Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Schur

Chia sẻ: Tai Viet | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:2

Thêm vào BST

Báo xấu

254
lượt xem 20
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'phương pháp chứng minh bất đẳng thức schur', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Schur

Cao Văn Dũng SV: L p K50A1s-Sp Toán – Khoa Sư Ph m – ĐHQGHN Nhi u Cách Đ Ch ng Minh Cho B t Đ ng Th c Schur B t đ ng th c Schur là m t b t đ ng th c ch t và đ p m t có nhi u ng d ng đ gi i toán, nhưng khi áp d ng nó thì ph i ch ng minh nó xong r i m i đư c áp d ng. Bài vi t này xin nêu ra m t s cách đ ch ng minh, mong b n đ c có them nhi u cách hay khác n a đóng góp đ cho bài vi t tr nên phong phú hơn. Ta có bài toán b t đ ng th c Schur: V i các s th c không âm a,b,c ta luôn có b t đ ng th c sau: a(a − b )(a − c ) + b(b − c )(b − a ) + c(c − a )(c − b ) ≥ 0 . CM: Cách 1: (Đ t n ph ) Do vai trò c a a,b,c là như nhau nên ta có th gi s a ≥ b ≥ c . Đ t x = a − b ≥ 0; y = b − c ≥ 0 nên b t đ ng th c đư c vi t l i thành: c( x + y ) y − (c + y )xy + (c + x + y )x( x + y ) ≥ 0. ( ) ⇔ c x 2 + xy + y 2 + x 2 ( x + 2 y ) ≥ 0 luôn đúng do x,y,c là các s không âm. D u “=” x y ra khi a = b = c ho c a = b; c = 0 ho c các hoán v c a nó. Cách 2: Do vai trò c a a,b,c là như nhau nên ta có th gi s a ≥ b ≥ c . TH: 2 trong 3 s a,b,c b ng nhau thì b t đ ng th c hi n nhiên đúng. TH: a > b > c ta chia v trái b t đ ng th c cho (a − b )(b − c )(a − c ) > 0 nên b t đ ng th c a b c tương đương: − + > 0 b t đ ng th c trên luôn đúng do b−c a−c a−b  a>b>0 a b  ⇒ > . 0 < b − c < a − c b − c a − c Cách 3: (Kh o sát hàm) Do vai trò c a a,b,c là như nhau nên ta có th gi s a ≥ b ≥ c . B t đ ng th c trên đư c vi t l i: a + b + c + 3abc − ab(a + b ) − bc(b + c ) − ca(c + a ) ≥ 0. . 3 3 3 Ta xét hàm s sau: f (a) = a 3 + b 3 + c 3 + 3abc − ab(a + b ) − bc (b + c ) − ca (c + a ) 1
Ta có 2 2 2 ( 2 ) ( 2 2 ) f ( x) = 3a + 3bc − 2ab − b − 2ac − c = a − b + 2a − 2ab + (2bc − 2ac ) + bc − c ' ( 2 ) = (a − b )(a + b ) + 2a(a − b ) − 2c(a − b ) + c(b − c ) = (a − b )(a + b + 2a − 2c ) + c(b − c ) ≥ 0 Nên f (x ) đ ng bi n Nên f (a ) ≥ f (b ) = c 3 + 3a 2 c − 2ac(a + c ) = c (a − c ) ≥ 0. 2 V y b t đ ng th c đư c ch ng minh xong. Cách 4: (Đánh giá) Do vai trò a,b,c là như nhau nên ta gi s a ≥ b ≥ c . Khi đó ta có: c(c − a )(c − b ) ≥ 0 . Ta xét: a(a − c ) − b(b − c ) = a 2 − ac − b 2 + bc = (a − b )(a + b − c ) ≥ 0 . ⇒ a(a − b )(a − c ) − b(b − c )(a − b ) ≥ 0 ⇔ a (a − b )(a − c ) + b(b − c )(b − a ) ≥ 0 . V y c ng 2 b t đ ng th c trên ta đư c đi u ph i ch ng minh . Cách 5: (D n bi n) Do vai trò a,b,c là như nhau nên ta gi s a ≤ b ≤ c. Ta xét hàm s : f (a, b, c ) = a 3 + b 3 + c 3 + 3abc − ab(a + b ) − bc(b + c ) − ca(c + a ) Ta có  b+c b+c  5   b+c b+c f (a, b, c ) − f  a,  =  b + c − a (b − c ) ≥ 0 ⇒ f (a, b, c ) ≥ f  a, 2 , , .  2 2   4   2 2  Như v y đ ch ng minh b t đ ng th c trên ta ch c n ch ng minh f (a, b, b ) ≥ 0 Mà f (a, b, b ) = a 3 + ab 2 − 2a 2 b = a(a − b ) ≥ 0. 2 V y b t đ ng th c trên đư c ch ng minh xong. Tài li u tham kh o. [1]. Ph m Kim Hùng, 2006, Sáng t o b t đ ng th c, NXB Tri Th c. [2]. Cao Văn Dũng, Nhi u cách đ ch ng minh cho b t đ ng th c Schur, T p chí toán h c tu i thơ 2 tháng 7/ 2008, NXB GD. 2