Phép biến hình và phép dời hình trong mặt phẳng

Chia sẻ: Anh Vu Vu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

1.385
lượt xem 291
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong mặt phẳng cho M.Quy tắc đặt tương ứng với mỗi điểm M với một điểm M được gọi là phép biến hình. Điểm M được gọi là ảnh của M qua phép biến hình

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phép biến hình và phép dời hình trong mặt phẳng

A S p ch b ng L TEX b i Tr n Văn Toàn, Giáo viên trư ng THPT chuyên Lương Th Vinh, Biên Hoà, Đ ng Nai. 1 Phép d i hình và phép đ ng d ng trong m t ph ng 1.1 Phép bi n hình Đ nh nghĩa 1.1 Trong m t ph ng, cho đi m M . Quy t c đ t tương ng v i m i đi m M v i m t và ch m t đi m M đư c g i là phép bi n hình. Đi m M đư c g i là nh c a M qua phép bi n hình. N u F là phép bi n hình và M là nh c a M qua phép bi n hình F , thì ta kí hi u f (M ) = M . Khi đó, ta còn nói phép bi n hình F bi n đi m M thành đi m M . Ví d 1.1 Cho đi m M và vectơ #». Quy t c đ t tương ng v i m i đi m M là đi m M sao cho v # » #» M M = v là m t phép bi n hình. Đ nh nghĩa 1.2 Cho hình H , v i m i đi m M ∈ H , g i M là nh c a M qua phép bi n hình F . T p h p các đi m M t o nên hình H . Khi đó, H g i là nh c a H qua qua phép bi n hình F . Kí hi u F (H ) = H . 1.2 Phép d i hình Đ nh nghĩa 1.3 Phép bi n hình F đư c g i là phép d i hình n u nó b o toàn kho ng cách gi a hai đi m b t kì. T c là, n u F (A) = A và F (B) = B , thì A B = AB. 1.3 Phép t nh ti n Đ nh nghĩa 1.4 Trong m t ph ng cho vectơ #». Quy t c đ t tương ng v i m i đi m M v i đi m v # » #» M sao cho M M = v đư c g i là phép t nh ti n trong m t ph ng theo vectơ #» và đư c ký hi u v là T #» . v # » T #» (M ) = M ⇔ M M = #» v v Nh n xét. a) M = T #» (M ) ⇔ M = T− #» (M ). v v # » # » b) M = T #» (M ), N = T #» (N ) ⇔ M N = M N . v v c) Ch có phép t nh ti n theo vectơ - không m i bi n đi m A thành chính nó. Đ nh lí 1.1 N u phép t nh ti n bi n hai đi m M và N l n lư t thành hai đi m M và N , thì M N = M N . Nói cách khác, phép t nh ti n b o toàn kho ng cách gi a hai đi m b t kì. 1
Đ nh lí 1.2 Phép t nh ti n bi n ba đi m th ng hàng thành ba đi m th ng hàng và b o toàn th t c a chúng. H qu 1.1 Phép t nh ti n bi n m t đư ng th ng thành m t đư ng th ng song song hay trùng v i nó, bi n tia thành tia, bi n đo n th ng thành đo n th ng b ng nó, bi n m t tam giác thành m t tam giác b ng nó bi n m t đư ng tròn thành m t đư ng tròn có cùng bán kính, bi n m t góc thành m t góc. 1.4 Bi u th c to đ c a phép t nh ti n Trong m t ph ng to đ Oxy, cho phép t nh ti n theo vectơ #» = (a; b). Gi s M (x; y) bi n thành v M (x ; y ). Khi đó, ta có  x = x + a, y = y + b. #» 1.1 Qua phép t nh ti n theo vectơ #» = 0 , đư ng th ng d bi n thành đư ng th ng ∆. Trong u trư ng h p nào thì d trùng v i ∆? d song song v i ∆? d c t ∆? 1.2 Cho hai đư ng th ng song song a và b. Tìm t t c các phép t nh ti n bi n a thành b. 1.3 Cho hai phép t nh ti n T u và T #» . V i đi m M b t kì, T u bi n M thành M , T #» bi n M #» v #» v thành M . Ch ng t r ng phép bi n hình bi n đi m M thành đi m M là m t phép t nh ti n. 1.4 Cho phép t nh ti n theo vectơ #» bi n đi m A(3; 2) thành đi m A (2; 3). Tìm nh c a đi m u B(2; 5) qua phép t nh ti n theo vectơ #». u 1.5 Trong m t ph ng to đ Oxy cho đi m M (−2; −5), đư ng th ng ∆ : 2x + 3y − 4 = 0, đư ng tròn (C ) : x2 + y 2 − 2x + 6y + 1 = 0. Tìm nh c a M , ∆ và (C ) qua phép t nh ti n theo vectơ #» = (2; −3). v Đáp s . M (0; −8); ∆ : 2x + 3y + 1 = 1 và (C ) : x2 + y 2 − 6x + 12y + 36 = 0. 1.6 Tìm nh c a parabol y = x2 qua phép t nh ti n theo vectơ #» = (2; −3). v Đáp s . y = x2 − 4x + 1. 1.7 Trong m t ph ng to đ Oxy cho hai đi m A(2; 1), B(4; 0) và hai đư ng th ng d1 : 3x + y + 2 = 0, d2 : 2x + 5y − 4 = 0. Tìm trên các đư ng th ng d1 , d2 l n lư t các đi m C, D sao cho t giác ABCD là hình bình hành. Đáp s . C(−1; 1) và D(−3; 2). 1.8 Trong m t ph ng to đ Oxy cho đư ng tròn (C ) đi qua g c to đ và có tâm I(1; −2). 2
