Phân tích ứng suất_chương 2

Chia sẻ: Nguyễn Thị Giỏi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

253
lượt xem 92
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

2.1. KHÁI NIỆM VỀ MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC: Vật chất được cấu tạo bởi các phần tử tự nhiên được gọi là môi trường liên tục, nếu trong đó ta chỉ xét vật chất ở trạng thái vĩ mô, bỏ qua các cấu trúc vi mô, bằng cách giả định vật chất là liên tục và chiếm hoàn toàn thể tích của nó. 2.1.1. Sự đồng chất, đẳng hướng - Khối lượng riêng: Sự đồng chất của môi trường nghĩa là trong môi trường đó mọi điểm đều có tính chất giống nhau....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phân tích ứng suất_chương 2

Cơ học môi trường liên tục 35 GVC Trần Minh Thuận Chương 2. PHÂN TÍCH ỨNG SUẤT 2.1. KHÁI NIỆM VỀ MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC: Vật chất được cấu tạo bởi các phần tử tự nhiên được gọi là môi trường liên tục, nếu trong đó ta chỉ xét vật chất ở trạng thái vĩ mô, bỏ qua các cấu trúc vi mô, bằng cách giả định vật chất là liên tục và chiếm hoàn toàn thể tích của nó. 2.1.1. Sự đồng chất, đẳng hướng - Khối lượng riêng: Sự đồng chất của môi trường nghĩa là trong môi trường đó mọi điểm đều có tính chất giống nhau. Môi trường là đẳng hướng nếu tại một điểm bất kỳ của môi trường nó đều có tính chất giống nhau theo mọi hướng. Ngược lại ta sẽ có môi trường bất đẳng hướng. Khối lượng riêng: là tỉ số giữa khối lượng ∆M và thể tích ∆V của vùng bao quanh 1 điểm P trong môi trường liên tục. Khối lượng riêng bình quân là: X3 ∆V ∆M ρ (bq ) = [2.1] ∆V P Khối lượng riêng tại 1 điểm P của thể tích phân tố ∆V cho bởi: kˆ ∆M dM V ρ = lim = [2.2] ∆V →0 ∆V dV X2 ρ là đại lượng vô hướng. ˆ i ˆ j 2.1.2. Lực Khối - Lực mặt: Lực là đại lượng véc tơ biểu diển X1 cho sự đẩy và kéo. Lực khối: Là lực tác dụng lên mỗi Hình 1. Thể tích phân tố ∆V trong MTLT V. phần tử trong 1 thể tích của môi trường liên tục, thí dụ như lực trọng trường (trọng lượng bản thân(, lực quán tính, v.v.. Ký hiệu bi là lực trên đơn vị khối lượng (như gia tốc) và pi là lực trên đơn vị thể tích (như trọng lượng riêng). Ta có quan hệ: ρbi = pi [2.3] Lực mặt: là lực tác dụng lên bề mặt của phần tử hay mặt bao của 1 thể tích bất kỳ trong MTLT, thí dụ lực tiếp xúc giữa 2 vật là lực mặt (như lực ma sát, lực gió). Ký hiệu fi , là lực trên đơn vị diện tích. Nói chung lực mặt và lực khối là các ngoại lực tác dụng lên MTLT, các ngoại lực này sẽ tạo ra sự tương tác giữa các phần tử với nhau bằng những nội lực. Để xác định nội lực, người ta dùng phương pháp mặt cắt, tức là tưởng tượng cắt môi trường bằng một mặt nào đấy thành những bộ phận ở hai bên mặt cắt. Khi đó nội lực tác dụng giữa các bộ phận với nhau thông qua mặt cắt được coi là lực mặt.
