Phân tích các đề về phương trình lượng giác của đề thi đại học từ năm 2003 đến 2010 các ban A.B.D

Chia sẻ: Tran Quang Nghia | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

1.302
lượt xem 362
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo - Phân tích các đề về phương trình lượng giác của đề thi đại học từ năm 2003 đến 2010 các ban A.B.D.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phân tích các đề về phương trình lượng giác của đề thi đại học từ năm 2003 đến 2010 các ban A.B.D

1 Traàn Thaønh Minh - Phan Löu Bieân – Traàn Quang Nghóa PHAÂN TÍCH CAÙC ÑEÀ Phöông trình löôïng giaùc trong ñeà thi ÑH 2003-2010 caùc ban A-B-D www.saosangsong.com.vn www.saosangsong.com.vn
2 LTĐH : Chuyên đề PT LƯỢNG GIÁC .COÂNG THÖÙC LƯỢNG GIAÙC 1 .Coâng thức cộng 2. Coâng thức nhaân ñoâi sin 2a = 2sin a.cos a cos(a ± b) = cos a.cosb ∓ sin a.sin b cos 2a = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2sin 2 a sin(a ± b) = sin a.cos b ± sin b.cos a 2 tan a tan 2a = tan a ± tan b 1 − tan 2 a tan(a ± b) = 1 ∓ tan a.tan b Coâng thức nhaân ba Coâng thöù haï baäc 1 + cos 2a 1 − cos 2a sin 3a = 3sin a − 4sin 3 a cos 2 a = ; sin 2 a = 2 2 cos 3a = 4cos a − 3cos a 3 3cos a + cos 3a 3sin a − sin 3a cos3 a = ; sin 3 a = 4 4 AÙp duïng: sin x + cos x = 2.sin(x + π / 4) sin x − cos x = 2.sin(x − π / 4) ; sin x ± 3 cos x = 2.sin(x ± π / 3) ; 3 sin x ± cos x = 2.sin(x ± π / 6) 1 1 sin4x + cos4x = 1 – 2sin2xcos2x = 1 - sin 2 2x ; sin6x + cos6x = 1 – 3sin2xcos2x = 1 - sin 2 2x 2 3 3. Coâng th ức t ính sinx ; cosx ; tanx theo t = tan(x/2) 4 .Coâng thức biến ñổi tích thaønh tổng 1 [sin(a + b) + sin(a − b)] 2t x sin a.cos b = sin x = (t = tan ) 2 1+ t 2 2 1 cos a.cos b = [ cos(a + b) + cos(a − b) ] 1− t2 cos x = 2 1+ t2 1 sin a.sin b = [ cos(a − b) − cos(a + b)] 2t tan x = 2 1− t2 5 .Coâng thức biến ñoåi toång thaønh tích a+b a −b cos a + cos b = 2 cos cos 2 2 a+b a −b cos a − cos b = −2sin sin 2 2 a+b a −b sin a + sin b = 2sin cos 2 2 a+b a −b sin a − sin b = 2 cos sin 2 2 Phương pháp: Sử dụng công thức lượng giác để thực hiện các phép biến đổ nhằm đưa phương trình về một trong các dạng sau: www.saosangsong.com.vn
