intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 

PHẦN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH - PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP THẾ

Chia sẻ: Nguyen Bach Thang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Thêm vào BST
Báo xấu
263
lượt xem 117
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán học PHẦN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH - PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP THẾ biên soạn bởi giáo viên Phạm Thu Hiên - chuyên Hùng Vương - Phú Thọ

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: PHẦN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH - PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP THẾ

  1. Chuyên ñ h c sinh gi i PH N 2: H PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP TH 2 y ( x 2 − y 2 ) = 3x Ví d 1: Gi i HPT :  2 2 (1)   x( x + y ) = 10 y  (2) Gi i : + N u x=0 thì y=0 +N u y=0 thì x=0 +N u xy ≠ 0 chia t ng v c a PT(1) cho PT(2) ta có :  x2 = 4 y2 2 y( x 2 − y 2 ) 3x ⇔ 20 y 2 ( x 2 − y 2 ) = 3 x 2 ( x 2 + y 2 ) ⇔ 3x 4 − 17 x 2 y 2 + 20 y 4 = 0 ⇔  2 5 2 = ( ) x = y x x +y2 2 10 y   3 -N u x = 4 y h ñã cho tr thành : 2 2 2 y.3x 2 = 3x 2 y 3 = x  x = 2; y = 1 2 y 3 = x   ⇔ ⇔ 4 ⇔   x = −2; y = −1  xy = 2  x.5 y = 10 y 2 y = 2 2   5 -N u x 2 = y 2 h ñã cho tr thành : 3  4  22 15 135 x= 4 ;y= 2 y. y = 3 x  3 4 y = 9 x  4 y = 9 x 3 3  2 2 135 ⇔ ⇔ ⇔   4 xy = 15 16 y = 135 4   x. 8 y 2 = 10 y 4 15 135 x = − 4 ;y=− 3    2 2 135 KL : V y h ñã cho có nghi m…  x4 + 5 y = 6 Ví d 2 : Gi i HPT :  2 2 (1) (Ch n ðT ð ng Nai)  x y + 5x = 6  (2) Gi i : Tr v v i v c a (1) cho (2) ta có : x = y ( ) x 4 − x 2 y 2 + 5( y − x) = 0 ⇔ ( x − y ) x 2 ( x + y ) − 5 = 0 ⇔  2  x ( x + y) = 5 -N u x=y th vào (1) ta có :  x = −2 x 4 + 5 x − 6 = 0 ⇔ ( x 2 − x + 3) ( x + 2 )( x − 1) = 0 ⇔  x = 1 V i x=-2 thì y=-2 V i x=1 thì y=1 5 -N u x 2 ( x + y ) = 5 ⇒ y = − x th vào (1) ta có : x2 14 Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th
  2. Chuyên ñ h c sinh gi i 5  ( *) x 4 + 5  2 − x  = 6 ⇔ x 6 − 5 x 3 − 6 x 2 + 25 = 0 x  6 T (1) ta có : 5 x = 6 − x 2 y 2 ≤ 6 ⇒ x ≤ 5 3 2 Do ñó : 5 x + 6 x ≤ 5   + 6   < 25 ⇒ x 6 − 5 x3 − 6 x 2 + 25 > 0 nên (*) vô nghi m 6 6 3 2   5 5 KL : (x ;y)=(-2 ;-2) ; (1 ;1).  x − x − y −1 = 1 Ví d 3 : Gi i HPT :  2 (1) (HSG t nh Qu ng Bình)  y + x + 2y x − y x = 0 2  (2) Gi i : ðK : x ≥ 0; x − y − 1 ≥ 0 Ta có : (1) ⇔ x = x − y −1 +1 ⇔ x = x − y −1 + 1 + 2 x − y −1 y ≥ 0 y ≥ 0 y ≥ 0   ⇔ y = 2 x − y −1 ⇔  2 ⇔ ⇔ ( y + 2 ) = 4 x  y = 4( x − y − 1) 2 y + 2 = 2 x   PT (2) ⇔ y 2 + x + 2 y x − y 2 x = 0 ( ) 2 ⇔ y+ x = xy 2 ⇔ y + x = y x Ta có  1   y + 2 = 2 x y + 2 = 2 x  x = 4 ; y = −1  y + 2 = 2 x ⇔ ⇔ 2 ⇔    2 y + y + 2 = y ( y + 2) y − y − 2 = 0 y + x = y x     x = 4; y = 2 2 x 2 y + 3 xy = 4 x 2 + 9 y (1) Ví d 4 : Gi i HPT :  (Ch n ðT Nha Trang)  7 y + 6 = 2 x + 9 x 2  (2) 4 x2 Gi i : N u 2 x 2 + 3 x − 9 = 0 không tho mãn PT(1) nên (1) ⇔ y = 2 x 2 + 3x − 9 2 x2 + 9 x − 6 PT(2) ⇔ y = 7 Do ñó ta có PT : 15 Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th
