Phổ tán sắc plasmon của hệ graphene hai lớp với điện môi nền không đồng nhất ở nhiệt độ không tuyệt đối

Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 36 – 46<br /> <br /> Part D: Natural Sciences, Technology and Environment<br /> <br /> PHỔ TÁN SẮC PLASMON CỦA HỆ GRAPHENE HAI LỚP VỚI ĐIỆN MÔI NỀN<br /> KHÔNG ĐỒNG NHẤT Ở NHIỆT ĐỘ KHÔNG TUYỆT ĐỐI<br /> Nguyễn Văn Mện<br /> Trường Đại học An Giang<br /> Thông tin chung:<br /> Ngày nhận bài: 13/06/2016<br /> Ngày nhận kết quả bình duyệt:<br /> 22/08/2016<br /> Ngày chấp nhận đăng: 12/2016<br /> Title:<br /> Plasmon dispersions of double<br /> layer graphene with<br /> nonhomogenous dielectronic<br /> background at zero temperature<br /> Keywords:<br /> Damping rate, dynamical<br /> dielectric function,<br /> nonhomogenous dielectric<br /> background, Plasmon<br /> dispersion modes<br /> Từ khóa:<br /> Điện môi nền không đồng nhất,<br /> hàm điện môi động, hệ số suy<br /> giảm, phổ tán sắc plasmon<br /> <br /> ABSTRACT<br /> We have investigated the dynamical dielectric function of Double layer<br /> Graphene systems (DLGs), made of two parallel Single layer Graphene (SLG)<br /> with separation of d and nonhomogenous dielectric background at zero<br /> temperature. The results were used to calculate the Plasmon dispersion modes<br /> and damping rate of DLGs, and compare to those of similar DLGs with<br /> homogenous dielectric background. It was shown that the plasmon modes and<br /> damping rate of nonhomogenous dielectric background DLGs were mostly<br /> lower than those in homogenous ones for several interlayer separation and<br /> layer carrier densities.<br /> <br /> TÓM TẮT<br /> Chúng tôi tính toán hàm điện môi động của hệ graphene hai lớp (Double layer<br /> graphene – DLG) được tạo thành từ hai đơn lớp graphene (Single layer<br /> Graphene – SLG) song song và cách nhau một khoảng d với điện môi nền<br /> không đồng nhất ở nhiệt độ không tuyệt đối. Hàm điện môi này được sử dụng để<br /> tính toán phổ tán sắc plasmon và hệ số suy giảm của hệ DLG, so sánh với hệ<br /> tương tự có hằng số điện môi nền đồng nhất. Chúng tôi phát hiện ra rằng, phổ<br /> plasmon và hệ số suy giảm của hệ DLG có điện môi nền không đồng nhất luôn<br /> thấp hơn phổ plasmon của hệ DLG có hằng số điện môi nền đồng nhất ở các<br /> khoảng cách khác nhau giữa hai lớp và các tỷ lệ khác nhau giữa mật độ hạt tải<br /> ở hai lớp SLG<br /> <br /> nhất được biết đến hiện nay (chỉ một lớp nguyên<br /> tử) nhưng lại rất bền (có thể so sánh với kim<br /> cương) và dẫn điện, dẫn nhiệt rất tốt (độ linh động<br /> của điện tử trong graphene lớn gấp hàng trăm lần<br /> so với vật liệu silicon, các electron có thể dễ dàng<br /> đi qua mà không bị cản trở gì nhiều). Cũng chính<br /> bởi những tính chất đặc biệt này làm cho việc<br /> nghiên cứu về graphene được xem là một hướng<br /> đi mới trong công nghệ vật liệu thấp chiều, thay<br /> thế công nghệ silicat đã rất thịnh hành trong<br /> những năm qua. Tiến sĩ Walter de Heer, Viện<br /> <br /> 1. GIỚI THIỆU<br /> Graphene là hệ cấu trúc hai chiều gồm một lớp<br /> nguyên tử carbon được sắp xếp chặt chẽ tạo thành<br /> mạng tinh thể hai chiều hình lục giác, và là cơ sở<br /> cho các cấu trúc khác của carbon. Đây là vật liệu<br /> thấp chiều thu hút được rất nhiều sự quan tâm<br /> trong giới khoa học những năm gần đây bởi<br /> những tính chất vật lý khác biệt của nó so với các<br /> cấu trúc hai chiều truyền thống. Sự khác biệt đó<br /> có thể kể tới như: