ ⎩ 2 ⎧ 1 ⎪sin x + sin y = 2 ⎪ ⇔⎨ ⎪ 1 − 2 sin x sin y = 1 − m ⎪4 ⎩ 2 ⎧ 1 ⎪sin x + sin y = 2 ⎪ ⇔⎨ ⎪sin x sin y = − 3 + m ⎪ ⎩ 8 4 Ñaët X = sin x, Y = sin y vôùi X , Y ≤ 1 thì X, Y laø nghieä m cuû a heä phöông trình 1 m 3 t2 − t + − = 0 ( *) 2 4 8 1 a/ Khi m = − thì ( *) thaønh : 2
1 1 t2 − t− =0 2 2 ⇔ 2t − t − 1 = 0 2 1 ⇔ t =1∨ t = − 2 ⎧sin x = 1 ⎧ 1 ⎪ ⎪sin x = − Vaä y heä ñaõ cho ⇔ ⎨ 1∨⎨ 2 ⎪ sin y = − ⎩ 2 ⎪sin y = 1 ⎩ ⎧ π ⎧ h π ⎪ x = 2 + k 2π, k ∈ ⎪ ⎪ x = −(−1) 6 + hπ, h ∈ ⎪ ⇔⎨ ∨⎨ ⎪ y = −(−1) h π + hπ, h ∈ ⎪ y = π + k 2π, k ∈ ⎪ ⎩ 6 ⎪ ⎩ 2 m 1 3 b/ Ta coù : ( *) ⇔ = −t 2 + t + 4 2 8 1 3 Xeù t y = − t 2 + t + ( C ) treân D = [ −1,1] 2 8 1 thì: y ' = −2t + 2 1 y' = 0 ⇔ t = 4 Heä ñaõ cho coù nghieä m ⇔ ( *) coù 2 nghieäm treân [ -1,1] m ⇔ (d ) y = caé t (C) taï i 2 ñieå m hoặc tiếp xúc treân [ -1,1] 4 1 m 7 ⇔− ≤ ≤ 8 4 16 1 7 ⇔− ≤m≤ 2 4 Caù c h khaù c ycbt ⇔ f (t ) = 8t 2 − 4t − 3 + 2m = 0 coù 2 nghieä m t 1 , t 2 thoû a ⇔ −1 ≤ t1 ≤ t2 ≤ 1
⎧ Δ / = 28 − 16m ≥ 0 ⎪ ⎪ af (1) = 1 + 2m ≥ 0 ⎪ 1 7 ⇔ ⎨ af (−1) = 9 + 2m ≥ 0 ⇔ − ≤ m ≤ ⎪ 2 4 S 1 ⎪ −1 ≤ = ≤ 1 ⎪ ⎩ 2 4 ⎧sin 2 x + mtgy = m ⎪ Baø i 181: Cho heä phöông trình: ⎨ 2 ⎪ tg y + m sin x = m ⎩ a/ Giaû i heä khi m = -4 b/ Vôù i giaù trò naø o cuû a m thì heä coù nghieä m . Ñaët X = sin x vôù i X ≤ 1 Y = tgy ⎧ X 2 + mY = m ⎪ (1 ) Heä thaø nh: ⎨ 2 ⎪ Y + mX = m ⎩ ( 2) Laáy (1) – (2) ta ñöôï c : X 2 − Y 2 + m ( Y − X ) = 0 ⇔ ( X − Y )( X + Y − m ) = 0 ⇔ X = Y∨Y =m−X ⎧X = Y ⎧Y = m − X ⎪ Heä thaø nh ⎨ 2 hay ⎨ 2 ⎩ X + mX = m ⎪X + m(m − X ) = m ⎩ ⎧X = Y ⎪ ⎧Y = m − X ⎪ ⇔⎨ 2 ∨⎨ 2 ⎪ X + mX − m = 0 ( * ) ⎪ X − mX + m − m = 0 ( * *) 2 ⎩ ⎩ a/Khi m = -4 ta ñöôï c heä ⎧X = Y ⎧ Y = −4 − X ⎪ ⎨ 2 ∨⎨ 2 ⎩ X − 4X + 4 = 0 ⎪ X + 4X + 20 = 0 ( voâ nghieäm ) ⎩ ⎧ X = 2 ( loaïi do X ≤ 1) ⎪ ⇔⎨ ⎪Y = 2 ⎩ Vaä y heä ñaõ cho voâ nghieä m khi m = 4. b/ Ta coù (*) ⇔ X 2 + mX − m = 0 vôùi X ≤ 1 ⇔ X 2 = m (1 − X ) X2 ⇔ = m ( do m khoâng laø nghieäm cuûa *) 1−X X2 − X 2 + 2X Xeù t Z = treân [ −1,1) ⇒ Z ' = ; 1− X (1 − X ) 2 Z' = 0 ⇔ X = 0 ∨ X = 2
⎧ X = Y ( X ≤ 1) ⎪ Do ñoù heä ⎨ 2 coù nghieä m ⇔ m ≥ 0 ⎪ X + mX − m = 0 ⎩ Xeù t (**): X 2 − mX + m 2 − m = 0 Ta coù Δ = m 2 − 4 ( m 2 − m ) = −3m 2 + 4m 4 Δ≥0⇔0≤m≤ 3 Keá t luaä n : Khi m ≥ 0 thì (I) coù nghieä m neâ n heä ñaõ cho coù nghieä m Khi m < 0 thì (I) voâ nghieä m maø (**) cuø n g voâ nghieä m (do Δ < 0) neâ n heä ñaõ cho voâ nghieä m Do ñoù : Heä coù nghieä m ⇔ m ≥ 0 Caù c h khaù c Heä coù nghieä m ⇔ f (X) = X 2 + mX − m = 0 (*)hay g(X) = X 2 − mX + m2 − m = 0 (**) coù nghieä m treâ n [-1,1] ⎧Δ1 = m 2 + 4m ≥ 0 ⎪ ⎪af (1) ≥ 0 ⎪ ⇔ f ( −1) f (1) ≤ 0 hay ⎨af (−1) ≥ 0 ⎪ ⎪−1 ≤ S = − m ≤ 1 ⎪ ⎩ 2 2 ⎧Δ 2 = −3m + 4m ≥ 0 2 ⎪ ⎪ag (−1) = m + 1 ≥ 0 2 ⎪ hay g (−1) g (1) ≤ 0 hay ⎨ag ( 1) = (m − 1) 2 ≥ 0 ⎪ ⎪−1≤ S = m ≤ 1 ⎪ ⎩ 2 2 ⎧Δ1 = m + 4m ≥ 0 2 ⎪ 4 ⇔ 1 − 2m ≤ 0 hay ⎨1 − 2m ≥ 0 hay m = 1 hay 0 ≤ m ≤ ⎪−2 ≤ m ≤ 2 3 ⎩ ⇔m≥0
IV. HEÄ KHOÂNG MAÃU MÖÏC ⎧ ⎛ π⎞ ⎪tgx + cotgx = 2sin ⎜ y + 4 ⎟ (1) ⎪ ⎝ ⎠ Baø i 182: Giaû i heä phöông trình: ⎨ ⎪ tgy + cotgy = 2sin ⎛ x - π ⎞ (2) ⎪ ⎜ ⎟ ⎩ ⎝ 4⎠ Caù c h 1: sinα cos α sin2 α + cos2 α 2 Ta coù : tgα + cotgα= + = = cosα sin α sin α cos α sin 2α ⎧ 1 ⎛ π⎞ ⎪ sin 2x = sin ⎜ y + 4 ⎟ (1) ⎪ ⎝ ⎠ Vaä y heä ñaõ cho ⇔ ⎨ ⎪ 1 = sin ⎛ x − π ⎞ (2) ⎪ sin 2y ⎜ ⎟ ⎩ ⎝ 4⎠ ⎧ ⎛ π⎞ ⎪1 = sin 2x sin ⎜ y + 4 ⎟ (1) ⎪ ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⎪1 = sin 2y. sin ⎛ x − π ⎞ (2) ⎪ ⎜ ⎟ ⎩ ⎝ 4⎠ ⎧sin 2x = 1 ⎧sin 2x = −1 ⎪ ⎪ Ta coù : (1) ⇔ ⎨ ⎛ π⎞ ∨⎨ ⎛ π⎞ ⎪sin ⎜ y + 4 ⎟ = 1 ⎪sin ⎜ y + 4 ⎟ = −1 ⎩ ⎝ ⎠ ⎩ ⎝ ⎠ ⎧ π ⎧ π ⎪ x = 4 + kπ, k ∈ ⎪ ⎪ x = − 4 + kπ, k ∈ ⎪ ⇔⎨ ∨⎨ ⎪ y = π + h2π, h ∈ ⎪ y = − 3π + h2π, h ∈ ⎪ ⎩ 4 ⎪ ⎩ 4 ⎧ π ⎪ x = 4 + kπ, k ∈ ⎪ Thay ⎨ vaø o (2) ta ñöôï c π ⎪ y = + h2π, h ∈ ⎪ ⎩ 4 ⎛ π⎞ π sin 2y.sin ⎜ x − ⎟ = sin .sin kπ = 0 ≠ 1 (loaï i ) ⎝ 4⎠ 2 ⎧ −π ⎪ x= + kπ, k ∈ Thay ⎨ ⎪ 4 vaø o (2) ta ñöôï c ⎪y = − 3π + h2π, h ∈ ⎪ ⎩ 4 ⎛ π⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ π ⎞ sin 2y. sin ⎜ x − ⎟ = sin ⎜ − ⎟ sin ⎜ − + kπ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ π ⎞ ⎧1 ( neáu k leû) = sin ⎜ − + kπ ⎟ = ⎨ ⎝ 2 ⎠ ⎩−1 ( neáu k chaün)
Do ñoù heä coù nghieä m ⎧ π ⎪ x = − 4 + ( 2m + 1) π ⎪ ⎨ ( m, h ∈ Z) • ⎪ y = − 3π + h2π ⎪ ⎩ 4 Caù c h 2: Do baá t ñaú n g thöù c Cauchy tgx + cotgx ≥ 2 1 daá u = xaû y ra ⇔ tgx = cotgx ⇔ tgx= tgx ⇔ tgx = ±1 Do ñoù : ⎛ π⎞ tgx+cotgx ≥ 2 ≥ 2 sin ⎜ y + ⎟ ⎝ 4⎠ Daá u = taï i (1) chæ xaû y ra khi ⎧tgx = 1 ⎧tgx = −1 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⎛ π⎞ ∨⎨ ⎛ π⎞ ⎪sin ⎜ y + 4 ⎟ = 1 ⎪sin ⎜ y + 4 ⎟ = −1 ⎩ ⎝ ⎠ ⎩ ⎝ ⎠ ⎧ π ⎧ π ⎪ x = 4 + kπ, k ∈ ⎪ ⎪ x = − 4 + kπ, k ∈ ⎪ ⇔⎨ (I) ∨ ⎨ (II) ⎪ y = π + h2π, h ∈ ⎪ y = − 3π + h2π, h ∈ ⎪ ⎩ 4 ⎪ ⎩ 4 ⎛ π⎞ thay (I) vaø o (2): tgy + cotgy=2sin ⎜ x - ⎟ ⎝ 4⎠ ta thaá y 2 = 2sin kπ = 0 khoâ n g thoû a ⎛ π ⎞ thay (II) vaø o (2) ta thaá y 2 = 2 sin ⎜ − + k π ⎟ ⎝ 2 ⎠ chæ thoû a khi k leû ⎧ π ⎪ x = − 4 + ( 2m + 1) π ⎪ Vaä y : heä ñaõ cho ⇔ ⎨ , m, h ∈ ⎪y = − 3π + 2hπ ⎪ ⎩ 4 Baø i 183: Cho heä phöông trình: ⎪x − y = m ⎧ (1) ⎨ ⎪2 ( cos 2x + cos 2y ) − 1 − 4 cos m = 0 (2) 2 ⎩ Tìm m ñeå heä phöông trình coù nghieä m . ⎧x − y = m ⎪ Heä ñaõ cho ⇔ ⎨ ⎪4 cos ( x + y ) cos ( x − y ) = 1 + 4 cos m 2 ⎩