  3. Chuyên ñ h c sinh gi i 2 x2 + 9x − 6 4x2 ( )( ) = ⇔ 28 x 2 = 2 x 2 + 9 x − 6 2 x 2 + 3 x − 9 2 x2 + 3x − 9 7   x = −2  ( ) ⇔ ( x + 2 )( 2 x − 1) 2 x + 9 x − 27 = 0 ⇔  x = 1 2  2   x = −9 ± 3 33   4 16 -V i x = −2 ⇒ y = − 7 1 1 -V i x = ⇒ y = − 2 7 −9 ± 3 33 2 x2 + 9 x − 6 -V i x = ⇒ 2 x 2 + 9 x − 27 = 0 ⇒ y = =3 4 7    27 1  3x 1 + =  7 y − 24 x   7  Ví d 5 :Gi i h phương trình :    1  −21 y 1 − 7 y − 24 x  = 2    Gi i : ði u ki n x > 0, y > 0. H ñã cho tương ñương   1 1 1 2 1 = 21x + −21 y (1) 1+ =  7 y − 24 x   21x ⇔  1 2 1 1 1 1 −  = = − (2)  7 y − 24 x   7 y − 24 x −21 y −21 y 21x  1 1 1 = + Nhân theo v (1) và (2) ta có 7 y − 24 x 21x 21 y ⇔ 21xy = ( x + y )(7 y − 24 x) ⇔ 24 x − 38 xy − 7 y 2 = 0 2 ⇔ (6 x − y )(4 x + 7 y ) = 0 −4 x ⇔y= ( vì x > 0, y > 0) 7 2+ 7 11 + 4 7 1 1 + ⇔ x= ⇔x= Thay vào (1) ta có 1 = . 84 21x 12 x 2 21 −11 − 4 7 Suy ra y = . 147 16 Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th
  4. Chuyên ñ h c sinh gi i PHƯƠNG PHÁP 2: ð T N PH  y + xy = −6 x 2 2 Ví d 6 : Gi i HPT :  3 3  1 + x y = 19 x 3  ðây là h pt thư ng g p trong các kì thi HSG, TSðH Gi i : +y=0 không tho n mãn h + y ≠ 0 Ta có h tương ñương v i 1 1 2 2 x x  + x = −6    + x = −6   y y  y  y ⇔  2 3 3 x  1 x 1 x 1  y 3 + x = 19  y   x + y  − 3 y  x + y  = 19  y  3         x + t = −6 x 2t 2 ð t = t h tr thành :  1  ( x + t ) − 3xt ( x + t ) = 19 x t 3 33 y  S = x + t 2  S = −6 P 2  ( S ≥ 4 P) h tr thành : ðt 3  P = xt  S − 3SP = 19 P 3  P = 0 Thay (1) vào (2) ta có : −6 P + 18P = 19 P ⇔ 6 P + P = 0 ⇔  3 6 3 3 3 6 3 P = − 1  6 -V i P=0 thì S=0 (lo i)  1 x+t = 1 1 6 V i P=− ⇒S = ⇒ 1 6 6 xt = −   6  xy + y 2 + x = 7 y Ví d 7 : Gi i HPT :  x 2 (HSG ði n Biên)   y + x = 12  Gi i : ðK : y ≠ 0  x x + y + y = 7 H ñã cho tương ñương :   ( x + y ) x = 12   y 17 Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th
  5. Chuyên ñ h c sinh gi i u = x + y u + v = 7 u = 3; v = 4 ðt x ⇔ h ñã cho tr thành :   v = y uv = 12 u = 4; v = 3  x + y = 4 u = 3  x = 3 ⇔ ⇒x -v i  v = 4  y = 3 y =1   12 x + y = 3 x = u = 4   5 ⇔ ⇒x -V i  v = 3  y = 4 y = 3    5 V y h ñã cho có nghi m (x ;y)=(3 ;1),  12 3  ;   5 5  y 3 (27 x3 − 35) + 8 = 0 Ví d 8: Gi i h :  2 (HSG Phú Th V1 năm 2011-2012)  3 x y + 2 x = 5 y 2  Gi i : H ñã cho tương ñương v i :  8 27 x + y 3 = 35 3    x  3x + 2  = 5 y   y u = 3x u = 3; v = 2 u 3 + v3 = 35 ð t  2 h tr thành ⇔   v = y u = 2; v = 3 uv(u + v) = 5  3 x = 3 u = 3  x = 1 ⇔ ⇒ 2 -V i  v = 2  y = 2 y =1   2 3 x = 2 x = 3 u = 2   ⇔ ⇒ 2 -V i  v = 3  y = 3 y = 2    3 V y h có nghi m ( x; y ) = (1;1) ;  ;  22     33 18 Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th