3 ⎡ X = A + k 2π sin X = sin A ⇔ ⎢ ⎣ X = π − A + k 2π Dạng 1. Phöông trình löôïng giaùc cô baûn : cos X = cos A ⇔ ⎡ X = A + k 2π ⎢ X = − A + k 2π ⎣ π tan X = tan A ⇔ X = A + kπ ( A ≠ + mπ ) 2 cot X = cot A ⇔ X = A + kπ ( A ≠ mπ ) Ñaëc bieät: s in X = 0 ⇔ X = k π ; • π π + k 2π ; sin X = − 1 ⇔ X = − + k 2π sin X = 1 ⇔ X = 2 2 π + kπ ; c os X = 0 ⇔ X = • 2 cos X = 1 ⇔ X = k 2π ; cos X = − 1 ⇔ X = π + k 2π Dạng 2 . Phöông trình baäc hai ñoái vôùi moät haøm soá löôïng giaùc at2 + bt + c = 0 với t là một ẩn số phụ lượng giác như t = sinx , t = cosx (|t| ≤ 1), t = tanx . . . • Giải để tìm t . • Suy ra x Trong dạng 2 này, ta có các tiểu dạng chuẩn sau: 2.1. . acosx + bsinx = c a b a2 + b2 vaø tìm goùc α thoûa cos α = Caùch giaûi 1:Chia hai veá cho , phöông trình thaønh ; sin α = 2 2 a + b2 2 a +b c : cos(x + α ) = a + b2 2 • Neáu a + b ≥ c (điều kiện có nghiệm ): 2 2 2 c Goïi β laø goùc thoûa: cos β = , ta ñöôïc : cos(x + α ) = cos β a2 + b 2 Caùch giaûi 2 : • x = π + k.2π laø nghieäm neáu - a + c = 0 1 − t2 2t • x ≠ π + k.2π : Ñaët t = tan(x/2), theá sinx = , ta ñöôïc phöông trình baäc 2 theo t. , cos x = 1 + t2 1 + t2 Tìm t, suy ra nghieäm x. 2.2. . asin2x + bsinx cosx + ccos2x + d = 0 . Caùch giaûi : • x = π / 2 + k.π laø nghieäm neáu a + d = 0. • x ≠ π / 2 + k.π : Chia hai veá cho cos2x ≠ 0, ta ñöôïc moät phöông trình baäc hai theo t = tan x. Giaûi ñeå tìm t , suy ra x. 2.3 . asinxcosx + b(sinx ± cosx) + c = 0 • Ñaët t = sinx ± cosx = 2 sin(x ± π / 4) => |t| ≤ 2 t2 − 1 Vaø theá sinxcosx = ± , ta ñöôïc PT baäc 2 theo t. Giaûi ñeå tìm t thoûa |t| ≤ 2 . Suy ra nghieäm x. 2 www.saosangsong.com.vn
4 Dạng 3. PT löôïng giaùc daïng tích soá. • Bieán ñoåi PT veà daïng f(x). g(x) = 0 • PT f(x) = 0 hay g(x) = 0 Các ví dụ về dạng 1: D2009. GPT : 3 cos5x – 2sin3xcos2x – sinx = 0 (1) Giải (1) 3 cos5x – (sin5x + sinx) – sinx = 0 (công thức biến tích thành tổng) 3 1 cos 5 x − sin 5 x = sin x 3 cos5x – sin5x = 2sinx 2 2 π π ⎛π ⎞ cos 5 x − cos sin 5 x = sin x sin ⎜ − 5 x ⎟ = sin x : Dạng 1 sin ⎝3 ⎠ 3 3 Ghi chú: Biểu thức 3 cos5x – sin5x thuộc dạng tổng quát 3 cosa – sina . . . rất thông dụng, cần nhớ (xem công thức ở trang đầu) 3 cos3x = 2(cos4x + sin3x) (1) B2009 . GPT : sinx + cosxsin2x + Giải (sinx – 2sin3x) + cosxsin2x + (1) 3 cos3x = 2cos4x sinx(1 – 2sin2x) + cosxsin2x + 3 cos3x = 2cos4x 3 cos3x = 2cos4x (Thay 1 – 2sin2x = cos2x) (sinxcos2x + cosxsin2x) + (sin3x) + 3 cos3x = 2cos4x (công thức cộng) Lại gặp biểu thức quen thuộc: sina + 3 cosa. Giải tiếp . . . Các ví dụ về dạng 2 2(cos6 x + sin 6 x) − sin x cos x = 0 (1) A2006 . GPT: k = 0, 2, 4 ... 