⎧x − y = m ⎪ ⇔⎨ ⎪−4 cos ( x + y ) cos m + 4 cos m + 1 = 0 2 ⎩ ⎧x − y = m ⎪ ⇔⎨ ⎪[2 cos m − cos ( x + y )] + 1 − cos ( x + y ) = 0 2 2 ⎩ ⎧x − y = m ⎪ ⇔⎨ ⎪[2 cos m − cos ( x + y )] + sin ( x + y ) = 0 2 2 ⎩ ⎧x − y = m ⎪ ⇔ ⎨cos ( x + y ) = 2 cos m ⎪ ⎩sin ( x + y ) = 0 ⎧x − y = m ⎪ ⇔ ⎨ x + y = kπ , k ∈ ⎪cos(kπ) = 2 cos m ⎩ π 2π Do ñoù heä coù nghieä m ⇔ m = ± + h2π ∨ m = ± + h2π, h ∈ 3 3 BAØI TAÄP 1. Giaû i caù c heä phöông trình sau: ⎧sin x + sin y = 2 ⎧tgx + tgy + tgxtgy = 1 a/ ⎨ 2 f /⎨ ⎩sin x + sin y = 2 ⎩3sin 2y − 2 = cos 4x 2 ⎧ 1 ⎧ 3 ⎪sin x sin y = − 2 ⎪ ⎪sin x − sin 2y = ⎪ 2 b/⎨ g/⎨ ⎪cos x cos y = 1 ⎪cos x + cos 2y = 1 ⎪ ⎩ 2 ⎪ ⎩ 2 ⎧ 2 cos x = 1 + cos y ⎧cos ( x + y ) = 2 cos ( x − y ) ⎪ ⎪ c/⎨ h/⎨ 3 ⎪ 2 sin x = sin y ⎩ ⎪cos x.cos y = ⎩ 4 ⎧ 1 ⎪sin x cos y = ⎧sin x = 7 cos y d/⎨ 4 k/⎨ ⎪3tgx = tgy ⎩5 sin y = cos x − 6 ⎩ ⎧sin 2 x = cos x cos y ⎧tgx + tgy = 1 ⎪ ⎪ e/ ⎨ 2 l/⎨ x y ⎪cos x = sin x sin y ⎩ ⎪tg 2 + tg 2 = 2 ⎩ ⎧ cos x cos y = m + 1 2.Cho heä phöông trình: ⎨ ⎩sin x sin y = 4m + 2m 2 1 a/ Giaû i heä khi m = − 4
⎛ 3 1 ⎞ b/ Tìm m ñeå heä coù nghieä m ⎜ ÑS − ≤ m ≤ − hay m=0 ⎟ ⎝ 4 4 ⎠ 3. Tìm a ñeå heä sau ñaâ y coù nghieä m duy nhaá t : ⎧ y 2 + tg 2 x = 1 ⎪ ⎨ ⎪ y + 1 = ax + a + sin x ⎩ 2 ( ÑS a= 2) 4. Tìm m ñeå caù c heä sau ñaâ y coù nghieä m . ⎪cos x = m cos y 3 ⎧ ⎧sin x cos y = m 2 a/⎨ b/⎨ ⎪sin x = m cos y ⎩sin y cos x = m 3 ⎩ ⎛ 1- 5 1+ 5 ⎞ ( ÑS 1 ≤ m ≤ 2) ⎜ ÑS ⎜ 2 ≤m≤ 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ Th.S Phạm Hồng Danh TT luyện thi đại học Vĩnh Viễn