Phát triển 16 dạng toán trọng tâm đề tham khảo TN THPT 2023 môn Toán

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:545

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới, các bạn học sinh có thể sử dụng tài liệu “Phát triển 16 dạng toán trọng tâm đề tham khảo TN THPT 2023 môn Toán” sau đây làm tư liệu tham khảo giúp rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải đề thi, nâng cao kiến thức cho bản thân để tự tin hơn khi bước vào kì thi chính thức. Mời các bạn cùng tham khảo đề thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phát triển 16 dạng toán trọng tâm đề tham khảo TN THPT 2023 môn Toán

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1
Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh DẠNG 1 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Biểu diễn hình học số phức ( Số phức z = a + bi a, b  ) được biểu diễn bởi điểm M (a;b ) ( ) hay bởi u = a;b trong mặt phẳng phức với hệ tọa độ Oxy . Tập hợp điểm biểu diễn số phức Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp: • ax + by + c = 0  tập hợp điểm là đường thẳng • x = 0  tập hợp điểm là trục tung Oy • y = 0  tập hợp điểm là trục hoành Ox ( x − a ) + (y − b ) ( ) 2 2 •  R2  tập hợp điểm là hình tròn tâm I a;b , bán kính R •  ( ) ( )  x − a 2 + y − b 2 = R2  tập hợp điểm là đường tròn có tâm I a;b , bán kính ( ) x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0  R = a 2 + b2 − c • x  0  tập hơp điểm là miền bên phải trục tung • y  0  tập hợp điểm là miền phía dưới trục hoành • x  0  tập hợp điểm là miền bên trái trục tung • y  0  tập hợp điểm là phía trên trục hoành • y = ax 2 + bx + c  tập hợp điểm là đường Parabol x 2 y2 • + = 1  tập hợp điểm là đường Elip a 2 b2 x 2 y2 • − = 1  tập hợp điểm là đường Hyperbol a 2 b2 B BÀI TẬP TRONG ĐỀ MINH HỌA Câu 35 – Đề tham khảo 2023. Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + 2i = 1 là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là. A. ( 0; 2 ) . B. ( −2;0 ) . C. ( 0; −2 ) . D. ( 2;0 ) .  Lời giải Chọn C Đặt z = x + yi , với x, y  . Từ giả thiết z + 2i = 1  x 2 + ( y + 2 ) = 1 . 2 Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I ( 0; −2 ) , bán kính R = 1 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1
Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Về đích đặc biệt 9+ C BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu 1: Cho các số phức z thỏa mãn iz − 1 = 1 + 2i . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn ( C ) . Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn ( C ) lần lượt là A. I ( 0;1) ; R = 3 . B. I ( 0;1) ; R = 3 . C. I ( 0; − 1) ; R = 3 . D. I ( 0; − 1) ; R = 3 . Câu 2: Cho số phức z thoả mãn z + 6 − 2i = 4 . Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z là một đường tròn. Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của đường tròn đó. A. I ( −6; 2 ) , R = 16 . B. I ( 6; −2 ) , R = 4 . C. I ( 6; −2 ) , R = 16 . D. I ( −6; 2 ) , R = 4 . Câu 3: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z + 1 − 2i = 3 là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là A. I ( −1;2 ) . B. I ( −1; −2 ) . C. I (1;2 ) . D. I (1; −2 ) . Câu 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hai điểm A ( 2; −1) ; B ( −3; 4 ) và điểm M ( a; b ) biểu diễn số ( ) phức z . Biết số phức w = ( z + 2i ) z − 4 là số thực và M nằm trên trung trực của AB .Tổng S = a + b là 10 A. S = −14 . B. S = 2 . C. S = −2 D. S = . 3 Câu 5: Cho số phức w có w = 3 . Một tam giác có một đỉnh là điểm biểu diễn của w và hai đỉnh còn 1 1 1 lại biểu diễn hai nghiệm của phương trình = + . Diện tích của tam giác đó bằng z+w z w 3 3 3 9 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 4 2 4 4 Câu 6: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z + 2 − 3i = 4 là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là A. I ( 2;3) . B. I ( −2; −3) . C. I ( −2;3) . D. I ( 2; −3) . Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z + (1 + 2i ) = 4 là 2 Câu 7: một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là A. I ( −3;4 ) . B. I ( −3; −4 ) . C. I ( 3; −4 ) . D. I ( 3;4 ) . Câu 8: Cho Gọi (C ) là tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + z − 4 + 4 z − z = 8 . Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi (C ) là A. 24 . B. 4 . C. 16 . D. 8. Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z = x + yi ( x, y  ) thỏa mãn 1 + z = i − z là A. x − y = 0 . B. x + y − 1 = 0 . C. x − y + 1 = 0 . D. x + y = 0 . 2| Biên soạn: Phan Nhật Linh
Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Câu 10: Gọi H là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho 2 z − 3 z  5 , và số phức z có phần thực không âm. Tính diện tích hình H . 5 5 A. 2 . B. 5 . C. . D. . 2 4 Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − 1 + 2i  3 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = z (1 + i ) trong mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) là hình phẳng ( H ) có diện tích bằng A. S = 9 . B. S = 9 . C. S = 18 . D. S = 18 . z −1 + i Câu 12: Xét các số phức z thỏa mãn là số thực. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức ( ) z + z i +1 w = 3 z là một parabol có đỉnh  3 9 3 9  3 33  3 9 A. I  − ; −  . B. I  ;  . C. I  ; −  . D. I  ; −  .  2 2 2 2 4 8  2 2 Câu 13: Cho số phức w = (1 + i ) z + 2 với 1 + iz = z − 2i . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường thẳng  . Khoảng cách từ điểm A(1; −2) đến  bằng 2 A. 0 B. 2 2 . C. 2 . D. . 2 Câu 14: Cho phương trình z 3 − ( m + 1) z 2 + ( m + 1 + mi ) z − 1 − mi = 0 trong đó z  , m là tham số thực. Số giá trị của tham số m để phương trình có 3 nghiệm phức phân biệt sao cho các điểm biểu diễn của các nghiệm trên mặt phẳng phức tạo thành một tam giác cân là A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. Câu 15: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn iz + 1 − 2i = 3 là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là A. I ( −2; −1) . B. I ( −2;1) . C. I ( 2;1) . D. I ( 2; −1) . Câu 16: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn (1 + i ) z + 5 − i = 2 là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là A. I ( 2;3) . B. I ( 2; −3) . C. I ( −2; −3) . D. I ( −2;3) . z Câu 17: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn +1+ i = 2 3 − 4i là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là A. I ( 7; −1) . B. I ( −7;1) . C. I ( −7; −1) . D. I ( 7;1) . ( ) Câu 18: Cho số phức z có z − 1 = 2 và w = 1 + 3i z + 2. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức ( ) w = 1 + 3i z + 2 là một đường tròn, tâm và bán kính đường tròn đó là A. I ( −3; 3 ) , R = 4. ( ) B. I 3; − 3 , R = 2. C. I ( ) ( ) 3; 3 , R = 4. D. I 3; 3 , R = 4. Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 = 2 , biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w = (1 − i ) z + i là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó. Biên soạn: Phan Nhật Linh | 3
Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Về đích đặc biệt 9+ A. 2. B. 2 2 . C. 2. D. 4. z Câu 20: Cho số phức z thỏa mãn z − 1 + 2i = 2 . Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = trong mặt 1− i phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có tâm là  1 3 1 3  3 1 3 1 A. I  − ;  . B. I  ; −  . C. I  − ; −  . D. I  ;  .  2 2 2 2  2 2 2 2 z + 1 − 2i Câu 21: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn = 2 là z − 2 + 3i A. Đường tròn tâm I ( 5; −8 ) bán kính 2 17 . B. Đường tròn tâm I ( −5;8 ) bán kính 2 17 . C. Đường tròn tâm I ( 5; 4 ) bán kính 2 5 . D. Đường tròn tâm I ( −5 ; 4 ) bán kính 2 5 . Câu 22: Cho z1 và z 2 là hai trong các số phức z thỏa mãn z − 5 − 3i = 5 , đồng thời z1 − z2 = 8 . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w = z1 + z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình dạng ( x − a ) + ( y − b ) = r 2 ( r  0 ) . Tính giá trị của biểu thức T = ( a + b ) r . 2 2 A. T = 96 . B. T = 64 . C. T = 6 . D. T = 12 . Câu 23: Biết phương trình z 2 + mz + m 2 − 2 = 0 ( m là tham số thực) có hai nghiệm phức z1 , z2 . Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1 , z2 và z0 = i . Có bao nhiêu giá trị của tham số m để diện tích tam giác ABC bằng 1? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 6 4| Biên soạn: Phan Nhật Linh
Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1: Cho các số phức z thỏa mãn iz − 1 = 1 + 2i . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn ( C ) . Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn ( C ) lần lượt là A. I ( 0;1) ; R = 3 . B. I ( 0;1) ; R = 3 . C. I ( 0; − 1) ; R = 3 . D. I ( 0; − 1) ; R = 3 . Lời giải Chọn C Gọi z = x + yi ( x; y  ) . Theo bài ra: iz − 1 = 1 + 2i  i ( x + yi ) − 1 = 1 + 2i .  −1 − y + xi = 3  x 2 + ( y + 1) = 3 . 2 Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn ( C ) có tâm I ( 0; − 1) , bán kính R = 3. Câu 2: Cho số phức z thoả mãn z + 6 − 2i = 4 . Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z là một đường tròn. Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của đường tròn đó. A. I ( −6; 2 ) , R = 16 . B. I ( 6; −2 ) , R = 4 . C. I ( 6; −2 ) , R = 16 . D. I ( −6; 2 ) , R = 4 . Lời giải Chọn D Đặt z = x + yi ( x, y  ) . Theo đề bài ta có: x + yi + 6 − 2i = 4  ( x + 6 ) + ( y − 2 ) i = 4  ( x + 6) + ( y − 2) = 4  ( x + 6 ) + ( y − 2 ) = 16 . 2 2 2 2 Vậy tập điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I ( −6; 2 ) , bán kính R = 4 . Câu 3: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z + 1 − 2i = 3 là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là A. I ( −1;2 ) . B. I ( −1; −2 ) . C. I (1;2 ) . D. I (1; −2 ) . Lời giải Chọn A Gọi z = x + yi (với x; y  ). Ta có: z + 1 − 2i = 3  ( x + 1) + ( y − 2 ) i = 3  ( x + 1) + ( y − 2 ) = 3  ( x + 1) + ( y − 2 ) = 9 . 2 2 2 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I ( −1;2 ) , bán kính R = 3 . Câu 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hai điểm A ( 2; −1) ; B ( −3; 4 ) và điểm M ( a; b ) biểu diễn số ( ) phức z . Biết số phức w = ( z + 2i ) z − 4 là số thực và M nằm trên trung trực của AB .Tổng S = a + b là 10 A. S = −14 . B. S = 2 . C. S = −2 D. S = . 3 Lời giải Biên soạn: Phan Nhật Linh | 5
Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Về đích đặc biệt 9+ Chọn A Ta có: AB ( −5;5 ) .  −1 3  Đường trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm I  ;  có phương trình  2 2 (d ) : x − y + 2 = 0 . M  d  M ( a; a + 2 )  z = a + ( a + 2 ) i ; z = a − ( a + 2 ) i . Khi đó w =  a + ( a + 4 ) i   a − 4 − ( a + 2 ) i     = a ( a − 4 ) − a ( a + 2 ) i + ( a − 4 )( a + 4 ) i + ( a + 4 )( a − 2 ) w là số thực khi và chỉ khi −a ( a + 2 ) + ( a + 4 )( a − 4 ) = 0  − a 2 − 2a + a 2 − 16 = 0  a = −8  b = −6  a + b = −14 . Câu 5: Cho số phức w có w = 3 . Một tam giác có một đỉnh là điểm biểu diễn của w và hai đỉnh còn 1 1 1 lại biểu diễn hai nghiệm của phương trình = + . Diện tích của tam giác đó bằng z+w z w 3 3 3 9 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 4 2 4 4 Lời giải Chọn C z  0 Điều kiện:  w  0 = +  z.w = ( z + w ) w + ( z + w ) z  z 2 + z.w + w2 = 0 1 1 1 Ta có z+w z w z 2 z z 1 3  1 3     + +1 = 0  = −  i  z = −   2 2 i  w = z1,2 .   w w w 2 2   1 3 Lúc đó z1 = z2 = −  i w = w = 3 và w + z1 + z2 = 0 . 2 2 Suy ra w , z1 , z 2 được biểu diễn bởi ba điểm A , B , C tạo thành một tam giác đều nằm trên đường tròn tâm O bán kính R = 3 . 3 3 3 2 2 3 3 Tam giác ABC đều có đường cao h = R= , độ dài cạnh a = .h = . =3 2 2 3 3 2 1 9 3 Diện tích tam giác là S ABC = a.h = . 2 4 6| Biên soạn: Phan Nhật Linh
Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Câu 6: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z + 2 − 3i = 4 là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là A. I ( 2;3) . B. I ( −2; −3) . C. I ( −2;3) . D. I ( 2; −3) . Lời giải Chọn B Gọi z = x + yi (với x; y  ). Suy ra z = x − yi . Ta có: z + 2 − 3i = 4  ( x + 2 ) + ( − y − 3) i = 4 ( x + 2) + ( y + 3) = 4  ( x + 2 ) + ( y + 3) = 16 . 2 2  2 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I ( −2; −3) , bán kính R = 4 . Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z + (1 + 2i ) = 4 là 2 Câu 7: một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là A. I ( −3;4 ) . B. I ( −3; −4 ) . C. I ( 3; −4 ) . D. I ( 3;4 ) . Lời giải Chọn C Gọi z = x + yi (với x; y  ). Ta có: z + (1 + 2i ) = 4  z − 3 + 4i = 4 2 ( x − 3) + ( y + 4 ) = 4  ( x − 3) + ( y + 4 ) = 16 . 