  6. Chuyên ñ h c sinh gi i  1  x + + x + y −3 = 3 Ví d 9 : Gi i h  y  2 x + y + 1 = 8   y 1 ðk : x + ≥ 0; x + y ≥ 3; y ≠ 0 y 1 ð t a = x + ; b = x + y − 3; a, b ≥ 0 y a + b = 3  a = 2; b = 1 ⇔ H ñã cho tr thành   a = 1; b = 2 a + b = 5 2 2 a = 2 -V i  ta có b = 1 x ≠ 4   1  1 1  x+ =2 x + = 4  x = 3; y = 1 x + =4  ⇔ ⇔ ⇔  x 2 − 8 x + 15 = 0 ⇔  4− x y  y  x = 5; y = −1    y = 4− x x + y − 3 = 1 x + y − 3 = 1  y = 4 − x   a = 1 -V i  ta có b = 2 x ≠ 7   1  1 1  x + =1 x + = 1  x = 4 − 10; y = 3 + 10 x + =1  2 ⇔ ⇔  7− x ⇔  x − 8x + 6 = 0 ⇔  y  y  x = 4 + 10; y = 3 − 10  x + y − 3 = 4 y = 7 − x y = 4− x    x + y −3 = 2   KL : V y h ñã cho có 4 nghi m ( x; y ) = ( 3;1) ; ( 5; −1) ; ( 4 − )( ) 10;3 + 10 ; 4 + 10;3 − 10   7x + y + 2x + y = 5 Ví d 10 : Gi i h phương trình:   2x + y + x − y = 1  Gi i : ði u ki n: 7 x + y ≥ 0; 2 x + y ≥ 0 . ð t u = 7 x + y , v = 2 x + y , ( u, v ≥ 0 ) , ta có: 2 2 2 2 x = u − v ; y = 7 v − 2u . Ta có h : 5 5 u + v = 5 =5−v u u = 5 − v u = 3     ⇔ ⇔ v = 2 ⇔    2 u 2 − v2 2 2 − 7 v − 2u = 1   v + 5v − 14 = 0 v + v = 2   v = −7  5 5    V i u = 3; v = 2 ta có: x = 1; y = 2 . V y x = 1; y = 2 . 19 Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th
  7. Chuyên ñ h c sinh gi i Thay ñ i phương trình th hai ta có ñ thi HSGQG năm 2001  7x + y + 2x + y = 5 Ví d 11 : Gi i HPT :  (HSGQG 2001)   2x + y + x − y = 2  Gi i : ðK : 7 x + y ≥ 0; 2 x + y ≥ 0 Cách 1 : Tương t ví d trên ta có u = 5 − v    v = −5 + 77 u + v = 5 u = 5 − v   u 2 − v 2 − 7v 2 − 2u 2 = 2 ⇔  v 2 + 5v − 13 = 0 ⇔      2 v +    5 5   v = −5 − 77    2   15 − 77 u = Do u; v ≥ 0 ta l y ñư c  2  v = −5 + 77   2 11 − 77 T ñó gi i ñư c x = 10 − 77; y = 2 Cách 2: ð t t = y − x ⇒ y = x + t ta có HPT : −2 ≤ t ≤ 3   7x + y = 3 − t   ⇔ 8 x + t = ( 3 − t ) 2   2x + y = 2 + t   3 x + t = ( 2 + t ) 2  3t − 8t = 3 ( 3 − t ) − 8 ( 2 + t )  t 2 + 9t + 1 = 0 2 2 −9 + 77 ⇔ ⇔ ⇔t= −2 ≤ t ≤ 3 −2 ≤ t ≤ 3 2  ( t + 2 ) − t = 10 − 77  2 x =  3 ⇒ 11 − 77  y = x +t =  2 u = 7 x + y u + v = 5 Cách 3 : ð t  ; (u , v ≥ 0) . H tr thành :   v = 2 + y − x v = 2 x + y  M t khác : 5− x u 2 − v 2 = 5 x ⇔ ( u − v )( u + v ) = 5 x ⇒ u − v = x ⇒ v = 2 thay vào h ta ñư c : 5− x 1+ x = 2+ y− x⇒ y = ⇒ 2 2 20 Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th
