Phương pháp dưới đạo hàm tăng cường giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của một bài toán bất đẳng thức biến phân tách

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài viết này, dựa trên ý tưởng của phương pháp dưới đạo hàm tăng cường được đề xuất bởi Censor và các cộng sự. Bài viết đề xuất một phương pháp mới để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân tách.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp dưới đạo hàm tăng cường giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của một bài toán bất đẳng thức biến phân tách

PHƯƠNG PHÁP DƯỚI ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA MỘT BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TÁCH Hồ Phi Tứ Khoa Toán - Khoa học tự nhiên Email: tuhp@dhhp.edu.vn Ngày nhận bài: 10/8/2020 Ngày PB đánh giá: 24/8/2020 Ngày duyệt đăng: 31/8/2020 TÓM TẮT. Trong bài báo này, dựa trên ý tưởng của phương pháp dưới đạo hàm tăng cường được đề xuất bới Censor và các cộng sự ([xem 2]), chúng tôi đề xuất một phương pháp mới để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân tách. Bài toán này còn được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp. Đồng thời, chúng tôi cũng chứng minh được sự hội tụ mạnh của dãy lặp tới nghiệm duy nhất của bài toán trên không gian Hilbert thực. Từ khóa. Bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân tách, giả đơn điệu, hội tụ yếu, hội tụ mạnh, L-liên tục Lipschitz,   đơn điệu mạnh. A SUBGRADIENT EXTRAGRADIENT METHOD FOR SOLVING VARIATIONAL INEQUALITY PROBLEM ON SOLUTION SET OF SPLIT VARIATIONAL INEQUALITY PROBLEM ABSTRACT In this paper, by basing on the ideas of sub-gradient extra-gradient method presented by Censor and his associates ([see 2]), we propose a new method for solving variational inequality problem on the constraint set which is the solution of the problem of integral variance inequality. This problem is also known as the two-level split variable inequality problem. Simultaneously, we also prove the strong convergence of the repeating sequence to the unique solution of the problem on real Hilbert space. Key words. Variational inequality problem, split variational inequality problem pseudo-monotone, weak convergence, strong convergence, L-Lipschitz continuous,   strong monotone. TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020| 81
I. GIỚI THIỆU Cho  là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng á⋅, ⋅ñ và chuẩn || ||, C là một tập con lồi đóng khác rỗng của  và PC là phép chiếu lên tập C . Ta kí hiệu x k  x (tương ứng x k  x ) là sự hội tụ mạnh (yếu) của dãy {x k } tới x . Xét bài toán bất đẳng thức biến phân VIP (W, G) : Cho C và Q lần lượt là các tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực 1 và 2 . Giả sử A : 1  2 là một toán