Phương pháp hàm đặc trưng cho một số định lí giới hạn trong xác suất

Chia sẻ: Nguyễn Văn Mon | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

66
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Phương pháp hàm đặc trưng cho một số định lí giới hạn trong xác suất trình bày nội dung chính của bài viết này là sử dụng công cụ hàm đặc trưng để giải quyết một số bài toán xấp xỉ trong,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp hàm đặc trưng cho một số định lí giới hạn trong xác suất

Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 53, Phần A (2017): 88-95 DOI:10.22144/ctu.jvn.2017.145 PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG CHO MỘT SỐ ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN TRONG XÁC SUẤT Lê Trường Giang1 và Trịnh Hữu Nghiệm2 1 2 Trường Đại học Tài chính – Marketing Trường Đại học Nam Cần Thơ Thông tin chung: Ngày nhận bài: 01/07/2017 Ngày nhận bài sửa: 18/09/2017 Ngày duyệt đăng: 29/11/2017 Title: Characteristic functions method for some of the limit theorems in probability Từ khóa: Hàm đặc trưng, tổng ngẫu nhiên, xấp xỉ Gamma, xấp xỉ Laplace, xấp xỉ Poisson phức hợp ABSTRACT The main purpose of this article is to use Characteristic functions method to solve some approximation problems in probability such as Compound Poisson approximation, Gamma approximation, and Laplace approximation. The received results are extensions and generalizations of some known results. TÓM TẮT Nội dung chính của bài viết này là sử dụng công cụ hàm đặc trưng để giải quyết một số bài toán xấp xỉ trong xác suất như xấp xỉ Poisson phức hợp, xấp xỉ Gamma và xấp xỉ Laplace. Các kết quả nhận được là sự mở rộng và khái quát hóa một số kết quả đã có. Keywords: Characteristic functions, gamma approximation, laplace approximation, poisson approximation, random sums Trích dẫn: Lê Trường Giang và Trịnh Hữu Nghiệm, 2017. Phương pháp hàm đặc trưng cho một số định lí giới hạn trong xác suất. Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ. 53a: 88-95. nói trên. Đã đến lúc một số bài toán mà những ứng dụng của nó trong thực tế cần phải được quan tâm nhiều hơn (Kalashnikov, 1997; Nguyễn Duy Tiến, 2000; Minkova, 2010). Một số ứng dụng phải kể đến như ứng dụng trong lĩnh vực phân tích kinh tế, bảo hiểm, bài toán đầu tư, bưu chính viễn thông, đánh giá hiệu năng hệ thống máy tính, y tế... 1 GIỚI THIỆU Một trong những kết quả quan trọng nhất của lý thuyết xác suất là các định lý giới hạn. Các định lý giới hạn được biết như là nền tảng cho các suy luận thống kê, phân tích tài chính cũng như dự báo trong kinh doanh và nhiều vấn đề liên quan khác (Feller, 1971a; Feller, 1971b; Nguyễn Duy Tiến và Vũ Viết Yên, 2000; Nguyễn Duy Tiến, 2000). Chính vì vậy, nhiều nhà toán học đã tập trung vào nghiên cứu các định lý giới hạn, trong số đó định lý giới hạn trung tâm và luật số lớn thường được quan tâm nhiều hơn. Tuy nhiên, trong thời đại ngày nay, một số yêu cầu thực tế đòi hỏi ta phải có những cơ sở lý thuyết nằm ngoài phạm vi của hai bài toán Để giải quyết các bài toán xấp xỉ trong xác suất, các nhà toán học trong và ngoài nước đã sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, chẳng hạn như phương pháp Stein (Barbour and Chen, 2004; Tran Loc Hung and Le Truong Giang, 2016a), phương pháp toán tử (Renyi, 1970; Tran Loc Hung and Le Truong Giang, 2014; Tran Loc Hung and Le 88 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 53, Phần A (2017): 88-95 Truong Giang, 2016b; Trịnh Hữu Nghiệm và Lê Trường Giang, 2016), phương pháp hàm đặc trưng (Eugene Lukacs, 1970; Tran Loc Hung et al., 2008; Tran Loc Hung and Tran Thien Thanh, 2010). Mỗi phương pháp đều có những ưu điểm cũng như hạn chế riêng của nó. Trong khuôn khổ bài viết này, phương pháp hàm đặc trưng sẽ được sử dụng để giải quyết bài toán xấp xỉ Poisson phức hợp, xấp xỉ Gamma và xấp xỉ Laplace. Các kết quả nhận được là sự tổng quát hóa một số kết quả trong Kalashnikov, 1997; Tran Loc Hung et al, 2008; Tran Loc Hung, and Tran Thien Thanh, 2010; Trịnh Hữu Nghiệm và Lê Trường Giang, 2016. k   X (t)  nhiên độc lập, có cùng phân phối và độc lập với N . Biến ngẫu nhiên 0, N 0  SN    X 1  X 2  ...  X n , N  n được gọi là tổng ngẫu nhiên. Để đơn giản ta kí hiệu S N  X 1  X 2  ...  X N , trong đó ta quy ước S N  0 nếu N  0. Ta có hai bổ đề quan trọng sau liên quan đến hàm đặc trưng và được áp dụng trong phần chứng minh các kết quả chính: của đại lượng ngẫu nhiên X , ta gọi hàm biến thực Bổ đề 2.1 Giả sử  N (t )  E (t N ) là hàm sinh của biến ngẫu nhiên N và biến ngẫu nhiên X có itX hàm đặc trưng  X (t )  E (e ) . Khi đó hàm đặc trưng của S N được xác định như sau: được xác định bằng hệ thức  e itx dFX ( x)        cos txdFX ( x)  i  sin txdFX ( x) là hàm đặc trưng của phân phối  S (t )   N  X (t )  . N Bổ đề 2.2 Nếu X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên với hàm đặc trưng  X (t ) thì FX . Một vài tính chất quan trọng của hàm đặc trưng: 1.  X (t)   X (0)  1, t  ; 2.  X (t ) P X  k  liên tục đều trên ;  i1 Xi  itk  X (t)dt , k  0, 1, 2,...  d (t)   i 1 X i (t); a và b ta có aX b (t)  e  X (at ); 4. Với mọi số thực Định nghĩa 3.1 Cho { X n , n  1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với biến ngẫu nhiên X , Z là biến ngẫu nhiên có phân phối ibt n   với n  1 thì  X (t ) có đạo hàm đến cấp n tại mọi điểm và 5. Nếu E X  e Trong các mục sau ký hiệu   được dùng để chỉ sự hội tụ theo phân phối của các biến ngẫu nhiên. 3.1 Bài toán xấp xỉ Poisson phức hợp n n  3 CÁC KẾT QUẢ CHÍNH X 1 , X 2 ,  X n độc lập thì t   , ta  1 2 Kỹ thuật chứng minh cho hai bổ đề trên trong nghiên cứu của Eugene Lukacs, 1970; Feller, 1971b; Nguyễn Duy Tiến và Vũ Viết Yên, 2000. 3. Nếu X và Y độc lập với nhau thì t   , ta có  X Y (t)   X (t).Y (t) . Do đó nếu có eitx dFX ( x)  i k E  X k eitX . Cho N là biến ngẫu nhiên có giá trị nguyên, không âm và X 1 , X 2 ,..., X n ,... là các biến ngẫu Định nghĩa 2.1 Giả sử FX là hàm phân phối  X (t)  E (e )  k Các tính chất này được chứng minh chi tiết trong nghiên cứu của Eugene Lukacs, 1970; Renyi, 1970 và Feller, 1971b . 2 PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG itX   ix   Bài viết được chia làm bốn mục, mục một dành cho việc giới thiệu tổng quan vấn đề nghiên cứu, mục hai trình bày đôi nét về phương pháp hàm đặc trưng (định nghĩa, tính chất và các bổ đề quan trọng), mục ba là phần đưa ra các kết quả chính của bài viết và mục bốn là phần kết luận.  