Phần I lý thuyết chung về phép chiếu bản đồ

Chia sẻ: Tran Huu Phuoc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:257

Thêm vào BST

Báo xấu

95
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bề mặt tự nhiên của Trái Đất rất phức tạp, về mặt hình học không thể biểu thị được theo một quy luật xác định. Hình dạng Trái Đất được hình thành chủ yếu bởi hai lực là lực hấp dẫn và lực li tâm, lực hấp dẫn tạo nên hình cầu, lực li tâm làm cho Trái Đất có dạng elipxoid, ngoài hai lực trên Trái Đất còn chịu ảnh hưởng của một yếu tố nữa là trọng lực, do sự phân bố không đồng đều của các vật chất có tỉ trọng khác nhau trong lớp vỏ trái...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phần I lý thuyết chung về phép chiếu bản đồ

PhÇn I lý thuyÕt chung vÒ phÐp chiÕu b¶n ®å Ch−¬ng I Kh¸i niÖm chung vÒ sù biÓu thÞ bÒ mÆt elipxoid hoÆc mÆt cÇu tr¸i ®Êt lªn mÆt ph¼ng 1.1.kh¸i niÖm chung vÒ sù biÓu thÞ mÆt elipxoid hoÆc mÆt cÇu lªn mÆt ph¼ng BÒ mÆt tù nhiªn cña Tr¸i §Êt rÊt phøc t¹p, vÒ mÆt h×nh häc kh«ng thÓ biÓu thÞ ®−îc theo mét quy luËt x¸c ®Þnh. H×nh d¹ng Tr¸i §Êt ®−îc h×nh th nh chñ yÕu bëi hai lùc l lùc hÊp dÉn v lùc li t©m, lùc hÊp dÉn t¹o nªn h×nh cÇu, lùc li t©m l m cho Tr¸i §Êt cã d¹ng elipxoid, ngo i hai lùc trªn Tr¸i §Êt cßn chÞu ¶nh h−ëng cña mét yÕu tè n÷a l träng lùc, do sù ph©n bè kh«ng ®ång ®Òu cña c¸c vËt chÊt cã tØ träng kh¸c nhau trong líp vá tr¸i ®Êt t¹o nªn sù kh¸c biÖt cña h−íng träng lùc ë c¸c ®iÓm kh¸c nhau trªn bÒ mÆt Tr¸i §Êt, nh÷ng n¬i tÝch tô c¸c lo¹i vËt chÊt nÆng, bÒ mÆt tr¸i ®Êt nhÝch l¹i gÇn t©m, nh÷ng n¬i tËp tr−ng c¸c lo¹i vËt chÊt cã tØ träng nhá bÒ mÆt Tr¸i §Êt n»m c¸ch xa t©m h¬n H×nh 1.1.1. Mèi quan hÖ gi÷a bÒ mÆt tr¸i ®Êt, Geoid vµ mÆt Elipxoit §Ó biÓu diÔn mét c¸ch ho n chØnh vÒ h×nh d¹ng Tr¸i §Êt, trong tr¾c ®Þa ng−êi ta thay nã b»ng mÆt Geoid, tr−íc kia mÆt Geoid ®−îc x¸c ®Þnh l bÒ mÆt n−íc biÓn trung b×nh, trong tr¹ng th¸i ho n to n yªn tÜnh, tr¶i d i xuyªn qua c¸c lôc ®Þa t¹o th nh bÒ mÆt cong khÐp kÝn, ng y nay nhê cã ®o GPS ng−êi ta x¸c ®Þnh mÆt Geoid l mÆt thuû chuÈn ®i qua ®iÓm khëi tÝnh ®é cao, ®é cao 3
®−îc x¸c ®Þnh b»ng viÖc quan s¸t mùc n−íc biÓn, mÆt n y cã ®Æc ®iÓm l t¹i bÊt kú mét ®iÓm n o trªn ®ã, ph¸p tuyÕn trïng víi ph−¬ng d©y däi, song do sù ph©n bè kh«ng ®Òu cña c¸c vËt chÊt cã tØ träng kh¸c nhau l m biÕn ®æi h−íng träng lùc v l m ®æi h−íng ®−êng d©y däi v× vËy bÒ mÆt Geoid còng kh«ng cã d¹ng to¸n häc chÝnh x¸c §Ó tiÖn lîi cho viÖc gi¶i c¸c b i to¸n ®o ®¹c, trong