Cơ học môi trường liên tục 36 GVC Trần Minh Thuận 2.2. NGUYÊN LÝ ỨNG SUẤT CÔ SI (CAUCHY)_ VÉC TƠ ỨNG SUẤT: Xét MTLT chịu tác dụng của các ngoại lực là lực mặt f i và lực khối bi . Kết quả là tại 1 thể tích nhỏ V bao bởi mặt S sẽ tương tác với môi trường xung quanh bằng các nội lực được phân phối do các ngoại lực. Chọn một mặt phân tố ∆S của S có ni là pháp tuyến đơn vị đi qua điểm P. Gọi ∆ f i và ∆ M i là lực tổng và mô men tổng của nội lực tác dụng lên ∆S tại điểm P. Nội lực trung bình trên đơn vị diện tích ∆S là: ∆f i ∆S x3 t i(n ) ˆ ∆Mi ∆fi ∆M i fi ni ni P ∆S dS bi P V S S x2 x1 a/ b/ Hình 2. a/ Các lực tác dụng lên MTLT. b/. Véc tơ ứng suất. ∆f i Nguyên lý ứng suất Cô si: Tỉ sôú sẽ tiến tới giới hạn df i khi ∆S tiến về zero (tại ∆S dS điểm P). Trong khi đó mô men của ∆ f i đối với P sẽ triệt tiêu trong quá trình giới hạn. Nếu mô men ∆ M i tại điểm P không triệt tiêu trong khi lấy giới hạn thì sẽ tạo nên véc tơ ứng suất kép (gọi là mô men nội lực). Ta gọi df i là véc tơ ứng suất (nội lực trên đơn vị diện tích). dS ∆fi t i = lim ˆ (n) = df i [2.4] ∆S →0 ∆S dS Ký hiệu trên đây để nhấn mạnh rằng tại một điểm P giá trị ứng suất tùy thuộc vào mặt phân tố ∆S có hướng là pháp tuyến đơn vị ni , khi ni thay đổi (do ∆S thay đổi) thì (ˆ ) t i e i cũng thay đổi. Theo định luật Newton ta có: ˆ ˆ - t (in) = t (-n) i [2.5] Véc tơ ứng suất còn gọi là véc tơ kéo.
Cơ học môi trường liên tục 37 GVC Trần Minh Thuận 2.3. TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT _ TEN XƠ ỨNG SUẤT: t (j e1 ) ˆ x3 x3 x3 t (j e3 ) ˆ ) e3 t (j e2 ) ˆ ) P e1 x2 P ) x2 P e2 x2 x1 x1 x1 x3 x3 t (e3 ) ˆ ˆ e3 j σ33 σ32 t (e2 ) ˆ j σ31 σ23 ˆ e2 σ13 σ22 ˆ e1 σ11 σ21 x2 σ12 x2 x1 x1 t (e1 ) ˆ j a b Hình 3. a/. Véc tơ ứng suất trên 3 mặt tọa độ. b/. Ten xơ ứng suất 2.3.1. Trạng thái ứng suất tại 1 điểm: Trong hệ tọa độ vuông góc Descartes, trạng thái ứng suất tại 1 điểm P được xác định bởi các cặp véc tơ t (i e i ) và ei trên 3 mặt phẳng tọa ˆ ˆ độ đi qua điểm P đó. Để đơn giản 3 hình vẽ trên được thu lại trên cùng 1 hình vẽ (h.3b) Trên mọi mặt phẳng của 3 mặt tọa độ, véc tơ ứng suất được viết theo các thành phần Descartes là: r( e1 ) ( e ) ˆ (e ) (e ) (e ) t = t1 1 e1 + t 2 1 e2 + t 3 1 e3 = t j 1 e j ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r( e 2 ) ( e 2 ) ˆ t = t1 ˆ e1 + t (2e2 ) e2 + t (3e2 ) e3 = t (j e2 ) e j ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [2.6] r( e 3 ) ( e 3 ) ˆ t = t1 ˆ e1 + t (2e3 ) e2 + t (3e3 ) e3 = t (j e3 ) e j ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Hay: r(e i ) $ $ t $ = t (e i ) e j j [2.7] Chín thành phần trên đây của ten xơ ứng suất là các thành phần của ten xơ Descartes hạng 2. Còn gọi là ten xơ ứng suất: t j ei ≡ σ ij (ˆ ) [2.8] Biểu diễn dưới ký hiệu ma trận :