đây là vật liệu có bề dày mỏng<br /> <br /> 36<br /> <br /> Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 36 – 46<br /> <br /> Part D: Natural Sciences, Technology and Environment<br /> <br /> Georgia Tech cho biết: “Transitor sử dụng silicon<br /> có thể đạt được tốc độ xử lý tối đa, cố gắng có thể<br /> đạt được tốc độ đó nhưng không thể nhanh hơn<br /> nữa – hiện nay, đạt đến tốc độ gigahertz thì silicon<br /> không thể tăng thêm được, nhưng với graphene,<br /> tốc độ có thể lên đến mức terahertz, gấp ngàn lần<br /> gigahertz, và điều đó sẽ rất tuyệt”.<br /> <br /> được nhóm của Badalyan nghiên cứu và công bố<br /> năm 2012. Những công bố trên cho thấy, việc<br /> nghiên cứu, hoàn chỉnh lý thuyết về graphene<br /> đang nhận được sự quan tâm đáng kể của các nhà<br /> khoa học và là vấn đề nóng trong giai đoạn hiện<br /> nay trong lĩnh vực công nghệ vật liệu. Tuy nhiên,<br /> các công bố này cũng cho thấy chưa có một<br /> nghiên cứu nào về phổ plasmon của hệ DLG có<br /> hằng số điện môi nền không đồng nhất ở nhiệt độ<br /> không tuyệt đối trong khi những hệ graphene loại<br /> này lại là những hệ vật lý thường gặp. Nhận ra<br /> điều đó và cũng bắt nhịp với định hướng chung,<br /> chúng tôi nghiên cứu ảnh hưởng của sự không<br /> đồng nhất của điện môi nền lên phổ plasmon và<br /> hệ số suy giảm của cấu trúc DLGs ở nhiệt độ<br /> không tuyệt đối; đồng thời cũng khảo sát sự ảnh<br /> hưởng của tỷ lệ mật độ hạt tải giữa hai lớp lên phổ<br /> plasmon và hệ số suy giảm khi điện môi nền<br /> không đồng nhất ở nhiệt độ không tuyệt đối. Bài<br /> báo này nhằm công bố kết quả tính toán về phổ<br /> tán sắc plasmon và hệ số suy giảm của graphene<br /> (hai trong những đặc tính quan trọng của vật liệu)<br /> góp phần hoàn chỉnh lý thuyết về vật liệu đặc biệt<br /> này.<br /> <br /> Hình thức luận điện môi là một phương pháp<br /> nghiên cứu cấu trúc hai chiều dựa trên những tính<br /> toán về hàm điện môi động và các ứng dụng của<br /> nó. Hàm điện môi động là một đặc trưng quan<br /> trọng của hệ hai chiều, từ kết quả về hàm điện<br /> môi động trong hình thức luận điện môi ta có thể<br /> tìm ra phổ kích thích tập thể (hay phổ plasmon),<br /> hệ số suy giảm và những đặc tính quan trọng khác<br /> của hệ (như tính chất vận chuyển chẳng hạn). Do<br /> đó, để nghiên cứu về đặc tính kích thích tập thể<br /> của hệ hai chiều nói chung và graphene nói riêng<br /> thì việc sử dụng hình thức luận điện môi là một<br /> trong những cách làm hiệu quả.<br /> Trong hầu hết các cấu trúc lớp của graphene thì<br /> cấu trúc hệ DLG là cấu trúc thường gặp trong các<br /> thí nghiệm nghiên cứu cũng như các linh kiện<br /> điện tử. Vì vậy, việc nghiên cứu những tính chất<br /> của hệ DLG là điều cần thiết và thời sự. Phổ<br /> plasmon của hệ DLG với điện môi nền đồng nhất<br /> ở cả nhiệt độ không và nhiệt độ hữu hạn đã được<br /> nhiều nhà khoa học trong nước cũng như trên thế<br /> giới nghiên cứu dựa trên hình thức luận điện môi<br /> và công bố trong những năm gần đây (E. H.<br /> Hwang, & S. D. Sarma, 2007; Đinh Văn Tuân &<br /> Nguyễn Quốc Khánh, 2013; A.H. MacDonald và<br /> cs., 2009; 2012). Bên cạnh đó, hệ DLG với điện<br /> môi nền không đồng nhất ở nhiệt độ hữu hạn đã<br /> <br /> 2. LÝ THUYẾT<br /> Cấu trúc graphene mà chúng tôi nghiên cứu gồm<br /> hai đơn lớp graphene song song nhau, cách nhau<br /> một khoảng d và hằng số điện môi thay đổi theo<br /> từng khoảng (Hình 1).