2 2  2 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I ( 3; −4 ) , bán kính R = 4 . Câu 8: Cho Gọi (C ) là tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + z − 4 + 4 z − z = 8 . Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi (C ) là A. 24 . B. 4 . C. 16 . D. 8. Lời giải Chọn D Đặt z = x + iy, x, y  . Khi đó, đẳng thức z + z − 4 + 4 z − z = 8  2 x − 4 + 4 2iy = 8  2 x −2 +8 y = 8  x −2 + 4 y = 4 Ta được đồ thị như hình vẽ bên dưới: Đây là hình thoi có độ dài hai đường chéo là 2 ; 8 nên diện tích bằng (2.8) : 2 = 8. Biên soạn: Phan Nhật Linh | 7
Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Về đích đặc biệt 9+ Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z = x + yi ( x, y  ) thỏa mãn 1 + z = i − z là A. x − y = 0 . B. x + y − 1 = 0 . C. x − y + 1 = 0 . D. x + y = 0 . Lời giải Chọn D Ta có 1 + z = i − z  1 + x + yi = i − x − yi  (1 + x ) + y 2 = x 2 + ( y − 1)  x + y = 0 . 2 2 Câu 10: Gọi H là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho 2 z − 3 z  5 , và số phức z có phần thực không âm. Tính diện tích hình H . 5 5 A. 2 . B. 5 . C. . D. . 2 4 Lời giải Chọn C Gọi z = x + yi, ( x, y  , x  0 ) . x2 y 2 Ta có 2 ( x + yi ) − 3 ( x − yi )  5  x + 25 y  5  x + 25 y  25  2 2 2 +  1. 2 25 1 x2 y 2 Xét elip ( E ) : + = 1 , có tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là miền trong của Elip với 25 1 x 0. 1 5 Ta có a = 5, b = 1 , nên diện tích hình H là S = . .a.b = . 2 2 Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − 1 + 2i  3 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = z (1 + i ) trong mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) là hình phẳng ( H ) có diện tích bằng A. S = 9 . B. S = 9 . C. S = 18 . D. S = 18 . Lời giải Chọn C Ta có z − 1 + 2i = 3  z (1 + i ) + ( −1 + 2i )(1 + i ) = 3 1 + i  w − 3 + i  3 2 . ( x, y  )  x − 3 + ( y + 1) i  3 2  ( x − 3) + ( y + 1)  18 . 2 2 Giả sử w = x + yi Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là hình tròn ( H ) tâm I ( 3;1) và bán kính R = 18 . Khi đó diện tích hình tròn là S =  R 2 = 18 . z −1 + i Câu 12: Xét các số phức z thỏa mãn là số thực. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức ( ) z + z i +1 w = 3 z là một parabol có đỉnh  3 9 3 9  3 33  3 9 A. I  − ; −  . B. I  ;  . C. I  ; −  . D. I  ; −  .  2 2 2 2 4 8  2 2 Lời giải Chọn D z −1+ i (a − 1) + (b + 1)i Gọi z = a + bi ( a, b  ) . Khi đó = ( z + z )i +1 2ai + 1 8| Biên soạn: Phan Nhật Linh
Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh z −1 + i Vì là số thực nên ( ( a − 1) + ( b + 1) i ) (1 − 2ai ) là số thực hay −2a ( a − 1) + ( b + 1) =0 ( ) z + z i +1 Suy ra 2a 2 − 2a − b − 1 = 0 (*)  x a =  thay vào biểu thức (*) ta được 3 Mà w = 3 z , gọi w = x + yi , suy ra:  b = y   3 2  x x y 2 2   − 2 − − 1 = 0  y = x2 − 2 x − 3 3 3 3 3 3 9 Do đó, tập hợp biểu biễn w là một parabol có đỉnh là I  ; −  2 2 Câu 13: Cho số phức w = (1 + i ) z + 2 với 1 + iz = z − 2i . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường thẳng  . Khoảng cách từ điểm A(1; −2) đến  bằng 2 A. 0 B. 2 2 . C. 2 . D. . 2 Lời giải Chọn B w−2 Ta có w = (1 + i ) z + 2  z = , thay vào 1 + iz = z − 2i ta được: 1+ i w −2 w −2 i ( w − 2) + 1 + i w − 2 − 2i − 2i 2 1+ i = − 2i  =  i ( w − 2 ) + 1 + i = w − 2i 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i  1+ i   iw − 2+  = w − 2i  w − 2 + 1 − i = w − 2i  w − 1 − i = w − 2i (1)  i  Gọi w = x + yi ( x, y  ) , từ (1) ta có x + yi − 1 − i = x + yi − 2i .  ( x − 1) + ( y − 1) i = x + ( y − 2 ) i  ( x − 1) + ( y − 1) = x 2 + ( y − 2 )  x − y + 1 = 0 . 2 2 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w trên mặt phẳng phức là đường thẳng  : x − y + 1 = 0. 1 − ( −2 ) + 1 Khi đó d ( A,  ) = = 2 2. 1 + ( −1) 2 2 Câu 14: Cho phương trình z 3 − ( m + 1) z 2 + ( m + 1 + mi ) z − 1 − mi = 0 trong đó z  , m là tham số thực. Số giá trị của tham số m để phương trình có 3 nghiệm phức phân biệt sao cho các điểm biểu diễn của các nghiệm trên mặt phẳng phức tạo thành một tam giác cân là A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. Lời giải Chọn D Xét phương trình: z = 1 z 3 − ( m + 1) z 2 + ( m + 1 + mi ) z − 1 − mi = 0   2  z − mz + 1 + mi = 0 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 9
Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Về đích đặc biệt 9+ z = 1 z = 1 z = 1  2 2   z = i  .  z − i − ( mz − mi ) = 0  ( z − i )( z + i − m ) = 0 z = m − i  Đặt A (1; 0 ) , B ( 0;1) , C ( m; −1) lần lượt là các điểm biểu diễn các nghiệm z = 1 , z = i , z = m − i trên mặt phẳng phức. Ta có: AB = ( −1;1) , AC = ( m − 1; −1) , BC = ( m; −2 ) ( m − 1) 2 AB = 2 , BC = m 2 + 4 , AC = +1 . Ba điểm A , B , C tạo thành một tam giác khi và chỉ khi AB và AC không cùng phương hay m  2.  m −1 2 +1 = 2  AC = AB  ( ) m = 0  2  m 2 − 2m = 0 Tam giác ABC cân   BC = AB   m + 4 = 2    m = 2 .   −2m = 2  AC = BC   m = −1  ( m − 1) + 1 = m + 4  2 2   Kết hợp với điều kiện m  2 ta được m  0; −1 . Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn đề. Câu 15: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn iz + 1 − 2i = 3 là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là A. I ( −2; −1) . B. I ( −2;1) . C. I ( 2;1) . D. I ( 2; −1) . Lời giải Chọn C Gọi z = x + yi (với x; y  ). Ta có: i ( z − i − 2 ) = 3  i . z − i − 2 = 3  z − i − 2 = 3  ( x − 2 ) + ( y − 1) i = 3 ( x − 2) + ( y − 1) = 3  ( x − 2 ) + ( y − 1) = 9 . 2 2  2 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I ( 2;1) , bán kính R = 3 . Câu 16: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn (1 + i ) z + 5 − i = 2 là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là A. I ( 2;3) . B. I ( 2; −3) . C. I ( −2; −3) . D. I ( −2;3) . Lời giải Chọn D Gọi z = x + yi (với x; y  ). Ta có: (1 + i )( z + 2 − 3i ) = 3  1 + i . z + 2 − 3i = 2 ( x + 2) + ( y − 3) = 2  ( x + 2 ) + ( y − 3 ) = 2 . 2 2  z + 2 − 3i = 2  2 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I ( −2;3) , bán kính R = 2 . z Câu 17: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn +1+ i = 2 3 − 4i là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là A. I ( 7; −1) . B. I ( −7;1) . C. I ( −7; −1) . D. I ( 7;1) . 10| Biên soạn: Phan Nhật Linh
Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Lời giải Chọn D Gọi z = x + yi (với x; y  ). z z+7−i z+7−i +1+ i = 2  =2 =2 ( x + 7) + ( y − 1) = 10 2 2 Ta có: 3 − 4i 3 − 4i 3 − 4i  ( x + 7 ) + ( y − 1) = 100 . 2 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I ( −7;1) , bán kính R = 10 . ( ) Câu 18: Cho số phức z có z − 1 = 2 và w = 1 + 3i z + 2. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức ( ) w = 1 + 3i z + 2 là một đường tròn, tâm và bán kính đường tròn đó là A. I ( −3; 3 ) , R = 4. ( ) B. I 3; − 3 , R = 2. C. I ( ) ( 3; 3 , R = 4. D. I 3; 3 , R = 4. ) Lời giải Chọn D ( ) ( ) Ta có w = 1 + 3i z + 2  w = 1 + 3i ( z − 1) + 3 + 3i  w − 3 + 3i = 1 + 3i ( z − 1) . ( ) ( ) Lấy môđun hai vế, ta được w − ( 3 + 3i ) = 1 + 3i . z − 1 = 2.2 = 4. 2 2 ( ) Biểu thức w − 3 + 3i = 4 chứng tỏ tập hợp các số phức w là một đường tròn có tâm I 3; 3 ( ) và bán kính R = 4. Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 = 2 , biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w = (1 − i ) z + i là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó. A. 2. B. 2 2 . C. 2 . D. 4. Lời giải Chọn B Cách 1: Ta đặt w = a + bi a + ( b − 1) i a − b +1 a + b −1  a + bi = (1 − i ) z + i  z = = + i 1− i 2 2 Theo giả thết z − 2 = 2 , nên ta có:  a − b +1   a + b −1 2 2  = 4  ( a − b − 3) + ( a + b − 1) = 16 2 2  − 2 +   2   2   a + b + 9 − 2ab − 6a + 6b + a 2 + b 2 + 1 + 2ab − 2a − 2b = 16 2 2  2a 2 + 2b 2 − 8a + 4b − 6 = 0  a 2 + b 2 − 4a + 2b − 3 = 0 Vậy tập hợp điểm biểu diễn của w là đường tròn có bán kính R = 22 + ( −1) − ( −3) = 2 2 2 w −i Cách 2: Ta có: w = (1 − i ) z + i  z = 1− i w −i w −2+i Mà z − 2 = 2  −2 = 2 = 2  w − 2 + i = 2 1 − i = 2 2 (* ) 1− i 1− i Đặt w = x + yi khi đó (*)  ( x − 2 ) + ( y + 1) = 2 2 ( ) 2 2 2 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 11
Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Về đích đặc biệt 9+ I ( 2; −1) , R = 2 2 . Đây là đường tròn có tâm z Câu 20: Cho số phức z thỏa mãn z − 1 + 2i = 2 . Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = trong mặt 1− i phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có tâm là::  1 3 1 3  3 1 3 1 A. I  − ;  . B. I  ; −  . C. I  − ; −  . D. I  ;  .  2 2 2 2  2 2 2 2 Lời giải Chọn A z Do w =  z = w (1 − i ) . 1− i Theo giả thiết, z − 1 + 2i = 2  z − 1 + 2i = 2  z − 1 − 2i = 2  w (1 − i ) − 1 − 2i = 2 1 + 2i 1 3 1 3  1− i w − = 2  2. w + − i = 2  w + − i = 2 . 1− i 2 2 2 2  1 3 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I  − ;  .  2 2 z + 1 − 2i Câu 21: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn = 2 là z − 2 + 3i A. Đường tròn tâm I ( 5; −8 ) bán kính 2 17 . B. Đường tròn tâm I ( −5;8 ) bán kính 2 17 . C. Đường tròn tâm I ( 5; 4 ) bán kính 2 5 . D. Đường tròn tâm I ( −5 ; 4 ) bán kính 2 5 . Lời giải Chọn C Gọi z = x + yi  z = x – yi ( x, y  ) . z + 1 − 2i = 2  z + 1 − 2i = 2 z − 2 + 3i z − 2 + 3i  ( x + 1) + ( y − 2 ) i = 2 ( x − 2) + (3 − y ) i .  ( x + 1) + ( y − 2 ) = 2 ( x − 2 ) + 2 ( y − 3) . 2 2 2 2  x 2 + y 2 − 10 x − 8 y + 21 = 0  ( x − 5 ) + ( y − 4 ) = 20 2 2 Tập hợp các điểm M là đường tròn ( x − 5 ) + ( y − 4 ) = 20 với tâm I ( 5; 4 ) bán kính 2 5 . 2 2 Câu 22: Cho z1 và z 2 là hai trong các số phức z thỏa mãn z − 5 − 3i = 5 , đồng thời z1 − z2 = 8 . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w = z1 + z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình dạng ( x − a ) + ( y − b ) = r 2 ( r  0 ) . Tính giá trị của biểu thức T = ( a + b ) r . 2 2 A. T = 96 . B. T = 64 . C. T = 6 . D. T = 12 . Lời giải 12| Biên soạn: Phan Nhật Linh
Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Gọi A; B lần lượt là điểm biểu diễn của z1 ; z2 . Từ giả thiết z − 5 − 3i = 5 suy ra A; B thuộc đường tròn tâm I ( 5;3) , bán kính 5 và z1 − z2 = 8 suy ra AB = 8 . Gọi M là trung điểm của đoạn AB . Khi đó ta tính được IM = 3 . z +z Mặt khác, M là điểm biểu diễn của số phức 1 2 , I là điểm biểu diễn của số phức 5 + 3i , 2 z +z thay vào ta có biểu thức 1 2 − 5 − 3i = 3  ( z1 + z2 ) − 10 − 6i = 6 2 Vậy điểm biểu diễn của z1 + z2 nằm trên đường tròn tâm J (10;6 ) ; r = 6 . Khi đó a = 10 ; b = 6 ; r = 6 . Vậy ( a + b ) .r = 96 . Câu 23: Biết phương trình z 2 + mz + m 2 − 2 = 0 ( m là tham số thực) có hai nghiệm phức z1 , z2 . Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1 , z2 và z0 = i . Có bao nhiêu giá trị của tham số m để diện tích tam giác ABC bằng 1? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 6 Lời giải Chọn C Ta có:  = m2 − 4 ( m2 − 2 ) = −3m2 + 8 −2 6 2 6 Trường hợp 1:   0  −3m + 8  0  m 2 . Khi đó, phương trình có hai 3 3 nghiệm thực phân biệt là z1 , z2 . Vì A, B  Ox nên AB = z1 − z2 = ( z1 − z2 ) = ( z1 + z2 ) − 4 z1 z2 = −3m 2 + 8 . 2 2 Mặt khác, ta có C ( 0;1)  d ( C ; AB ) = 1 . 1 −3m2 + 8 2 3  SABC = AB.d ( C; AB ) = =1 m =  (n) . 2 2 3 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 13
Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Về đích đặc biệt 9+  2 6  m 3 Trường hợp 2:   0  −3m + 8  0   2 . Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức  −2 6 m   3 −m + i  liên hợp là z1,2 = . 2 Ta có: AB = z1 − z2 = i  = −3m2 + 8 = 3m 2 − 8 và C ( 0;1) . m Phương trình đường thẳng AB là x + = 0 nên d ( C ; AB ) = m . 2 2 m2 = 4 m 3m 2 − 8 =1  2 1 Do đó, SABC = AB.d ( C ; AB ) =  m = 2 . 2 4  m = − 4 (VN)   3 Vậy có 4 giá trị thực của tham số m thỏa mãn đề bài. 14| Biên soạn: Phan Nhật Linh
Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh DẠNG 2 VIẾT PTĐT ĐI QUA HAI ĐIỂM A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Để viết một phương trình đường thẳng thì ta cần một điểm đi qua và một vectơ chỉ phương của nó. ▪ Đường thẳng d đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận u = ( a; b; c ) là một vectơ chỉ phương thì đường  x = x0 + at  thẳng d có phương trình là: d :  y = y0 + bt , (t  )  z = z + ct  0 ▪ Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B thì nó nhận AB là một vectơ chỉ phương. B BÀI TẬP TRONG ĐỀ MINH HỌA Câu 46 – Đề tham khảo 2023. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M (1; − 1; − 1) và N ( 5; 5;1) . Đường thẳng MN có phương trình là:  x = 5 + 2t x = 5 + t  x = 1 + 2t  x = 1 + 2t     A.  y = 5 + 3t B.  y = 5 + 2t C.  y = −1 + 3t D.  y = −1 + t  z = −1 + t  z = 1 + 3t  z = −1 + t  z = −1 + 3t      Lời giải Lời giải Chọn C Ta có MN = ( 4; 6; 2 ) = 2 ( 2;3;1) . Đường thẳng MN qua M (1; − 1; − 1) nhận MN = ( 2;3;1) làm vectơ chỉ phương  x = 1 + 2t  Phương trình đường thẳng d là:  y = −1 + 3t .  z = −1 + t  C BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm E ( −1;0;2) và F (2;1; −5) . Phương trình đường thẳng EF là  x = 1 + 3t  x = −1 + 3t x = 1+ t  x = −1 + t     A.  y = t . B.  y = t . C.  y = t . D.  y = t .  z = −2 − 7 t  z = 2 − 7t  z = −2 − 3t  z = 2 + 3t     Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm P (1;1; −1) và Q ( 2;3;2 ) . Phương trình đường thẳng PQ là x −1 y −1 z +1 x −1 y −1 z +1 A. = = . B. = = . 2 3 2 1 2 3 x −1 y − 2 z − 3 x+2 y+3 z+2 C. = = . D. = = . 1 1 −1 1 2 3 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1
Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Về đích đặc biệt 9+ Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M (1; − 1; − 1) và N ( 5; 5;1) . Đường thẳng MN có phương trình là:  x = 5 + 2t x = 5 + t  x = 1 + 2t  x = 1 + 2t     A.  y = 5 + 3t B.  y = 5 + 2t C.  y = −1 + 3t D.  y = −1 + t  z = −1 + t  z = 1 + 3t  z = −1 + t  z = −1 + 3t     Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1; 0; − 2 ) và B ( 3; − 3;1) . Đường thẳng AB có phương trình là x −1 y z + 2 x − 3 y + 3 z −1 A. = = . B. = = . 2 3 3 −2 3 −3 x −1 y z − 2 x + 3 y − 3 z +1 C. = = . D. = = . 2 −3 3 2 −3 3 Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm điểm A ( 4; −3;2 ) , B ( 6;1; −7 ) , C ( 2;8; −1) . Đường thẳng qua gốc toạ độ O và trọng tâm tam giác ABC có phương trình là x y z x y z x y z x y z A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . 4 1 −3 2 1 −1 2 3 −1 2 −1 −1 Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A (1; 0; − 2 ) , B ( 2; − 2;1) và C ( 0; 0;1) . Đường trung tuyến AM có phương trình là x = 1+ t x = 1− t  x = −1 + 2t x = 1     A.  y = −1 + 3t . B.  y = −t . C.  y = 1 + t . D.  y = −t . z = 1+ t  z = −2 + 3t  z = −1 − 3t  z = −2 + 3t     Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi ( ) là mặt phẳng chứa đường thẳng x − 2 y −1 z : = = và vuông góc với mặt phẳng (  ) : x + y + 2 z + 1 = 0 . Khi đó giao tuyến 1 1 −2 của hai mặt phẳng ( ) ; (  ) có phương trình x − 2 y +1 z x + 2 y −1 z A.  : = = . = B.  : = . 1 −5 2 1 −5 2 x y +1 z −1 x y +1 z −1 C.  : = = . D.  : = = . 1 1 1 1 1 1 Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 5; −3; 2 ) và mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + z − 1 = 0 . Tìm phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc ( P ) . x+5 y −3 z+2 x −5 y +3 z −2 A. = = . = B. = . 1 −2 1 1 −2 −1 x−6 y+5 z −3 x+5 y+3 z −2 C. = = . D. = = . 1 −2 1 1 −2 1 Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 3;1; −5 ) , hai mặt phẳng ( P ) : x − y + z − 4 = 0 và ( Q ) : 2 x + y + z + 4 = 0 . Viết phương trình đường thẳng  đi qua A đồng thời  song song với hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) . x − 3 y −1 z +5 x+3 y +1 z −5 A.  : = = . B.  : = = . 2 −1 −3 2 −1 −3 x − 3 y −1 z +5 x −3 y −1 z +5 C.  : = = . D.  : = = . 2 1 −3 −2 −1 3 2| Biên soạn: Phan Nhật Linh
Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A (1; −2;0 ) , B(2; −1;3), C ( 0; −1;1) . Đường trung tuyến AM của tam giác ABC có phương trình tham số là x = 1  x = 1 − 2t x = 1+ t  x = 1 + 2t     A.  y = −2 + t . B.  y = −2 . C.  y = −2 . D.  y = −2 + t .  z = 2t  z = −2 t  z = −2 t  z = 2t     Câu 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P ) : z −1 = 0 và ( Q ) : x + y + z − 3 = 0 . Gọi d là đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( P ) , cắt x −1 y − 2 z − 3 đường thẳng d ' : = = và vuông góc với đường thẳng  . Phương trình của 1 −1 −1 đường thẳng d là x = 3 + t x = 3 − t x = 3 + t x = 3 + t     A.  y = t . B.  y = t . C.  y = t . D.  y = −t . z = 1+ t z = 1 z = 1 z = 1+ t     x −1 y + 3 z −1 Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( −1;1;3) và hai đường thẳng  : = = , 3 2 1 x +1 y z  : = = . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua M và vuông 1 3 −2 góc với  và   .  x = −1 − t  x = −t  x = −1 − t  x = −1 − t     A.  y = 1 + t . B.  y = 1 + t . C.  y = 1 − t . D.  y = 1 + t .  z = 1 + 3t z = 3 + t z = 3 + t z = 3 + t     Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 3x + y + z = 0 và đường thẳng x −1 y z + 3 d: = = . Gọi  là đường thẳng nằm trong ( P ) , cắt và vuông góc với d . Phương 1 −2 2 trình nào sau đây là phương trình tham số của  ?  x = −2 + 4t  x = −3 + 4t  x = 1 + 4t  x = −3 + 4t     A.  y = 3 − 5t . B.  y = 5 − 5t . C.  y = 1 − 5t . D.  y = 7 − 5t .  z = 3 − 7t  z = 4 − 7t  z = −4 − 7t  z = 2 − 7t     Câu 14: Cho tứ diện ABCD có A ( 0;0; 2 ) , B ( 3;0;5 ) , C (1;1;1) , D ( 4;1; 2 ) . Phương trình đường cao kẻ từ D của tứ diện là x + 4 y −1 z − 2 x−4 y −1 z − 2 A. = = . B. = = . 1 −2 −1 1 2 −1 x − 4 y −1 z − 2 x−4 y +1 z − 2 C. = = . D. = = . 1 −2 −1 1 −2 −1 x = 1+ t  Câu 15: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :  y = −t và điểm A (1;3; −1) . Viết  z = −1 + t  phương trình đường thẳng d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng  . x −1 y − 3 z +1 x −1 y − 3 z +1 A. = = . B. = = . 2 −1 −1 1 −2 −1 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 3
Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Về đích đặc biệt 9+ x −1 y − 3 z +1 x −1 y − 3 z +1 C. = = . D. = = . 1 2 1 −1 2 −1 Câu 16: Trong không gian Oxyz , cho OE = 5i + 4 j − 2k , OF = j − 3k . Đường thẳng đi qua hai điểm E và F có phương trình là  x = 5t x = 5  x = 5t  x = −5t     A.  y = 1 + 3t . B. y = 4+ t . C.  y = 1 + 3t . D.  y = 1 + 3t .  z = −3 + t  z = −2 − 3t  z = −3 − t  z = −3 + t     Câu 17: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M (1;0;1) và N ( 3;2; − 1) . Đường thẳng MN có phương trình là  x = 1 + 2t x = 1+ t x = 1− t x = 1+ t     A.  y = 2t . B.  y = t . C.  y = t . D.  y = t . z = 1+ t z = 1+ t z = 1+ t z = 1− t     Câu 18: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A (1; −2;1) , B ( −2; 2;1) , C (1; −2; 2 ) . Đường phân giác trong của góc A có một véctơ chỉ phương u ( 3; a; b ) . Tính a − b . A. 1 . B. −9 . C. −1 . D. 9 . Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1;7;0 ) , B ( 3;0;3) . Phương trình đường phân giác trong của góc AOB của tam giác AOB là x y z x y z x y z x y z A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . 4 5 3 3 5 7 6 7 5 5 7 4 Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1; 2;3) , B ( 3; 4;5 ) và mặt phẳng ( P ) : x + 2 y + 3z − 14 = 0 . Gọi Δ là một đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng ( P ) . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên Δ . Biết rằng khi AH = BK thì trung điểm của HK luôn thuộc một đường thẳng d cố định, phương trình của đường thẳng d là x = 4 + t x = 4 − t x = 4 + t x = 4 − t     A.  y = 5 − 2t . B.  y = 5 + 2t . C.  y = 5 − 2t . D.  y = 5 + 2t . z = 1 z = t z = t z = 1     Câu 21: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 2, −2,3) ; B (1,3,4 ) ; C ( 3, −1,4 ) . Phương trình đường phân giác góc BAC là. x y + 2 z −1 x −1 y + 6 z −1 A. = = . B. = = . 1 4 2 1 4 2 x − 3 y + 2 z −1 x −2 y + 2 z −3 C. = = . D. = = . 1 4 2 1 4 2 Câu 22: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( −1; 2;0 ) , B (1;1;1) , C ( 2; − 3;2 ) . Tập hợp tất cả các điểm M cách đều ba điểm A , B , C là một đường thẳng d . Phương trình tham số của đường thẳng d là 4| Biên soạn: Phan Nhật Linh
Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh  x = −8 − 3t  x = −8 + 3t  x = −8 + 3t  x = −8 + 3t     A.  y = t . B.  y = t . C.  y = −t . D.  y = t .  z = 15 + 7t  z = 15 − 7t  z = −15 − 7t  z = 15 + 7t     Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(3;3;1), B(0; 2;1) và mặt phẳng ( ) : x + y + z − 7 = 0. Đường thẳng d nằm trên mặt phẳng ( ) sao cho mọi điểm của d cách đều hai điểm A, B có phương trình là  x = 2t  x = −t  x=t  x=t     A.  y = 7 − 3t . B.  y = 7 − 3t . C.  y = 7 + 3t . D.  y = 7 − 3t .  z =t  z = 2t  z = 2t  z = 2t     Biên soạn: Phan Nhật Linh | 5