a) Vi t phương trình c a đư ng tròn (C ). Tìm to đ c a đi m A là giao đi m (khác g c to đ O) c a (C ) và tr c tung. b) G i M là m t đi m di đ ng trên đư ng tròn (C ). Tìm t p h p các tr c tâm H c a tam giác OAM . 1.9 Cho hai đi m B, C c đ nh trên đư ng tròn (C ), tâm O, bán kính R và m t đi m A, thay đ i trên đư ng tròn đó. Ch ng minh r ng tr c tâm H c a tam giác ABC luôn n m trên m t đư ng tròn c đ nh. 1.10 Cho đư ng tròn (O; R) và hai đi m A, B trên đư ng tròn sao cho s đo cung AB nh hơn # » 180◦ . G i (O ; R) là nh c a (O; R) và B là nh c a B qua phép t nh ti n theo 2OA. Ch ng minh r ng BAB = 90◦ . # » # » # » # » 1.11 Cho tam giác ABC. V i m i đi m M , ta d ng đi m N sao cho M N = M A + 2M B − M C. Tìm t p h p các đi m N khi M thay đ i trên m t đư ng th ng d. 1.12 Cho trư c m t đi m A, m t đư ng th ng d không đi qua A. Trên d ta đ t m t đo n th ng BC = a (a là đ dài cho trư c). Tìm v trí c a đo n BC đ AB + AC nh nh t. 1.13 Trong s các t giác l i có đ dài hai đư ng chéo m, n cho trư c và góc t o b i hai đư ng chéo đó b ng α cho trư c, t giác nào có chu vi nh nh t? Tr l i. Hình bình hành. 1.14 1 Where should we construct bridge M N though the river that separates villages A and B so that the path AM N B from A to B was the shortest one? (The blanks of the river are assumed to be parallel lines and the bridge perpendicular to the blanks.) 1.15 Consider triangle ABC. Point M inside the triangle moves parallel to the side BC to its intersection with side CA, then parallel to AB to its intersection with BC, then parallel to AC to its intersection with AB, and so on. Prove that after a number of steps the trajectory of the point M becomes a closed one. 2 Cho tam giác ABC và đi m M n m mi n trong c a tam giác. Cho đi m M di chuy n trên đư ng th ng song song v i c nh BC đ n giao đi m c a đư ng th ng song song này và c nh AC. Sau đó, M di chuy n trên đư ng th ng song song v i c nh AB đ n giao đi m c a đư ng th ng song song này và c nh BC. L i cho M di chuy n trên đư ng th ng song song v i c nh AC đ n giao đi m c a đư ng th ng song song này và c nh AB. Quá trình di chuy n đi m M c ti p t c như v y. Ch ng minh r ng, sau m t s bư c, thì đư ng qu đ o c a đi m M s là m t đư ng khép kín. 1 Các đ Toán b ng ti ng Anh trong tài li u này đư c trích t cu n “Problems in plane and solid”, V.1, Plane Geometry, Viktor Prasolov. 2 Tôi t m d ch. R t mong nh n đư c góp ý c a m i ngư i. Chân thành cám ơn. 3
1.16 Let K, L, M and N be the midpoints of sides AB, BC, CD and DA, respectively, of a convex quadrilateral ABCD. 1 a) Prove that KM (BC + AD). 2 b) For given lengths of the sides of quadrilateral ABCD, find the maximal value of the lengths of the segments KM and LN . Cho t giác l i ABCD. G i K, L, M và N l n lư t là trung đi m c a các c nh AB, BC, CD và DA. 1 a) Ch ng minh r ng KM (BC + AD). 2 b) Cho bi t đ dài các c nh c a t giác ABCD, tìm giá tr l n nh t c a các đo n th ng KM và LN . 1.17 In trapezoid ABCD, sides BC and AD are parallel, M the intersection point of the bisectors of angles A and B, and N the intersection point of the bisectors of angles C and D. Prove that 2M N = |AB + CD − BC − AD|. Cho hình thang ABCD có các c nh BC và AD song song nhau. G i M là giao đi m c a các đư ng phân giác trong c a góc A và B, và N là giao đi m c a các đư ng phân giác trong c a góc C và D. Ch ng minh r ng 2M N = |AB + CD − BC − AD|. 1.18 From vertex B of parallelogram ABCD heights BK and BH are draw. It is known that KH = a and BD = b (b > a). Find the distance from B to the intersection point of the heights of the triangle BHK. T đ nh B c a hình bình hành ABCD k các đư ng cao BK và BH. Bi t r ng KH = a và BD = b (b > a). Tìm kho ng cách t B đ n tr c tâm c a tam giác BHK. 1.19 In the unit square a figure is placed such that the distance between any two of its points is not equal to 0.001. Prove that the area of this figure does exceed a) 0.34; b) 0.287. Cho hình H . L y trong H hai đi m b t kì sao cho kho ng cách gi a chúng khác 0.001. Ch ng minh r ng di n tích c a hình H không vư t quá a) 0.34; b) 0.287. 4