thùc tiÔn khoa häc tr¾c ®Þa b¶n ®å, ng−êi ta lÊy mÆt elipxoid trßn xoay cã h×nh d¹ng v kÝch th−íc gÇn gièng Geoid l m bÒ mÆt to¸n häc, thay cho Geoid gäi l elipxoid Tr¸i §Êt Cïng víi viÖc x¸c ®Þnh h×nh d¹ng Tr¸i §Êt, nhiÒu nh khoa häc ®· ®o tÝnh kÝch th−íc Tr¸i §Êt. KÝch th−íc cña elipxoid Tr¸i §Êt ®−îc x¸c ®Þnh bëi c¸c ®¹i l−îng sau: gäi a l b¸n trôc lín Elipxoid, b l b¸n trôc nhá Elipxoid, tõ a v b ng−êi ta tÝnh ®−îc c¸c trÞ sè kh¸c ®Æc tr−ng cho Elipxoid nh− sau. - §é dÑt thø nhÊt cña Elipxoid α, ®é dÑt thø hai l α1 a −b a −b α= , α1 = (1.1) a b - §é lÖch t©m thø nhÊt Elipxoid a2 − b2 (1.2) e = a - §é lÖch t©m thø hai Elipxoid a2 − b2 (1.3) e' = b - Mèi quan hÖ gi÷a e v e’ (1.4) 2 e' 2 e = 1 + e' 2 - Mèi quan hÖ gi÷a e v α (1.5) α = 1 - 1 − e2 b a H×nh 1.1.2 C¸c yÕu tè cña elipxoid a−b α= a 4
Ph−¬ng tr×nh cña khèi Elip trßn xoay trong hÖ thèng to¹ ®é vu«ng gãc cã gèc to¹ ®é t¹i t©m nh− sau: X 2 + Y 2 Z2 (1.6) + 2 =1 a2 b - X, Y, Z - l to¹ ®é vu«ng gãc kh«ng gian - Z trïng víi trôc quay - X v Y n»m trªn mÆt ph¼ng xÝch ®¹o; - a, b l b¸n trôc lín v b¸n trôc nhá cña Elipxoid NÕu dïng täa ®é vu«ng gãc x,y ®Ó x¸c ®Þnh elip kinh tuyÕn víi trôc x trïng víi b¸n trôc lín a, trôc y trïng víi b¸n trôc nhá b th× ph−¬ng tr×nh cña Elip (1.7) x 2 y2 kinh tuyÕn nh− sau: 2 + 2 =1 a b Mèi quan hÖ gi÷a täa ®é X, Y, Z Elipxoid tr¸i ®Êt v täa ®é x,y cña Elip kinh tuyÕn ®−îc thÓ hiÖn qua c«ng thøc sau ®©y.  X = x cos λ (1.8)  Y = x sin λ Z = y  víi λ l gãc gi÷a mÆt ph¼ng kinh tuyÕn cña ®iÓm ®· cho v kinh tuyÕn ®i qua trôc x. Y P M M’ x y E1 a C ϕ E X b n P1 H×nh 1.1.3. C¸c yÕu tè cña Elip kinh tuyÕn 5
Y P M M’ x y E1 a C ϕ E X b n P1 H×nh 1.1.4. Mèi t−¬ng quan gi÷a täa ®é X, Y, Z vµ x, y Tõ h×nh 1.1.3 ta ®−îc c¸c c«ng thøc sau ®©y a cos ϕ a (1 − e 2 )sin ϕ x= ,y = (1.9) 1 − e 2 sin 2 ϕ 1 − e 2 sin 2 ϕ NÕu thay c¸c gi¸ trÞ x v y v o c«ng thøc (2), ta sÏ cã c«ng thøc biÓu thÞ mèi liªn quan gi÷a to¹ ®é ®Þa lý ϕ v λ v to¹ ®é vu«ng gãc X, Y, Z nh− sau: a cos ϕ cos λ  X =  1 − e 2 sin 2 ϕ   a cos ϕ sin λ  Y=  (1.10) 1 − e 2 sin 2 ϕ  a (1 − e 2 )sin ϕ  Z= 1 − e 2 sin 2 ϕ  Khi gi¶i c¸c b i to¸n trªn mÆt Elipxoid ta th−êng gÆp c¸c ®¹i l−îng sau ®©y: - B¸n kÝnh cong vßng kinh tuyÕn 6