X (t ), t    Poisson với tham số  . Khi đó, tổng ngẫu nhiên 89 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 53, Phần A (2017): 88-95 Z P SWn  k  P S Z  k phân phối được Poisson phức hợp.   S  t   e  X  t  1 Z  S Z được xác định là Hàm đặc trưng của , trong đó  X (t ) là hàm đặc  trưng của X .  X n , n  1 Định lí 3.1 Giả sử     Poisson( )     p   n n n Vậy và Wn   Yi , i 1 S   t   e Z n  trưng   i 1 e n S Z của n pi  X  t  1 . n i i 1   e  n pi  X  t   1  1   e pi  X  t  1 i 1  ta có n n n 1 i  n lim max pi  0 khi và n  1 i  n thì n  (n  ).  X n , n  1 là dãy biến n  . khi Khi  Z n i 1 i 1 đó,  Bernoulli với tham số p n p  p  ...  pn . Hệ 1 2 quả này đã được chứng minh trong Tran Loc Hung and Tran Thien Thanh, 2010. 3.2 Bài toán xấp xỉ Gamma  t   S  t  n  n Nhận xét 3.2 Ta nhận thấy rằng hệ quả 3.1 chỉ là một trường hợp đặc biệt của định lý 3.1 khi xem xét các biến Yi , i  1, 2,.., n có cùng phân phối Ta có  n d SWn   SZ . n n  3.1 k    , xét npn   , pn  0   pi  X  t   1  1    ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối và thỏa mãn Wn ~ Binomial  n, pn   t    W  X  t     Y  X  t  Wn k    , ta nhận được Hệ quả 3.1 Giả sử Suy ra hàm đặc trưng của SWn là S n SWn d  SZ i i 1 S Z n Yi là  Y  t   E (t )  pi  t  1  1. n SWn  n  Yi Wn  dt lim n  lim  i 1 pi    0      là Do Yi ~ Bernoulli  pi  nên ta có hàm sinh của S Z n P SWn  k  P S Z  k  2 i 1 pi2  2 max pi  i 1 pi . đặc n  X  t  1  t   S  t     t     t  dt  Nhận Nên hàm SWn   Chứng minh. có  P SWn  k  P S Z  k  2 pi2 . đó Yi  Bernoulli( pi )  . Ta  n i i 1  itk i 1 i 1 n Zn 1 2  e   2 pi2 . biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên, độc lập, cùng phân phối với biến ngẫu nhiên X . Khi đó k    , pi  [0,1], ta có n  1 2 n n là dãy P SWn  k  P S Z  k  2 pi2 , trong    S Z   j 1 X j được gọi là biến ngẫu nhiên có Định nghĩa 3.2 Biến ngẫu nhiên  được gọi là có phân phối nhị thức âm với tham số dương r , p (r  1, 2,...;0  p  1), kí hiệu  ~ NB ( r , p ), pi  X  t  1 i 1  1  pi  X  t   1 nếu X nhận các giá trị k  r , r  1,.... với xác suất tương ứng là: n  2 pi2 . P    k   Ckr11 p r 1  p  i 1 k r , k  r. Hàm đặc trưng và hàm sinh của định tương ứng như sau: Theo Bổ đề 2.2, ta có 90  được xác Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 53, Phần A (2017): 88-95 r r    p.   it    S  t      X  t       1  1  p  .    it       peit pt   t    ;   t     . it  1  1  p  e  1  1  p  t  Khi r  1 thì phân phối nhị thức âm chính là phân phối hình học. r  p    .   p  it  Định nghĩa 3.3 Biến ngẫu nhiên  được gọi là có phân phối Gamma với hai tham số dương r và  , kí hiệu  ~ Gamma (r ,  ) , nếu  có hàm mật độ là  r x r 1 e   x  f  x     r   0  trong đó hàm   r     Vậy S ~ Gamma( r ,  p ). khi x  0, Khi r  1 (lúc này phân phối nhị thức âm trở thành phân phối hình học), ta có hệ quả sau khi x  0, Hệ quả 3.2 Giả sử  X n , n  1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và cùng tuân theo phân phối mũ với tham số  ,  ~ Geometric( p), 0  p  1 và  độc lập với các biến ngẫu nhiên X n , n  1 . Khi đó, x r 1e  x dx là hàm 0 Gamma. Hàm đặc trưng của X là  S   X i ~ Exp( p ). r   t     (  it )  .   