tử tuyến tính bị chặn. Xét các ánh xạ F1 : 1  1 và F2 : 2  2 . Tìm x* Î W sao cho G ( x* ) , x - x* ³ 0 "x Î W, (1.1) trong đó G : 1  1 và W = { x* Î Sol (C , F1 ) : A( x* ) Î Sol (Q, F2 )} là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân tách. Để giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu và liên tục Lipschitz VIP (C , G ) , Korpelevich đã đề xuất phương pháp đạo hàm tăng cường ([xem 4]). Tuy nhiên, phương pháp này đòi hỏi hai phép chiếu lên tập ràng buộc C nên ảnh hưởng đến sự hiệu quả của thuật toán. Năm 2001, Censor cùng cộng sự đã đề xuất thay phép chiếu lần thứ hai lên C bằng phép chiếu lên nửa không gian chứa C ([xem 2]). Phương pháp này gọi là phương pháp dưới đạo hàm tăng cường và được mô tả tóm tắt như sau: Xuất phát từ điểm x 0 Î 1 , với mọi k ³ 0, ta xác định ìï y k = P = ( x k - t G ( x k )) , ïï C ïï íTk = {w Î  : x - t G ( x ) - y , w - y £ 0} , k k k k ïï ïï x k +1 = P ( x k - t G ( y k )) , ïî Tk Khi đó nếu G :    là đơn điệu trên C , L - liên tục Lipschitz trên  và æ 1ö t Î çç0, ÷÷÷ thì cả hai dãy lặp { x k } và { y k } hội tụ yếu đến nghiệm x* của bài toán bất è Lø đẳng thức biến phân VIP (C, G ). Trong bài báo này, trên ý tưởng phương pháp dưới đạo hàm tăng cường của Censor và các cộng sự, chúng tôi đề xuất một thuật toán mới để giải bài toán bất đẳng thức biến phân (1.1). Giả sử các ánh xạ G, F1 : 1  1 , F2 : 2  2 thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: ( B1 ) : G : 1  1 là b - đơn điệu mạnh và L - liên tục Lipschitz trên 1. 82 | TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020
( B2 ) : F1 : 1  1 là giả đơn điệu và L1 - liên tục Lipschitz trên 1. ( B3 ) : limsup F1 ( x k ) , y - y k £ F1 ( x) , y - y với mọi dãy k ¥ { x } Ì 1 , { y } Ì 1 hội tụ yếu lần lượt đến x và y. k k ( B4 ) : F2 : 2  2 là giả đơn điệu và L2 - liên tục Lipschitz trên 2 . ( B5 ) : limsup F2 (u k ) , v - v k £ F2 (u) , v - v với mọi dãy k ¥ {u } Ì 2 , {v } Ì 2 hội tụ yếu lần lượt đến u và v. k k Định nghĩa 1.1. Cho 1 và 2 là hai không gian Hilbert và A : 1  2 là toán tử tuyến tính bị chặn. Toán tử tuyến tính A* : 2  1 thỏa mãn A( x) , y = x, A* ( y) với mọi x Î 1 và y Î 2 , được gọi là toán tử liên hợp của A. Toán tử liên hợp của một toán tử tuyến tính bị chặn luôn tồn tại duy nhất, A* là toán tử tuyến tính bị chặn và ta có A* = A . II. THUẬT TOÁN VÀ KẾT QUẢ HỘI TỤ CỦA THUẬT TOÁN Thuật toán 2.1. Chọn các dãy số {ak } Ì (0,1) , {hk } , {dk } , {lk } , {mk } thỏa mãn đồng thời các điều kiện ìï ¥ ïï lim ak = 0, å ak = ¥, 0 £ hk £ 1- ak "k ³ 0, lim hk = h < 1, {dk } Ì [ a; b ]; ïïí k ¥ k =0 k ¥ æ 1 ÷ö æ 1ö æ 1ö ïïa, b Î çç0; ï ÷÷ , {lk } Ì [c; d ]; c, d Î çç0; ÷÷ , {mk } Ì [e; f ]; e, f Î çç0; ÷÷. çè çè L1 ÷ø çè L2 ÷ø ïîï 2 A + 1ø 2b Bước 0. Lấy x 0 Î 1 , 0 < m < , k := 0. L2 Bước 1. Tính ì ï ïu k = Ax k , v k = P Q (u k - m k F2 (u k )) , w k = P Q (u k - mk F2 (v k )) , ï í k ï î y = x + dk A w - u , t = PC ( y - lk F1 y ) , z = PCk ( y - lk F1 t ). ï ï k k *( k k) k k ( k) k k ( k) Trong đó Qk := {w2 Î 2 : u k - mk F2 (u k ) - v k , w2 - v k £ 0} ; Ck := {w1 Î 1 : y k - lk F1 ( y k ) - t k , w1 - t k £ 0}. TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020| 83