M = ( a 1 − e2 ) = ( a 1 − e2 ) (1.11) 3 w3 (1 − e 2 2 sin ϕ ) 2 - B¸n kÝnh cong vßng th¼ng ®øng thø nhÊt a a N= 1 = (1.12) w (1 − e 2 2 sin ϕ ) 2 - B¸n kÝnh cong vßng vÜ tuyÕn a cos ϕ (1.13) r = N cos ϕ = 1 (1 − e 2 sin ϕ2 ) 2 - B¸n kÝnh cong trung b×nh R = MN (1.14) - §¹i l−îng w ®−îc x¸c ®Þnh bëi ph−¬ng tr×nh (1.15) w = 1 − e 2 sin 2 ϕ - §é d i cung kinh tuyÕn tõ xÝch ®¹o 00 ®Õn vÜ tuyÕn cã vÜ ®é ϕ  A B C D  (1.16) ( ) s m = a 1 − e 2  0 ϕ 0 − sin 2ϕ + sin 4ϕ − sin 6ϕ ... ρ 2 4 6  trong ®ã 3 45 175 6 A = 1 + e2 + e4 + e + .... 4 64 256 3 15 525 6 B = e2 + e4 + e + ... 4 16 512 15 105 6 C = e4 + e + ... 64 256 35 6 D= e + ... 512 - DiÖn tÝch h×nh thang giíi h¹n bëi kinh tuyÕn víi kinh ®é λ1, λ2 v vÜ tuyÕn víi vÜ ®é ϕ1, ϕ2: (λ2 − λ1 )0  ∆ϕ 3∆ϕ (1.17) T = 2b 2 0  A sin cos ϕ m − B sin cos 3ϕ m + ρ  2 2 5∆ϕ 7 ∆ϕ  c sin cos 5ϕ m − D sin cos 7ϕ m + ... 2 2  trong ®ã 7
e2 3 4 5 6 A = 1+ + e + e + .... 2 8 16 1 3 3 B = e 2 + e 4 + e 6 + ... 6 16 16 3 1 C = e 4 + e 6 + ... 80 16 1 6 D= e + ... 112 1 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 , ϕ m = (ϕ 2 + ϕ1 ) (1.18) 2 - §é d i cña cung vÜ tuyÕn gi÷a c¸c kinh tuyÕn cã kinh ®é λ1 v λ2 r (1.19) sp = (λ 2 − λ1 )" ρ' ' - DiÖn tÝch cña to n bé bÒ mÆt Elip tr¸i ®Êt  2 2 3 4 4 6  (1.20) ∑ = 4πb 2 1 + e + e + e + ......  3 5 7  C¸c ®¹i l−îng a, b ,α ®−îc x¸c ®Þnh nhiÒu lÇn, kÕt qu¶ ®o ®−îc thÓ hiÖn ë b¶ng sau: T¸c gi¶ B¸n trôc lín a( m) B¸n trôc nhá b( m) §é dÑt Everest 6.377.307.4 6.356.103 1:300.8 Delambor 6.375.653 6.356.564 1:334 Bexel 6.376.896 6.355.833 1:302,8 Airmy 6.377.563 6.356.300 1:299.93 Modified 6.377.340.189 6.356.034.448 1:299.3249646 Airy Clark 1858 6.378.294 6.356.621 1:294.3 Clark 1866 6.378.206 6.356.585 1:295 Clark 1880 6.378.249 6.356.517 1:297 Kaula 6.378.165 6.356.345 1:298.25 Hayford 6.378.388 6.356.912 1:297 Helmert 1906 6378270 6356794.343 1:297 8
Hough 1960 6.378.270 6.366.794 1:298.3 Krasovski 6.378.245 6.356.863 1:298.3 1940 Fischer 6.378.150 6.356.330 1:292.3 I.U.G.G.75 6.378.140 6.356.755 1:292.3 WGS72 6.378.135 6.356.751 1:298.26 WGS84 6.378.137 6.356.752,31 1:298.257 9
1.2.C¸c hÖ täa ®é th−êng dïng trªn mÆt elipxoid tr¸i ®Êt 1.HÖ täa ®é ®Þa lý HÖ täa ®é ®Þa lý ®−îc t¹o ra bëi hai nhãm c¸c ®−êng cong tham sè l c¸c ®−êng kinh tuyÕn v c¸c ®−êng vÜ tuyÕn, to¹ ®é ®Þa lý cña mét ®iÓm trªn bÒ mÆt Elipxoid ®−îc x¸c ®Þnh bëi kinh ®é (λ) v vÜ ®é (ϕ) (t−¬ng øng víi hÖ täa ®é (B,L) trong tr¾c ®Þa). - Kinh tuyÕn v kinh ®é Kinh tuyÕn Z Greenwich N λ=0° P ϕ=0 • = - 90 9 N N W O ϕ • E R λ =0 • λ Y -180 XÝch ®¹o ϕ = 0° W • λ=0-180°E X S 0° 0 -9 ϕ= H×nh 1.2.1. HÖ täa ®é ®Þa lý Mét mÆt ph¼ng bÊt kú ®i qua trôc PP1 sÏ c¾t mÆt Elipxoid theo mét giao tuyÕn, giao tuyÕn ®ã gäi l vßng kinh tuyÕn, mét nöa cña giao tuyÕn ®ã tõ cùc b¾c xuèng cùc nam l mét ®−êng kinh tuyÕn. H×nh 1.2.2 .C¸c ®−êng kinh tuyÕn 10