1.20 Consider two circles S1 , S2 and the line . Draw 1 so that: a) the distance between the intersections points of 1 with circles S1 and S2 is a given value a; b) S1 and S2 intercept on 1 equal chords; c) S1 and S2 intercept on 1 the sum (or difference) of whose lengths is equal to a given value. Cho hai đư ng tròn S1 , S2 và đư ng th ng . D ng đư ng th ng 1 sao cho a) kho ng cách gi a các giao đi m c a 1 v i các đư ng tròn S1 và S2 là m t giá tr a cho trư c; b) S1 và S2 ch n 1 các dây cung b ng nhau; c) S1 và S2 ch n 1 các dây cung mà t ng đ dài c a chúng là m t giá tr cho trư c. 1.21 Consider nointersecting chords AB and CD on a circle . Contruct a point X on the circle so that chords AX and BX would intercept on chord CD a segment, EF, of a given length a. Cho đư ng tròn (C ) và các dây cung không c t nhau AB và CD trên (C ). D ng đi m X trên (C ) sao cho các dây cung AX và BX c t dây cung CD theo m t đo n th ng EF có đ dài b ng a (a cho trư c) 1.22 Given point A and two circles S1 , S2 . Though A draw line so that S1 and S2 intercept on 1 equal chords. Cho đi m A và các đư ng tròn S1 , S2 . Qua A hãy d ng đư ng th ng sao cho S1 và S2 ch n trên 1 các dây cung b ng nhau. 2 Phép đ i x ng tâm Đ nh nghĩa 2.1 Cho đi m O. Phép đ i x ng tâm, kí hi u ĐO là phép bi n hình bi n m i đi m # » # » M thành đi m M sao cho OM = −OM . # » # » ĐO (M ) = M ⇔ OM = −OM . Đi m O g i là tâm đ i x ng. Nh n xét. Phép đ i x ng qua tâm O bi n đi m O thành chính nó và bi n m i đi m M khác O thành đi m M sao cho O là trung đi m c a đo n th ng M M . # » # » Đ nh lí 2.1 Cho ĐO (A) = A và ĐO (B) = B . Khi đó, AB = −A B . H qu 2.1 Phép đ i x ng tâm bi n m t đư ng th ng thành m t đư ng th ng song song hay trùng v i nó, bi n tia thành tia, bi n đo n th ng thành đo n th ng b ng nó, bi n m t tam giác thành m t tam giác b ng nó bi n m t đư ng tròn thành m t đư ng tròn có cùng bán kính, bi n m t góc thành m t góc. 5
2.1 Bi u th c to đ c a phép đ i x ng tâm Trong h to đ Oxy cho đi m I(a; b). N u phép đ i x ng tâm I bi n đi m M (x; y) thành đi m M (x ; y ) thì  x = 2a − x, y = 2b − y. 2.2 Tâm đ i x ng c a m t hình Đ nh nghĩa 2.2 Đi m I đư c g i là tâm đ i x ng c a hình H n u phép đ i x ng tâm I bi n hình H thành chính nó. 2.1 Tìm m t hình có vô s tâm đ i x ng. 2.2 Tìm m t hình không có tâm đ i x ng. 2.3 Hình g m hai đư ng th ng c t nhau có bao nhiêu tâm đ i x ng? 2.4 Hình g m hai đư ng th ng song song nhau có bao nhiêu tâm đ i x ng? 2.5 Cho hai đư ng th ng d và d c t nhau t i A và đi m M không n m trên hai đư ng th ng đó. D ng đư ng th ng đi qua M và c t d và d l n lư t t i các đi m B, C sao cho M B = M C. 2.6 Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) c t nhau t i A. Hãy d ng đư ng th ng d đi qua A c t hai đư ng tròn thành hai dây cung có đ dài b ng nhau. 2.7 Hãy d ng m t hình bình hành ABCD cho bi t hai đ nh A, C còn hai đ nh đ i di n B, D còn l i n m trên m t đư ng tròn tâm O, bán kính R cho trư c. 2.8 Cho góc xOy và m t đi m A thu c mi n trong c a góc đó. Hãy d ng đư ng th ng đi qua A, c t c nh Ox t i B, c t c nh Oy t i C sao cho A là trung đi m c a đo n BC. 2.9 Consider two concentric circles S1 and S2 . Draw a line on which these circles intercept three equal segments. Cho hai đư ng tròn đ ng tâm S1 và S2 . D ng đư ng th ng sao cho đư ng th ng này c t hai đư ng tròn S1 và S2 thành ba đo n th ng b ng nhau. 2.10 Prove that if in a triagle a median and a bisector coincide, then the triagle is an isosceles one. Ch ng minh r ng n u m t tam giác có đư ng trung tuy n và đư ng phân giác trùng nhau, thì tam giác đó là tam giác cân. 6
2.11 Cho đo n th ng AB và hai tia Ax, By vuông góc v i AB và n m cùng v m t phía đ i v i đư ng th ng AB. Xét các hình thoi M N P Q có đ nh M n m trên đo n AB, đ nh P trên Ax, đ nh Q trên By có góc nh n t i đ nh M b ng 60◦ . Tìm t p h p đ nh N . 2.12 Trong m t ph ng Oxy cho đi m I(−1; 3), đư ng th ng ∆ có phương trình 7x − 5y + 4 = 0, đư ng tròn (C ) có phương trình x2 + y 2 + 8x − 10y + 3 = 0. Tìm nh c a đi m M (4; 1), đư ng th ng ∆ và đư ng tròn (C ) qua phép đ i x ng tâm I. Đáp s . M (−6; 5), ∆ : 7x − 5y − 40 = 0; (C ) : (x + 4)2 + (y − 5)2 = 2. 2.13 Two players lay out nickels on a rectangular table taking turns. It is only allowed to place a coin onto an unoccupied place. The loser is the one who can not make any move. Prove that the first player can always win in finitely many moves. 