Bước 2. Tính x k +1 = hk x k + (1- hk ) z k - ak mG ( z k ). Nếu x k +1 = x k thì x k chính là nghiệm của bài toán (1.1); Ngược lại k := k + 1 trở lại bước 1. Để chứng minh sự hội tụ của Thuật toán 2.1, ta cần sử dụng một số bổ đề sau: Bổ đề 2.1. ([xem 5 ]) Cho G :    là b - đơn điệu mạnh và L- liên tục Lipschitz 2b trên không gian Hilbert thực , 0 < a < 1, 0 £ h £ 1- a và 0 < m < 2 . Khi đó L (1- h ) x - amG ( x) - éë(1- h ) y - amG ( y)ùû £ (1- h - at ) x - y , "x, y Î  trong đó, t := 1- 1- m (2b - m L2 ) Î (0,1]. Bổ đề 2.2. ([xem 1]) Cho C là tập con khác rỗng trong không gian Hilbert thực , G :    giả đơn điệu và L - liên tục Lipschitz trên  sao cho Sol (C , G ) ¹ Æ. Giả sử x Î  , l > 0 và y = PC ( x - lG ( x)) , z = PT ( x - lG ( y)) , trong đó T := {w Î  : x - lG ( x) - y, w - y £ 0} . Khi đó với mọi x* Î Sol (C , G) , ta có 2 2 2 2 z - x* £ x - x* - (1- l L) x - y - (1- l L) y - z . Bổ đề 2.3. ([xem 6]) Cho {an } là dãy các số thực không âm thỏa mãn điều kiện an+1 £ (1- an ) an + an xn "n ³ 0, trong đó {an } , {xn } là các dãy số thực sao cho ¥ (i) {an } Ì (0,1) và å an = ¥. n=0 (ii) limsup xn £ 0. n¥ Khi đó lim an = 0. n¥ Bổ đề 2.4. ([xem 3]) Cho {an } là dãy các số thực không âm. Giả sử với mọi số tự nhiên m, tồn tại số tự nhiên p sao cho p ³ m và a p £ a p+1. Gọi n0 là số tự nhiên sao cho an0 £ an0 +1. Với mọi số tự nhiên n ³ n0 , ta xác định t (n) = max {k Î  : n0 £ k £ n, ak £ ak +1 } . 84 | TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020
Khi đó {t (n)}n³n0 là dãy không giảm thỏa mãn lim t (n) = ¥ và các bất đẳng thức n¥ sau đây là đúng at(n) £ at(n)+1 , an £ at(n)+1 "n ³ n0 . Sau đây chúng tôi phát biểu và chứng minh định lý hội tụ của thuật toán, cũng là kết quả chính của bài báo. Định lý 2.1. Giả sử tập nghiệm W = { x* Î Sol (C , F1 ) : A( x* ) Î Sol (Q, F2 )} của bài toán bất đẳng thức biến phân tách khác rỗng và các điều kiện ( B1 ) - ( B5 ) được thỏa mãn. Khi đó dãy { xk } trong Thuật toán 2.1 hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của bài toán (1.1). Chứng minh. Ta chia phép chứng minh ra thành các bước như sau: Bước 1. Các dãy { xk } , { yk } và { zk } thỏa mãn bất đẳng thức z k - x* £ y k - x* £ x k - x* "k , trong đó x* là tập nghiệm duy nhất của bài toán (1.1). Vì W ¹ Æ và là tập lồi đóng nên bài toán bất đẳng thức biến phân VIP (W, G ) (1.1) có nghiệm duy nhất x* . Đặc biệt x* Î W hay x* Î