Tr−íc ®©y c¸c n−íc lÊy kinh tuyÕn gèc kh¸c nhau nªn kinh ®é cña cïng mét ®iÓm trªn mÆt ®Êt cã thÓ kh¸c nhau, do vËy g©y ra nhiÒu khã kh¨n. N¨m 1884 héi nghÞ quèc tÕ ë Washington ®· th«ng qua nghÞ quyÕt lÊy kinh tuyÕn ®i qua ® i thiªn v¨n Greenweek gÇn Lu©n®«n l m kinh tuyÕn gèc (λ = 0) thèng nhÊt cho to n thÕ giíi, kinh ®é cña c¸c ®−êng kinh tuyÕn kh¸c ®−îc x¸c ®Þnh b»ng gãc nhÞ diÖn t¹o bëi mÆt ph¼ng kinh tuyÕn gèc v mÆt ph¼ng cña kinh tuyÕn ®· cho. λ tõ 0 ÷1800§ tõ kinh tuyÕn gèc vÒ phÝa ®«ng l kinh ®é ®«ng λ tõ 0 ÷1800T tõ kinh tuyÕn gèc vÒ phÝa t©y l kinh ®é t©y. - VÜ tuyÕn v vÜ ®é: Mét mÆt ph¼ng bÊt kú vu«ng gãc víi PP1 c¾t mÆt Elipxoid t¹o nªn mét giao tuyÕn h×nh trßn ®ã l ®−êng vÜ tuyÕn. VÜ tuyÕn lín nhÊt l xÝch ®¹o. T¹i ®iÓm A n o ®ã trªn mÆt Elipxoid th× vÜ ®é cña ®iÓm A l gãc lÖch gi÷a ®−êng ph¸p tuyÕn cña mÆt Elipxoid t¹i A víi mÆt ph¼ng xÝch ®¹o: ϕ tõ 00 ÷ 900 : tõ xÝch ®¹o vÒ phÝa b¾c gäi l vÜ ®é b¾c ϕ tõ 00 ÷900 : tõ xÝch ®¹o vÒ phÝa nam gäi l vÜ ®é nam H×nh 1.2.3.C¸c ®−êng vÜ tuyÕn 2.HÖ täa ®é ®¼ng cù (q, λ) Tõ hÖ täa ®é ®Þa lý ta cã thÓ chuyÓn sang hÖ täa ®é ®¼ng cù nh− sau: ds2 = M2dϕ2 + r2dλ2 M2 2 ds = r ( 2 dϕ + dλ2) 2 2 r 11
M §Æt dq = dϕ r Ta cã ds2 = r2(dq2 + dλ2) M q= ∫ r dϕ + C M (1 − e 2 )dϕ q= ∫ r dϕ + C = ∫ (1 − e 2 sin 2 ϕ ) cos ϕ + C (1 − e 2 sin 2 ϕ − e 2 cos 2 ϕ )dϕ q= ∫ (1 − e 2 sin 2 ϕ ) cos ϕ + C dϕ e cos ϕ dϕ q= ∫ cos ϕ + e∫ (1 − e 2 sin 2 ϕ ) +C ϕ d (e sin ϕ ) q = ln tg ( + 45 0 ) − e.∫ +C 2 1 − e 2 sin 2 ϕ ϕ e 1 − e. sin ϕ q = ln tg ( + 45 0 ) − . ln +C 2 2 1 + e. sin ϕ §Æt e sin ϕ = sin ψ, ta cã q =lnU NÕu ϕ = 0 th× q = 0 nªn ⇒ C = 0  ϕ tg  45 0 +  u=  2  ψ tg e  45 0 +   2 3.HÖ täa ®é ®Þa t©m Z Kinh tuyÕn Greenwich O • Y X XÝch ®¹o H×nh1.2.4. HÖ täa ®é ®Þa t©m (X,Y,Z) 12
XG = (N+h) cosϕ cosλ YG = (N+h) cosϕ sinλ ZG = [N( 1 - e2 )+h] sinϕ Trong ®ã : - XG, YG, ZG l täa ®é ®Þa t©m - ϕ, λ l kinh ®é v vÜ ®é cña ®iÓm - h l ®é cao cña ®iÓm .. - a, b l b¸n trôc lín v b¸n trôc nhá cña elipxoid - N l b¸n kÝnh cong vßng th¼ng ®øng thø nhÊt ChuyÓn ®æi gi÷a ϕ, λ v XG,YG, ZG nh− sau: ϕ = arctan((ZG + e’2b sin3θ) / ( ρ - e2a cos3θ)) λ = arctan(YG / XG) h = (ρ / cosϕ) – N Trong ®ã : - ρ = X G + YG2 2 - q = arctan (Z a / p b) 4. HÖ täa ®é ch©n trêi H×nh 1.2.5. HÖ täa ®é ch©n trêi Gäi (XG, YG, ZG) l täa ®é vu«ng gãc kh«ng gian cã ®iÓm gèc l O trïng víi t©m cña tr¸i ®Êt, X,Y,Z l täa ®é vu«ng gãc cña hÖ täa ®é ch©n trêi, ta cã mèi quan hÖ gi÷a hai hÖ n y nh− sau: 13