  8. Chuyên ñ h c sinh gi i x ≤ 5 x ≤ 5 1+ x 5 − x  2x + = ⇔ 2 ⇔ 2 10 x + 2 = ( 5 − x )  x − 20 x + 23 = 0 2 2  11 − 77 ⇔ x = 10 − 77 ⇒ y = 2 Tương t ta có  3x + y + x + y = 2 Ví d 12 : Gi i h phương trình :    x + y + x − y =1  (ð thi HSG Qu ng NINH năm 2011-2012)  5 − 21  ðS : ( x; y ) =  5 − 21;    2   4x + y + 2x + y = 2 Ví d 13: Gi i H phương trình :    2x + y + x + y = 1  ( ð thi HSG Nam ð nh V2 năm 2011-2012) Gi i : ðK : 4 x ≥ − y; 2 x ≥ − y a = 4 x + y ðt ; ( a ≥ 0; b ≥ 0 )  b = 2x + y   a + b = 2 (1) Ta có h  b + x + y = 1 (2) Ta có : a 2 − b 2 = 2 x = ( a − b ) ( a + b ) = 2(a − b) ⇒ a − b = x a + b = 2 2− x ⇒b= Ta có  (3) a − b = x 2 2− x + x + y = 1 ⇔ x = −2 y thay vào phương trình hai c a h Thay (3) vào (2) ta có : 2 ban ñ u ta có −3 y − 2 y + y = 1 ⇔ −3 y = y + 1  y ≥ −1  y ≥ −1 −5 + 21  ⇔ ⇔ 2 ⇔ y= ⇒ x = 5 − 21  −3 y = ( y + 1)  y + 5y +1 = 0 2 2   −5 + 21  V y h ñã cho có nghi m ( x; y ) =  5 − 21;    2   21 Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th
  9. Chuyên ñ h c sinh gi i PHƯƠNG PHÁP 3: S D NG TÍNH ðƠN ðI U C A HÀM S xy − 2 x + 4  y − 4x + 2 =5 4 Ví d 14: Gi i h  x 3 3  2 + x = y + 2 y  Gi i: Xét hàm s f (t ) = 2t + t 3 trên ℝ -Ta có f '(t ) = 2t ln 2 + 3t 2 > 0, ∀t ∈ ℝ nên f (t ) ñ ng bi n trên ℝ ( 2) ⇔ f ( x) = f ( y ) ⇔ x = y Thay vào (1) ta có −2 x+ 4 x4 − 4 x + 2x =5 2 −2 x+4 ⇔ 5 − x4 + 4 x = 2x 2 ≥ 8 ⇒ 5 − x 4 + 4 x ≥ 8 ⇔ x 4 − 4 x + 3 ≤ 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 + 2 x + 3) ≤ 0 ⇔ x = 1 −2 x+ 4 2 2 2x V y h ñã cho có nghi m ( x; y ) = (1;1)  y 3 + y = x3 + 3x 2 + 4 x + 2 Ví d 15: Gi i h    1 − x − y = 2 − y −1 2  ðK: −1 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2 (1) ⇔ y 3 + y = ( x + 1) + ( x + 1) 3 Xét hàm s f (t ) = t 3 + t trên ℝ -Ta có f '(t ) = 3t 2 + 1 > 0, ∀t ∈ ℝ nên f (t ) ñ ng bi n trên ℝ (1) ⇔ f ( y ) = f ( x + 1) ⇔ y = x + 1 thay vào (2) ta ñư c phương trình 1 − x2 − x + 1 = 1 − x −1 ⇔ 1 − x2 = 1 + x + 1 − x − 1 ð t n ph gi i ñư c nghi m c a phương trình này là x = 0 V y h ñã cho có nghi m ( x; y ) = (0;1) Tương t ta có ñ thi HSG Qu ng Ninh B ng B năm 2011-2012: ( x + 1)3 − 3 ( x + 1) 2 = y 3 − 3 y Ví d 16: Gi i h phương trình    x2 + 1 − x2 − 3 2 y − y2 + 2 = 0  ðáp s : ( x; y ) = ( 0;1) 2 ( 2 x + 1)3 + 2 x + 1 = ( 2 y − 3) y − 2 Ví d 17: Gi i h    4x + 2 + 2 y + 4 = 6  ( ðT Chuyên Lương Th Vinh, ð ng Nai) 22 Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th
  10. Chuyên ñ h c sinh gi i Gi i: 1 ðK: x ≥ − ; y ≥ 2 2 Xét hàm s f (t ) = 2t 3 + t trên ( 0; +∞ ) -Ta có f '(t ) = 6t 2 + 1 > 0, ∀t ∈ ( 0; +∞ ) nên f (t ) ñ ng bi n trên ( 0; +∞ ) (1) ⇔ f (2 x + 1) = f ( y − 2) ⇔ 2 x + 1 = y − 2 thay vào (2) ta ñư c phương trình 4y −8 + 2y + 4 = 6 (*) 4 Xét hàm s g ( y ) = 4 4 y − 8 + 2 y + 4 − 6 trên ( 2; +∞ ) 1 1 > 0; ∀y ∈ ( 2; +∞ ) nên f (t ) ñ ng bi n trên ( 2; +∞ ) -Ta có g '( y ) = + 2y + 4 ( 4 y − 8) 3 4 1 Mà g ( 6 ) = 0 nên phương trình (*) có nghi m duy nh t y=6. T ñó có x = 2 V y h ñã cho có nghi m ( x; y ) =  ; 6  1     2 Ví d 18: Gi i h phương trình: 22 x − y − 2 x + y = ( x + y ) x + y − (2 x − y ) 2 x − y  ( x, y ∈ ℝ ) .   3 y − 2( x − 1) + 1 = 0 3  (HSG Thanh Hóa 2011-2012) Gi i: 22 x − y − 2 x + y = ( x + y ) x + y − (2 x − y ) 2 x − y (1)    3 y − 2( x − 1) + 1 = 0 3 (2).  + ði u ki n: x + y ≥ 0, 2 x − y ≥ 0 (*). + Khi ñó: (1) ⇔ 22 x − y + (2 x − y ) 2 x − y = 2 x + y + ( x + y ) x + y . Xét hàm f (t ) = 2t + t t , suy ra: (1) có d ng f (2 x − y ) = f ( x + y ) . M t khác f (t ) ñ ng bi n, do ñó (1) ⇔ 2 x − y = x + y hay x = 2 y . + Th vào (2), ta ñư c: 3 y + 1 = 2(2 y − 1)3 (3). t = (2 y − 1)3  y = 2t − 1 , phương trình (3) tr thành h :  ðt 3  y = (2t − 1) 3  Tr v tương ng các phương trình c a h , ta ñư c: t = y ( do 2(2 y − 1)2 + 2(2 y − 1)(2t − 1) + 2(2t − 1)2 + 1 > 0 ∀y, t ) Th vào h : y = (2 y − 1)3 ⇔ 8 y 3 − 12 y 2 + 5 y − 1 = 0 ⇔ ( y − 1)(8 y 2 − 4 y + 1) = 0 ⇔ y = 1 . y = 1 ⇒ x = 2 , tho mãn (*). V y h ñã cho có nghi m (duy nh t): ( x; y ) = (2; 1) . 23 Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th
  11. Chuyên ñ h c sinh gi i V i phương pháp s d ng tính ñơn ñi u c a hàm sô chúng ta th y thư ng xu t hi n h phương trình h hoán v vòng quanh H HOÁN V VÒNG QUANH:  f ( x1) = g ( x2 )   f ( x ) = g ( x3 ) ð nh nghĩa:Là h có d ng:  2 (I) .................  f ( xn ) = g ( x1)  ð nh lí 1: N u f,g là các hàm cùng tăng ho c cùng gi m trên A và ( x1, x2 ,..., xn ) là nghi m c a h trên A thì x1 = x2 = ... = xn ð nh lí 2:N u f,g khác tính ñơn ñi u trên A và ( x1, x2 ,..., xn ) là nghi m c a h trên  x = x = ... = xn −1 A thì x1 = x2 = ... = xn n u n l và  1 3 n u n ch n  x2 = x4 = ... = xn x = y2 + y − 1  Ví d 19 : Gi i h :  y = z 2 + z − 1  z = x2 + x − 1  Xét hàm s : f ( x) = x 2 + x − 1 , hàm s này ñ ng bi t trên  − , +∞  , ngh ch bi n trên 1   2  kho ng  −∞, −  . 1     2 D th y f ( x) ≥ f  −  = − , f  −  = − . Ta có h phương trình sau: 1 5 5 11      2  4 4 6  x = f ( y)   y = f ( z)  z = f ( x)  5 T h ta suy ra x, y, z ≥ − 4 - N u x ≥ − ⇒ f ( y ) ≥ − > − = f  −  ⇒ y > − (vì n u y ≤ − thì t ñi u 1 1 5 1 1 1    2 2 2 4 2 2 ki n y ≥ − ⇒ f ( y ) ≤ f  −  = − < − ). 5 5 11 5   4 4 6 4 1 1 - Tương t ta cũng có z ≥ − v y trong trư ng h p này x, y, z ≥ − 2 2 - Gi s x ≥ y ⇒ f ( y ) ≥ f ( z ) ⇒ y ≥ z ⇒ f ( y ) ≥ f ( z ) ⇒ z ≥ x ⇒ x=y=z - Thay vào phương trình ñ u tiên c a h ta ñư c: x = x 2 + x − 1 ⇔ x = ±1 nghi m x = -1 lo i. 24 Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th
  12. Chuyên ñ h c sinh gi i V y trong trư ng h p này h có nghi m x = y = z = 1 1 -N u x
  13. Chuyên ñ h c sinh gi i PHƯƠNG PHÁP ðÁNH GIÁ B NG B T ð NG TH C (2 x + 3) 4 x − 1 + (2 y + 3) 4 y − 1 = 2 (2 x + 3)(2 y + 3) Ví d 21: Gi i h phương trình:    y + x = 4 xy  (HSG lóp 10 Vĩnh Phúc năm 2011-2012) Gi i: (2 x + 3) 4 x − 1 + (2 y + 3) 4 y − 1 = 2 (2 x + 3)(2 y + 3)  (1)   y + x = 4 xy  (2) 1 1 ði u ki n xác ñ nh: x ≥ ; y ≥ 4 4 x y (2) ⇔ x = y (4 x − 1) ⇔ = 4 x − 1 ⇔ = 4 y − 1 thay vào (1) ta ñư c : y x x y (2 x + 3) + (2 y + 3) = 2 (2 x + 3)(2 y + 3) y x x y Do (2 x + 3) + (2 y + 3) ≥ 2 (2 x + 3)(2 x + 3) y x Suy ra (1) ⇔ x(2 x + 3) = y (2 y + 3) ⇔ ( x − y )(2 x + 2 y + 3) = 0 ⇔ x = y thay vào (2) ta ñư c  x = 0 (lo¹i ) 2x − x = 0 ⇔  2 x = 1 ⇒ y = 1  2 2 V y h phương trình có nghi m  ;  . 