Cơ học môi trường liên tục 38 GVC Trần Minh Thuận σ11 σ12 σ13 σ11 σ12 σ13 ∑ = σ 21 σ 22 σ 23 hay [ σ ij ] = σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 σ 31 σ 32 σ 33 Các thành phần ( σ11 ,σ 22 ,σ 33 ) vuông góc với 3 mặt tọa độ, được gọi là ứng suất pháp tuyến, và các thành phần còn lại ( σ 12 ,σ 21 ,σ13 ,σ 31 ,σ 23 ,σ 32 ) là tiếp tuyến của các mặt tọa độ nên còn gọi là ứng suất tiếp. Các ứng suất vẽ trên hình 3 đều có giá trị dương. 2.3.2. Quan hệ giữa véc tơ ứng suất và ten xơ ứng suất: X3 Quan hệ giữa ten xơ ứng suất σ ij tại điểm P và véc tơ − t i* (e1 ) ˆ C ứng suất t (i e i ) trên 1 mặt ˆ phẳng có hướng bất kỳ qua ˆ n điểm P đó, được thiết lập bởi − t i* (e2 ) t i* (n ) ˆ ˆ cân bằng lực hoặc cân bằng * bi động lượng cho khối tứ diện P nhỏ trong môi trường liên tục X2 B có đỉnh vuông góc là P. Đặt diện tích ABC = dS có n ˆ là véc tơ pháp tuyến đơn vị, − t i* (e3 ) ˆ và diện tích các mặt bên là X1 A hình chiếu của diện tích ABC, tức là: Hình 4. Quan hệ giữa véctơ ứng suất và tenxơ ứng suất. dtCPB = dS1 = dS cos (n , e1 ) = dS n.e1 = dS n1 ˆ ˆ ˆ ˆ dtACP = dS2 = dS cos (n , e2 ) = dS n.e2 = dS n2 ˆ ˆ ˆ ˆ [2.10a] dtABP = dS3 = dS cos (n , e3 ) = dS n.e3 = dS n 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ⇒ dSi = dS cos (n , ei ) = dS n.ei = dS ni ˆ ˆ ˆ ˆ [2.10b] trong đó ni là thành phần Descartes của pháp tuyến đơn vị n . ˆ Ta có cân bằng lực tác dụng lên tứ diện theo phương trình: t i dS - t i e1 dS1 - t i e2 dS 2 - t i e3 dS 3 + ρ bi dV = 0 ˆ * (n) *( ˆ ) *( ˆ ) *( ˆ ) * [2.11] ˆ trong đó t *i (n) là véc tơ kéo (căng) trung bình tác dụng lên mặt đáy ABC, t *i ( e j ) là các véc tơ ˆ kéo trung bình lên các mặt bên, b*i là véc tơ lực khối trung bình tác dụng lên thể tích dV. Nếu các cạnh của tứ diện giảm nhỏ dần theo cùng 1 tỉ lệ, thì số hạng lực khối sẽ tiến về zero trước (vì thứ nguyên là bậc 3 của chiều dài) hơn so với các lực mặt. Suy ra:
Cơ học môi trường liên tục 39 GVC Trần Minh Thuận ˆ (n) (ˆ ) (ˆ ) (ˆ ) (ˆ ) t i dS = t i e1 dS1 + t i e2 dS 2 + t i e3 dS 3 = t i e j n j dS [2.13] hay: ˆ (n) (ˆ ) t i dS = t i e j n j dS [2.14] đơn giản dS : ˆ (n) (ˆ ) t i = t i e j n j = σ ji n j [2.15] ta có thể viết: σ11 σ12 σ13 [ t , t , t ] = [ n1 , n 2 , n3 ] σ 21 σ 22 σ 23 1 ˆ (n) ˆ (n) 2 ˆ (n) 3 [2.16] σ 31 σ 32 σ 33 hoặc: (ˆ ) t1n1 = n1 σ11 + n2 σ 21 + n3 σ 31 ˆ (n) t 2 = n1 σ12 + n2 σ 22 + n3 σ 32 [2.17] ˆ (n) t 3 = n1 σ13 + n2 σ 23 + n3 σ 33 2.4. PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG VÀ MÔ MEN_TEN XƠ ỨNG SUẤT ĐỐI XỨNG: 2.4.1. Phương trình cân bằng: Cho 1 thể tích bất kỳ V chịu tác dụng của hệ thống lực mặt t (i e i ) và lực khối bi , cần có tổng hợp lực và mô men tác dụng lên thể tích phải bằng ˆ không. ∫ t i dS + ∫ ρ bi dV = 0 ˆ (n) [2.18] s v thay thế t $ (n) i = σ ji n j và ứng dụng định lý Divergent của Gauss ta được: r ∫ ( σ ji , j + ρ bi ) dV = 0 hay ∫ ( ∆.Σ + ρb ) dV = 0 v v [2.19] Vì thể tích V được chọn tùy ý: r σ ji , j + ρ bi = 0 hay ∆.Σ + ρb = 0 [2.20] 2.4.2. Ten xơ ứng suất đối xứng: Nếu không kể các mô men phân phối hay ứng suất kép thì phương trình cân bằng mô men của lực quanh điểm gốc sẽ là: r r(n) r ∫ x × t dS+ ∫ x × ρ bk dV = 0 ˆ [2.21a] S V hay: ∫ε x j t k dS + ∫ ε ijk x j ρ bk dV = 0 ˆ (n) ijk [2.21b] s v ˆ thay t (kn) = σ pk n p vào [2.21b] ta được: ∫ε s ijk x j σ pk n p dS + ∫ ε ijk x j ρbk dv = 0 v