 XG   X   0         YG  = A Y  − 0  Z   Z + N + H   e2 N sinϕ   G  0 0  0 0 Ta cã: X  XG   0         Y  = A'  YG  − 0  Z   Z + e 2 N sinϕ   N + H     G 0 0  0 0 Víi A l ma trËn biÕn ®æi täa ®é nh− sau  − sin λ 0 − cos λ 0 sin ϕ0 cos λ 0 cos ϕ0    A =  cos λ 0 − sin λ 0 sin ϕ0 sin λ 0 cos ϕ0   0 cos ϕ0 sin ϕ0    A’ l ma trËn chuyÓn vÞ cña ma trËn A BiÕn ®æi ta ®−îc c«ng thøc tÝnh X,Y,Z nh− sau: X = (N + h) cos ϕ sin(λ − λ 0 ) Y = (N + h) [sin ϕ cos ϕ 0 − cos ϕ sin ϕ 0 cos( λ − λ 0 ) ] + e 2 (N 0 sin ϕ 0 − N sin ϕ ) cos ϕ 0 Z = (N + h) [sin ϕ sin ϕ0 + cos ϕ cos ϕ0 cos(λ − λ 0 )] + e2 (N 0 sin ϕ0 − Nsin ϕ)sin ϕ0 − N 0 + H 0 5.HÖ täa ®é cùc tr¾c ®Þa Trong hÖ täa ®é cùc tr¾c ®Þa (z,a), ®iÓm cùc ®−îc lùa chän l ®iÓm Q(ϕ0,λ0), a l gãc gi÷a c¸c mÆt ph¼ng t¹i ®iÓm cùc Q, z l gãc gi÷a ph¸p tuyÕn O’Q v h−íng nèi hai ®iÓm CO’ trªn mÆt elipxoit. Víi CO’ = N’0 tõ h×nh trªn ta cã c«ng thøc ®Ó tÝnh Z,a nh− sau: X = N0’sinz.sina Y = N0’sinz.cosa Z = N0’cosz – N0 MÆt kh¸c ta ®· cã CO” = N, CO’ = N0’, OO”=(Nsinϕ- N0sinϕ0)e2 ®Æt h=0 ta cã:  2  2   N0’=N0 1 − e (sin ϕ − sin ϕ0 )2  1 + e (5sin 2 ϕ + sin 2 ϕ0 + 2 sin ϕ sin ϕ0 − 4  + ....  4  4     e2 (sin ϕ sin ϕ0 )(sin ϕ + sin ϕ0 ) +    N 0 = N'0 1 + e2 (sin ϕ − sin ϕ0 )  sin ϕ +    + ..   2 + (sin ϕ − sin ϕ0 )(3sin 2 ϕ − 1)         14
Tõ ®ã thiÕt lËp mèi quan hÖ gi÷a täa ®é ®Þa lý (ϕ,λ) v täa ®é cùc (z,a) nh− sau N Sinz.cosa = N'0 [(sin ϕ cos ϕ0 − cos ϕ sin ϕ0 cos(λ − λ 0 )]  N N  + e2  sin ϕ0 − sin ϕ0  cos ϕ0  N'0 N'0  N Sinz.sina = cos ϕ.sin(λ − λ 0 ) N'0 N Cosz = N '0 [(sin ϕ.sin ϕ0 + cos ϕ.cos ϕ0 cos(λ − λ 0 )]  N N  + e2  sin ϕ0 − sin ϕ0  sin ϕ0  N'0 N'0  Cã thÓ viÕt gän l¹i nh− sau:  e2  Sinz.cosa = t1 + e2 τ  (t1 sin ϕ − cos ϕ) + (t1t 2 − 2t 3 sin ϕ0 )  + ......  2   e2  Sinz.sina = t 4 1 + e2 τ(sin ϕ + t 2 )  + ......  2  2 e2  Cosz = t 5 + e τ  (t 5 sin ϕ − sin ϕ0 ) + (t 2 t 5 − 2t 3 sin ϕ0 )  + ......  2  Víi: t 1 = sin ϕ.cos ϕ0 − cos ϕ.sin ϕ0 .cos(λ − λ 0 ) t 2 = sin ϕ.sin ϕ0 (sin ϕ + sin ϕ0 ) + (sin ϕ − sin ϕ0 )(3sin 2 ϕ − 1) 1 t 3 = sin 2 ϕ − sin ϕ0 (sin ϕ − sin ϕ0 ) 2 t 4 = cos ϕ.sin(λ − λ 0 ) t 5 = sin ϕ.sin ϕ0 + cos ϕ.cos ϕ0 cos(λ − λ 0 ) t 6 = sin ϕ − sin ϕ0 15