2.14 A circle intersects sides BC, CA, AB of a triangle ABC at points A1 and A2 , B1 and B2 , C1 and C2 , respecrively. Prove that if the perpendiculars to the sides of the triangle drawn though A1 , B1 and C1 intersect at one point, then the perpendiculars to the sides of the triangle drawn though A1 , B1 and C1 also intersect at one point M t đư ng tròn c t các c nh BC, CA, AB c a tam giác ABC theo th t t i các đi m A1 và A2 , B1 và B2 , C1 và C2 . Ch ng minh r ng n u các đư ng cao c a tam giác k t các đi m A1 , B1 và C1 đ ng quy, thì các đư ng cao c a tam giác k t các đi m A2 , B2 và C2 cũng đ ng quy. 2.15 Let P be the midpoint of side AB of convex quadrilateral ABCD. Prove that if the area of a triangle P CD is equal to a half area of quadrilateral ABCD, then BC AD. Cho t giác l i ABCD có P là trung đi m c a c nh AB. Ch ng minh r ng n u di n tích c a tam giác P CD b ng m t n a di n tích c a t giác ABCD, thì BC AD. 2.16 Unit circles (C1 ) and (C2 ) are tangent at a point A; the center O of circle (C ) of radius 2 belongs to (C1 ). Circle (C1 ) is tangent to circle (C ) at a point B. Prove that the line AB passes through the intersection point of circle (C2 ) and (C ). Cho hai đư ng tròn đơn v ti p xúc v i nhau t i đi m A. G i (C ) là đư ng tròn tâm O, bán kính b ng 2 (O ∈ (C1 )). Đư ng tròn (C1 ) ti p xúc v i (C ) t i đi m B. Ch ng minh r ng đư ng th ng AB đi qua giao đi m c a (C2 ) và (C ). 2.17 In triangle ABC medians AF and CE are drawn. Prove that if BAF = BCE = 30◦ , then triangle ABC in an equilateral one. Cho tam giác ABC có các đư ng trung tuy n AF và CE. Ch ng minh r ng n u BAF = BCE = 30◦ , thì tam giác ABC là tam giác đ u. 2.18 Prove that the composition of two central symmetries is a parallel translation. 7
Ch ng minh r ng h p thành c a hai phép đ i x ng tâm là m t phép t nh ti n. 2.19 Prove that the composition of a parallel translation with a central symmetry (in either order) is a central symmetry. Ch ng minh r ng h p thành c a m t phép t nh ti n và m t phép đ i x ng tâm (ho c m t phép đ i x ng tâm và m t phép t nh ti n) là m t phép đ i x ng tâm. 2.20 a) Prove that a bounded figure cannot have more than one center of symmetry. b) Prove that no figure can have precisely two centers of symmetry c) Let M be a finite set of points on a plane. Point O will be called an “almost center of symmetry” of the set M if we can delete a point so that O becomes the center of symmetry of the remaining set. How many “almost center of symmetry” can a set have? a) Ch ng minh r ng m t hình b ch n (hình kín) không th có nhi u hơn m t tâm đ i x ng. b) Ch ng minh r ng không t n t i m t hình mà nó có đúng hai tâm đ i x ng. c) Cho M là m t t p h p h u h n các đi m trên m t ph ng. Đi m O đư c g i là h u tâm đ i x ng c a t p h p M n u như ta xoá m t đi m nào đó c a M thì O tr thành tâm đ i x ng các đi m còn l i c a M . H i có bao nhiêu đi m là h u tâm đ i x ng c a M ? 2.21 On segment AB, consider n pairs of points symmetric through the midpoint; n of these 2n points are painted blue and the remaining points are painted red. Prove that the sum of distances from A to the blue points is equal to the sum of distances from B to the red points. Trên đo n th ng AB, cho n (c p) đi m đ i x ng qua trung đi m c a đo n th ng AB; n đi m trong s 2n đi m này đư c sơn màu xanh. S đi m còn l i đư c sơn màu đ . Ch ng minh r ng t ng các kho ng các t A đ n các đi m sơn màu xanh b ng t ng các kho ng các t B đ n các đi m sơn màu đ . 3 Phép đ i x ng tr c Đ nh nghĩa 3.1 Phép đ i x ng qua đư ng th ng a, kí hi u Đa , là phép bi n hình bi n đi m M c a m t ph ng thành đi m M sao cho • n u M ∈ a, thì a là đư ng trung tr c c a đo n th ng M M . • n u M ∈ a, thì M ≡ M . Đ nh lí 3.1 Phép đ i x ng tr c bi n hai đi m M, N l n lư t thành hai đi m M , N , thì M N = MN. 8
Đ nh lí 3.2 Phép đ i x ng tr c bi n ba đi m thành ba đi m th ng hàng và b o toàn th t c a chúng. H qu 3.1 Phép đ i x ng tr c bi n m t đư ng th ng thành m t đư ng th ng, bi n tia thành tia, bi n đo n th ng thành đo n th ng b ng nó, bi n m t tam giác thành m t tam giác b ng nó bi n m t đư ng tròn thành m t đư ng tròn có cùng bán kính, bi n m t góc thành m t góc b ng nó. 3.1 Phép đ i x ng qua các tr c to đ Trong m t ph ng to đ Oxy, • phép đ i x ng qua tr c Ox bi n đi m M (x; y) thành đi m M (x; −y). • phép đ i x ng qua tr c Oy bi n đi m M (x; y) thành đi m M (−x; y). Đ nh nghĩa 3.2 Đư ng th ng d đư c g i là tr c đ i x ng c a hình H n u phép đ i x ng qua tr c d bi n H thành chính nó. 3.1 On the bisector of the exterior angle C of triangle ABC point M distinct from C is taken. Prove that M A + M B > CA + CB. Trên đư ng phân giác ngoài góc C c a tam giác ABC l y đi m M (M không trùng v i C). Ch ng minh r ng M A + M B > CA + CB. 3.2 The inscribed circle of a triangle ABC is tangent to sides AC and BC at points B1 and A1 , respectively. Prove that if AC > BC, then AA1 > BB1 . Đư ng tròn n i ti p tam giác ABC ti p xúc v i v i các c nh AC và BC l n lư t t i B1 và A1 . Ch ng minh r ng n u AC > BC, thì AA1 > BB1 . 