Cơ học môi trường liên tục 40 GVC Trần Minh Thuận ∫ε (x v ijk j,p σ pk + x j σ pk,p + x j ρ bk )dV = 0 ∫ε { x v ijk j,p σ pk + x j ( σ pk,p + ρ bk )}dV = 0 ∫ε v ijk x j, p σ pk dV = 0 vì ta có : x j,p = δ jp ; δ jp σ pk = σ jk vậy: ∫ε v ijk σ jk dV = 0 [2.21c] Với thể tích V bất kỳ ta có: εijk σ jk = 0 [2.22] Khai triển ta được: σ 12 = σ 21 ; σ 13 = σ 31 ; σ 23 = σ 32 . Có nghĩa là ten xơ ứng suất luôn luôn đối xứng: σ ij = σ ji [2.23] Vậy phương trình cân bằng có thể viết theo: σ ij, j + ρ bi = 0 [2.24] Khai triển ta được: ∂ σ11 ∂ σ12 ∂ σ13 + + + ρ b1 = 0 ∂ x1 ∂ x 2 ∂ x 3 ∂ σ 21 ∂ σ 22 ∂ σ 23 + + + ρ b2 = 0 [2.25] ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 ∂ σ 31 ∂ σ 32 ∂ σ 33 + + + ρ b3 = 0 ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 2.5. ỨNG SUẤT CHÍNH _ BẤT BIẾN ỨNG SUẤT: Tại 1 điểm P trạng thái x3 (n ) ứng suất được xác định ni t = σni i ˆ bởi các thành phần ten xơ ứng suất, σ ij . ˆ P Phương trình t (in) = σ ji n j dS liên kết với mỗi hướng ni một véc tơ ứng suất x2 ˆ (n) ˆ (n) t i , trong đó nếu t i và x1 ni song song với nhau ta gọi đó là phương ứng (n ) ˆ Hình 5. Ứng suất chính t i , giá trị chính σ và phương chính ni . suất chính.
Cơ học môi trường liên tục 41 GVC Trần Minh Thuận r(n) ˆ t i = σ ni t = σn ˆ ˆ (n) hay [2.26] σ được gọi là giá trị ứng suất chính. Mặt khác ta có: t i = σ ni = σ δ ij n j ˆ (n) [2.27] ˆ (n) thay [2.27] vào t i = σ ji n j = σ ij n j ta được: ( σ ij - σ δ ij ) n j = 0 hay ( Σ - σI).n = 0 ˆ [2.28] Trong 3 phương trình trên có 4 ẩn số, đó là 3 ẩn ni (là cosin của góc hợp bởi n và cácˆ hệ trục) và σ. Ngoài nghiệm tầm thường của phương trình là n j = 0 , nghiệm tổng quát của phương trình đạt được với điều kiện định thức của | σ ij - δ ij σ | = 0 , tức là: ( σ11 - σ ) σ12 σ13 σ 21 ( σ 22 - σ ) σ 23 =0 [2.29] σ 31 σ 32 ( σ 33 - σ ) Khai triển định thức ta được: σ - I Σ σ + II Σ σ - III Σ = 0 3 2 [2.30] trong đó: I ∑ = σ ii II Σ = 1 ( σ ii σ jj - σ ij σ ij ) 2 [2.31] III Σ = | σ ij | = det Σ là các bất biến ứng suất thứ nhất, thứ hai và thứ ba. Phương trình bậc ba trên đây có 3 nghiệm σ (1) , σ (2) , σ (3) là 3 giá trị ứng suất chính. Mỗi nghiệm σ (k) sẽ liên kết với 1 hướng có cosin n(k) là nghiệm của phương trình sau đây: i (k) ( σ ij - σ (k) δ ij ) n j = 0 [2.32] Khai triển phương trình trên cho phương chính thứ 2 ta được: [2.33] ( σ11 - σ (2) ) n1 + (2) σ12 n(2) + 2 σ13 n(2) = 0 3 σ 21 n1 + ( σ 22 - σ (2) ) n(2) + (2) 2 σ 23 n(2) = 0 3 σ 31 n1 + (2) σ 32 n(2) + ( σ 33 - σ (2) ) n(2) = 0 2 3 Khi chọn hệ trục tọa độ trùng với các phương ứng suất chính, thi ma trận biểu diễn ten xơ ứng suất [ σ ij ] có dạng đường chéo: σ (1) 0 0 σ (I) 0 0 [ σ ij ] = 0 σ ( 2 ) 0 hay [ σ ij ] = 0 σ (II) 0 [2.34] 0 0 σ( 3 ) 0 0 σ (III) Ở đây ta chọn theo thứ tự: σ I > σ II > σ III .