Ch−¬ng II lý thuyÕt chung vÒ biÕn d¹ng cña phÐp chiÕu b¶n ®å 2.1. Nh÷ng kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ phÐp chiÕu b¶n ®å 1.§Þnh nghÜa phÐp chiÕu b¶n ®å PhÐp chiÕu b¶n ®å l sù biÓu thÞ hoÆc ¸nh x¹ bÒ mÆt Elipxoid hoÆc mÆt cÇu lªn mÆt ph¼ng theo mét quy luËt to¸n häc x¸c ®Þnh. Quy luËt to¸n häc ®ã x¸c ®Þnh sù phô thuéc h m sè gi÷a täa ®é ®Þa lý (ϕ, λ) hoÆc täa ®é kh¸c cña ®iÓm trªn mÆt Elipxoid hoÆc mÆt cÇu Tr¸i ®Êt v täa ®é vu«ng gãc x,y hoÆc täa ®é kh¸c cña ®iÓm t−¬ng øng trªn mÆt ph¼ng. Y x = f1(ϕ, λ) y = f2(ϕ, λ) x (ϕo,λo) (xo,yo) H×nh 2.1.1. BiÓu thÞ bÒ mÆt elipxoit trªn mÆt ph¼ng NÕu trªn mÆt Elipxoid hoÆc mÆt cÇu ta dïng täa ®é ®Þa lý (ϕ, λ) v trªn mÆt ph¼ng ta dïng täa ®é vu«ng gãc (x,y) th× ph−¬ng tr×nh cña phÐp chiÕu cã d¹ng chung nh− sau: x = f1(ϕ, λ) (2.1.1) y = f2(ϕ, λ) C¸c h m f1, f2 ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: ®¬n trÞ liªn tôc v h÷u h¹n trong ph¹m vi cña bÒ mÆt cÇn biÓu thÞ. TÝnh chÊt cña phÐp chiÕu ho n to n phô thuéc v o tÝnh chÊt v ®Æc tr−ng cña c¸c h m f1, f2, cã v« sè c¸c h m kh¸c nhau do ®ã còng cã v« sè c¸c phÐp chiÕu kh¸c nhau. 15
Mçi phÐp chiÕu sÏ t−¬ng øng víi mét m¹ng l−íi b¶n ®å x¸c ®Þnh, tøc l m¹ng l−íi ®−êng kinh tuyÕn v vÜ tuyÕn trªn b¶n ®å, m¹ng l−íi ®ã gäi l m¹ng l−íi c¬ së. Tõ (2.1.1) nÕu khö ϕ ⇒ ta ®−îc ph−¬ng tr×nh F1 (x, y, λ) = 0 (2.1.2) §©y l ph−¬ng tr×nh cña ®−êng kinh tuyÕn theo tham sè (λ) NÕu khö (λ) ta ®−îc ph−¬ng tr×nh: F2 (x, y, ϕ) = 0 (2.1.3) §©y l ph−¬ng tr×nh cña ®−êng vÜ tuyÕn theo tham sè (ϕ) V× bÒ mÆt Elipxoid hoÆc mÆt cÇu ®Òu l c¸c mÆt cong kh«ng tr¶i ra mÆt ph¼ng ®−îc nªn khi biÓu thÞ c¸c bÒ mÆt ®ã lªn mÆt ph¼ng trong bÊt kú phÐp chiÕu n o còng ®Òu cã biÕn d¹ng, cã ba lo¹i biÕn d¹ng ®ã l biÕn d¹ng gãc, biÕn d¹ng diÖn tÝch v biÕn d¹ng ®é d i, tõ ®ã ta cã c¸c kh¸i niÖm sau: PhÐp chiÕu ®ång gãc: l phÐp chiÕu m trªn ®ã ho n to n kh«ng cã biÕn d¹ng vÒ gãc, chØ cã biÕn d¹ng vÒ diÖn tÝch v chiÒu d i. PhÐp chiÕu ®ång diÖn tÝch: l phÐp chiÕu m trªn ®ã diÖn tÝch ho n to n kh«ng cã biÕn d¹ng, chØ cã biÕn d¹ng vÒ chiÒu d i v gãc. Trªn phÐp chiÕu n o còng cã biÕn d¹ng vÒ ®é d i, nh−ng ng−êi ta t×m ra nh÷ng phÐp chiÕu m theo mét v i h−íng n o ®ã kh«ng cã biÕn d¹ng, vÝ dô h−íng kinh tuyÕn v vÜ tuyÕn, khi ®ã ng−êi ta gäi l phÐp chiÕu ®ång kho¶ng c¸ch trªn kinh tuyÕn hoÆc vÜ tuyÕn. a. Tû lÖ chung §ã l tû sè thu nhá cña kÝch th−íc Elipxoid hoÆc mÆt cÇu Tr¸i ®Êt ®Ó biÓu thÞ lªn mÆt ph¼ng, ®ã gäi l tû lÖ b¶n ®å v ®−îc ghi râ lªn trªn b¶n ®å. Tû lÖ chung hay tû lÖ b¶n ®å kh«ng ¶nh h−ëng ®Õn biÕn d¹ng cña phÐp chiÕu. §Ó ®¬n gi¶n trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu vÒ biÕn d¹ng cña phÐp chiÕu ta gäi tû lÖ chung l 1:1 b. Tû lÖ ®é d i riªng v biÕn d¹ng ®é d i t−¬ng ®èi Tû lÖ ®é d i riªng l tû sè gi÷a mét ®o¹n v« cïng bÐ df’ trªn mÆt ph¼ng v ®é d i v« cïng bÐ df cña ®o¹n t−¬ng øng trªn mÆt Elipxoid hoÆc mÆt cÇu: df ' µ= (2.1.4) df 16