11   2 2 Ví d 22: Gi i h phương trình:  9 + 8 x 2 y − x 4 y 2 = y (16 y 5 − 3x 2 y 2 + 1)  (HSG ð ng Tháp V2 năm 2011-2012)  1 + 16 _ ( x − 2 y ) = x 2 ( 5 y 3 − x 2 ) + y 2  Gi i: ðK: 9 + 8 x 2 y − x 4 y 2 ≥ 0 25 − ( x 2 y − 4 ) = 16 y 6 − 3 x 2 y 3 + y  2 H tương ñương v i   1 + 16 + ( x − 2 y )2 = 5 x 2 y 3 − x 4 + y  Tr v v i v c a 2 phương trình trên ta có 25 − ( x 2 y − 4 ) = 1 + 16 + ( x − 2 y ) + ( x 2 − 4 y 2 ) 2 2 2 (*) Ta có VT (*) ≤ 5;VP (*) ≥ 5  x2 y − 4 = 0 x = 2 Do ñó (*) ⇔  x − 2 y = 0 ⇔   y =1  x2 − 4 y3 = 0  26 Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th
  14. Chuyên ñ h c sinh gi i V y h ñã cho có nghi m ( x; y ) = (2;1) 4 698 x + y = 2 Ví d 23 : Gi i h phương trình  81  x 2 + y 2 + xy − 3x − 4 y + 4 = 0  4 697 x + y = 2 Gi i h phương trình  81  x + y + xy − 3x − 4 y + 4 = 0 2 2  T phương trình (2) ta có: x 2 + y 2 + xy − 3x − 4 y + 4 = 0 ⇔ x 2 + x( y − 3) + y 2 − 4 y + 4 = 0 Phương trình này có nghi m ⇔ ∆ = ( y − 3) 2 − 4( y 2 − 4 y + 4) ≥ 0 7 ⇔1≤ y ≤ 3 4 0≤ x≤ L p lu n tương t ta có: 3 697 K t h p v i pt 1 ta có x 4 + y 2 ≤ 81  4 x = 3  D u b ng x y ra khi và ch khi  y = 7   3  4 x=   3 V y h pt ñã cho có nghi m duy nh t  y = 7   3  x2 = y + a  Ví d 24 : Gi i h phương trình:  y 2 = z + a , (0 < a < 1). z2 = x + a  Gi s x = Max{x, y, z} ⇒ z 2 = Max{x 2 , y 2 , z 2 } . 1 1 N u z ≥ 0 ⇒ z = Max{x, y, z} ⇒ x = y = z = − + +a 2 4 N u z < 0 ⇒ x < 0 , vì n u x ≥ 0 ⇒ z 2 ≥ a ⇒ z ≤ − a < −a ⇒ y 2 < 0 (mâu thu n). 27 Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th
  15. Chuyên ñ h c sinh gi i ⇒ y ≤ 0 ⇒ 0 > x ≥ y ≥ z ⇒ x2 = y + a ≥ z + a = y2 ⇒ x ≤ y 1 1 ⇒x= y=z=− − +a 2 4 V y h phương trình có 2 nghi m.  x 2 y 3 + 3x 2 − 4 x + 2 = 0  Ví d 25: Gi i h phương trình sau n x; y:  2 2 x y − 2x + y = 0 2  Gi i:: ( y 3 + 3) x 2 − 4 x + 2 = 0 (1)  H ñã cho tương ñương v i:  2 2  y x − 2x + y = 0 2  (2) 3 N u y +3= 0 thì x=2 không th a mãn h . N u y3 +3 ≠ 0 : (1) có nghi m ⇔ ∆ , ≥ 0 ⇔ y ≤ −1 N u y = 0 thì x=0 không th a mãn. N u y ≠ 0: (2) có nghi m ⇔ −1 ≤ y ≤ 1 T ñó suy ra y = -1. thay vào ñư c x = 1. Th l i: x=1; y=-1 th a mãn. x = 1 Vây h ñã cho có nghi m:   y = −1 28 Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th