3.3 Prove that the area of any convex quaddrilateral does not exceed a half sum of the products of opposite sides. Ch ng minh r ng di n tích c a m t t giác l i b t kì không vư t quá m t n a t ng c a tích các c nh đ i di n. 3.4 Given line and two points A and B on one side of it, find point X on line such that the length of segment AXB of the broken line was minimal. Cho đư ng th ng và hai đi m A, B v cùng m t phía c a . Tìm đi m X trên sao cho đ dài đư ng g p khúc AXB nh nh t. 3.5 Cho góc nh n xOy và m t đi m A thu c mi n trong c a góc này. Tìm trên c nh Ox m t đi m B và trên c nh Oy m t đi m C sao cho tam giác ABC có chu vi nh nh t. 3.6 Inscribe a triangle of the least perimeter in a given acute triangle. 9
D ng m t tam giác có chu vi nh nh t sao cho ba đ nh c a tam giác đó n m trên ba c nh khác nhau c a tam giác nh n cho trư c. 3.7 Point M belongs to a diameter AB of a circle (C ). Chord CD pass through M and intesects AB at an angle of 45◦ . Prove that the sum CM 2 + DM 2 does not depend on the choice of point M. Cho đư ng tròn (C ), đi m M n m trên đư ng kính AB c a (C ). Dây CD qua M và h p v i AB m t góc 45◦ . Ch ng minh r ng t ng CM 2 + DM 2 không ph thu c vào vi c ch n đi m M . 3.8 Through point M on base AB of an isosceles triangle ABC a line is drawn. It intersects A1 A B1 B sides CA and CB (or their extensions) at points A1 and B1 . Prove that = . A1 M B1 M Cho tam giác cân ABC, trên c nh đáy AB ta l y đi m M , đư ng th ng qua M c t các c nh CA A1 A B1 B and CB (ho c ph n kéo dài c a các c nh) t i các đi m A1 và B1 . Ch ng minh r ng = . A1 M B1 M 3.9 Cho đư ng tròn (C ), đư ng th ng ∆ và hai đi m phân bi t A, B không thu c chúng. Xác đ nh đi m C ∈ ∆, D ∈ (C ) sao cho t giác ABCD là hình thang có hai đáy là AB và CD. 3.10 Cho đư ng th ng d và hai đi m A, B n m khác phía đ i v i d. Hãy d ng đi m C trên d sao cho tam giác ABC có đư ng phân giác góc ACB n m trên d. 3.11 Cho hai đi m A và B c đ nh. V i m i đư ng th ng d qua B, ta d ng đi m A đ i x ng v i A qua d. Tìm t p h p đi m A khi d quay quanh B. 4 Phép quay Đ nh nghĩa 4.1 Trong m t ph ng cho m t đi m O và m t góc lư ng giác ϕ không đ i. Phép bi n hình bi n đi m O thành đi m O và bi n m i đi m M khác O thành đi m M sao cho OM = OM và (OM, OM ) = ϕ đư c g i là phép quay tâm O góc quay ϕ, kí hi u Q(O,ϕ) . Ví d 4.1 Cho tam giác đ u ABC có tr ng tâm G. Tìm nh c a A qua phép quay tâm G, góc quay −120◦ . Tìm nh c a B qua phép quay tâm G, góc quay 240◦ Đ nh lí 4.1 Phép quay là m t phép d i hình. Đ nh lí 4.2 Phép quay bi n ba đi m thành ba đi m th ng hàng và b o toàn th t c a chúng. H qu 4.1 Phép quay tr c bi n m t đư ng th ng thành m t đư ng th ng, bi n tia thành tia, bi n đo n th ng thành đo n th ng b ng nó, bi n m t tam giác thành m t tam giác b ng nó bi n m t đư ng tròn thành m t đư ng tròn có cùng bán kính, bi n m t góc thành m t góc b ng nó. 10
4.1 Cho ba đi m th ng hàng A, B, C (B n m gi a A và C). Trên cùng m t n a m t ph ng b AC v các tam giác đ u ABE và BCF . G i M, N l n lư t là trung đi m c a các đo n th ng AF và CE. Ch ng minh r ng BM N là tam giác đ u. 4.2 Cho tam giác đ u ABC. V các tam giác đ u ABC1 , CAB1 , BCA1 n m ngoài mi n tam giác ABX. Ch ng minh r ng các đo n th ng AA1 , BB1 , CC1 có đ dài b ng nhau và đ ng quy t i m t đi m. 4.3 Cho tam giác ABC. Trên các c nh AB, AC ta d ng ra phía ngoài các hình vuông ABM N và ACP Q. a) Ch ng minh r ng N C ⊥ BQ và N C = BQ. BQ b) G i M là trung đi m c a c nh BC, ch ng minh AM ⊥ QN và AM = . 