Tõ c«ng thøc trªn, nÕu µ = 1 ⇒ df’ = df, t¹i ®iÓm ®ã kh«ng cã biÕn d¹ng ®é d i, µ ≠1 c ng nhiÒu th× biÕn d¹ng ®é d i c ng lín, do vËy ng−êi ta dïng c«ng thøc sau ®©y ®Ó ®¸nh gi¸ biÕn d¹ng ®é d i t−¬ng ®èi: υµ = µ - 1 (2.1.5) υµ = (µ -1). 100% c. Tû lÖ diÖn tÝch riªng v biÕn d¹ng diÖn tÝch t−¬ng ®èi Tû lÖ diÖn tÝch riªng l tû sè gi÷a diÖn tÝch v« cïng bÐ trªn mÆt ph¼ng v diÖn tÝch v« cïng bÐ t−¬ng øng trªn mÆt Elipxoid hoÆc mÆt cÇu ®−îc thÓ hiÖn ë c«ng thøc sau ®©y: dF ' P= (2.1.6) dF BiÕn d¹ng diÖn tÝch t−¬ng ®èi: υ P = P – 1, υP = (P-1). 100% (2.1.7) d. BiÕn d¹ng gãc Gi¶ sö trªn mÆt Elipxoid hoÆc mÆt cÇu cã mét gãc u hîp bëi hai h−íng, trªn mÆt ph¼ng ®−îc biÓu thÞ th nh u’ ⇒ trÞ sè biÕn d¹ng gãc u l : ∆u = u’ - u (2.1.8) 2.2 C«ng thøc chung tÝnh tû lÖ ®é dµi Ph−¬ng tr×nh cña elipxoit tr¸i ®Êt ta ®· biÕt l : a cos ϕ cos λ  X =  1 − e 2 sin 2 ϕ   (2.2.1) a cos ϕ sin λ  Y=  1 − e 2 sin 2 ϕ   a (1 − e 2 )sin ϕ  Z= 1 − e 2 sin 2 ϕ   17
x P C’(x+dx; B’ y+dy) ϕ+dϕ ds' B C θ β ds D’ α A’ (x,y) ϕ ψ A D λ+dλ y λ ψm H×nh 2.2.1. BiÓu thÞ h×nh thang trªn mÆt elipxoit vµ trªn mÆt ph¼ng ViÖc biÓu diÔn bÒ mÆt Elipxoid tr¸i ®Êt lªn mÆt ph¼ng ®−îc x¸c ®Þnh th«ng qua c¸c h m x = f1(ϕ, λ) y = f2(ϕ, λ) §iÓm A(ϕ, λ) trªn bÒ mÆt Elipxoid sÏ t−¬ng øng víi mét ®iÓm A’(x, y) trªn mÆt ph¼ng. Gãc α t¹i ®iÓm A t¹o bëi ®−êng tiÕp tuyÕn víi ®−êng ®· cho v ®−êng kinh tuyÕn ta gäi l gãc ph−¬ng vÞ, gi¸ trÞ cña gãc ph−¬ng vÞ tÝnh tõ ®Çu b¾c cña ®−êng tiÕp tuyÕn víi kinh tuyÕn t¹i ®iÓm ®· cho vÒ phÝa ®«ng. dS ' TØ lÖ ®é d i tÝnh theo c«ng thøc sau µ = (2.2.2) dS dS’: §é d i v« cïng bÐ trªn mÆt ph¼ng cña phÐp chiÕu b¶n ®å dS: §é d i v« cïng bÐ trªn mÆt Elipxoid hoÆc mÆt cÇu ∂x ∂x ∂y ∂y (2.2.3) dS '2 = dx 2 + dy 2 = ( dϕ + dλ ) 2 + ( dϕ + dλ ) 2 ∂ϕ ∂λ ∂ϕ ∂λ dS 2 = dX 2 + dY 2 + dZ 2 ∂X ∂X ∂Y ∂Y ∂Z ∂Z dS 2 = ( dϕ + dλ)2 + ( dϕ + dλ )2 + ( dϕ + dλ )2 ∂ϕ ∂λ ∂ϕ ∂λ ∂ϕ ∂λ Qua c¸c biÕn ®æi ®¬n gi¶n ta cã c«ng thøc rót gän nh− sau: dS '2 = edϕ2 + 2fdϕ dλ + gdλ 2   2 (2.2.4) dS = Edϕ + 2Fdϕ dλ + Gdλ  2 2  18