i 1 Nhận xét 3.3 Hệ quả 3.2 đã được chứng minh trong Tran Loc Hung and Tran Thien Thanh, 2010. Khi r  1 thì phân phối Gamma chính là phân phối mũ. Khi r  n 1 và   thì phân phối 2 2 Định lí 3.3 Giả sử  X n , n  1 là dãy các biến ngẫu nhiên nhận giá trị không âm, độc lập, cùng phân phối với biến ngẫu nhiên X và có kỳ vọng hữu hạn E( X )  m  . Đặt  ~ NB(r, p) và độc lập với tất cả các X n , n  1. Khi đó với p 0 thì Gamma được gọi là phân phối Chi- bình phương. Định lí 3.2 Giả sử  X n , n  1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối với biến ngẫu X ~ Exp    . X , với nhiên Gọi S  ~ NB (r , p ) và độc lập với các biến ngẫu nhiên X n , n  1 . Khi đó tổng ngẫu nhiên E ( ) d   , trong đó   ~ Gamma r , r  S   X i ~ Gamma(r ,  p ). Gọi Chứng minh. Ta có hàm sinh của biến ngẫu nhiên     và .  X (t ) là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X . Khi đó hàm đặc trưng của S được xác là định như sau: r  và hàm đặc trưng của 1  1  p  t  biến ngẫu nhiên X là m S   i 1 X i Chứng minh. i 1    t    pt r r   p X  t   S  t     X  t      . 1  1  p   X  t    X  t      it . Khi đó hàm đặc trưng của S là Từ đó, ta có hàm đặc trưng của 91 S E ( ) là Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 53, Phần A (2017): 88-95 Kalashnikov khi xét cho r là một số nguyên dương bất kỳ. r   p  p X  t    p  r   .  S  t    S  t    p r      E ( ) 1  1  p   X  t     r   Áp dụng khai triển Taylor cho hàm X , Định lí 3.4 Giả sử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối chuẩn tắc ( X j ~ N(0,1), j  1, 2,...),  ~ NB ( r , p ) và tồn tại  * ~ Gamma(r , r ) . Đặt S2  X 12  X 22  ...  X 2 . pt c ở giữa 0 và sao cho r Khi đó, nếu S2 p p p   X  t    X  0   t X  c   1  t X  c  r r r  E ( ) . p  0 thì d    *. Chứng minh. Do đó, Ta có   p  p X  t    r    S  t    1  1  p    p t   E ( )  X    r   * Ta có X j ~ N (0,1) nên suy ra X 2j ~  2 (1), ở đây  (1) là phân phối Chi bình phương với bậc tự do 1, như vậy ta xác định được hàm đặc trưng 2 r của r   p X 2  t  j  .  S 2  t      X 2  t       j  1  1  p   2  t   Xj   r    r     m  1 lim  S  t     .   r t p 0 E ( ) 1   X  0     it   r  m  S E ( ) j 2 Khi đó p  0 thì 1 . 1  2it X 2j là  X 2  t   Ta có hàm đặc trưng của S là pt Cho p  0 thì  0 , tức là c  0 . r  r r  r   .  r  it    t    p   1  t X  c    r   . t p 1   X  c   t X  c   r  r  Vậy khi  X n , n  1 là dãy các biến Suy ra hàm đặc trưng của S2 E ( ) là   p  p X 2  t    j p   r    S 2  t   S 2  t       r  1  1  p   p t   E ( )  X 2j       r  d   . Hệ quả 3.3 Giả sử  X n , n  1 là dãy các biến r r   p  1  2i t  1  p  r  .   2  2i t  p    r   ngẫu nhiên nhận giá trị không âm, độc lập, cùng phân phối với biến ngẫu nhiên X và kỳ vọng hữu hạn E( X )  m  . Khi đó với p  0 thì   S d   Z , trong đó Z ~ Exp 1 m . E   Khi Nhận xét 3.4 Hệ quả 3.3 đã được chứng minh bởi Kalashnikov (1997). Ta nhận thấy rằng định lý 3.3 là sự tổng quát hóa cho kết quả năm 1997 của  S2 E ( ) 92 cho  t    p  0 , r r     *  t  .  r  it  ta được