2 4.4 Ch ng minh r ng các trung đi m c a các c nh c a m t đa giác đ u là các đ nh c a m t đa giác đ u. 4.5 Cho hai đư ng th ng d và d không vuông góc v i nhau và đi m A không n m trên hai đư ng th ng đó. Hãy d ng tam giác vuông cân ABC (AB = AC) sao cho hai đ nh B, C n m hai trên đư ng th ng đã cho. 4.6 Cho hai đư ng th ng song song a và b và đi m C không n m trên hai đư ng th ng đó. Hãy tìm trên a và b l n lư t hai đi m A và B sao cho ABC là tam giác đ u. 4.1 Rotation by 90◦ 4.7 On sides BC and CD of square ABCD points M and K, respectively, are taken so that BAM = M AK. Prove that BM + KD = AK. Cho hình vuông ABCD, trên các c nh BC và CD l n lư t l y các đi m M và K sao cho BAM = M AK. Ch ng minh r ng BM + KD = AK. 4.8 In triangle ABC median CM and height CH are drawn. Through an arbitrary point P of the plane in which ABC lies the lines are drawn perpendicularly to CA, CM and CB. They intersect CH at points A1 , M1 and B1 , respectively. Prove that A1 M1 = B1 M1 . G i CM là trung tuy n và CH là đư ng cao c a tam giác ABC. P là đi m b t kì trên m t ph ng ch a tam giác ABC. Qua P k các đư ng vuông góc v i CA, CM và CB, chúng c t CH l n lư t t i các đi m A1 , M1 và B1 . Ch ng minh r ng A1 M1 = B1 M1 . 4.9 Two squares BCDA and BKM N have a common vetex B. Prove that the median BE of a triangle ABK and height BF of a triangle CHB be long to a line. (The vertices of each square are counted clockwise). 11
Cho hai hình vuông BCDA và BKM N có chung đ nh B (và cùng trong m t m t ph ng). Ch ng minh r ng đư ng trung tuy n BE c a tam giác ABK và đư ng cao BF c a tam giác CHB cùng n m trên m t đư ng th ng. (Các đ nh c a m i hình vuông đư c s p theo chi u kim đ ng h ). 4.10 Inside square A1 A2 A3 A4 point P is taken. From vertex A1 , we drop the pependicular on A2 P ; from vertex A2 , we drop the pependicular on A3 P ; from A3 on A4 P and from A4 on A1 P . Prove that all four perpendiculars (or their extentions) intersect at one point. 4.11 On sides CB and CD of square ABCD points M and K are taken, respectively, so that the perimeter of triangle ABC is equal to the doubled length of the square’s side. Find the value of angle M AK. Trên các c nh CB và CD c a hình vuông ABCD l n lư t l y các đi m M và K sao cho chu vi c a tam giác ABC b ng hai l n chi u dài c nh c a hình vuông. Tìm giá tr c a góc M AK. 4.12 On the plane three squares (with same orentation) are given: ABCD, AB1 C1 D1 and A2 B2 CD2 ; the first square has common vertices A and C with the two other squares. Prove that median BM of triangle BB1 B2 is perpendicular to segment D1 D2 . 4.13 Triangle ABC is given. On its sides AB, BC squares ABM N and BCP Q are constructed outwards. Prove that the centers of these squares and the midpoints of segments M Q and AC form a square. Cho tam giác ABC. Trên các c nh AB, BC, v phía ngoài c a tam giác, d ng các hình vuông ABM N và BCP Q. Ch ng minh r ng tâm các hình vuông này và trung đi m c a các đo n M Q và AC là các đ nh c a m t hình vuông. 4.14 A parallelogram is circumscribed about a square. Prove that the pependiculars dropped from the vertices of the parallelogram to the sides of the square form a square. 4.2 Phép quay góc 60◦ (Rotation by 60◦ ) 4.15 On segment AE, on one side of it, equilateral triangles ABC and CDE are constructed; M and P are the midpoints of segments AD and BE, respectively. Prove that triangle CP M is an equilateral one. Trên đo n th ng AE ta d ng các tam giác đ u ABC và CDE v cùng m t phía c a đo n th ng. G i M và P l n lư t là trung đi m c a các đo n th ng AD và BE. Ch ng minh r ng tam giác CP M là m t tam giác đ u. 4.16 Given three parallel lines. Construct an equilateral triangle so that its vertices belong to the given lines. D ng m t tam giác đ u có ba đ nh n m trên ba đư ng th ng song song cho trư c. 12
4.17 Given a square, consider all possible equilateral triangles P KM with fixed vertex P and vetex K belong to the square. Find the locus of vetices M . 4.18 Find the locus of points M that lie inside equilateral triangle ABC and such that M A2 = M B2 + M C 2. Tìm t p h p các đi m M n m bên trong tam giác đ u ABC sao cho M A2 = M B 2 + M C 2 . 4.19 Hexagon ABCDEF is a regular one, K and M are midpoints of segments BD and EF , respectively. Prove that triangle AM K is an equilateral one. Cho l c giác đ u ABCDEF . G i K và M l n lư t là trung đi m c a các đo n th ng BD và EF . Ch ng minh r ng tam giác AM K là tam giác đ u. 4.20 Let M and N be the midpoints of sides CD and DE, respectively, of regular hexagon ABCDEF , let P be the intersection point of segments AM and BN . a) Find the value of the angle between lines AM and BN . b) Prove that SABP = SM DN P . Cho l c giác đ u ABCDEF . G i M và N l n lư t là trung đi m c a các c nh CD và DE, g i P là giao đi m c a các đo n th ng AM và BN . a) Tìm giá tr c a góc gi a các đư ng th ng AM và BN . b) Ch ng minh r ng SABP = SM DN P . 