<br /> Trong gần đúng pha ngẫu nhiên (random – phase<br /> approximation – RPA), hàm điện môi động của hệ<br /> DLG được định nghĩa bằng biểu thức (E. H.<br /> Hwang, & S. D. Sarma, 2009):<br /> <br /> 37<br /> <br /> Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 36 – 46<br /> <br /> Part D: Natural Sciences, Technology and Environment<br /> <br /> Hình 1. Cấu trúc DLG có hằng số điện môi nền không đồng nhất<br /> <br />   , q   1 , q  2 , q   v122 , q  1 , q  2 , q <br /> <br /> (1)<br /> <br /> Trong đó:<br /> <br />  là tần số plasmon của hệ ứng với giá trị vector sóng q ;<br /> <br /> 1,2 , q   1  v11,22 q  1,2  , q <br /> <br /> (2)<br /> <br /> là hàm điện môi động của từng đơn lớp graphene tương ứng;<br /> <br /> 1,2 ,q  là hàm phân cực của đơn lớp graphene ở nhiệt độ không tuyệt đối.<br /> <br /> vij q  <br /> <br /> 2e 2<br /> q ij q <br /> <br /> (3)<br /> <br /> là thế tương tác Coulomb nội lớp và xuyên lớp graphene (Badalyan & Peeters, 2012)<br /> <br /> ij q  là hằng số điện môi hiệu dụng trung bình được xác định bằng hệ thức (Badalyan & Peeters,<br /> 2012):<br /> <br /> 1<br /> <br /> 11 q <br /> 1<br /> <br /> 22 q <br /> 1<br /> <br /> 12 q <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2 2 cosh qd  3 sinh qd <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2 1  3  cosh qd  13  22 sinh qd<br /> 2 2 cosh qd  1 sinh qd <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> (5)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> (6)<br /> <br /> 2 1  3  cosh qd  13  22 sinh qd<br /> 22<br /> <br /> (4)<br /> <br /> 2 1  3  cosh qd  13  22 sinh qd<br /> <br /> 38<br /> <br /> Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 36 – 46<br /> <br /> Bằng cách sử dụng các biến số mới: x <br /> <br /> Với kF <br /> <br /> Part D: Natural Sciences, Technology and Environment<br /> <br /> q<br /> <br /> ;y<br /> kF<br /> EF<br /> <br /> (7)<br /> <br /> 4 n<br /> và E F lần lượt là độ dài vector sóng Fermi và năng lượng Fermi (giữa chúng có quan<br /> gs g <br /> <br /> hệ E F  vF kF , chọn   1 trong toàn bộ bài viết này), E.H. Hwang và D. Sarma (2007) đã tìm được<br /> hàm phân cực của hệ SLG như sau:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />   x , y   <br />   x , y   <br />   x , y <br />  x , y   D0 E F  <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> D0 E F  <br /> <br /> (8)<br /> <br /> g s g n<br /> v<br />  F<br /> <br /> (9)<br /> <br /> gs  g   2 là thừa số suy biến spin và suy biến valley; n là mật độ hạt tải; vF <br /> <br /> c<br /> là vận tốc<br /> 300<br /> <br /> graphene.<br /> Các hàm trong dấu ngoặc của (8) có phần thực và phần ảo được xác định như sau:<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br />   x , y    y  x  <br /> Re <br /> f1 x , y   2  y  x<br /> 1 <br /> 1<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 8<br /> y<br /> <br /> x<br /> <br /> <br /> <br />  sgn y  2  x  f1 x , y   2  y  x<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  f2 x , y   x  2  y    2  x  y <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  y  x <br /> 8 y2  x 2<br /> <br />   x , y   <br /> Im <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />   x , y  <br /> Im <br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> (10)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br />   x , y    x  y  <br /> Re <br /> f3 x , y   x  2  y<br /> 1 <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 8 x y<br /> <br /> <br /> <br />  f3 x , y   x  y  2<br /> <br /> <br /> x 2 