2n 2 − 2sin x Giải 2 / 2 (2) ĐK: sinx ≠ Thay sinx cosx = ½ . sin2x và cos6x + sin6x = 1 – 3sin2xcos2x = 1 – (¾) sin22x k = 1, 3, 5 ... 2n+1 2 2 (1) 2 – 3/2. sin 2x - ½ . sin2x = 0 3sin 2x + sin2x – 4 = 0 (Dạng bậc 2 theo t = sin2x với |t| ≤ 1) x = π/4 + kπ sin2x = 1 www.saosangsong.com.vn
5 Xét (2) : sin(π/4 + kπ) ≠ 2/2 ⎧sin π / 4 = 2 / 2 khi k = 2n ⎪ Nhận xét : sin(π/4 + kπ) = ⎨ ; do đó phương trình có nghiệm x = ⎪sin(5π / 4) = − 2 / 2 khi k = 2n + 1 ⎩ 5π/4 + 2nπ (n ∈ Z ) Ghi chú: Ta có thể giải điều kiện theo cách sau: x ≠ π/4 + n.2π hay x ≠ 3π/4 + n.2π 2 /2 sinx ≠ π/4 + kπ ≠ π/4 + n.2π và π/4 + k.π ≠ 3π/4 + n.2π Do đó (2) k ≠ 2n và k ≠ ½ + 2n k ≠ 2n vì điều kiện k ≠ ½ + 2n thỏa với mọi n, mọi k vì chúng nguyên, k = 2n + 1 . Cách giải nào tốt hơn còn tùy điều kiện và nghiệm. 2 B2003 . GPT: cotx – tanx + 4sin2x = sin 2 x Giải Chú ý cách biến đổi biểu thức cotx – tanx : cos x sin x cos 2 x − sin 2 x 2 cos 2 x − = = (= 2 cot 2 x) cotx – tanx = sin x cos x sin x cos x sin 2 x 2 cos 2 x 2 + 4sin 2 x = Phương trình thành: sin 2 x sin 2 x Đk: sin2x ≠ 0 Phương trình thành: cos2x + 2sin22x = 1 cos2x + 2(1 - cos22x) = 1 2 2cos 2x – cos2x – 1 = 0 (PT bậc 2 theo t = cos2x) cos2x = 1 hay cos2x = - ½. Nhận xét rằng cos2x = 1 => sin2x = 0 do đó giá trị này bị loại . Còn cos2x = – ½ => sin2x ≠ 0 nên nhận. 2π π + k .2π x = ± + kπ Cuối cùng ta được : 2x = ± 3 3 Nhận xét : Thêm một cách giải điều kiện bằng giá trị của hàm số liên quan Đôi khi phương trình có thể đưa về dạng bậc 3 theo một ẩn số phụ, như bài sau: GPT: cos2x + 2sin(4x/3 + π/2) = 3 Giải: 1 + cos 2 x + 2 cos(4 x / 3) = 3 Phương trình tương đương với : 2 cos2x + 4cos(4x/3) – 5 = 0 Nhận xér rằng 4x/3 = 2. (2x/3) còn 2x = 3.(2x/3), do đó thay: • cos(4x/3) = 2cos2(2x/3) – 1 (CT nhân 2) và • cos2x = 4cos3(2x/3) – 3cos(2x/3) (CT nhân 3) www.saosangsong.com.vn
6 ta được phương trình bậc 3 theo cos(2x/3): [4cos3(2x/3) – 3cos(2x/3)] + 4[2cos2(2x/3) – 1] – 5 = 0 4cos3(2x/3) + 8cos2(2x/3) – 3cos(2x/3) – 9 = 0 Đặt t = cos(2x/3); |t| ≤ 1: 4t3 + 8t2 – 3t – 9 = 0 t = 1, t = - 3/2 (loại) cos2x = 1 x = kπ. Các ví dụ về dạng 3 (dạng tích số). Sử dụng các kỹ thuật đại số phân tích ra nhân tử một biểu thức, trong đó phép đặt nhân tử