Cơ học môi trường liên tục 42 GVC Trần Minh Thuận _ Không gian ứng suất chính: là không gian có các hệ trục tọa độ là các phương ứng suất ˆ chính. Một véc tơ ứng suất t (in) bất kỳ có các thành phần như sau: ˆ (n) ˆ (n) ˆ (n) σ(3) t1 = σ (1) n1 , t 2 = σ (2) n2 , t 3 = σ (3) n3 [2.35a] và với quan hệ (n1 ) + (n2 ) + (n3 ) = 1 của véc 2 2 2 t i(n ) ˆ t 3n ) (ˆ ˆ tơ pháp tuyến đơn vị ni , véc tơ ứng suất t (in) ni phải thỏa : P (t ( ) ) 1 ˆ n 2 + (t ( ) ) 2 nˆ 2 + (t ( ) ) 3 nˆ 2 =1 [2.35b] t 2n ) (ˆ σ(2) (σ ( ) ) (σ ( ) ) (σ ( ) ) 1 2 2 2 3 2 σ(1) t1(n ) ˆ Hình 6a. Không gian ứng suất chính. Đây là phương trình biểu diễn mặt ellipsoid có các bán trục là giá trị của các ứng suất chính, còn được gọi là ellipsoid ứng suất Lamé. Mặt ellipsoid là quỹ tích mũi véc σ(3) t 2n ) (ˆ tơ ứng suất của các mặt tại 1 điểm, nên t i(n ) ˆ ni còn được gọi là mặt ứng suất Navier. σ(2) P 2.6. ỨNG SUẤT PHÁP TUYẾN VÀ σ(1) t1(n ) ˆ ỨNG SUẤT TIẾP TUYẾN: t 3n ) ( ˆ Trị số ứng suất pháp tuyến của véc tơ Hình 6b. Mặt ellipsoid ứng suất Lamê ˆ (n) ứng suất t i tại điểm P trên 1 mặt dS ˆ có ni là pháp tuyến đơn vị là hình chiếu của t (in) lên phương của ni , ký hiệu bởi: ˆ σ N = t (in) ni = σ ij ni n j [2.36] suy ra: 2 2 2 σ N = σ I ( n1 ) + σ II ( n2 ) + σ III ( n3 ) [2.37] x3 t i(n ) ˆ Trị số ứng suất tiếp của véc tơ ứng suất ˆ (n) σIII σS t i là hình chiếu lên phương tiếp tuyến σN của mặt dS tại điểm P. P ni 2 ˆ ˆ (n) (n) 2 (σs ) = t t - (σN ) i i [2.38] suy ra: x2 dS σII σI x1 Hình 7. Trị số ứng suất pháp và tiếp tuyến
Cơ học môi trường liên tục 43 GVC Trần Minh Thuận 2 ( σ s )2 = ( σ I n1 )2 + ( σ II n2 )2 + ( σ III n3 )2 − { σ I ( n1 )2 + σ II ( n2 )2 + σ III ( n3 )2 } [2.39] 2.7. VÒNG TRÒN MOHR ỨNG SUẤT: Trạng thái ứng suất 3 phương tại 1 điểm được biểu diễn bởi các vòng tròn trên sơ đồ 2 phương được gọi là vòng tròn ứng suất Mohr. Theo qui ước σ I > σ II > σ III , và ta có: 2 2 2 σ N = σ I ( n1 ) + σ II ( n2 ) + σ III ( n3 ) [2.40] 2 2 2 2 2 2 2 2 ( σ N ) + ( σ s ) = ( σ I ) ( n1 ) + ( σ II ) ( n2 ) + ( σ III ) ( n3 ) [2.41] ( n1 )2 + ( n2 )2 + ( n3 )2 = 1 [2.42] σIII Kết hợp 3 phương trình trên để giải ra các nghiệm cosin chỉ phương ni : (n ) ˆ ti ( σ - σ )( σ N - σ III ) + ( σ s )2 ( n1 )2 = N II [2.43] σS ( σ I - σ II )( σ I - σ III ) σN ( σ - σ )( σ N - σ I ) + ( σ s )2 ( n2 )2 = N III [2.44] P ( σ II - σ III )( σ II - σ I ) ni σII 2 ( σ N - σ I )( σ N - σ II ) + ( σ s )2 ( n3 ) = [2.45] σI dS ( σ III - σ I )( σ III - σ II ) Hình 8. Ứng suất pháp tuyến và tiếp tuyến Các phương trình trên đây là phương trong không gian ứng suất chính. trình cơ bản cho vòng tròn ứng suất Mohr được vẽ trên mặt phẳng ứng suất có σ N là trục hoành và σ S là trục tung. Từ phương trình [2.43] ta có: σ I - σ II > 0 , σ I - σ III > 0 . Vậy tử số ( σ N - σ II )( σ N - σ III ) + ( σ s )2 ≥ 0 . Suy ra: 2 2  ( σ II + σ III )  2 σ II − σ III  σ N -  + (σs ) ≥   [2.46]  2   2  Cho thấy các điểm ứng suất trên mặt phẳng ( σ N , σ S ) phải nằm trên hoặc ngoài vòng tròn σ II − σ III C1 , bán kính R1 = . 2
Cơ học môi trường liên tục 44 GVC Trần Minh Thuận σS C2 σ I − σ III 2 σ II − σ III σ I −σ II 2 2 σIII σII C3 σI σN C1 Hình 9a. Vòng tròn Mohr ứng suất. Tương tự, trong phương trình [2.44] vì σ II - σ III > 0 , σ II - σ I < 0 do đó tử số ( σ N - σ III )( σ N - σ I ) + ( σ s )2 ≤ 0 . Đưa đến các điểm ứng suất sẽ nằm trên hoặc trong vòng σ − σ III tròn C 2 , bán kính R 2 = I . 2 2 2  ( σ III + σ I )  σ III − σ I   + (σs ) ≤  2 σ N -  [2.47]  2   2  Tương tự, phương trình [2.45] vì σ III - σ I < 0 , σ III - σ II < 0 do đó tử số : ( σ N - σ I )( σ N - σ II ) + ( σ s )2 ≥ 0 . 2 2  ( σ I + σ II )  σ I − σ II   + (σs ) ≥  2 Suy ra: σ N -  [2.48]  2   2  Nên các điểm ứng suất phải nằm ngoài hoặc trên vòng tròn C 3 , bán kính là σ I − σ II R3 = . 2 Tóm lại mỗi điểm ứng suất, biểu diễn bởi cặp giá trị ( σ N , σ S ), đặc trưng cho 1 véc tơ ứng ˆ suất riêng t (in) , trạng thái ứng suất tại P biểu diễn bởi các phương trình [2.43], [2.44], [2.45] được giới hạn trong vùng gạch đậm của các vòng tròn Mohr. ( σ I − σ III ) Trị số ứng suất tiếp tối đa được xác định trên vòng tròn Mohr là và tối thiểu là 2 zero.