4.21 On sides AB and BC of an equilateral triangle ABC points M and N are taken so that M N AC; let E be the midpoint of segment AN and D the center of mass of triangle BM N . Find the value of the angles of triangle CDE. 4.22 On sides AB and AC of triangle ABC equilateral triangles ABC and AB C are contructed outwards. Point M divides side BC in the ratio of M B : M C = 3 : 1; points K, M are the midpoints of sides AC and B C, respectively. Prove that the angles of triangle KLM are equal 30◦ , 60◦ and 90◦ . Trên các c nh AB và AC c a tam giác ABC, v phía ngoài c a tam giác, d ng các tam giác đ u ABC và AB C . M là đi m trên c nh BC chia c nh BC theo t s M B : M C = 3 : 1; các đi m K, M l n lư t là trung đi m c a các c nh AC và B C. Ch ng minh r ng s đo các góc c a tam giác KLM là 30◦ , 60◦ và 90◦ . 4.23 Equilateral triangles ABC, CDE, EHK (vertices are circumvent counterclockwise) are # » # » place on the plane so that AD = DK. Prove that triangle BHD is also an equilateral triangle 13
Trong m t ph ng, cho các tam giác đ u ABC, CDE, EHK (các đ nh đư c đánh nhãn theo # » # » chi u ngư c chi u kim đ ng h ) sao cho AD = DK. Ch ng minh r ng tam giác BHD cũng là tam giác đ u. 4.24 Inside an acute triangle find a point the sum of distances from which to the vertices is the least one. Cho tam giác ABC có ba góc nh n. Tìm đi m M bên trong tam giác sao cho t ng các kho ng cách t M đ n các đ nh A, B, C nh nh t. 4.25 Inside triangle ABC all the angles of which are smaller than 120◦ a point O is taken; it serves as vertex the angles of 120◦ that subtend the sides. Prove that the sum of distances from O 1 √ to the vertices is equal to (a2 + b2 + c2 ) + 2 3S. Where, a, b, c are lengths of sides and S is area 2 of triangle ABC. Cho tam giác ABC có các góc đ u nh hơn 120◦ . G i O là đi m thu c mi n trong c a tam giác sao cho đi m O trương m t góc 120◦ v i các c nh c a tam giác (AOB = BOC = AOC = 120◦ ). 1 √ Ch ng minh r ng t ng các kho ng cách t O đ n các đ nh A, B, C b ng (a2 + b2 + c2 ) + 2 3S. 2 đây, a, b, c là đ dài các c nh và S là di n tích c a tam giác ABC. 4.26 Hexagon ABCDEF is inscribed in a circle of radius R and AB = CD = EF = R. Prove that the midpoints of sides BC, DE and F A determine an equilateral triangle. Cho l c giác ABCDEF n i ti p trong đư ng tròn bán kính R và AB = CD = EF = R. Ch ng minh r ng các trung đi m c a các c nh BC, DE và F A xác đ nh m t tam giác đ u. #» #» #» 4.27 V phía ngoài đa giác A1 A2 . . . An xét các vectơ e1 , e2 , . . . , en l n lư t vuông góc v i các c nh A1 A2 , A2 A3 , . . . , An A1 có đ dài b ng các c nh tương ng và các g c (đi m đ u) thu c c nh #» #» #» #» tương ng đó. Ch ng minh r ng e1 + e2 + · · · + en = 0 . # » # » # » #» 4.28 Cho đa giác đ u A1 A2 . . . An tâm O. Ch ng minh r ng OA1 + OA2 + · · · + OAn = 0 . 4.3 Phép quay v i góc b t kì (Rotations through arbirary angles) 4.29 A lion runs over the arena of a circus which is a dish of radius 10 m. Moving along a broken line the lion covered 30 km. Prove that the sum of all the angles of his turns is not less than 2998 radian. 3 M t con sư t ch y trên sân kh u xi c có d ng hình tròn bán kính 10 m. Sư t ch y t t c 30 km theo m t đư ng g p khúc. Ch ng minh r ng t ng t t c các góc quay c a nó không nh hơn 2998 radian. 3 Trích t cu n “Bài t p nâng cao và m t s chuyên đ hình h c 11”, Tr n Văn T n, NXBGD, tr.21. 14
5 Phép v t Đ nh nghĩa 5.1 Trong m t ph ng cho đi m O. Phép đ t tương ng v i m i đi m M v i đi m # » # » M sao cho OM = k · OM , v i k là m t s khác không cho trư c, đư c g i là phép v t tâm O, k t s k và đư c ký hi u là VO . Vy k # » # » VO (M ) = M ⇔ OM = k · OM Nh n xét. 1. N u M là nh c a M qua phép v t tâm O t s k, thì M là nh c a M qua phép v t 1 tâm O t s . k 2. Phép v t tâm O t s k = −1 là phép đ i x ng tâm O. Đ nh lí 5.1 N u M , N l n lư t là nh c a M, N qua phép v t tâm O t s k, thì # » # » 1. M N = k M N , 2. M N = |k|M N . T Đ nh lí trên ta suy ra h qu sau. Phép v t a) bi n ba đi m th ng hàng thành ba đi m th ng hàng và b o toàn th t c a chúng, b) bi n đư ng th ng thành đư ng th ng song song hay trùng v i nó, c) bi n m t đo n th ng thành m t đo n th ng, d) bi n m t góc thành m t góc b ng nó, e) bi n m t tam giác thành m t tam giác đ ng d ng v i nó, f) bi n m t đư ng tròn có bán kính R thành đư ng tròn có bán kính |k|R. Đ nh nghĩa 5.2 Hai hình H và H đư c g i là đ ng d ng v i nhau n u có m t phép đ ng d ng bi n hình này thành hình kia. 5.1 Cho tam giác ABC. G i A , B , C l n lư t là trung đi m c a các c nh BC, CA, AB. Ch ng minh r ng t n t i m t phép v t bi n tam giác ABC thành tam giác A B C . 