chung, nhóm các số hạng, dùng các hằng đẳng thức . Các công thức sau thường được sử dụng: cos2x = cos2x – sin2x = (cosx + sinx)(cosx –sinx) • 1 + sin2x = (sinx + cosx)2 • sin2x = (1 + cosx)( - cosx) • ... B2007 GPT: 2sin22x + sin7x – 1 = sinx Giải Phương trình tương đương với – cos4x) + (sin7x – sinx) = 0 - cos4x + 2cos4xsin3x = 0 ⎡ cos 4 x = 0 cos4x(2sin3x – 1) = 0 ⎢sin 3 x = 1/ 2 . . . ⎣ D2003 GPT: sin2(x/2 - π/4).tan2x – cos2(x/2) = 0 Giải Thay : sin2(x/2 - π/4) = 1 − cos( x − π / 2) 1 − sin x sin 2 x 1 − cos 2 x 1 + cos x = ; tan 2 x = = ; cos 2 ( x / 2) = , ta được : cos x 1 − sin x 2 2 2 2 2 1 − sin x 1 − cos 2 x 1 + cos x − =0 . 1 − sin 2 x 2 2 Đk: sinx ≠ ±1 Đơn giản, khử mẫu, ta được : (1 – cos2x) – (1 + cosx)(1 + sinx) = 0 (1 + cosx)(1 – cosx – 1 – sinx) = 0 ⎡ cos x = −1 ⎡ x = (2k + 1)π (1 + cosx)(cosx + sinx) = 0 ⎢ ⎢ x = −π / 4 + kπ ⎣ 2 sin( x + π / 4) = 0 ⎣ Cả hai giá trị này đều thoả điều kiện nên là nghiệm của phương trình . www.saosangsong.com.vn
7 D10 GPT: sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0 Giải Thay sin2x = 2sinxcosx; cos2x = 1 – 2sin2x, ta được : 2sinxcosx – (1 – 2sin2x) + 3sinx – cosx – 1 = 0 cosx(2sinx – 1) + (2sin2x + 3sinx – 2) = 0 Chú ý biểu thức (2sin2x + 3sinx – 2) là tam thức bậc 2 theo sinx, tương tự như 2x2 + 3x – 2 , ta có thể phân tích chúng dễ dàng bằng bấm nghiệm của phương trình 2x2 + 3x – 2 = 0 bằng máy tính, được x1 = - 2 và x2 = ½ , như vậy (2sin2x + 3sinx – 2) = (2sinx – 1)(sinx + 2), và phương trình thành: cosx(2sinx – 1) + (2sinx – 1)(sinx + 2) = 0 ⎡sin x = 1/ 2 (2sinx – 1)(cosx + sinx + 2) = 0 ... ⎢ sin( x + π / 4) = − 2 (VN ) ⎣ THỰC TẬP Giải các phương trình sau: 1. D2008. 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx 2. D2007. (sinx/2 + cosx/2)2 + 3 cosx = 2 3.D2006. cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 4.D2005. cos4x + sin4x + cos(x - π/4)sin(3x - π/4) – 3/2 = 0 5.D2004. (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx 6. B2010. (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0 7. B2008. sin3x – 3 cos3x = sinxcos2x – 3 sin2xcosx 8. B2006. cotx + sinx(1 + tanxtan(x/2)) = 4 9. B2005. 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 10. B2004. 5sinx – 2 = 3(1 – sinx).tan2x (1 + sin x + cos 2 x) sin( x + π / 4) 1 = 11. A2010. cos x 1 + tan x 2 (1 − 2sin x) cos x =3 12. A2009. (1 + 2sin x)(1 − sin x) 1 1 = 4sin(7π / 4 − x) + 13.A2008. sin x sin( x − 3π / 2) 14. A2007. (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x 15. A2005. cos23xcos2x – cos2x = 0 www.saosangsong.com.vn