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> y<br /> <br /> 2<br /> <br /> x<br /> <br /> <br /> y<br /> <br /> 2<br /> <br /> x<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> (11)<br /> <br /> <br /> <br /> f x, y   x  y  2 <br /> 3<br /> <br /> <br /> x 2 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x<br /> <br /> 2<br /> <br /> y<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> x<br /> <br /> y<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br />  x  y   y  x  2<br /> 2<br /> <br /> 8 x y<br /> <br /> 2<br /> <br />  f x , y   f x , y   2  x  y <br /> 4<br />  4<br /> <br /> <br /> Với:<br /> <br /> 39<br /> <br /> (12)<br /> <br /> (13)<br /> <br /> Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 36 – 46<br /> <br /> Part D: Natural Sciences, Technology and Environment<br /> <br /> 2  y   2  y <br /> <br /> 2<br /> <br /> f1 x , y   2  y <br /> <br /> f2 x , y   x 2 ln<br /> <br /> 2  y <br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br />  x  x ln<br /> <br /> 2<br /> <br />  x2<br /> (14)<br /> <br /> 2<br /> <br /> y x y<br /> <br /> y  y2  x 2<br /> x<br /> <br /> (15)<br /> <br /> f3 x , y   2  y  x 2  2  y   x 2 sin1<br /> 2<br /> <br /> 2y<br /> x<br /> <br /> (16)<br /> <br /> 2  y   2  y <br /> <br /> 2<br /> <br /> f4 x , y   2  y <br /> <br /> 2  y <br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br />  x  x ln<br /> <br />  x2<br /> (17)<br /> <br /> x<br /> <br /> <br />  y  x  <br /> x 2   x  y <br /> <br /> <br /> Và  x , y   <br /> i<br /> <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 8  x 2  y2<br /> <br /> y<br /> <br /> x<br /> <br /> <br /> (18)<br /> <br /> Phổ tán sắc plasmon của hệ có thể thu được bằng cách tìm các điểm không của phần thực hàm điện môi<br /> động (E. H. Hwang, & S. D. Sarma, 2007):<br /> <br /> Re  q, p   0<br /> <br /> (19)<br /> <br /> Hệ số suy giảm được định nghĩa bằng biểu thức (T. Vazifehshenas, T. Amlaki, M. Farmanbar, & F.<br /> Parhizgar, 2010):<br /> 1<br /> <br /> <br /> <br />   Re  q,  <br /> <br /> <br />   Im  q, p <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />   p <br /> <br /> (20)<br /> <br /> Trong đó p là tần số plasmon ứng với giá trị tương ứng của vector sóng q .<br /> <br /> SiO2 1  3, 8 , Al2O3 2  6, 0 và không<br /> <br /> Nghiệm số của phương trình (19) và giá trị của<br /> hàm  trong (20) được chúng tôi tính bằng<br /> phương pháp chia đôi, trên nền ngôn ngữ lập trình<br /> C++ của Microsoft Visual Studio 2010. Các bảng<br /> số liệu thu được làm cơ sở dữ liệu cho phần mềm<br /> vẽ đồ thị OriginPro 8.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> khí 3  1, 0 (Badalyan & Peeters, 2012).<br /> 3.1<br /> <br /> Phổ tán sắc plasmon<br /> <br /> Hình 2 biểu diễn phổ tán sắc plasmon của hệ DLG<br /> đã nêu với những giá trị khoảng cách khác nhau<br /> giữa hai lớp graphene trong hệ có mật độ hạt tải ở<br /> hai lớp bằng nhau, hệ hoàn toàn cân đối<br /> <br /> 3. KẾT QUẢ GIẢI SỐ VÀ THẢO LUẬN<br /> Trong phần này, chúng tôi trình bày những kết<br /> quả thu được bằng phép tính số đối với hệ DLG ở<br /> một vài khoảng cách khác nhau giữa hai lớp và<br /> mật độ hạt tải. Hệ DLG mà chúng tôi khảo sát<br /> được tạo thành từ ba lớp nền gồm:<br /> <br /> 12<br /> <br /> -2<br /> <br /> ( n2  n1  10 cm ). Để tiện so sánh, chúng<br /> tôi vẽ kèm trong đồ thị phổ plasmon của hệ có<br /> hằng số điện môi nền đồng nhất bằng trung bình<br /> cộng của hằng số điện môi của lớp 1 và lớp 3<br /> <br /> 40<br /> <br />