  16. Chuyên ñ h c sinh gi i Bài t p t ng h p 1 1 ( )  x + 2y = 2 x + y 2 2 (1) Bài 1: Gi i HPT :  (HSG t nh Qu ng Ninh)   1 − 1 = y 2 − x2 (2)  x 2y  Gi i : ðK : xy ≠ 0 2 = x 2 + 3 y 2 ⇔ 2 = x 3 + 3xy 2 C ng v v i v c a (1) và (2) ta có : x 1 Tr v v i v c a (1) cho (2) ta có : = 3x 2 + y 2 ⇔ 1 = 3x 2 y + y 3 y Ta có h  3 +1 3 x = 3 = ( x + y )3 2 = x + 3 xy x + y = 3 3 2     3 2 ⇔ ⇔ ⇔  1 = ( x − y ) x − y = 1 1 = y + 3 x y  y = 3 −1  3 2 3 3     2 1 1  x − 2y = 2( y − x ) 4 4 Tương t , gi i h    1 + 1 = ( 3 x 2 + y 2 )( x 2 + 3 y 2 )   x 2y  x3 + 3 xy 2 = −49 Bài 2 : Gi i h phương trình  2 (1) (HSGQG b ng B năm 2004)   x − 8 xy + y = 8 y − 17 x (2) 2  Gi i: Cách 1: Ta th y x=0 không th a mãn h x3 + 49 (1) ⇒ y 2 = − (*) Th vào (2) ta ñư c 3x x3 + 49 x 2 − 8 xy − = 8 y − 17 x ⇔ 24 y ( x 2 + x) = 2 x3 + 51x 2 − 49 3x  x = −1 ⇔ 24 xy ( x + 1) = ( x + 1)(2 x + 49 x − 49) ⇔  2  y = 2 x + 49 x − 49 2   24 x - V i x=-1 th vào (*) ta ñư c y = ±4 2 x 2 + 49 x − 49 - V i y= th vào (*) ta ñư c 24 x 29 Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th
  17. Chuyên ñ h c sinh gi i x3 + 49 2 x 2 + 49 x − 49 2 − ) ⇔ −192 x( x3 + 49) = (2 x 2 + 49 x − 49) 2 =( 3x 24 x ⇔ 4 x 4 + 4 x3 + 45 x 2 + 94 x + 49 = 0 ⇔ ( x + 1) ( 4 x 2 − 4 x + 49 ) = 0 ⇔ x = −1 2 V y h ñã cho có nghi m ( x; y ) = ( −1; 4 ) ; ( −1; −4 ) Cách 2: Nhân 2 v c a phương trình (2) v i 3 r i c ng v i (1) ta ñư c: x3 + 3 x 2 + 3xy 2 − 24 xy + 3 y 2 = 24 y − 51x − 49 ⇔ x3 + 3x 2 + 3 x + 1 + 3 y 2 ( x + 1) − 24 y ( x + 1) + 48( x + 1) = 0 ⇔ ( x + 1) ( x + 1) + 3 y 2 − 24 y + 48 = 0 2   ⇔ x = −1 Cách 3: u+v  x = 2 x + y = u  ⇔ ñt x − y = v y = u −v   2 T h ñã cho ta có h phương trình u 3 + v 3 = −98 u − 27 = −v − 125 3 3  (1) ⇔  −3u + 5v = −9u − 25v −3u + 9u = −5v − 25v (2) 2 2 2 2   Nhân 2 v c a phương trình (2) v i 3 r i c ng v i phương trình (1) ta có: v = 3 ( u − 3) = − ( v + 5 ) ⇔ u = −v − 2 th vào (1) ta ñư c v 2 + 2v − 15 = 0 ⇔  3 3 v = −5 -V i v = 3; u = −5 ⇒ ( x; y ) = ( −1; −4 ) -V i v = −5; u = 3 ⇒ ( x; y ) = ( −1; 4 )  x + x 2 + 1 = y + y 2 − 1 (1) Bài 3: Gi i h phương trình :    x + y − xy = 1 2 2  (2) (HSG H i Dương V1 năm 2011-2012) Gi i: ðK: y ≥ 1 (1) ⇔ x − y = y2 −1 − x2 + 1 (y − 1)( x 2 + 1) ⇒ x 2 − 2 xy + y 2 = y 2 + x 2 − 2 2 (y − 1)( x 2 + 1) ⇔ x 2 y 2 = x 2 y 2 − x 2 + y 2 − 1 ⇔ xy = 2 ⇔ x 2 − y 2 = −1  x − y = −1 x = 0  2 2 ⇒ 2 x 2 − xy = 0 ⇔  - Ta có h  2 2  y = 2x  x + y − xy = 1  - N u x = 0 thay vào (2) ta có y 2 = 1 ⇔ y = ±1 30 Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th
  18. Chuyên ñ h c sinh gi i 1 1 2 - N u y = 2 x thay vào (2) ta có 3x 2 = 1 ⇔ x 2 = ⇔ x = ± ⇒ y=± 3 3 3 1 2 - Th l i ta có nghi m ( x; y ) = ( 0;1) ;  ;   3 3  x3 − y 3 = 35 Bài 4 :Gi i HPT:  2 (1) (HSG Yên Bái)  2 x + 3 y = 4 x − 9 y 2  (2) Gi i: ( 2 ) ⇔ ( 6 x 2 − 12 x + 8) + ( 9 y 2 + 12 y + 27 ) = 35 Thay vào (1) ta có ( )( ) x 3 − y 3 = 6 x 2 − 12 x + 8 + 9 y 2 + 12 y + 27 ⇔ ( x − 2 ) = ( y + 3) ⇔ x − 2 = y + 3 ⇔ x = y + 5 3 3  y = −2 Th vào (2) : 5 y 2 + 25 y + 30 = 0 ⇔   y = −3 -V i y=-3 thì x=2 -V i y=-2 thì x=3  x 4 + x3 y + 9 y = y 3 x + x 2 y 2 + 9 x (1) Bài 5: Gi i HPT:  3 3   x( y − x ) = 7  (2) Gi i: (1) ⇔ ( x 4 − xy 3 ) + ( x3 y − x 2 y 2 ) − 9 ( x − y ) = 0 ⇔ ( x − y )  x ( x + y ) − 9 = 0 2   T ( 2) ⇒ x ≠ y Nên (1) ⇔ x ( x + y ) = 9 (*) 2 7 7 T ( 2 ) ⇔ y 3 − x3 = ⇔ y = 3 x3 + th vào (*) ta có x x 2  7 x  x + 3 x3 +  = 9 ⇔ x3 + 2 x 3 x 6 + 7 x 2 + 3 x( x 4 + 7)2 (**)   x  Tư (*) ta có x>0 Xét hàm s f ( x) = x3 + 2 x 3 x 6 + 7 x 2 + 3 x( x 4 + 7) 2 , x ∈ ( 0; +∞ ) F(x) ðB trên ( 0; +∞ ) mà f(1)=9 nên (**) có nghi m duy nh t x=1 V y h có nghi m (x;y)=(1;2). 2 2 x + y = 3 − 2 x − y (1) Bài 6: Gi i HPT:    x + 6 + 1− y = 4 3 (2)  Gi i: ðK: 2 x + y ≥ 0; y ≤ 1 31 Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th
  19. Chuyên ñ h c sinh gi i  2x + y = 1 (1) ⇔ ( 2 x + y ) + 2 2x + y − 3 = 0 ⇔  ⇔ y = 1− 2x  2 x + y = −3(l )  Thay vào (2) ta có: x + 6 + 2 x = 4(*) 3 Xét hàm s f ( x ) = 3 x + 6 + 2 x , x ∈ [0; +∞ ) Ta có f(x) là HSðB trên [0; +∞ ) mà f(2)=4 nên (*) có nghi m duy nh t x=2 V y h có nghi m (x;y)=(2;-3).   1  3x 1 +  = 2 (1)  x+ y  Bài 7 : Gi i HPT :  (HSGQG 1996)  7 y 1 − 1  = 4 2 (2)     x+ y  Gi i : ðK : x, y ≥ 0 Vì x=0 ho c y=0 không tho mãn h nên h ñã cho tương ñương   1 2 1 22 1 + = 1 = + (3) x+ y 3x   3x 7y ⇔  1 42 1 − 1 1 22 = 1 + x = 3 x − 7 y (4)  x+ y 7y   Nhân v v i v c a (3) và (4) ta có : 1 2 2  1 2 2 1 1 8 = + − = −   3x  3x  3x 7 y 1+ x  7 y  7y  ⇔ 21xy = ( x + y )( 7 y − 24 x ) ⇔ 24 x 2 + 38 xy − 7 y 2 = 0 ⇔ ( 6 x − y )( 4 x + 7 y ) = 0 ⇔ y = 6 x, ( x, y > 0) 11 + 4 7 22 + 8 7 1 2 Thay y=6x vào (3) ta có 1 = + ⇔x= ⇒y= 21 7 3x 7x  x− y 12 x − y + = (1) x+ y x+ y Bài 8 : Gi i h phương trình :   xy = −15  (2) (HSG An Giang V 1 năm 2011-2012) x ≥ y x− y x2 − y2  ≥ 02 ⇔ ≥0⇔ Gi i : ðK : ( x + y) x+ y x ≠ − y 2  32 Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th
  20. Chuyên ñ h c sinh gi i 2 x− y x − y2 + ( x + y) = 12 (1) H ñã cho tương ñương v i :  x+ y   xy = −15  (2) Xét 2 trư ng h p : • N u x + y > 0 . Khi ñó (1) ⇔ x 2 − y 2 + x 2 − y 2 = 12 t = 3 ð t t = x 2 − y 2 ;(t ≥ 0) phương trình trên tr thành t 2 + t − 12 = 0 ⇔  t = −4(l ) V i t = 3 ta có h   2 9 + 3 109  x =  2 225 2   x − x2 = 9  x − 9 x − 225 = 0 4 2  x2 − y 2 = 9    ⇔   x 2 = 9 − 3 109 (l ) ⇔ ⇔  15  xy = −15 y = −  y = − 15  2  x    x 15 y = −  x  9 + 3 109 3 109 − 9 x = ;y=− ⇔ 2 2   x = − 9 + 3 109 ; y = 3 109 − 9   2 2 9 + 3 109 3 109 − 9 K t h p ðK x + y > 0 ta thu ñư c ( x; y ) = ( ;− ) 2 2 • N u x + y < 0 gi i tương t ta thu ñư c h phương trình  2 225  x − x 2 = 16  x 4 − 16 x 2 − 225 = 0  x − y = 16 2 2   ⇔ ⇔  15  xy = −15 y = −  y = − 15  x   x   x 2 = 25   x = 5; y = −3 2 ⇔   x = −9(l ) ⇔   x = −5; y = 3  15 y = − x  K t h p ðK x + y < 0 ta có ( x; y ) = ( −5;3)  3 2y  x2 + y 2 − 1 + x = 1 Bài 9 : Gi i HPT :    x2 + y 2 − 2 x = 4   y 33 Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
300=>0