Sol (C , F1 ) Ì C , Ax* Î Sol (Q, F2 ) Ì Q. Do đó từ Bổ đề 2.2 , ta có, với mọi k 2 2 2 2 z k - x* £ y k - x* - (1- lk L1 ) y k - t k - (1- lk L1 ) t k - z k , (2.1) 2 2 2 2 w k - A( x* ) £ u k - A( x* ) - (1- mk L2 ) u k - v k - (1- mk L2 ) v k - w k . (2.2) æ 1ö æ 1ö Vì {lk } Ì [ c, d ] Ì çç0, ÷÷÷ và {mk } Ì [ e, f ] Ì çç0, ÷÷÷ nên từ (2.1) , (2.2) , ta có çè L1 ø çè L2 ø z k - x* £ y k - x* "k , (2.3) w k - A( x* ) £ u k - A( x* ) "k . (2.4) Từ (2.4) , vì u k = A( x k ), ta có, với mọi k TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020| 85
2 2 y k - x* = x k + dk A* (w k - u k ) - x* 2 2 2 2 £ x k - x* + dk2 A wk -uk - dk w k - u k ( )w 2 2 2 = x k - x* - dk 1- dk A k -uk . (2.5) æ 1 ö÷÷ ç Kết hợp (2.3) với (2.5) và chú ý rằng dk Î [ a, b ] Ì çç0, ÷ , ta được çè A 2 + 1ø÷÷ z k - x * £ y k - x* £ x k - x* "k . Bước 2. Các dãy { x k } , { y k } , { z k } và {G ( x k )} là bị chặn. Từ Bổ đề 2.1 và bước 1, ta được x k +1 - x* = (1- hk ) z k - ak mG ( z k ) - éê(1- hk ) x* - ak mG ( x* )ùú + hk ( x k - x* ) - ak mG ( x* ) ë û £ (1- hk - ak t ) x k - x* + hk x k - x* + ak m G ( x* ) m G ( x* ) = (1- ak t ) x - x + ak t k * , (2.6) t trong đó, t := 1- 1- m (2b - m L2 ) Î (0,1]. Bằng quy nạp, ta được, với mọi k ìï m G ( x* ) üï k * ïï 0 * ïï x - x £ max í x - x , ý. ïï t ïï îï þï Do đó dãy { x k } bị chặn và do đó theo Bước 1 thì các dãy { y k } , { z k } cũng bị chặn. Vì F là liên tục Lipschitz và dãy { x k } bị chặn nên dãy {G ( x k )} cũng bị chặn. Bước 3. với mọi k , ta có - 2ak m G ( x* ) , x k +1 - x* , 2 2 x k +1 - x* £ (1- ak t ) x k - x* trong đó x* là nghiệm duy nhất của bài toán (1.1). 2 2 Sử dụng bất đẳng thức x- y £ x - 2 y, x - y "x, y Î 1 , 86 | TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020
Bổ đề 2.1 và Bước 1, ta được 2 x k +1 - x* 2 = (1- hk ) z k - ak mG ( z k ) - éê(1- hk ) x* - ak m F ( x* )ùú + hk ( x k - x* ) - ak mG ( x* ) ë û 2 £ (1- ak t ) ( x k - x* ) - 2ak m G ( x* ) , x k +1 - x* . Bước 4. Ta chứng minh { x k } hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất x* của bài toán (1.1). Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1. Tồn tại k0 sao cho dãy { x k - x* } là giảm với k ³ k0 . Khi đó tồn tại giới hạn hữu hạn lim x k - x* . Do đó, từ Bước 1 và lập luận trong chứng minh k ¥ Bước 3, ta được k * 2 k * 2 k * 2 k * 2 0£ y -x - z -x £ x -x - z -x ak t k 2 2ak m ( * ) k +1 1 ( k 2 2 ). ( 2.7) £- z - x* - G x , x - x* + x - x* - x k +1 - x* 1- hk 1- hk 1- hk Vì tồn tại giới hạn của dãy { x k - x* } , lim ak = 0, lim hk = h < 1, { x k } và { z k } là k ¥ k ¥ hai dãy bị chặn nên từ (2.7) , ta có ( lim y k - x* k ¥ 2 - z k - x* 2 ) = 0, lim ( x k ¥ k - x* 2 - z k - x* 2 ) = 0. (2.8) Từ (2.8) , ta suy ra ( lim x k - x* k ¥ 2 - y k - x* 2 ) = 0. (2.9) æ 1ö Kết hợp (2.1) với giả thiết {lk } Ì [ c, d ] Ì çç0, ÷÷÷ , ta được çè L1 ø 2 2 2 (1- dL1 ) y k - t k £ y k - x* - z k - x* . (2.10) Do vậy, từ (2.8) và (2.10) , ta được lim y k - t k = 0. (2.11) k ¥ æ 1 ö÷ Từ (2.5) và {dk } Ì [ a, b ] Ì çç0, ÷ , ta suy ra çè A 2 + 1÷ø a (1- b A ) 2 2 2 2 wk -uk £ x k - x* - y k - x* . TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020| 87