§Æt c¸c ký hiÖu e, f, g nh− sau: 2 2  ∂x   ∂y  e =  +   ∂ϕ   ∂ϕ  ∂x ∂x ∂y ∂y f= . + . ∂ϕ ∂λ ∂ϕ ∂λ 2 2  ∂x   ∂y  g =  +   ∂λ   ∂λ  C¸c ký hiÖu E, F, G nh− sau: 2 2 2  ∂X   ∂Y   ∂ Z  E=  +  +   ∂ϕ   ∂ϕ   ∂ϕ   ∂X ∂X   ∂ Y ∂Y   ∂Z ∂Z  F= .  +  ∂ϕ . ∂λ  +  ∂ϕ . ∂λ  (2.2.5)  ∂ϕ ∂λ      2 2 2  ∂X   ∂Y   ∂Z  G =  +  +   ∂λ   ∂λ   ∂λ  Thay v o c«ng thøc tÝnh tû lÖ chiÒu d i ta cã: edϕ 2 + 2fdϕ.dλ + gdλ 2 µ2 = (2.2.6) Edϕ2 + 2Fdϕ.dλ + Gdλ 2 dϕ §em chia tö sè v mÉu sè cho dλ v ®Æt u = dλ eu 2 + 2fu + g µ2 = (2.2.7) Eu 2 + 2Fu + G Tõ c«ng thøc ( 2.2.1 ) ta tÝnh c¸c ®¹o h m riªng: ∂X ∂Y = − M sin ϕ.cos λ, = − M sin ϕ.sin λ ∂ϕ ∂ϕ ∂Z ∂X (2.2.8) = M.cos ϕ, = − N cos ϕ.sin λ ∂ϕ ∂λ ∂Y ∂Z = N cos ϕ.cos λ, =0 ∂λ ∂λ Thay v o c«ng thøc (2.2.5) v qua biÕn ®æi ®¬n gi¶n ta ®−îc: E = M2    F=0  (2.2.9) 2  G = ( N.cos ϕ ) = r2   19
L−u ý c«ng thøc (2.2.6) v gi¸ trÞ cña E, F v G võa t×m ®−îc, ta cã c«ng thøc tû lÖ chiÒu d i nh− sau: 2 edϕ 2 + 2fdϕ.dλ + gdλ 2 µ = (2.2.10) M 2 dϕ2 + r2 dλ 2 2eu 2+2fu+g µ= 22 2 (2.2.11) M u +r r.dλ (2.2.12) Ta ®· cã tg α = M.dϕ dϕ r Nªn u = = ctg α (2.2.13) dλ M Sau khi thay gi¸ trÞ cña u v o c«ng thøc (2.2.11) ta cã: 2  r  r r2 r e  ctg α  + 2f ctg α + g e 2 ctg 2 α + 2f ctg α + g µ2 =   M M 2 = M M (2.2.14)  r  r cos ec2 α 2 M 2  ctg α  + r2 M  e f g µ2 = 2 cos2 α + sin 2α + 2 sin 2 α M M.r r §Æt c¸c ký hiÖu: e f g (2.2.15) P= 2 ,Q= ,R = 2 M M.r r Ta ®−îc c«ng thøc tû lÖ chiÒu d i µ nh− sau: µ2 = Pcos2 α + Q sin 2α + R sin 2 α (2.2.16) Tõ c«ng thøc (2.2.16) ta thÊy: + NÕu α = 00 ta ®−îc tØ lÖ ®é d i theo h−íng kinh tuyÕn e (2.2.17) µ α= 0 = m = = P M + NÕu α = 900 ta ®−îc tû lÖ ®é d i theo h−íng vÜ tuyÕn g (2.2.18) µ α=90 = n = = R r NhËn xÐt: Tõ c¸c c«ng thøc trªn ta thÊy c¸c trÞ sè e, f, g, M, r ®Òu l h m cña ϕ, v gãc ph−¬ng vÞ α, nghÜa l t¹i c¸c ®iÓm kh¸c nhau, tØ lÖ ®é d i kh¸c nhau v t¹i mét ®iÓm th× theo c¸c h−íng kh¸c nhau, tØ lÖ ®é d i còng kh¸c nhau. 20
2.3.c«ng thøc tÝnh gãc ph−¬ng vÞ trªn phÐp chiÕu Trong to¸n häc gãc γ gi÷a tiÕp tuyÕn cña hai ®−êng cong S1 v S kÎ qua hai ®iÓm A1(ϕ1, λ1) v A(ϕ , λ) trªn mÆt Elipxoid cã d¹ng nh− sau: E.dϕ.dϕ1 + F ( dϕ.dλ 1+ dϕ1 .dλ ) + G.dλ.dλ 1 (2.3.1) Cosγ = ds.ds1 NÕu nhËn ®−êng S1 l kinh tuyÕn víi kinh ®é λ1kh«ng ®æi th× dλ1= 0 v γ biÕn th nh gãc ph−¬ng vÞ α , khi ®ã : E.dϕ.dϕ1 + F.dϕ1 .dλ (2.3.2) Cosα = ds.ds1 Nh−ng theo (2.2.4) th× ds = Edϕ2 + 2Fdϕ dλ + Gdλ 2 (2.3.4) ds1 = dϕ1 E E.u + F Nªn Cosα = E. Eu 2 + 2Fu + G (2.3.5) d ϕ ®Æt u = ta nhËn ®−îc d λ EG − F 2 (2.3.6) Sinα = 1 − Cos2α = 2 E . E.u + 2Fu + G EG − F 2 Tgα = (2.3.7) Eu + F §Æt H = EG − F 2 khi ®ã: (2.3.9) H Sinα = (2.3.8) E. E.u 2 + 2Fu + G H Tg α = Eu + F Trong ®ã E, EG − F2 cã dÊu d−¬ng, cßn dÊu cña Eu 2 + 2Fu + G phô thuéc v o dλ, ngo i ra E = M2, F=0, G=r2 nªn H=Mr C¸c c«ng thøc tÝnh Sinα, Cosα v Tgα nh− sau: (2.3.10) 21