Phương pháp giải toán thể tích trong đề thi tuyển sinh ĐH - CĐ

Chia sẻ: Levan Hao | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

712
lượt xem 341
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Theo cấu trúc đề thi tuyển sinh ĐH - CĐ do bộ GD-ĐT ban hành cũng như trong đề thi tuyển sinh ĐH - CĐ những năm gần đây, phần HHKG là chủ đề bắt buộc (chiếm khoảng 1điểm). Đây là bài toán gây nhiều khó khăn cho thí sinh

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp giải toán thể tích trong đề thi tuyển sinh ĐH - CĐ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN THỂ TÍCH TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐH-CĐ Ths. Nguyễn Bá Thuỷ Trường THPT Bắc Yên Thành Theo cấu trúc đề thi Tuyển sinh ĐH-CĐ do Bộ GD-ĐT ban hành cũng như trong đ ề thi Tuyển sinh ĐH-CĐ những năm gần đây, phần HHKG là ch ủ đ ề bắt bu ộc (chi ếm kho ảng 1,0điểm). Đây là bài toán gây nhiều khó khăn cho thí sinh. Nguyên nhân c ơ bản là do h ọc sinh không biết lựa chọn công cụ giải toán phù hợp, hay nói cách khác các em ch ưa n ắm đ ược “yếu quyết” để giải qiuyết các loại toán này. Một trong những lo ại toán th ường gặp v ề hình h ọc không gian tổng hợp trong đề thi tuyển sinh là bài toán th ể tích. Bài vi ết này c ủa chúng tôi hi vọng phần nào giúp các em học sinh gi ải quyết được những khó khăn trong vi ệc các bài toán dạng này. Có thể chia bài toán thể tích thành các loại toán như sau: Loại 1: Các bài toán tính thể tích trực tiếp. Đề giải được các bài toán thuộc dạng này, vấn đề quan trọng nhất là xác đ ịnh đ ược đường cao của đa diện. Ví dụ 1 (TSĐH 2009A). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông t ại A và D, có AB+AD=2a, CD=a. Góc giữa 2 mặt phẳng (SCB) và (ABCD) b ằng 60 0. Gọi I là trung điểm AD, biết 2 mặt phẳng (SBI) và SCI) cùng vuông góc với (ABCD). Tính th ể tích kh ối chóp S.ABCD? Giải: (SIB) ⊥ (ABCD) và (SIC) ⊥ (ABCD) nên ta có SI ⊥ (ABCD) S Vậy SI là đường cao của hình chóp S.ABCD. Ta tính SI: Có diện tích hình thang ABCD là: dt(ABCD)= 3a2. 1 1 1 dt(∆ABI) = AB.IA = a 2 , dt(∆CDI) = CD.ID = a 2 A B 2 2 2 I 3a 2 � dt(∆ICB) = dt(ABCD) − dt(IAB) − dt(ICD) = K D C 2 BC = (AB − CD) 2 + AD 2 = a 5 2dt(∆IBC) 3 5a ﾷ Kẻ IK ⊥ BC (K BC) thì ta có BC ⊥ (SIK) � SKI = 600 và IK = = CB 5 3 15a ﾷ � SI = IK.tan SKI = . 5 3 15a 3 1 Suy ra thể tích khối chóp S.ABCD là : V = SI.dt(ABCD) = (đvtt). 3 5 Chú ý 1. • Khối chóp có một cạnh vuông góc với đáy thì cạnh đó chính là đường cao. • Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì đ ường cao là đ ường k ẻ t ừ đ ỉnh vuông góc với giao tuyến của đáy với mặt bên đó (Nói đơn giản là đường cao của mặt bên). • Khối chóp có 2 mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao là c ạnh bên chung của 2 mặt đó. • Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo v ới đáy các góc b ằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. • Khối chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy các góc bằng nhau thì chân đ ường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy. Ngoài ra trong một số trường hợp khác chúng ta có thể khai thác các tính chất khác c ủa đa diện để xác định đường cao.
Ví dụ 3 (TSĐH 2010B). Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có Ab=a, góc gi ữa hai m ặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm ∆A ' BC . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. Giải: (Ở đây chúng tối chỉ giải phần tính thể tích nhằm A' C' minh họa cho bài viết của mình) Gọi D là trung điểm của BC, ta có : B' BC ⊥ AD � BC ⊥ A ' D , suy ra : ADA ' = 600 ﾷ 3a ﾷ Ta có : AA ' = AD.tan ADA' = . 2 2 a3 dt(∆ABC) = G 4 j Do đó thể tích của khối lăng trụ đã cho là : 3a 3 3 (đvtt) VABC.A 'B 'C ' = AA '.dt(∆ABC) = A C 8 H D B Chú ý 2. • Với lăng trụ đứng ta thường gặp các loại: - Biết chiều cao hoặc cạnh đáy. - Biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. - Biết góc giưa 2 mặt phẳng. • Với khối lăng trụ xiên: Vấn đề quan trọng nhất là xác định được chiều cao của lăng trụ. Loại 2: Các bài toán sử dụng công thức tỉ số thể tích. Lưu ý: Đối với khối chóp tam giác S.ABC và A’, B’, C’ là các điểm tương ứng thuộc các VS.A ' B'C ' SA ' SB' SC ' = . . cạnh SA, SB, SC thì ta có: . VS.ABC SA SB SC Ví dụ 3 (Đề dự bị 2007A). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với đáy góc 60 0. Trên cạnh SA lấy điểm M sao a3 cho AM = . Mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp SBCMN? 3 Từ M kẻ đường thẳng song song với AD, cắt SD tại N thì N là S giao điểm của (BCM) và SD, vì SA ⊥ (ABCD) nên góc giữa SB ﾷﾷ và (ABCD) là SBA = 600 . Ta có SA = SB.tan SBA = a 3 . a 3 2 31 Từ đó ta có: SM = SA − AM = a 3 − = N M 3 3 SM SN 2 . = = � SA SA 3 D A Dễ thấy: VS.ABCD = VS.ABC + VS.ADC = 2VS.ABC = 2VS.ADC Và VS.BCNM = VS.BCM + VS.CNM B C VS.BCNM VS.BCM + VS.CNM VS.BCM V = = + S.CNM Do đó: VS.ABCD VS.ABCD 2VS.ABC 2VS.ADC
1 SM SB SC 1 SM SN SC 1 2 5 =. +. =+=. .. . . 2 SA SB SC 2 SA SD SC 3 9 9 2 3a 3 10 3a 3 1 Mà VS.ABCD = SA.dt(ABCD) = � VS.BCNM = (đvtt) 3 3 27 Chú ý rằng công thức trên chỉ được áp dụng cho khối chóp tam giác, nhi ều hs do nh ầm lẫn đã áp dụng nó cho các khối chóp không phải là chóp tam giác đã dẫn đến kết quả sai!!! Loại 3: Các bài toán sử dụng phép phân chia khối đa diện. Ta biết rằng: Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành các khối đa diện (H 1) và (H2) thì thể tich của (H) bằng tổng thể tích của (H1) và (H2). Và trong nhiều trường hợp việc sử dụng các phép phân chia các khối đa diện sẽ giúp cho chúng ta phương pháp tính th ể tích c ủa các kh ối đa diện, đặc biệt là các khối đa diện không phải khối cơ bản. Ví dụ 4 (TSĐH 2003A). Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có đáy là hình vuông c ạnh a, chiều cao AA’=b. Gọi M là trung điểm cạnh CC’. Tính thể tích tứ diện BDA’M. Giải: D' C' B' A' M E D C O A B Trong mặt phẳng (AA’C’C) gọi E là giao điểm của AC và A’M. Gọi O là tâm của đáy ABCD. 3a 2 Ta có: Vì M là trung điểm của CC’ nên ta có: CE = AC = a 2 � OE = 2 3a 2 3a 2 1 1 Do ABCD là hình vuông nên OE ⊥ BD . Do đó: dt(∆BDE) = BD.OE = a 2. = 2 2 2 2 1 1 Ta có: VA '.BMD = VA '.BED − VM.BED = AA '.dt(∆BDE) − MC.dt( ∆BDE) 3 3 2 1� b� ab = � − � ∆BDE) = b .dt( (đvtt) 3� 2� 4 Loại 4: Sử dụng thể tích để giải các bài toán khoảng cách. Trong nhiều trường hợp các bài toán khoảng cách có thể giải quyết được bằng cách quy về bài toán thể tích khối đa diện. Việc tính khoảng cách sẽ dựa vào công thức hiển nhiên sau : 3V h= (Với V, S, h lần lượt là thể tích, diện tích đáy và chiều cao c ủa khối chóp nào đó) ho ặc S V h= (đối với khối lăng trụ). Như vậy bài toán tìm khoảng cách được quy về bài toán tìm chiều S cao của hình chóp hoặc lăng trụ nào đó. Ví dụ 5 (TSĐH 2009D). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy ABC là tam giác vuông t ại B. Giả sử AB=a, AA’=2a; AC = a 3 . Gọi M là trung điểm của AC’ và I là giao đi ểm c ủa AM và A’C. 1) Tính thể tích tứ diện IABC. 2) Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (IBC).
Giải: (Do khuôn khổ bài báo chúng tôi không trình bày trọn vẹn lời giải mà ch ỉ trình bày l ời gi ải cho ý 2)) 4a 3 Theo phần 1) ta có VIABC = 9 Có BC = AC2 − AB2 = 2a M A' C' Kẻ IH ⊥ AC(H �� AC) IH ⊥ (ABC) Kẻ HE ⊥ BC(E �� BC) IE ⊥ BC (Định lí 3 đường vuông B' I góc) HE CH CB' 2 2 2a = = = � HE = AB = Ta có AB CA CA ' 3 3 3 16a 2 2a 5 Do đó IE = IH 2 + HE 2 = + 4a 2 9 = K 9 3 C A 1 1 2a 5 2a 5 H Nên dt(∆IBC) = IE.BC = .2a = 2 23 3 E Gọi h là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABC) thì: B 4a 3 3. 2 3.VIABC 9 = 2a h= = dt(∆IBC) 2a 5 5 3 Trên đây là một số trao đổi của chúng tôi xung quanh v ấn đ ề gi ải các bài toán liên quan đến thể tích trong các đề thi Tuyển sinh ĐH-CĐ. Hy vọng rằng s ẽ giúp đ ược các em h ọc sinh phần nào trong việc ôn tập, chuẩn bị cho các kỳ thi quan trọng sắp tới. Rất mong nhận được góp ý của quý đồng nghiệp và bạn đọc.