Kết hợp bất đẳng thức trên với (2.9) , ta nhận được lim w k - u k = 0. k ¥ Chú ý rằng với mọi k y k - x k = dk A* (w k - u k ) £ dk A* w k - u k £ b A w k - u k . Do đó, vì lim w k - u k = 0 nên lim y k - x k = 0. (2.12) k ¥ k ¥ Từ (2.11) và (2.12) , ta có lim x k - t k = 0. (2.13) k ¥ Ta sẽ chứng minh lim inf G ( x* ) , x k +1- x* ³ 0. k ¥ Chọn dãy con { x ki } của { x k } sao cho lim inf G ( x* ) , x k +1- x* = lim G ( x* ) , x ki - x* . k ¥ i ¥ Vì dãy { x ki } là bị chặn nên ta có thể giả sử dãy x ki hội tụ yếu đến x Î 1. Do đó, lim inf G ( x * ) , x k +1 - x * = G ( x * ) , x - x * . (2.14) k ¥ Từ (2.12), (2.13) và x ki  x , ta suy ra y ki và t ki hộ tụ yếu đến x . Kết hợp với {t } Ì C và C ki là đóng yếu, ta được x Î C. Từ (2.13), ta suy ra dãy { x k - t k } là bị chặn. Vì { x k } là bị chặn nên {t k } cũng là bị chặn. Ta chứng minh x Î Sol (C , F1 ) . Thật vậy, lấy x Î C. Từ định nghĩa t ki , ta có y ki - lki F1 ( y ki ) - t ki , x - t ki £ 0 "i. Vì lki > 0 với mọi i , từ bất đẳng thức trên, ta có y ki - t ki , x - t ki F1 ( y ki ), x - t ki ³ . (2.15) lki Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và chú ý rằng lki ³ c > 0 với mọi i , ta có 88 | TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020
y ki - t ki , x - t ki y ki - t ki . x - t ki £ . (2.16) lki c y ki - t ki . x - t ki ki Vì y - t ki  0 và dãy {t ki } là bị chặn nên lim = 0. Từ (2.16), i ¥ c y ki - t ki , x - t ki ta suy ra lim = 0. Do đó, sử dụng (2.15) , điều kiện ( B3 ) và sự hội tụ i ¥ lki yếu của hai dãy { y ki } , {t ki } đến x , ta được 0 £ lim sup F1 ( y ki ) , x - t ki £ F1 ( x ) , x - x , i ¥ Tức là x Î Sol (C , F1 ). Vì { x k } bị chặn nên {u k = A( x k )} cũng bị chặn. Kết hợp với lim w k - u k = 0, ta k ¥ suy ra dãy {w k } cũng bị chặn. Sử dụng bất đẳng thức trên, lim u k - w k = 0 và tính bị chặn của hai dãy {u k } và k ¥ {w } , ta thu được k ( 2 lim u k - A( x* ) - w k - A( x* ) k ¥ 2 ) = 0. (2.17) æ 1ö Từ (2.10) và {mk } Ì [e, f ] Ì ççç0, ÷÷÷ , ta có è L2 ø÷ 2 2 2 (1- f L2 ) u k - u k £ u k - A( x* ) - w k - A( x* ) . Do đó, kết hợp với (2.17) , ta được lim u k - u k = 0. (2.18) k ¥ Từ (2.18) và tính bị chặn của dãy {u k } , ta suy ra dãy {u k } bị chặn. Vì x ki  x nên u ki = A( x ki )  A( x ). Kết hợp với (2.18) , ta có u ki  A( x ). Ngoài ra vì {u ki } Ì Q và Q là lồi đóng (do đó là đóng yếu) nên từ u ki  A( x ), ta có A( x ) Î Q. Tiếp theo ta chứng minh A( x ) Î Sol (Q, F2 ). ( Lấy y Î Q. Từ u ki = PQ u ki - mki F2 (u ki ) , ta có ) u ki - mki F2 (u ki ) - u ki , y - u ki £ 0. TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020| 89