Cơ học môi trường liên tục 45 GVC Trần Minh Thuận 2.8. QUAN HỆ GIỮA VÒNG TRÒN MOHR ỨNG SUẤT VÀ TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT TẠI 1 ĐIỂM: Hình 9b biểu diễn 1/8 hình cầu của môi trường có tâm là điểm P và các mặt cắt qua tâm là các mặt phẳng tọa độ do các trục chính tạo thành. Pháp tuyến ni tại 1 điểm Q bất kỳ trên mặt cầu ABC mô phỏng cho mặt phân tố dS tại điểm P. Do tính đối xứng của ten xơ ứng suất, trạng thái σIII x3 ứng suất tại điểm P hòan toàn xác định bởi toàn thể θ các điểm Q định vị trên θ G C mặt cầu ABC đó. Các cung tròn KD, GE và FH biểu thị ni K cho những điểm Q mà dọc H F β theo đó cosin chỉ phương ni có giá trị không đổi. Q Chẳng hạn: φ B σII n1 = cosφ trên KD, dS P n2 = cosβ trên GE, D β x2 E n3 = cosθ trên FH, A và trên các cung tròn biên BC, CA, AB, φ n1 = cos π/2 = 0 trên BC, x1 n2 = cos π/2 = 0 trên CA, σI n3 = cos π/2 = 0 trên AB [*] Hình 9b. Dựa vào giá trị n1 của [*] và [2.43] các véc tơ ứng suất tại Q định vị trên BC sẽ có các thành phần cho bởi các điểm ứng suất nằm trên vòng tròn C1 của hình 9a. Tương tự, cung tròn CA trong hình 9b tương ứng với vòng tròn C2 , và AB tương ứng với C3 trong hình 9a. Các thành phần véctơ ứng suất σN và σS đối với các điểm Q bất kỳ có thể được xác định bởi hình 9c. Do đó điểm e có thể được định vị trên C3 bằng cách vẽ 1 bán kính từ tâm O3 theo 1 góc = 2β hợp với đoạn O3 σII (chú ý các góc thực được vẽ trong không gian vật lý sẽ được nhân đôi trong không gian ứng suất Mohr, vì chẳng hạn cung AB trương 1 góc 90o trong hình 9b, trong khi đó hình 9c trục σI và σII hợp với nhau một góc 180o trương nửa cung tròn C3 ).
Cơ học môi trường liên tục 46 GVC Trần Minh Thuận Tương tự các điểm g, h và f cũng được định vị trong hình 9c. Giao điểm của cung tròn ge và hf biểu diễn cho các thành phân σN và σS của véctơ ứng suất t (in) trên mặt có ˆ phương pháp tuyến là ni tại Q trong hình 9b. σS f C2 q g h e 2β 2θ 2θ 2β σIII O1 O2 σII C3 O3 σI σN C1 Hình 9c. 2.9. ỨNG SUẤT PHẲNG: Trường hợp có 1 và chi 1 ứng suất chính là zero thi trạng thái ứng suất phẳng sẽ xảy ra. Trường hợp này xảy ra tại điểm không chất tải nằm trên mặt tự do bao 1 vật thể. Nếu các giá trị ứng suất chính theo thứ tự đã sắp, vòng tròn Mohr sẽ có 1 trong 3 dạng trong hình10. σS σS σS σIII σII σI σIII σII σI σIII σII σI σN σN σN σIII= 0 σII = 0 σI = 0 Hình 10.
Cơ học môi trường liên tục 47 GVC Trần Minh Thuận Nếu ứng suất chính không sắp theo thứ tự và nếu hướng của ứng suất chính bằng zero được chọn là trục x1 thi trạng thái ứng suất phẳng x2 sẽ song song với mặt phẳng x1 x 2 . Ma trận ứng σ2 σ2 suất có dạng: σ11 σ12 0 σ2 [ σ ij ] = σ 21 σ 22 0 [2.49] x1 0 0 0 σ1 x3 Thường nếu ta chọn chỉ vẽ 1 vòng tròn đơn nằm phia bên trong của vòng tròn lớn, thì có thể đủ diễn ta các điểm ứng suất cho tất cả các mặt Hình 11. Trạng thái ứng suất phẳng phẳng tại điểm P chứa trục ứng suất chính zero với ứng suất chính = 0 theo phương này. Vòng tròn ứng suất đơn Mohr có dạng của x3 phương trình: 2 2  ( σ 11 + σ 22 )   σ 11 − σ 22  σ N -  + (σs ) =   + ( σ12 )2 2   [2.50]  2   2  σS E A σ12 σ22 σII σI σN C σ11 σ21 B D Hình 12. Vòng tròn Mohr ứng suất đơn.