8 cos 2 x 1 + sin 2 x − sin 2 x 16. A2003 cotx – 1 = 1 + tan x 2 17. CĐ. sin 4 x − 3 cos 4 x = 3 cos 2 x + sin 2 x (4 cos x − 1) 18. cosx + 2sin2xcosx + 2 = 3 sin3x + 2(2cos22x + cos3x) . GIẢI VẮN TẮT 1. 2sinx(2cos2x) + 2sinxcosx = 1 + 2cosx 2sinxcosx(2cosx + 1) = 1 + 2cosx (2cosx + 1)(2sinxcosx – 1) = 0 . . . Thay 1 + cos2x = 2cos2x: 2sinxcosx(2cosx + 1) – (2cosx + 1) = 0 2. (1 + sinx) + 3 cosx = 2 sinx + 3 cosx = 1 sin(x + π/3) = ½ . . . 3 . Thay cos3x = 4cos3x – 3cosx, cos2x = 2cos2x – 1, ta được phương trình bậc 3 theo cosx . . . 4 . Thay cos4x + sin4x = 1 – 2sin2xcos2x = 1 – ½ .sin22x , và cos(x - π/4)sin(3x - π/4) = ½ [sin(4x - π/2) + sin(2x)] (CT sinacosb = ½ [sin(a+b) + sin(a – b)]) = ½ [- cos4x + sin2x] Ta được : 1 – ½ .sin22x + ½ [- cos4x + sin2x] = 0 Sau đó thay cos4x = 1 – 2sin22x, ta được phương trình bậc 2 theo sin2x . . . 5. Biến đổi vế phải thành 2sinxcosx – sinx = sinx(2cosx – 1) Ta đưa phương trình về dạng tích : (2cosx – 1)(2sinx + cosx – sinx ) = 0 . . . . 6 . Khai triển : sin2xcosx + cos2xcosx + 2cos2x – sinx = 0 sinx(2cos2x – 1) + cos2xcosx + 2cos2x = 0 sinxcos2x + cos2xcosx + 2cos2x = 0 cos2x(sinx + cosx + 2) = 0 7 . (sin3x – sinxcos2x) – ( 3 cos3x - 3 sin2xcosx) = 0 sinx(sin2x – cos2x) – 3 cosx(cos2x – sin2x) = 0 (cos2x – sin2x) ( 3 cosx – sinx ) = 0 cos2x. ( 3 cosx – sinx ) = 0 . . . www.saosangsong.com.vn
9 8 . Biến đổi: 1 + tanxtan(x/2) = 1 = sin x.sin( x / 2) cos x.cos( x / 2) + sin x sin( x / 2) cos x 1+ = = cos x.cos( x / 2) cos x.cos( x / 2) cos x.cos( x / 2) cos x cos( x / 2) + sin x. Phương trình tương đương với =2 sin x cos x.cos( x / 2) Đk: sinx.cosx ≠ 0 cos x sin x cos2x + sin2x = 4sinxcosx + =4 sin x cos x x = π/12 + kπ hay x = 5π/12 + kπ (thỏa điều kiện ) sin2x = ½ 9 . (1 + cos2x) + (sinx + cosx) + sin2x = 0 2cos2x + (sinx + cosx) + (2sinxcosx) = 0 (2cos2x + cosx) + (sinx + 2sinxcosx) = 0 cosx(2cosx + 1) + sinx(1 + 2cosx) = 0 (2cos + 1)(cosx + sinx) = 0 sin 2 x 10 . 