Vì m ki > 0 với mọi i , từ bất đẳng thức trên ta có u ki - u ki , y - u ki F2 (u ki ), y - u ki ³ . ( 2.19) mki Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và chú ý rằng mki ³ e > 0 với mọi i , ta được u ki - u ki , y - u ki u ki - u ki . y - u ki £ . (2.20) mki e u ki - u ki , y - u ki Do đó, từ (2.20), ta có lim = 0. Sử dụng (2.19), điều kiện i ¥ mki ( B5 ) và hội tụ yếu của hai dãy {u k } , {v k } đến A( x ) , ta được i i 0 £ lim sup F2 (u ki ) , y - u ki £ F2 ( A( x )) , y - A( x ) , i ¥ hay A( x ) Î Sol (Q, F2 ). Vậy x Î W . Vì x* Î Sol (W, G ) và x Î W nên G ( x* ) , x - x* ³ 0. Do đó, từ (2.14) , ta thu được lim inf G ( x* ) , x k +1 - x* ³ 0. k ¥ Từ lim inf G ( x* ) , x k +1 - x* ³ 0, ta có lim sup xk £ 0. k ¥ k ¥ 2 Theo Bổ đề 2.3, ta suy ra lim x k - x* = 0 hay x k  x* . k ¥ Trường hợp 2. Giả sử với mọi số tự nhiên m , tồn tại số tự nhiên p sao cho p ³ m và x p - x* £ x p+1 - x* . Theo Bổ đề 2.4, tồn tại số tự nhiên k0 và dãy không giảm {t (k )}k ³k của  sao cho lim t (k ) = ¥ và các bất đẳng thức sau đây là đúng 0 k ¥ x t(k ) - x* £ x t (k )+1 - x* , x k - x* £ x t(k )+1 - x* "k ³ k0. (2.21) Từ (2.21) và (2.6) , ta được t (k ) t (k )+1 x - x* £ x - x* ( £ 1- ht (k ) - at(k )t z ) t (k ) - x * + ht (k ) x t (k ) - x* + at (k )m F ( x* ) . (2.22) 90 | TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020
Theo Bước 1 và (2.22) , ta có 0 £ y t (k ) - x * - z t (k ) - x * £ x t (k ) - x * - z t (k ) - x * at (k )t at (k )m F ( x* ) . t (k ) £- z - x* + ( 2.23) 1- ht (k ) 1 - ht ( k ) Vì lim ak = 0, lim hk = h < 1 và { z k } bị chặn nên từ (2.23) , ta suy ra k ¥ k ¥ lim y k ¥ ( t (k ) - x* - z t (k ) - x* = 0, ) lim x k ¥ ( t (k ) - x* - z t (k ) ) - x* = 0. (2.24) Từ (2.24) , ta được lim x k ¥ ( t (k ) - x* - y t (k ) - x* = 0 ) (2.25) Do đó, từ (2.24) , (2.25) và tính bị chặn của các dãy { x k } , { y k } , { z k } , ta được ( ) = 0, 2 2 t (k ) t (k ) lim y - x* - z - x* (2.26) k ¥ lim ( x ) = 0. 2 2 t (k ) t (k ) - x* - y - x* (2.27) k ¥ æ 1ö Từ (2.9) và {lk } Ì [c, d ] Ì çç0, ÷÷÷ , ta có çè L1 ø÷ 2 2 2 2 (1- dL1 ) y t(k ) - t t(k ) + (1- dL1 ) t t(k ) - z t(k ) £ y t(k ) - x* - z t(k ) - x* . Do đó, từ (2.26) , ta được t (k ) t (k ) t (k ) t (k ) lim y -t = 0, lim t -z = 0, (2.28) k ¥ k ¥ Kết hợp bất đẳng thức trên với (2.27) , ta được t (k ) t (k ) lim w k ¥ -u = 0, (2.29) Vì y t (k ) -x t (k ) = dt(k ) A* w ( t (k ) -u t (k ) ) £ dt(k ) A* w t (k ) -u t (k ) £b A w t (k ) -u t (k ) Nên từ (2.29) , ta có t (k ) t (k ) lim y -x = 0. (2.30) k ¥ TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020| 91