5.2 Cho t giác ABCD. G i A , B , C , D l n lư t là tr ng tâm c a các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC. Ch ng minh r ng t n t i m t phép v t bi n t giác ABCD thành t giác A B C D . 5.3 G i H, G, O l n lư t là tr c tâm, tr ng tâm, tâm đư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC; M, N, P l n lư t là trung đi m c a các c nh BC, CA, AB và I là tâm đư ng tròn ngo i ti p tam giác M N P . Ch ng minh b n đi m O, G, I, H th ng hàng và I là trung đi m c a đo n OH. 15
5.4 Trong m t ph ng to đ Oxy vi t phương trình nh c a đư ng th ng ∆ : x + 2y − 3 = 0 và nh c a đư ng tròn (C ) : x2 + y 2 − 2x − 2y − 7 = 0 qua phép v t tâm I(2; −1), t s k = −3. Đáp s . ∆ : x + 2y + 9 = 0 và (C ) : (x − 5)2 + (y + 7)2 = 81. 5.5 Cho đư ng tròn (O) và tam giác ABC có đ nh A c đ nh và c nh BC là dây cung c a (O). Tìm t p h p tr ng tâm tam giác ABC. 5.6 Cho đư ng tròn (O) và đi m M c đ nh không n m trên (O) . V i m i đi m A thu c (O) ta g i I là trung đi m c a đo n M A. Tìm t p h p đi m I khi A thay đ i. 5.7 Cho tam giác ABC và đư ng tròn (O). V i m i đi m M thu c (O) ta xác đ nh đi m N sao # » # » # » # » cho M N = M A + 2M B + 3M C. Tìm t p h p đi m M , khi M thay đ i trên (O). 5.8 Cho hai đư ng th ng c t nhau d1 và d2 và đi m M không thu c hai đư ng th ng đó. Hãy d ng đư ng th ng d3 đi qua M c t d1 t i A, d2 t i B sao cho M chia trong đo n AB theo t s MA = 3. MB 5.9 Cho đư ng tròn (O) và đi m M n m trong đư ng tròn. D ng đư ng th ng d qua M c t đư ng tròn t i hai đi m A, B sao cho M A = 3M B. 5.10 Cho tam giác ABC có ba góc nh n. Hãy d ng m t hình vuông có ba đ nh n m trên ba c nh c a tam giác. 6 Khái ni m phép đ ng d ng Đ nh nghĩa 6.1 Phép bi n hình f trong m t ph ng đư c g i là phép đ ng d ng n u v i hai đi m M, N b t kỳ và nh M = f (M ), N = f (N ) c a chúng, ta luôn có M N = k · M N , trong đó k là m t s dương cho trư c. S dương k đư c g i là t s đ ng d ng c a phép đ ng d ng f . Tính ch t 6.1 1. Th c hi n liên ti p m t s h u h n phép đ ng d ng s đư c m t phép đ ng d ng. 2. Phép đ ng d ng t s k (a) bi n ba đi m th ng hàng thành ba đi m th ng hàng và b o toàn th t c a chúng, (b) bi n đư ng th ng thành đư ng th ng, bi n m t tia thành m t tia, (c) bi n m t đo n th ng thành m t đo n th ng, (d) bi n m t góc thành m t góc b ng nó, (e) bi n m t tam giác thành m t tam giác đ ng d ng v i nó, (f) bi n m t đư ng tròn bán kính R thành m t đư ng tròn bán kính |k| · R. 16
6.1 Ch ng minh r ng hai hình vuông b t kì thì đ ng d ng v i nhau. 6.2 Cho đư ng th ng d, đư ng tròn (O) và đi m A không n m trên d và (O). Hãy d ng m t tam giác vuông cân ABC có đ nh góc vuông C n m trên d, đ nh B n m trên (O). 6.3 Tìm nh c a đư ng th ng ∆ : 2x + 3y − 4 = 0, đư ng tròn (C ) : x2 + y 2 − 2x − 4y + 1 = 0 khi th c hi n liên ti p phép t nh ti n theo vectơ #» = (1; −3) và phép đ i x ng tâm I(−4; 2). v 17
M cl c 1 Phép d i hình và phép đ ng d ng trong m t ph ng 1 1.1 Phép bi n hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Phép d i hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Phép t nh ti n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.4 Bi u th c to đ c a phép t nh ti n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Phép đ i x ng tâm 5 2.1 Bi u th c to đ c a phép đ i x ng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Tâm đ i x ng c a m t hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 Phép đ i x ng tr c 8 3.1 Phép đ i x ng qua các tr c to đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4 Phép quay 10 4.1 Rotation by 90◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.2 Phép quay góc 60◦ (Rotation by 60◦ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.3 Phép quay v i góc b t kì (Rotations through arbirary angles) . . . . . . . . . . . . 14 5 Phép v t 15 6 Khái ni m phép đ ng d ng 16 18