5sin x − 2 = 3(1 − sin x) 1 − sin 2 x sin 2 x 5sin x − 2 = 3 : phương trình bậc 2 theo sinx với sinx ≠ ±1 1 + sin x (1 + sin x + cos 2 x)( 2 / 2)(sin x + cos x) 1 11 . = cos x cos x + sin x 2 cos x Đk : cosx ≠ 0 và sinx + cosx ≠ 0 2sin2x – sinx – 1 = 0 Đơn giản, qui đồng: 1 + sinx + cos2x = 1 ⎡sin x = 1 => cos x = 0 (loai) ⎢sin x = −1/ 2(nhan) ⎣ 12 . Đk: sinx ≠ - ½; 1 (1 – 2sinx)cosx = 3 (1 + 2sinx)(1 – sinx) cos x − 2 sin x cos x = 3(1 + sin x − 2 sin 2 x ) cosx – sin2x = 3 cos2x + 3 sinx cosx – 3 sinx = 3 cos2x + sin2x 2.cos(x + π/3) = 2. cos(2x - π/6) ) (dạng 1) www.saosangsong.com.vn
10 2 13 . Thay sin(x - 3π/2) = sin(x + π/2) = cosx và sin(7π/4 – x) = sin(- x - π/4) = − .(sin x + cos x) , 2 phương trình thành : 1 1 + = 2 2.(sin x + cos x) sin x cos x (sinx + cosx)(1 – 2 2 sinxcosx) = 0 Đk : sinxcosx ≠ 0 ⎡sin( x + π / 4) = 0 ⎢ (thỏa điều kiện) ⎢sin 2 x = 2 ⎢ ⎣ 2 14 . Khai triển và nhóm : (cosx + sinx) + sinxcosx(sinx + cosx) = (sinx + cosx)2 (sinx + cosx)( 1 + sinxcosx – sinx – cosx) = 0 (sinx + cosx)(1 – sinx)(1 – cosx) = 0 (dạng 3) 15 . (1 + cos6x)cos2x – (1 + cos2x) = 0 (CT hạ bậc) cos6xcos2x – 1 = 0 cos8x + cos4x – 2 = 0 (CT biến tích thành tổng) 2cos24x + cos4x – 3 = 0 (PT bậc 2 theo cos4x) cos 2 x − sin 2 x cos x 16 . −1 = + sin 2 x − sin x cos x sin x sin x 1+ cos x cos x − sin x cos x − sin 2 x 2 = .cos x + sin x(sin x − cos x) cos x + sin x sin x Đk: sinx ≠ 0 và cosx + sinx ≠ 0 PT thành cosx – sinx = (cosx – sinx) cosxsinx + sin2x(sinx – cosx) (cosx – sinx)(1 – cosxsinx + sin2x) = 0 ⎡cos x − sin x = 0 (1) ⎢ ⎣1 − cos x sin x + sin x = 0 (2) 2 x = π/4 + kπ (thỏa điều kiện) (1) 1 – ½ sin2x + sin2x = 0 . Vì vế trái luôn dương do (sin2x ≤ 1 )nên (2) VN. (2) Hoặc nhận ra đây là phương trình dạng 2.2.: asin2x + bsinx cosx + ccos2x + d = 0 : chia hai vế cho cos2x , ta được : (1 + tan2x) – tanx + tan2x = 0 2tan2x – tanx + 1 = 0 (VN) 17 . Khai triển và nhóm lại: (sin4x + sin2x) – 3 (cos4x + cos2x) = 4sin2xcosx 2sin3xcosx – 2 3 cos3x.cosx = 4sin2xcosx (CT biến tổng thành tích) 2cosx(sin3x – 3 cos3x – 2sin2x) = 0 www.saosangsong.com.vn
11 ⎡cos x = 0 (1) ⎢ ⎣sin 3 x − 3 cos 3 x = 2sin 2 x (2) x = π/2 + kπ (1) Sin(3x - π/3) = sin2x . . . (2) 18 Khai triển và nhóm lại : cosx + 2sin2xcosx + 2 = 3 sin3x + 2(2cos22x + cos3x) 2 - 4cos22x = 3 sin3x + cosx(2cos2x - 1) – (2sinxcosx)sinx 2(- cos4x) = 3 sin3x + cosx(cos2x) – (sin2x)sinx 3 1 cos(4x + π) = sin 3 x + cos 3 x 2 2 cos(4x + π) = cos(3x - π/3) . . . www.saosangsong.com.vn