Theo bất đẳng thức tam giác và (2.28) , (2.30) ta được t (k ) t (k ) t (k ) t (k ) lim x -z = 0, lim x -t = 0, (2.31) k ¥ k ¥ Lập luận như trong Trường hợp 1, ta được lim inf G ( x* ) , x t (k ) - x* ³ 0, (2.32) k ¥ Theo Bổ đề 2.1 ( ) ( ) x t k +1 - x t k = (1- ht(k ) ) z t k - at(k )mG ( z t k ) - éê(1- ht (k ) ) x t k - at(k )mG ( x t k )ùú - at(k )mG ( x t k ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ë û £ (1- ht(k ) - at(k )t ) z t k - x t k + at(k )m G ( x t k ) ( ) ( ) ( ) £ z t k - x t k + at (k )m G ( x t k ) . ( ) ( ) ( ) ( 2.33) Từ lim ak = 0, tính bị chặn của dãy {G ( x t k )} , (2.31) và (2.33) , ta được ( ) k ¥ ( ) ( ) lim x t k +1 - x t k = 0. (2.34) k ¥ Sử dụng (2.34) và bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta thu được lim G ( x* ) , x t k +1 - x t k = 0. ( ) ( ) (2.35) k ¥ Kết hợp (2.32) và (2.35) , ta có liminf G ( x* ) , x t k +1 - x* = liminf ëêé G ( x* ) , x t k - x* + x t k +1 - x t k ùûú ( ) ( ) ( ) ( ) k ¥ k ¥ = liminf G ( x* ) , x t k - x* ( ) k ¥ ³ 0. ( 2.36) Kết hợp với (2.21) , ta thu được 2 ( ) 2 2m ( * ) t(k )+1 (2.37) x k - x* £ x t k +1 - x* £- G x ,x - x* . t Lấy giới hạn ở (2.37) khi k  ¥, và sử dụng (2.36) , ta thu được 2 lim sup x k - x* £ 0. k ¥ Do đó x k  x* . Định lý 2.1 được chứng minh. 92 | TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020
III. KẾT LUẬN Bài báo đã đề xuất được một thuật inequality problem in Hilbert space, Optim. toán mới để giải bài toán bất đẳng thức Methods Softw., 26, 827- 845. biến phân trên tập nghiệm của một bài 3. Maingé, P.E. (2008): A hybrid toán bất đẳng thức biên phân tách extragradient-viscosity method for (thuộc lớp bài toán bất đẳng thức biến monotone operators and fixed point phân hai cấp) và chứng minh được sự problems. SIAM J. Control Optim., 47, hội tụ mạnh của thuật toán tới nghiệm 1499–1515. duy nhất của bài toán trong không gian Hilbert thực, dưới các điều kiện thích 4. Korpelevich, G.M. (1976): The hợp. Với phương pháp này, chúng tôi extragradient method for finding saddle chỉ cần sử dụng tính giả đơn điệu của points and other problems. Ekon.Mat. các ánh xạ giá F1 và F2 . Metody 12, 747–756. 5. Kraikaew, R., Saejung, S. (2014): TÀI LIỆU THAM KHẢO Strong convergence of the subgradient 1. Anh, P.N., Kim, J.K., Muu, L.D. extragradient method for solving variational (2012): An extragradient algorithm for inequalities in Hilbert spaces. J. Optim. solving bilevel variational inequalities. J. Theory Appl., 163, 399–412. Glob. Optim., 52, 627–639. 6. Xu, H.K. (2002): Iterative algorithms 2. Censor, Y., Gibali, A., and Reich, S. for nonlinear operators. J. London Math. (2011): Strong convergence of subgradient Soc., 66, 240–256. extragradient methods for the variational TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng 9 năm 2020| 93